函数与方程 错题归纳 专题练 2026年高考数学一轮复习备考

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函数与方程 错题归纳 专题练
2026年高考数学一轮复习备考
类型梳理
针对性训练
一、单选题
1．当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
2．“”是“函数只有一个零点”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设表示不超过实数的最大整数，如，则方程解的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．函数与的图象在区间上的交点个数为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
5．已知函数，若在其定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”，若函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数有唯一零点，则（ ）
A．0 B． C．2 D．
7．用二分法求函数在区间上零点的近似解，经验证有．若给定精确度，取区间的中点，计算得，则此时零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
8．给出以下结论，其中正确结论的个数为
①函数的零点为，则函数的图象经过点时，函数值一定变号.
②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
③函数在区间上连续，若满足，则方程在区间上一定有实根.
④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．若函数在区间上的图象是一条连续不间断的曲线，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
10．已知奇函数的定义域为，且在上的图象如图所示，则函数的零点个数为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
11．已知函数在上连续，则“”是“方程在内至少有两个解”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．非充分非必要条件
12．已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
13．下列函数中，有零点且能用二分法求零点近似值的是（ ）
A． B．
C． D．
14．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．是奇函数
C．的零点是， D．在区间上是增函数
15．已知定义在上的函数满足，，且的图象是一条连续不断的曲线，则（ ）
A．在区间上可能存在零点 B．在区间上可能存在极值点
C．在区间上一定存在零点 D．在区间上一定存在极值点
三、填空题
16．若函数在区间有且仅有一个零点，则实数的取值范围是 .
17．已知函数的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 124.4 33 24.5
则函数在区间上的零点至少有 个．
四、解答题
18．已知函数，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调递减区间；
(3)当时，方程恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围.
19．已知函数．
(1)求方程的解．
(2)记函数．
（i）若有3个零点，求的取值范围；
（ii）若，且，求证：．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B D B C A B C B
题号 11 12 13 14 15
答案 D D BC ACD ABC
1．B
【分析】根据五点法作图，在同一坐标系中画出函数图形，判断交点个数.
【详解】作图像，列表：
0
0 1 0 0 1 0 0
作图像，列表：
0
0 2 0 0 2 0
在同一坐标系中画出图形，如下图所示，
则两个函数在上有4个交点.
故选：B.
2．C
【分析】在时，求函数的零点，判断充分性，由函数只有一个零点求，判断必要性，由此可得结论.
【详解】当时，函数只有一个零点；
当时，函数只有一个零点1；
若函数只有一个零点，则或．
所以“”是“函数只有一个零点”的充分不必要条件．
故选：C.
3．B
【分析】作出函数和的图象，数形结合即可得解.
【详解】方程解的个数等价于函数和的图象交点个数，
作函数和的图象如图所示：
由图可知函数和的图象的交点个数为5.
方程解的个数为5.
故选：B
4．D
【分析】在同一直角坐标系中画出函数和在区间上的图象，数形结合即可求解．
【详解】在同一直角坐标系中画出函数和在区间上的图象，如图所示，
由图可知，两函数图象有9个交点，
故选：D．
5．B
【分析】根据函数新定义计算在区间有解问题，列方程换元求解即可.
【详解】根据“局部奇函数”的定义可知，方程有解即可，
即，所以，
化为有解，令，
由基本不等式可知，当且仅当时取等，故，
则有在上有解，设，对称轴为．
①若，则，满足方程在上有解；
②若，要使在时有解，则需，
解得．
综上可得，实数的取值范围为．
故选：B.
6．C
【分析】根据函数是偶函数计算求参，再代入检验即可.
【详解】定义域为，
，所以函数为偶函数，
又因为函数有唯一零点，根据零点关于轴对称，得出，所以，
当时，函数有唯一零点，符合题意；
当时，函数有零点，不符合题意舍；
故选：C.
7．A
【详解】由题意可知，对于函数在区间上，有，所以函数在上有零点．取区间的中点．因为计算得，所以函数在上有零点，故．
8．B
【分析】根据函数的零点是函数图象与轴交点的横坐标，来判定①②是否正确；根据函数的零点存在定理，即函数在区间上连续，若满足，则函数在上存在零点，来判断③④是否正确．
【详解】对于①，当函数的零点为不变号零点时，则函数的图象经过点时，函数值不变号，所以①不正确．
对于②，当函数的图象不连续（即图象断开），且在相邻的两个零点之间断开时，则在这两个零点间的函数值不一定同号，如正切函数，所以②不正确．
对于③，由零点存在定理可得正确．
对于④，由于“二分法”是针对连续不断的函数的变号零点而言的，所以④不正确．
综上可得只有③正确．
故选B．
【点睛】本题考查函数零点的概念，解题的关键是正确理解零点的概念和零点存在定理，属于基础题．
9．C
【分析】由零点存在定理易判断“”是“”的充分条件，利用举反例可说明“”不是“”的必要条件即得.
【详解】因是区间上的连续曲线，由，利用函数零点存在定理可知必；
而由不能得出，如设，显然，但.
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：C.
10．B
【分析】根据题意，即求函数在上的图象与直线，公共点个数.
【详解】令得或.
如图，画出在上的图象与直线，直线．
由图可知，的图象与直线有5个公共点，
的图象与直线仅有1个公共点，
则的零点个数为．
故选：B.
11．D
【分析】根据充分必要条件的定义和零点存在性定理判断.
【详解】根据题意，若，
则中两正一负，或者三负，
只有当时，
才能得到方程在和内至少各有一个解，
所以“”是“方程在内至少有两个解”的不充分条件；
反之，若方程在内至少有两个解，无法确定的符号，
所以“”是“方程在内至少有两个解”的不必要条件，
所以“”是“方程在内至少有两个解”的非充分非必要条件.
故选：D
12．D
【分析】作出的图象，由题意知有两个根再结合二次方程有两个不同的根即可求得的范围.
【详解】令，则令 即有4个不同的实数根.
则要有两个解，

由图知，.
，得.
则.
令，得，则，，得，.
则.
故选：D.
13．BC
【详解】对于A，由知此函数的判别式，故函数无零点；对于D．由知此函数的判别式，故无法用二分法求零点近似值；对于B，C，函数存在变号零点，能用二分法求解．
14．ACD
【分析】根据正弦函数的周期性和函数奇偶性的定义可判断AB；根据函数的零点定义和正弦函数的单调性可判断CD.
【详解】对A，的最小正周期为，故A正确；
对B，的定义域为，但，故不是奇函数，故B错误；
对C，由，可得，故其零点为，，故C正确；
对D，因为在上单调递增，而，
故在区间上是增函数，故D正确.
故选：ACD.
15．ABC
【分析】假设在区间上先减后增时，，，由零点存在性定理与极值点的概念逐项判断即可.
【详解】当在区间上先减后增，且存在极值点时，若，
则设，，且的图象是一条连续不断的曲线，
故由零点存在性定理，在与上有两个零点，故A正确；
此时存在极值点，故B正确；
由，且的图象是一条连续不断的曲线，
故由零点存在性定理可知在区间上一定存在零点，故C正确；
若在区间上单调递减，此时D无法满足，故D错误．
故选：ABC．
16．或
【分析】原问题可转化为在区间有且仅有一个零点，所以在区间没有解或恰有一解，按的取值范围分类讨论即可.
【详解】因为函数在区间有且仅有一个零点，即在区间有且仅有一个零点，
所以在区间没有解或恰有一解，
①时，在区间无解，合题意；
②且时，需满足，即；
③时，在区间恰有一解，满足题意.
综上可知，实数的取值范围是或，
故答案为：或
17．3
【分析】根据题意，得到，结合零点的存在性定理，即可得到答案.
【详解】根据题设表格中的数据，可得，
则，
根据零点存在性定理，可得在区间上均至少含有一个零点，
所以函数在区间上的零点至少有3个．
故答案为：3.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再由给定对称性求出即可得到的解析式；
（2）由（1）知，写出函数单调减区间即可；
（3）根据，求出的范围，结合图象，根据与图象有2个交点，即可求解.
【详解】（1）由已知，，
因为的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，
则的最小正周期，解得，
所以函数的解析式为.
（2）由（1）知，
令，
解得，
故的单调递减区间为．
（3）由（1）知，
因为时，所以．
令，
则，
方程恰有两个不同的实数解，
即函数的图像与直线恰有两个不同的交点，
如下图：
结合图像可知，即，
综上，实数的取值范围是．
19．(1)，；
(2)（i）；（ii）证明见解析.
【分析】（1）由题设，解方程并结合指对数关系求解即可；
（2）（i）令，分类讨论解及零点个数确定参数范围；
（ii）方程有两个正根，，且，设有 ，即可证.
【详解】（1）因为，所以，
解得或，即或，方程的解为，．
（2）（i）函数，
令，方程转化为：．
分情况讨论的符号：
当：方程化为，解为，只需，存在唯一解；
当：方程化为，对于，
有，则，只需，存在唯一解；
当：方程化为，解为，只需，存在唯一解；
当：方程化为，对于，
有，则，只需，存在唯一解．
综上，当时方程在三个区间各有一个解，共3个零点，故的取值范围为．
（ii）由题意，，，设，
等价于方程有两个正根，，且，
，则，
，解得，
．
设，则，故，
所以．
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