函数的奇偶性、对称性与周期性 错题归纳 专题练 2026年高考数学一轮复习备考

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函数的奇偶性、对称性与周期性 错题归纳 专题练
2026年高考数学一轮复习备考
类型梳理
针对性训练
一、单选题
1．已知是定义在R上的奇函数，且是偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C．0 D．1
2．已知函数的定义域为，为奇函数，，则（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，既是奇函数又在单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知连续型随机变量ξ服从正态分布，记函数，则函数的图象（ ）
A．关于直线对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于点对称
6．若函数在上的最大值为3，则a的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．e
7．已知函数是定义在上且周期为的奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知是奇函数，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
9．已知函数（为常数），则（ ）
A．，为偶函数
B．，为奇函数
C．，为既奇又偶函数
D．，为非奇非偶函数
10．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．最小值是2 B．是奇函数
C．在上单调递减 D．在上单调递增
12．已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线与有公共点
B．曲线关于直线对称的曲线是
C．曲线关于直线对称的曲线是
D．直线与曲线、的交点分别是A、B，则的最小值为
13．已知函数，则（ ）
A．函数为偶函数
B．函数的增区间为，减区间为
C．函数的值域为
D．若，则实数的取值范围为
14．一定不存在函数满足：对任意都有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
15．已知函数的图象关于对称，且，则 .
16．已知函数是定义在上周期为4的奇函数，若，则 ．
17．已知函数是奇函数，则 ．
18．已知函数（，）的图象关于点中心对称，则 ．
四、解答题
19．已知
(1)当时， 判断函数的奇偶性;
(2)若函数的图像经过点， 且函数在上有两个不相等的零点，求实数的值以及实数的取值范围.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A B B B B D B A
题号 11 12 13 14
答案 BCD BCD ABD ABC
1．D
【分析】利用与的奇偶性推得是周期函数，从而结合题设条件即可得解.
【详解】是偶函数，，
则，从而，
又是奇函数，则，
，进而，
所以是周期为的周期函数，
又当时，，则，
所以.
故选：D.
2．B
【分析】由为奇函数得的图象关于点对称，即，进而得即可求解.
【详解】因为为奇函数，所以，
所以的图象关于点对称，，
因为，所以，
所以的最小正周期为4，则.
故选:B.
3．A
【分析】利用奇偶性及单调性逐项判断即可.
【详解】对于A，函数是奇函数，在上单调递增，A是；
对于B，函数是偶函数，不是奇函数，B不是；
对于C，函数是偶函数，不是奇函数，C不是；
对于D，函数是偶函数，不是奇函数，D不是.
故选：A
4．B
【分析】根据奇函数的定义，和函数单调性与导函数的关系，求出函数在区间上的单调性，分别判断各选项正误.
【详解】已知的定义域是，不是奇函数，所以A错误.
已知，定义域为，且，是奇函数，
，所以在区间上单调递增，所以B正确.
已知，则，在区间上单调递减，所以C错误.
已知，则，令，即，解得，
所以在上单调递减，所以D错误.
故选：B.
5．B
【分析】由正态分布性质可得，据此可判断正确选项.
【详解】由于函数为下图中阴影部分面积，
则，
故函数关于点对称，
故选：B.
【点睛】
6．B
【分析】令，问题转化为函数在上的最大值为3，结合函数的对称性，讨论求最大值得解.
【详解】设，则问题转化为函数在上的最大值为3，
因为函数的对称轴为，
当时，，不合题意；
当时，，合题意，
综上，的最大值为.
故选：B.
7．B
【分析】由函数周期性的定义可得出，再结合奇函数的定义可得出的值，由此可得出的值.
【详解】因为函数是定义在上且周期为的奇函数，则，
又因为，所以，，故，
即.
故选：B.
8．D
【分析】由奇函数性质可得，列方程求，再检验所得结果即可.
【详解】由，可得，所以，
所以的定义域为，
因为是奇函数，所以，
又，，
所以，解得.
当时，，
函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，所以此时是奇函数
故选：D.
9．B
【分析】由函数奇偶性的性质，定义域关于原点对称可求得,进而判断函数的奇偶性.
【详解】根据题意，，有，即，若存在奇偶性，
则定义域对称，必然有，即，
此时，则，则为奇函数.
故选：B．
10．A
【分析】由题意得出，，可得出，，结合可求得的值，再由可求得的值，即可得出函数在时的解析式，推导出函数为周期函数，结合函数的周期性可求得的值.
【详解】因为的定义域为，为奇函数，为偶函数，
所以，，
故，，
当时，，
则，解得，
在等式中，令可得，可得，
即，解得，故当时，，
在等式中，用替代得，
所以，所以，
即，所以，
故函数是周期为的周期函数，故.
故选：A.
11．BCD
【分析】取特值代入排除A项，利用函数的奇偶性定义判断B项；利用函数的单调性定义判断C，D两项.
【详解】对于A，因，故A错误；
对于B，因函数的定义域为，关于原点对称，
且，故是奇函数，B正确；
对于C，任取，，
因，故，即在上单调递减，故C正确；
对于D，任取，，
因，故，即在上单调递增，故D正确.
故选：BCD.
12．BCD
【分析】对于A，设，利用导数判断的零点是否存在；对于B，求函数的反函数即可判断；对于C，设曲线关于直线对称的曲线是，设是曲线上任意一点，则关于直线的对称点在曲线上，代入可求解析式；利用A选项的结论可得D选项的结果.
【详解】已知，，
对于A，设，函数定义域为，，
解得，解得，
则在上单调递减，在上单调递增，的最小值为，
恒成立，无解，
所以曲线与没有公共点，A选项错误；
对于B，函数的反函数为，
所以关于直线对称的曲线是，B选项正确；
对于C，设曲线关于直线对称的曲线是，
设是曲线上任意一点，则关于直线的对称点为，
代入中，得，即，
所以曲线关于直线对称的曲线是，C选项正确；
对于D，由A选项可知，当时，的最小值为，D选项正确.
故选：BCD.
13．ABD
【分析】A利用偶函数的定义；B利用复合函数的单调性求出在上的单调性，再利用对称性即可；C先求出当时，即可得出的范围，再结合对称性即可；D利用以及对称性和单调性即可.
【详解】对于A选项，函数的定义域为，
由，有，
可得函数为偶函数，故A选项正确；
对于B选项，当时，，
由函数在上单调递增，在上单调递增，
可得函数在上单调递增（复合函数的单调性），
又由函数为偶函数，可得函数的增区间为，减区间为，
故B选项正确；
对于C选项，当时，由，得，有，
可得，
又由函数为偶函数，可得函数的值域为，故C选项错误；
对于D选项，由及函数是偶函数，
且函数的增区间为，减区间为，
，可得，故D选项正确．
故选：ABD.
14．ABC
【分析】取特殊值得到矛盾排除，利用函数的奇偶性和对称性判断BC，存在，判断D.
【详解】对于选项A，因为，
而，不符合函数概念，所以A一定不满足；
对于选项B，一定为偶函数，所以B一定不满足；
对于选项C，函数的图象是关于直线对称的，
而的图象不关于直线对称，
所以不存在这样的函数，所以C一定不满足；
对于选项D，令，则，
所以，再令，
所以函数，存在函数满足选项D.
故选：ABC
15．1
【分析】利用图象法或函数的对称性或由计算即可求解.
【详解】法一：如图，
点关于点对称，
则，解得，即.
法二：因为函数的图象关于对称，
所以，
令，得，
由，解得.
法三：由知的图象过点，
又函数的图象关于对称，
则，解得；
由，解得，
所以.
故答案为：1
16．
【分析】根据给定条件，利用函数的奇偶性和周期性求出函数值.
【详解】函数是定义在上周期为4的奇函数，故且，
故，解得，，
又，所以.
故答案为：
17．
【分析】根据奇函数的定义结合题意求出当时函数的解析式即可求解.
【详解】当时，，所以，即
则，．
故答案为：
18．
【分析】利用对数的运算法则化简，因该式子恒成立，与无关，即可列出关于的方程组.
【详解】因关于点中心对称，则，
即，
该式成立与x的取值无关，则，且，
因，则，则．
故答案为：
19．(1)答案见解析
(2)，且
【分析】（1）利用奇偶函数的判断，直接判断即可；
（2）根据图像过的点坐标，即可求出的值，结合因式分解，利用函数在区间内有两个不同的零点转化为方程在固定范围有两个不同的根，即可求出的范围.
【详解】（1）当时，，
因为，
当时，，
所以函数既不是奇函数也不是偶函数；
当时，，函数是偶函数；
（2）因为函数的图像经过点，
所以，则，且，
所以，
令，
则，
因为函数在上有两个不相等的零点，
所以且，解得，
综上，，且.
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