函数的单调性与最大(小)值 错题归纳 专题练 2026年高考数学一轮复习备考
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| 名称 | 函数的单调性与最大(小)值 错题归纳 专题练 2026年高考数学一轮复习备考 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1003.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-15 00:00:00 | ||
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文档简介
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函数的单调性与最大(小)值 错题归纳 专题练
2026年高考数学一轮复习备考
类型梳理
针对性训练
一、单选题
1．已知是上的减函数，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数是R上的偶函数，对任意且都有，若则的大小关系是（ ）
A．b7．已知正数x，y满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数，若，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
10．若函数在上的最大值为，则（ ）
A． B．1 C． D．
11．若，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
12．已知函数，且，则下列结论正确的有（ ）
A．不一定有极值
B．当时，
C．当时，的极小值为0
D．当时，在区间上的最小值为
13．已知定义在R上的函数满足：，，且，则（ ）
A．
B．可能是偶函数
C．的图象不可能关于点对称
D．若，，则在上单调递增
14．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若为偶函数，则
C．有且仅有个使得的最小值为
D．若函数的图象与的图象有且仅有两个交点，则的取值范围为
三、填空题
15．已知函数的图象关于中心对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围为 ．
16．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是 ．
17．求函数的值域为 .
18．函数的值域为 .
四、解答题
19．已知二次函数的最小值为1，函数是偶函数，且．
(1)求的解析式；
(2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D D A A B B B D
题号 11 12 13 14
答案 B ACD ABD ACD
1．C
【分析】由在上单调递减，确定，以及的范围，再根据单调递减确定在分段点处两个值的大小，从而解决问题.
【详解】解：由题意得：
是上的减函数
解得：
故 a的取值范围是
故选：C
2．D
【详解】因为在上是减函数，，所以，A正确；又，所以，，B，C正确，D错误．
3．D
【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性，结合幂函数与二次函数的单调性即可得解.
【详解】由题意，得，解得或，
所以函数的定义域为，
令，则开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
而在上单调递增，
所以函数的单调递减区间为.
故选：D.
4．D
【分析】利用余弦函数的单调性可得，构造函数，由函数单调性可得，即可得出大小关系.
【详解】因为余弦函数在上单调递减，且，
所以；
因为，，
设，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，所以.
故选：D．
5．A
【分析】对分类讨论，结合二次函数的性质求最值可得结果.
【详解】①当时，不等式化为，显然恒成立，满足题意；
②当时，令，则在上恒成立，
函数的对称轴为，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
则有，解得；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
则有，解得.
综上可知，的取值范围是.
故选：A.
6．A
【分析】根据函数为偶函数，推出函数的图象关于直线对称，再由条件推出函数在上单调递增，于是可得，利用幂和对数的运算性质和换底公式，以及对数函数的单调性化简比较得，再由的单调性即可判断.
【详解】因函数是R上的偶函数，则的图象关于直线对称，
因对任意且都有，即函数在单调递增.
因，，
由，可得，
又由对称性可得：，
故再由单调性，可得，即.
故选：A.
7．B
【分析】先根据题设条件求出的范围，对所求式消元后进行换元，利用二次函数的性质即可求得其范围.
【详解】因正数x，y满足，故，解得，
因，设，则，且，
于是．由，可得.
故选：B．
8．B
【分析】根据分段函数的单调性，可知每段函数的单调性，以及分界点处的函数的大小关系，即可列式求解.
【详解】因为时，单调递减，
又在上单调递减，
所以时，单调递减，则只需满足解得.
故选：B.
9．B
【分析】由题意可得，结合函数的单调性可得，进而可求的最小值.
【详解】函数的定义域为，
可得函数在上单调递增，
又，
由，得，
因为函数在上单调递增，所以，所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故选：B.
10．D
【分析】分、和三种情况讨论，研究其单调性，根据最大值建立方程求解即可.
【详解】因为，所以当时，在上单调递减，
则，解得，与矛盾，不符合题意；
当时，根据对勾函数单调性可知，
函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，函数在上单调递增，则在上单调递减，
所以，解得，符合题意；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，解得，与矛盾，不符合题意；
综上所述，.
故选：D
11．B
【分析】化简解析式，得函数最大最小值与周期，利用条件转化为与最值的关系，再由最值与周期的关系可得.
【详解】
，的周期为，且
令，则，
则，由的值域为，
故，
则，故，
由知，，或.
即为函数的最大与最小值，或最小与最大值，
当对应图象上相邻两最值点时，的值最小，
故.
故选：B.
12．ACD
【分析】举例说明当时，得根据三次函数的单调性确定函数的极值，即可判断A；当时，利用作差法判断得符号，即可判断B；当时，求导函数确定函数的极值点，从而得极值，即可判断C；当时，判断函数在区间上的单调性得最值即可判断D.
【详解】当时，，函数在上单调递减，
函数无极值，故A项正确；
当时，，
且，则故B项错误；
当时，，且，
当或时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
在处取得极小值故C项正确；
当时，同上分析知在上为减函数，在上为增函数，
当时，在区间上有最小值，
故D项正确.
故选：ACD.
13．ABD
【分析】令建立方程可解，通过构造函数得到发现可以为幂函数，通过举例说明可判断BC选项，，，则，再利用定义法证明函数在的单调性即可得到在上单调性.
【详解】令，或（舍去），故A正确；，即，
设，则，所以当时成立，
故可以为，此时时偶函数，故B正确；
由上知也可以为，此时关于对称，故C错误；
，，即，，
，，时，，
，设，则，则，所以，
所以在上单调递增，即在上单调递增，故D正确.
故选：ABD.
14．ACD
【分析】解方程，求出的值，可判断A选项；由偶函数的性质求出的值，取可判断B选项；利用绝对值三角不等式可判断C选项；化简函数的解析式，对的取值进行分类讨论，数形结合可得出关于实数的不等式组，综合可解得实数的取值范围.
【详解】对于A选项，，则，解得，A对；
对于B选项，若函数为偶函数，则，
即，可得，
所以，或，
由可得，由解得；
由可得，即，
所以，或，
由可得，由可得，
综上所述，或，
经检验，当或，函数为偶函数，
当时，，B错；
对于C选项，由三角不等式可得，
解得或，
当且仅当时，取最小值，C对；
对于D选项，
①当时，，可知若与有且仅有两个交点，
只需点在的图象的下方，即，可得；
②当时，，
由，可得点在的图象的下方，
此时的图象与有且仅有两个交点；
③当时，，
当与相切时，有，
令，则，可得，
解得（舍去）或，
可得与有两个交点时，
由上知，D对，
故选：ACD．
15．
【分析】根据函数图象关于中心对称可得，又因为在上单调递减可推得结合函数关于中心对称进而推得在上单调递减.再利用函数的单调性即可求得的范围.
【详解】由函数的图象关于中心对称，则.
又因为在上单调递减，所以时，，
且在上单调递减，且，可得在上单调递减.
又因为，所以可得，
则，得.
故答案为：.
16．
【详解】由条件得，解得或，当时，，该函数是定义域为的奇函数，不符合题意；当时，，该函数是定义域为的偶函数，符合题意．所以，则，其对称轴方程为，因为在区间上单调递减，则，解得．
17．
【分析】通过换元，配方，将原函数转化为二次函数顶点式的形式，要注意的是原函数是给定定义域的，要在定义域内求值域.
【详解】令，则，
容易看出，该函数转化为一个开口向下的二次函数，对称轴为，
，所以该函数在时取到最大值，当时，函数取得最小值，
所以函数值域为.
故答案为：
18．
【分析】因为，故可设，再结合三角恒等变换求值域即可
【详解】因为，故设，则，故不妨设
故
因为，故，故
故答案为：
【点睛】本题主要考查了三角换元求函数最值的问题，需要根据题中的根号得出的角度范围，进而求得函数的值域，属于中档题
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可设，代入运算求解即可；
（2）根据题意结合二次函数单调性分析求解即可.
【详解】（1）因为函数是偶函数，所以的图象关于直线对称，
又因为的最小值为1，可设，
且，解得，
所以．
（2）由（1）可知：在内单调递减，在内单调递增，
因为在区间上单调，
则或，解得或，
所以实数的取值范围为．
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函数的单调性与最大(小)值 错题归纳 专题练
2026年高考数学一轮复习备考
类型梳理
针对性训练
一、单选题
1．已知是上的减函数，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数是R上的偶函数，对任意且都有，若则的大小关系是（ ）
A．b
A． B． C． D．
8．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数，若，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
10．若函数在上的最大值为，则（ ）
A． B．1 C． D．
11．若，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
12．已知函数，且，则下列结论正确的有（ ）
A．不一定有极值
B．当时，
C．当时，的极小值为0
D．当时，在区间上的最小值为
13．已知定义在R上的函数满足：，，且，则（ ）
A．
B．可能是偶函数
C．的图象不可能关于点对称
D．若，，则在上单调递增
14．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若为偶函数，则
C．有且仅有个使得的最小值为
D．若函数的图象与的图象有且仅有两个交点，则的取值范围为
三、填空题
15．已知函数的图象关于中心对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围为 ．
16．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是 ．
17．求函数的值域为 .
18．函数的值域为 .
四、解答题
19．已知二次函数的最小值为1，函数是偶函数，且．
(1)求的解析式；
(2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D D A A B B B D
题号 11 12 13 14
答案 B ACD ABD ACD
1．C
【分析】由在上单调递减，确定，以及的范围，再根据单调递减确定在分段点处两个值的大小，从而解决问题.
【详解】解：由题意得：
是上的减函数
解得：
故 a的取值范围是
故选：C
2．D
【详解】因为在上是减函数，，所以，A正确；又，所以，，B，C正确，D错误．
3．D
【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性，结合幂函数与二次函数的单调性即可得解.
【详解】由题意，得，解得或，
所以函数的定义域为，
令，则开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
而在上单调递增，
所以函数的单调递减区间为.
故选：D.
4．D
【分析】利用余弦函数的单调性可得，构造函数，由函数单调性可得，即可得出大小关系.
【详解】因为余弦函数在上单调递减，且，
所以；
因为，，
设，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，所以.
故选：D．
5．A
【分析】对分类讨论，结合二次函数的性质求最值可得结果.
【详解】①当时，不等式化为，显然恒成立，满足题意；
②当时，令，则在上恒成立，
函数的对称轴为，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
则有，解得；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
则有，解得.
综上可知，的取值范围是.
故选：A.
6．A
【分析】根据函数为偶函数，推出函数的图象关于直线对称，再由条件推出函数在上单调递增，于是可得，利用幂和对数的运算性质和换底公式，以及对数函数的单调性化简比较得，再由的单调性即可判断.
【详解】因函数是R上的偶函数，则的图象关于直线对称，
因对任意且都有，即函数在单调递增.
因，，
由，可得，
又由对称性可得：，
故再由单调性，可得，即.
故选：A.
7．B
【分析】先根据题设条件求出的范围，对所求式消元后进行换元，利用二次函数的性质即可求得其范围.
【详解】因正数x，y满足，故，解得，
因，设，则，且，
于是．由，可得.
故选：B．
8．B
【分析】根据分段函数的单调性，可知每段函数的单调性，以及分界点处的函数的大小关系，即可列式求解.
【详解】因为时，单调递减，
又在上单调递减，
所以时，单调递减，则只需满足解得.
故选：B.
9．B
【分析】由题意可得，结合函数的单调性可得，进而可求的最小值.
【详解】函数的定义域为，
可得函数在上单调递增，
又，
由，得，
因为函数在上单调递增，所以，所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故选：B.
10．D
【分析】分、和三种情况讨论，研究其单调性，根据最大值建立方程求解即可.
【详解】因为，所以当时，在上单调递减，
则，解得，与矛盾，不符合题意；
当时，根据对勾函数单调性可知，
函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，函数在上单调递增，则在上单调递减，
所以，解得，符合题意；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，解得，与矛盾，不符合题意；
综上所述，.
故选：D
11．B
【分析】化简解析式，得函数最大最小值与周期，利用条件转化为与最值的关系，再由最值与周期的关系可得.
【详解】
，的周期为，且
令，则，
则，由的值域为，
故，
则，故，
由知，，或.
即为函数的最大与最小值，或最小与最大值，
当对应图象上相邻两最值点时，的值最小，
故.
故选：B.
12．ACD
【分析】举例说明当时，得根据三次函数的单调性确定函数的极值，即可判断A；当时，利用作差法判断得符号，即可判断B；当时，求导函数确定函数的极值点，从而得极值，即可判断C；当时，判断函数在区间上的单调性得最值即可判断D.
【详解】当时，，函数在上单调递减，
函数无极值，故A项正确；
当时，，
且，则故B项错误；
当时，，且，
当或时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
在处取得极小值故C项正确；
当时，同上分析知在上为减函数，在上为增函数，
当时，在区间上有最小值，
故D项正确.
故选：ACD.
13．ABD
【分析】令建立方程可解，通过构造函数得到发现可以为幂函数，通过举例说明可判断BC选项，，，则，再利用定义法证明函数在的单调性即可得到在上单调性.
【详解】令，或（舍去），故A正确；，即，
设，则，所以当时成立，
故可以为，此时时偶函数，故B正确；
由上知也可以为，此时关于对称，故C错误；
，，即，，
，，时，，
，设，则，则，所以，
所以在上单调递增，即在上单调递增，故D正确.
故选：ABD.
14．ACD
【分析】解方程，求出的值，可判断A选项；由偶函数的性质求出的值，取可判断B选项；利用绝对值三角不等式可判断C选项；化简函数的解析式，对的取值进行分类讨论，数形结合可得出关于实数的不等式组，综合可解得实数的取值范围.
【详解】对于A选项，，则，解得，A对；
对于B选项，若函数为偶函数，则，
即，可得，
所以，或，
由可得，由解得；
由可得，即，
所以，或，
由可得，由可得，
综上所述，或，
经检验，当或，函数为偶函数，
当时，，B错；
对于C选项，由三角不等式可得，
解得或，
当且仅当时，取最小值，C对；
对于D选项，
①当时，，可知若与有且仅有两个交点，
只需点在的图象的下方，即，可得；
②当时，，
由，可得点在的图象的下方，
此时的图象与有且仅有两个交点；
③当时，，
当与相切时，有，
令，则，可得，
解得（舍去）或，
可得与有两个交点时，
由上知，D对，
故选：ACD．
15．
【分析】根据函数图象关于中心对称可得，又因为在上单调递减可推得结合函数关于中心对称进而推得在上单调递减.再利用函数的单调性即可求得的范围.
【详解】由函数的图象关于中心对称，则.
又因为在上单调递减，所以时，，
且在上单调递减，且，可得在上单调递减.
又因为，所以可得，
则，得.
故答案为：.
16．
【详解】由条件得，解得或，当时，，该函数是定义域为的奇函数，不符合题意；当时，，该函数是定义域为的偶函数，符合题意．所以，则，其对称轴方程为，因为在区间上单调递减，则，解得．
17．
【分析】通过换元，配方，将原函数转化为二次函数顶点式的形式，要注意的是原函数是给定定义域的，要在定义域内求值域.
【详解】令，则，
容易看出，该函数转化为一个开口向下的二次函数，对称轴为，
，所以该函数在时取到最大值，当时，函数取得最小值，
所以函数值域为.
故答案为：
18．
【分析】因为，故可设，再结合三角恒等变换求值域即可
【详解】因为，故设，则，故不妨设
故
因为，故，故
故答案为：
【点睛】本题主要考查了三角换元求函数最值的问题，需要根据题中的根号得出的角度范围，进而求得函数的值域，属于中档题
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可设，代入运算求解即可；
（2）根据题意结合二次函数单调性分析求解即可.
【详解】（1）因为函数是偶函数，所以的图象关于直线对称，
又因为的最小值为1，可设，
且，解得，
所以．
（2）由（1）可知：在内单调递减，在内单调递增，
因为在区间上单调，
则或，解得或，
所以实数的取值范围为．
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