浙江省杭州外国语学校2024-2025学年九年级上学期开学数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024九上·杭州开学考）在中，，，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·杭州开学考）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
3．（2024九上·杭州开学考）如图，点A、D、G、M在半圆上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC=a ，EF=b ，NH= c ，则下列各式中正确的是（ ）
A．a > b > c B．a =b =c C．c > a > b D．b > c > a
4．（2024九上·杭州开学考）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD．下列结论错误的是( )
A．∠C＝2∠A B．BD平分∠ABC
C．S△BCD＝S△BOD D．点D为线段AC的黄金分割点
5．（2024九上·杭州开学考）已知二次函数，y与x的部分对应值如表：
x … 0 1 3 …
y … 1 3 1 …
则下列判断中正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线与y轴交于负半轴
C．当时，
D．方程的正根在3与4之间
6．（2024九上·杭州开学考）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（ ）
A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定
7．（2024九上·杭州开学考）如图，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·杭州开学考）如图，在半径为1的⊙O中，直径AB把⊙O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点(C与点A、B不重合)，过点C作弦CD⊥AB，垂足为E，∠OCD的平分线交⊙O于点P，设CE＝x，AP＝y，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是( )
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
9．（2024九上·杭州开学考）分解因式： .
10．（2024九上·杭州开学考）如图，线段，于点，于点，，，点为线段上一动点，且以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则的长为 ．
11．（2024九上·杭州开学考）如图，在扇形中，，点是弧上的一个动点（不与，重合)，，，垂足分别为，.若，则扇形的面积为 .
12．（2024九上·杭州开学考）已知二次函数图像的对称轴为，其图像如图所示，现有下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的是 （填序号）
三、解答题：本题共4小题，共42分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
13．（2024九上·杭州开学考）（1）计算：；
（2）解分式方程：．
14．（2024九上·杭州开学考）如图，四边形中，平分，E为的中点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
15．（2024九上·杭州开学考）已知 五个点，抛物线经过其中的三个点．
（1）求证：C、E两点不可能同时在抛物线上；
（2）点A在抛物线上吗？为什么？
（3）求a和k的值．
16．（2024九上·杭州开学考）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF=y．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
（3）若，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求正弦值
【解析】【解答】解：如图所示，
，
，
是直角三角形，，
，
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理逆定理判断出是直角三角形，根据正弦的定义求解．
2．【答案】A
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
【分析】利用垂径定理知第①块可确定半径的大小解题即可．
3．【答案】B
【知识点】矩形的性质；圆的相关概念
【解析】【解答】解：如图，连接，，，
∴，
∵四边形，，都是矩形，，，，
∴，，，
∴，
故答案为：B．
【分析】连接，，，根据圆的性质得，然后由矩形的性质得，，，据此即可求出.
4．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；黄金分割；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴，
∴，故A正确；
B、∵的垂直平分线交于点，交于点，
∴，
∴，
∴，
∴，即平分，故B正确；
C、根据已知不能推出的面积和面积相等，故C错误；
D、∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即点是的黄金分割点，故D正确；
故答案为：C．
【分析】利用等腰三角形“等边对等角”的性质以及三角形内角和定理求出，即可判断A正确；根据线段垂直平分线的性质得，由等腰三角形“等边对等角”的性质得，从而求出，即可判断B正确；由已知条件得不到，即可判断C错误；证明，得，利用三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的判定得，进而得，于是得，最后根据黄金分割点的定义即可判断D正确.
5．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：将代入，得，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
∴抛物线开口向下，抛物线与轴的交于正半轴，故AB错误；
当时，有，故C错误；
当时，有，
解得：，
∴方程的正根在3与4之间，故D正确；
故答案为：D．
【分析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，从而得抛物线开口方向向下以及抛物线与轴的交于正半轴，即可判断AB错误，然后分别令，，即可判断C错误，D正确.
6．【答案】A
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵二次函数，正比例函数，
∴令，得，
∴方程两根的值即为二次函数与正比例函数的交点横坐标的值，
设的两根分别为，
∴由函数图象可知，
故答案为：A.
【分析】先得到方程两根的值即为二次函数与正比例函数的交点横坐标的值，然后结合函数图象可知该方程的两根之和大于0.
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理；同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：设⊙A交x轴于另一点D，连接CD，
∵∠COD=90°，
∴CD为直径，
∵直径为10，
∴CD=10，
∵点C（0，5）和点O（0，0），
∴OC=5，
∴sin∠ODC= = ，
∴∠ODC=30°，
∴∠OBC=∠ODC=30°，
∴cos∠OBC=cos30°= ．
故答案为 ：C．
【分析】设⊙A交x轴于另一点D，连接CD，根据直径所对的圆周角是直角，可得CD是直径；由同弧所对的圆周角相等可得∠OBC=∠ODC，在Rt△OCD中，由OC和CD的长可求出sin∠ODC．
8．【答案】A
【知识点】平行线的判定；勾股定理；二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：连接OP，
∵OC＝OP，
∴∠OCP＝∠OPC．
∵∠OCP＝∠DCP，CD⊥AB，
∴∠OPC＝∠DCP．
∴OP∥CD．
∴PO⊥AB．
∵OA＝OP＝1，
∴AP＝y＝(0＜x＜1)．
故选A．
【分析】连接OP，根据等边对等角可得∠OCP＝∠OPC，再根据角之间的关系可得∠OPC＝∠DCP，再根据直线平行判定定理可得OP∥CD，则PO⊥AB，再根据勾股定理即可求出答案.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】因为，
故答案为：.
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可.
10．【答案】3或1或8
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，则分以下两种情况讨论：
①当时，有，
∵，
∴，
解得：，
∴；
②当时，有，
∴，
解得：，
∴或；
综上所述，的长为3或1或8，
故答案为：3或1或8.
【分析】设，则，求出，则与是两相似三角形的一对对应点，然后分两种情况讨论：当或时，由相似三角形对应边成比例的性质得到关于的方程，解方程即可求解.
11．【答案】
【知识点】垂径定理；扇形面积的计算；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴为的中位线，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，根据垂径定理得，由三角形中位线定理得，然后推出是等腰直角三角形，得，最后利用扇形面积公式进行求解.
12．【答案】④⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∵抛物线与轴交于正半轴，
∴，
∴，故①错误；
②∵，
∴，故②错误；
③当时，有，故③错误；
④当时，函数有最大值为，
∴，
整理得：，故④正确；
⑤当时，有，
∵，
∴，
∴，
∴，故⑤正确；
故答案为：④⑤．
【分析】①根据抛物线开口方向，对称轴以及与轴交点可知；②由对称轴得，即可得；③结合函数图象求出当时，有；④根据开口向下的抛物线有最大值，即可得；⑤结合函数图象得当时，有，由对称轴可知，进行整理即可得.
13．【答案】解：（1）
；
（2），
方程可化为，
方程两边同乘，得，
解得，
检验：当时，，所以不是分式方程的解；
当时，，所以是分式方程的解；
所以原分式方程的解是．
【知识点】解分式方程；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】
（1）实数的混合运算先乘方，再乘除，最后加减，即先根据有理数的乘方、算术平方根、负整数指数幂的运算法则计算，再合并即可；
（2）分式方程两边同乘，将分式方程化为整式方程并求解，再验根，最后根据验根情况再写根即可．
14．【答案】（1）证明：平分，，
又，
∴，
，
；
（2），为的中点，，
，
，
，
，
又∵，
∴，
，
∵，，
．
【知识点】角平分线的概念；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由角平分线的概念可得，又已知，则可证，再由相似比可得等积式；
（2）先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，则可得，再由角平分线的概念结合等量代换得，又对顶角相等则可证，再由相似比即可．
15．【答案】（1）证明：∵，两点纵坐标相等，
假设、两点都在抛物线上，则此时抛物线对称轴为直线，
∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴、两点不可能同时在抛物线上；
（2）解：假设点在抛物线（）上，
∴，
解得：，
∵抛物线经过5个点中的三个点，
∴将，，，代入，得出的值分别为，，，，
又∵，与矛盾，
∴假设不成立，
∴不在抛物线上；
（3）解：将、代入，得，
解得：，
或将、代入，得，
解得，
综上所述，或.
【知识点】反证法；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）先假设、两点都在抛物线上，求出此时对称轴为直线，然后由抛物线解析式得对称轴为直线，发生矛盾，即可得证结论成立；
（2）假设点在抛物线上，得出矛盾排除点在抛物线上；
（3）、两点关于对称轴对称，一定在抛物线上，另外一点可能是点或点，分别将、或、两点坐标代入求和的值.
（1）解：抛物线的对称轴为，
而，两点纵坐标相等，
由抛物线的对称性可知，、关于直线对称，
又与对称轴相距，与对称轴相距，
、两点不可能同时在抛物线上；
（2）假设点在抛物线（）上，
则，解得，
因为抛物线经过5个点中的三个点，
将，，，代入，
得出的值分别为，，，，
又因为，与矛盾，
所以假设不成立，
所以不在抛物线上；
（3）将、两点坐标代入中，得
，
解得，
或将、两点坐标代入中，得
，
解得，
综上所述，或.
16．【答案】解：（1）如图，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴
∴关于的函数关系式为；
（2）当=8时，有，
∴，
∴当=4时，的值最大值是2；
（3）当时，有，
∴，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∵是等腰三角形，
∴，
易证，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴当时，有；
当时，有；
综上所述，的值应为6或2时，是等腰三角形.
【知识点】二次函数的最值；矩形的性质；同侧一线三垂直全等模型；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得，然后由“一线三等角相似模型“推出，得，代入数值即可求解；
（2）把的值代入函数关系式，将函数关系式化为顶点式，再求二次函数的最大值；
（3）先把的值代入函数关系式，求出的值，然后根据，只有当时，为等腰三角形，于是利用”一线三垂直全等模型“易证，得，结合矩形的性质得，最后分情况求出的值即可.
1 / 1浙江省杭州外国语学校2024-2025学年九年级上学期开学数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024九上·杭州开学考）在中，，，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求正弦值
【解析】【解答】解：如图所示，
，
，
是直角三角形，，
，
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理逆定理判断出是直角三角形，根据正弦的定义求解．
2．（2024九上·杭州开学考）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
【分析】利用垂径定理知第①块可确定半径的大小解题即可．
3．（2024九上·杭州开学考）如图，点A、D、G、M在半圆上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC=a ，EF=b ，NH= c ，则下列各式中正确的是（ ）
A．a > b > c B．a =b =c C．c > a > b D．b > c > a
【答案】B
【知识点】矩形的性质；圆的相关概念
【解析】【解答】解：如图，连接，，，
∴，
∵四边形，，都是矩形，，，，
∴，，，
∴，
故答案为：B．
【分析】连接，，，根据圆的性质得，然后由矩形的性质得，，，据此即可求出.
4．（2024九上·杭州开学考）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD．下列结论错误的是( )
A．∠C＝2∠A B．BD平分∠ABC
C．S△BCD＝S△BOD D．点D为线段AC的黄金分割点
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；黄金分割；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴，
∴，故A正确；
B、∵的垂直平分线交于点，交于点，
∴，
∴，
∴，
∴，即平分，故B正确；
C、根据已知不能推出的面积和面积相等，故C错误；
D、∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即点是的黄金分割点，故D正确；
故答案为：C．
【分析】利用等腰三角形“等边对等角”的性质以及三角形内角和定理求出，即可判断A正确；根据线段垂直平分线的性质得，由等腰三角形“等边对等角”的性质得，从而求出，即可判断B正确；由已知条件得不到，即可判断C错误；证明，得，利用三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的判定得，进而得，于是得，最后根据黄金分割点的定义即可判断D正确.
5．（2024九上·杭州开学考）已知二次函数，y与x的部分对应值如表：
x … 0 1 3 …
y … 1 3 1 …
则下列判断中正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线与y轴交于负半轴
C．当时，
D．方程的正根在3与4之间
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：将代入，得，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
∴抛物线开口向下，抛物线与轴的交于正半轴，故AB错误；
当时，有，故C错误；
当时，有，
解得：，
∴方程的正根在3与4之间，故D正确；
故答案为：D．
【分析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，从而得抛物线开口方向向下以及抛物线与轴的交于正半轴，即可判断AB错误，然后分别令，，即可判断C错误，D正确.
6．（2024九上·杭州开学考）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（ ）
A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定
【答案】A
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵二次函数，正比例函数，
∴令，得，
∴方程两根的值即为二次函数与正比例函数的交点横坐标的值，
设的两根分别为，
∴由函数图象可知，
故答案为：A.
【分析】先得到方程两根的值即为二次函数与正比例函数的交点横坐标的值，然后结合函数图象可知该方程的两根之和大于0.
7．（2024九上·杭州开学考）如图，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：设⊙A交x轴于另一点D，连接CD，
∵∠COD=90°，
∴CD为直径，
∵直径为10，
∴CD=10，
∵点C（0，5）和点O（0，0），
∴OC=5，
∴sin∠ODC= = ，
∴∠ODC=30°，
∴∠OBC=∠ODC=30°，
∴cos∠OBC=cos30°= ．
故答案为 ：C．
【分析】设⊙A交x轴于另一点D，连接CD，根据直径所对的圆周角是直角，可得CD是直径；由同弧所对的圆周角相等可得∠OBC=∠ODC，在Rt△OCD中，由OC和CD的长可求出sin∠ODC．
8．（2024九上·杭州开学考）如图，在半径为1的⊙O中，直径AB把⊙O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点(C与点A、B不重合)，过点C作弦CD⊥AB，垂足为E，∠OCD的平分线交⊙O于点P，设CE＝x，AP＝y，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定；勾股定理；二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：连接OP，
∵OC＝OP，
∴∠OCP＝∠OPC．
∵∠OCP＝∠DCP，CD⊥AB，
∴∠OPC＝∠DCP．
∴OP∥CD．
∴PO⊥AB．
∵OA＝OP＝1，
∴AP＝y＝(0＜x＜1)．
故选A．
【分析】连接OP，根据等边对等角可得∠OCP＝∠OPC，再根据角之间的关系可得∠OPC＝∠DCP，再根据直线平行判定定理可得OP∥CD，则PO⊥AB，再根据勾股定理即可求出答案.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
9．（2024九上·杭州开学考）分解因式： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】因为，
故答案为：.
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可.
10．（2024九上·杭州开学考）如图，线段，于点，于点，，，点为线段上一动点，且以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则的长为 ．
【答案】3或1或8
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，则分以下两种情况讨论：
①当时，有，
∵，
∴，
解得：，
∴；
②当时，有，
∴，
解得：，
∴或；
综上所述，的长为3或1或8，
故答案为：3或1或8.
【分析】设，则，求出，则与是两相似三角形的一对对应点，然后分两种情况讨论：当或时，由相似三角形对应边成比例的性质得到关于的方程，解方程即可求解.
11．（2024九上·杭州开学考）如图，在扇形中，，点是弧上的一个动点（不与，重合)，，，垂足分别为，.若，则扇形的面积为 .
【答案】
【知识点】垂径定理；扇形面积的计算；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴为的中位线，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，根据垂径定理得，由三角形中位线定理得，然后推出是等腰直角三角形，得，最后利用扇形面积公式进行求解.
12．（2024九上·杭州开学考）已知二次函数图像的对称轴为，其图像如图所示，现有下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的是 （填序号）
【答案】④⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∵抛物线与轴交于正半轴，
∴，
∴，故①错误；
②∵，
∴，故②错误；
③当时，有，故③错误；
④当时，函数有最大值为，
∴，
整理得：，故④正确；
⑤当时，有，
∵，
∴，
∴，
∴，故⑤正确；
故答案为：④⑤．
【分析】①根据抛物线开口方向，对称轴以及与轴交点可知；②由对称轴得，即可得；③结合函数图象求出当时，有；④根据开口向下的抛物线有最大值，即可得；⑤结合函数图象得当时，有，由对称轴可知，进行整理即可得.
三、解答题：本题共4小题，共42分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
13．（2024九上·杭州开学考）（1）计算：；
（2）解分式方程：．
【答案】解：（1）
；
（2），
方程可化为，
方程两边同乘，得，
解得，
检验：当时，，所以不是分式方程的解；
当时，，所以是分式方程的解；
所以原分式方程的解是．
【知识点】解分式方程；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】
（1）实数的混合运算先乘方，再乘除，最后加减，即先根据有理数的乘方、算术平方根、负整数指数幂的运算法则计算，再合并即可；
（2）分式方程两边同乘，将分式方程化为整式方程并求解，再验根，最后根据验根情况再写根即可．
14．（2024九上·杭州开学考）如图，四边形中，平分，E为的中点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）证明：平分，，
又，
∴，
，
；
（2），为的中点，，
，
，
，
，
又∵，
∴，
，
∵，，
．
【知识点】角平分线的概念；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由角平分线的概念可得，又已知，则可证，再由相似比可得等积式；
（2）先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，则可得，再由角平分线的概念结合等量代换得，又对顶角相等则可证，再由相似比即可．
15．（2024九上·杭州开学考）已知 五个点，抛物线经过其中的三个点．
（1）求证：C、E两点不可能同时在抛物线上；
（2）点A在抛物线上吗？为什么？
（3）求a和k的值．
【答案】（1）证明：∵，两点纵坐标相等，
假设、两点都在抛物线上，则此时抛物线对称轴为直线，
∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴、两点不可能同时在抛物线上；
（2）解：假设点在抛物线（）上，
∴，
解得：，
∵抛物线经过5个点中的三个点，
∴将，，，代入，得出的值分别为，，，，
又∵，与矛盾，
∴假设不成立，
∴不在抛物线上；
（3）解：将、代入，得，
解得：，
或将、代入，得，
解得，
综上所述，或.
【知识点】反证法；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）先假设、两点都在抛物线上，求出此时对称轴为直线，然后由抛物线解析式得对称轴为直线，发生矛盾，即可得证结论成立；
（2）假设点在抛物线上，得出矛盾排除点在抛物线上；
（3）、两点关于对称轴对称，一定在抛物线上，另外一点可能是点或点，分别将、或、两点坐标代入求和的值.
（1）解：抛物线的对称轴为，
而，两点纵坐标相等，
由抛物线的对称性可知，、关于直线对称，
又与对称轴相距，与对称轴相距，
、两点不可能同时在抛物线上；
（2）假设点在抛物线（）上，
则，解得，
因为抛物线经过5个点中的三个点，
将，，，代入，
得出的值分别为，，，，
又因为，与矛盾，
所以假设不成立，
所以不在抛物线上；
（3）将、两点坐标代入中，得
，
解得，
或将、两点坐标代入中，得
，
解得，
综上所述，或.
16．（2024九上·杭州开学考）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF=y．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
（3）若，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？
【答案】解：（1）如图，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴
∴关于的函数关系式为；
（2）当=8时，有，
∴，
∴当=4时，的值最大值是2；
（3）当时，有，
∴，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∵是等腰三角形，
∴，
易证，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴当时，有；
当时，有；
综上所述，的值应为6或2时，是等腰三角形.
【知识点】二次函数的最值；矩形的性质；同侧一线三垂直全等模型；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得，然后由“一线三等角相似模型“推出，得，代入数值即可求解；
（2）把的值代入函数关系式，将函数关系式化为顶点式，再求二次函数的最大值；
（3）先把的值代入函数关系式，求出的值，然后根据，只有当时，为等腰三角形，于是利用”一线三垂直全等模型“易证，得，结合矩形的性质得，最后分情况求出的值即可.
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