2024-2025人教版（2019）高中数学选择性必修一2.2直线方程 题型总结（含解析）

2.2直线方程题型总结
【题型1 直线的点斜式方程及辨析】
【例1】过点，且倾斜角为的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式1.1】若直线过点且与斜率为4的直线垂直，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1.2】经过点，倾斜角为的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式1.3】经过点且倾斜角为的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【题型2 直线的斜截式方程及辨析】
【例2】下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是（ ）
A．x＝3 B．y＝－5
C．2y＝x D．x＝4y－1
【变式2.1】经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2.2】与直线垂直，且在x轴上的截距为2的直线的斜截式方程为（　　）
A． B． C． D．
【变式2.3】与直线垂直，且在轴上的截距为4的直线的斜截式方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
【题型3 直线的两点式方程及辨析】
【例3】过，的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式3.1】过两点，的直线在轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．
【变式3.2】下列直线方程是两点式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3.3】经过两点、的直线方程都可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【题型4 直线的截距式方程及辨析】
【例4】过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【变式4.1】经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【变式4.2】过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【变式4.3】已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【题型5 直线的一般式方程】
【例5】过点和，的直线的一般式方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5.1】已知直线经过点，且斜率为2，则直线的一般式方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式5.2】根据下列条件求直线的一般式方程．
(1)直线的斜率为，且经过点；
(2)斜率为，且在轴上的截距为；
(3)经过两点, ；
(4)在轴上的截距分别为．
【变式5.3】求分别满足下列条件的直线的一般式方程．
(1)斜率是，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6；
(2)经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．
【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】
【例6】根据条件写出下列直线的方程，并化成一般式：
(1)直线的斜率为，在轴上的截距是；
(2)直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半，且过点．
【变式6.1】求分别满足下列条件的直线l的方程，化成一般形式.
(1)经过点，且与x轴垂直；
(2)斜率为－4，在y轴上的截距为7；
(3)经过，两点.
【变式6.2】根据下列条件，写出下列直线方程的一般式：
(1)经过点，且倾斜角为
(2)经过点，且一个方向向量为
(3)在中，点，求边上中线所在直线的方程
【变式6.3】（1）已知直线l的一般式方程为，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距；
（2）根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式.
①斜率是，经过点；
②经过点，平行于x轴；
③在x轴和y轴上的截距分别是，；
④经过两点
【题型7 直线与坐标轴围成图形的面积问题】
【例7】直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式7.1】经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是（ ）
A．或
B．或
C．或
D．或
【变式7.2】过点的直线l与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点．当的面积最小时，l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式7.3】直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是（ ）
A．B．
C． D．
【题型8 直线的方向向量的求解】
【例8】直线的一个方向向量是（ ）
A． B． C． D．
【变式8.1】若直线经过点和点，则该直线的方向向量可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式8.2】若直线l的倾斜角为，则它的方向向量可以为（ ）
A． B． C． D．
【变式8.3】经过点两点的直线的方向向量为，则k为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【题型9 已知直线的方向向量求直线方程】
【例9】已知直线经过点，且它的一个方向向量为，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式9.1】过点且方向向量为的直线的一般式方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式9.2】已知直线l的一个方向向量为，若l过点，则直线l的方程为（）
A． B．
C． D．
【变式9.3】过点且方向向量为的直线的一般式方程为（ ）
A． B．
C． D．
2.2直线方程题型总结答案
【题型1 直线的点斜式方程及辨析】
【例1】过点，且倾斜角为的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】倾斜角为的直线斜率不存在，可解.
【解答过程】过点，且倾斜角为的直线垂直于轴，
其方程为.
故选：B．
【变式1.1】若直线过点且与斜率为4的直线垂直，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据直线垂直的斜率关系求出斜率，然后可得直线方程.
【解答过程】因为直线与斜率为4的直线垂直，
所以直线的斜率为，
又直线过点，
所以直线的方程为，即．
故选：A.
【变式1.2】经过点，倾斜角为的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据直线倾斜角和斜率关系可求得斜率，再利用直线的点斜式方程即可求得结果.
【解答过程】由倾斜角为可得，直线斜率为
由直线的点斜式方程得直线方程为；
即.
故选：C.
【变式1.3】经过点且倾斜角为的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求出直线斜率，利用点斜式求出直线方程，得到答案.
【解答过程】直线斜率，故直线方程为，即.
故选：A.
【题型2 直线的斜截式方程及辨析】
【例2】下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是（ ）
A．x＝3 B．y＝－5
C．2y＝x D．x＝4y－1
【解题思路】根据直线的斜截式方程的知识确定正确选项.
【解答过程】直线的斜截式方程为，
所以B选项是斜截式方程，ACD选项不是斜截式方程.
故选：B.
【变式2.1】经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据倾斜角求出斜率，写出点斜式方程，化为斜截式可得答案.
【解答过程】斜率，
点斜式方程为，
斜截式方程为.
故选：A.
【变式2.2】与直线垂直，且在x轴上的截距为2的直线的斜截式方程为（　　）
A． B．
C． D．
【解题思路】首先根据垂直关系确定所求直线的斜率，设出直线方程后再根据横截距确定与x轴的交点坐标，进而求得待定系数，确定答案.
【解答过程】因为所求的直线与直线垂直，所以，得.
设所求直线为,又因为所求直线在x轴上的截距为2即过点，
求得,所以所求直线的斜截式方程为，
故选：B.
【变式2.3】与直线垂直，且在轴上的截距为4的直线的斜截式方程是（ ）
A．
B．或
C．
D．或
【解题思路】将直线化为斜截式方程，可得出斜率，从而得与直线垂直的直线斜率，再根据所求直线在轴上的截距为4，即可得出所求直线的斜截式方程.
【解答过程】解：由于直线，即，可知斜率，
则与直线垂直的直线斜率为，
由于所求直线在轴上的截距为4，
则所求直线的斜截式方程是.
故选：A.
【题型3 直线的两点式方程及辨析】
【例3】过，的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】直接利用直线方程的两点式写出直线方程即可
【解答过程】因为所求直线过点，，
所以，即.
故选：B.
【变式3.1】过两点，的直线在轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由两点式得出直线方程，令，即可解出直线在轴上的截距.
【解答过程】过两点，的直线的为，
令，解得：，
故选：A.
【变式3.2】下列直线方程是两点式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】
利用直线方程的相应形式对各个选项逐个判断即可.
【解答过程】对于选项A：是斜截式方程，故A错误；
对于选项B：是点斜式方程，故B错误；
对于选项C：是截距式方程，故C错误；
对于选项D：是两点式方程，故D正确；
故选：D.
【变式3.3】经过两点、的直线方程都可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据两点式直线方程即可求解.
【解答过程】当经过、的直线不与轴平行时，所有直线均可以用，
由于可能相等，所以只有选项C满足包括与轴平行的直线.
故选:C.
【题型4 直线的截距式方程及辨析】
【例4】过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【解题思路】通过直线过原点，和不过原点两种情况讨论即可.
【解答过程】当直线过原点时，其方程是，符合题意;
当直线不过原点时，设直线方程为，代入，
可得：，解得：，所以方程是.
故选：C.
【变式4.1】经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【解题思路】设直线在轴上的截距为，分别在，条件下利用待定系数法求直线方程即可.
【解答过程】设直线在轴上的截距为，
当时，所求直线的方程可设为，
因为直线过点，
所以，故，即直线方程为，
当时，可设直线方程为，
由直线过点可得，，
所以，故直线方程为.
所以经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数
的直线方程是或.
故选：C.
【变式4.2】过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【解题思路】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解.
【解答过程】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意，
又因为直线过点，所以直线的斜率为，
所以直线方程为，即，
当直线不过原点时，设直线方程为，
因为点在直线上，
所以，解得，
所以直线方程为，
故所求直线方程为或.故D项正确.
故选：D.
【变式4.3】已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】依题意可得，分和两种情况讨论即可，求出直线在两坐标轴上的截距，结合题意可得出关于实数的等式，解之即可.
【解答过程】依题意可得，
当时，直线为，此时横纵截距都等于，满足题意；
当时，将直线的方程化为截距式方程可得，
直线在轴上的截距为，在轴上截距，
则，得或（舍去）.
综上所述，的值为或．
故选：C.
【题型5 直线的一般式方程】
【例5】过点和，的直线的一般式方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意，利用直线的截距式方程求得直线的方程，再化为一般式方程，即可求解.
【解答过程】由直线过点和，可得直线的截距式得直线方程为，
整理得，即直线的一般式方程为.
故选：C.
【变式5.1】已知直线经过点，且斜率为2，则直线的一般式方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用直线的点斜式方程写出方程，再化成一般式即可.
【解答过程】因直线经过点，且斜率为2，则直线方程为：，化简得：，
所以直线的一般式方程为.
故选：C.
【变式5.2】根据下列条件求直线的一般式方程．
(1)直线的斜率为，且经过点；
(2)斜率为，且在轴上的截距为；
(3)经过两点, ；
(4)在轴上的截距分别为．
【解题思路】（1）先由点斜式求方程，再化为一般式；
（2）先求斜截式方程，再化为一般式；
（3）先求直线的两点式方程，再化为一般式；
（4）先求直线的截距式方程，再化为一般式.
【解答过程】（1）因为，且经过点，
由直线的点斜式方程可得，
整理可得直线的一般式方程为．
（2）由直线的斜率，且在轴上的截距为
得直线的斜截式方程为．
整理可得直线的一般式方程为．
（3）由直线的两点式方程可得，
整理得直线的一般式方程为
（4）由直线的截距式方程可得，
整理得直线的一般式方程为.
【变式5.3】求分别满足下列条件的直线的一般式方程．
(1)斜率是，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6；
(2)经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．
【解题思路】（1）设出直线方程，得到与两坐标轴的交点坐标，根据面积列出方程，求出答案；
（2）分截距为0和截距不为0两种情况，设出直线方程，待定系数法求出直线方程.
【解答过程】（1）设直线的方程为．
令，得．令，得，
，解得．
直线的方程为，化为一般式为．
（2）设直线在轴、轴上的截距分别为．
当时，直线的方程为．
直线过点，
，
又，
故，解得或
直线的方程为或；
当时，设直线方程为，
直线过原点且过点，故，解得，
直线的方程为．
综上所述，直线的方程为或或．
【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】
【例6】根据条件写出下列直线的方程，并化成一般式：
(1)直线的斜率为，在轴上的截距是；
(2)直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半，且过点．
【解题思路】（1）利用斜截式方程求解即可；
（2）根据倾斜角的关系求出直线斜率，再将代入即可求解.
【解答过程】（1）因为直线斜率为，在轴上的截距是，
所以由斜截式可得直线方程为，整理得.
（2）因为直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为，
所以由题意得所求直线的倾斜角为，则斜率，
设所求直线为，将代入可得，解得，
所以所求直线方程为，整理得．
【变式6.1】求分别满足下列条件的直线l的方程，化成一般形式.
(1)经过点，且与x轴垂直；
(2)斜率为－4，在y轴上的截距为7；
(3)经过，两点.
【解题思路】（1）根据条件直接写出直线方程即可.
（2）由条件利用斜截式求直线的方程，并化为一般式.
（3）由条件利用两点式求直线的方程，并化为一般式.
【解答过程】（1）因为直线经过点，且与x轴垂直，
则直线方程为，即.
（2）由题直线斜率为－4，在y轴上的截距为7，
由直线斜截式方程，得，化成一般式为.
（3）由题直线经过，两点，
由直线两点式方程得，整理得.
【变式6.2】根据下列条件，写出下列直线方程的一般式：
(1)经过点，且倾斜角为
(2)经过点，且一个方向向量为
(3)在中，点，求边上中线所在直线的方程
【解题思路】（1）求出直线的斜率，利用直线的斜截式方程求解即得.
（2）利用直线的点斜式方程求解即得.
（3）求出的中点坐标。进而求出斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得.
【解答过程】（1）直线倾斜角为，则该直线的斜率，直线方程为，
所以所求直线方程为.
（2）由直线的一个方向向量为，得该直线斜率为，方程为，
所以所求直线方程为.
（3）由点，得边的中点为，
边上中线所在直线的斜率为，该直线方程为，
所以边上中线所在直线的方程为.
【变式6.3】（1）已知直线l的一般式方程为，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距；
（2）根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式.
①斜率是，经过点；
②经过点，平行于x轴；
③在x轴和y轴上的截距分别是，；
④经过两点
【解题思路】（1）把直线方程化为斜截式及截距式，即可得到斜率及截距；
（2）分情况根据直线方程的形式，直接写出直线方程并化为一般式即可.
【解答过程】（1）由l的一般式方程得斜截式方程为：，
截距式方程为：，
由此可知，直线的斜率为，
在x轴、y轴上的截距分别为－3，2.
（2）①由点斜式得，
化为一般式为：.
②由斜截式得，
化为一般式为：.
③由截距式得，
化为一般式为：.
④由两点式得,
化为一般式为：.
【题型7 直线与坐标轴围成图形的面积问题】
【例7】直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据直线方程得出与坐标轴交点坐标，即可求出结果.
【解答过程】由题知，
直线与轴交于点，与轴交于点，
所以围成的三角形的面积为．
故选：C.
【变式7.1】经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是（ ）
A．或
B．或
C．或
D．或
【解题思路】由题意设直线为，根据直线与坐标轴所围成三角形的面积，应用三角形面积公式求参数k，即可确定直线方程.
【解答过程】由题意，直线斜率一定存在，设所求方程为，即.
由，得或.
故所求直线方程为或.
故选：D.
【变式7.2】过点的直线l与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点．当的面积最小时，l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】令直线为，根据已知及基本不等式可得，确定等号成立条件得，即可写出直线方程.
【解答过程】由题设，令直线为，
则，即，
当且仅当时等号成立，此时的面积最小为，
所以直线方程为.
故选：A.
【变式7.3】直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据正切的二倍角公式，结合三角形面积公式进行求解即可.
【解答过程】，
所以直线的斜率为负值，因此直线的倾斜角为钝角，
设直线l的倾斜角为，则
因为，所以或舍去
设直线l的方程为，则直线l与坐标轴的交点分别为，，
由，得，
故直线l的方程可能是，显然ABD不符合，
，或，
故选：C.
【题型8 直线的方向向量的求解】
【例8】直线的一个方向向量是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据直线方程可得斜率，即可求得其方向向量.
【解答过程】易知直线的斜率为，
因此其方向向量可以为.
故选：C.
【变式8.1】若直线经过点和点，则该直线的方向向量可以是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据方向向量的定义即可求解.
【解答过程】由于直线经过点和点，故直线的方向向量与向量平行的向量，
故选：A.
【变式8.2】若直线l的倾斜角为，则它的方向向量可以为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由倾斜角求出斜率，再根据斜率的定义求出结果即可.
【解答过程】因为直线l的倾斜角为，
所以，
由斜率的定义可知，取，解得一组解可以是，
所以直线的一个方向向量可以是，
故选：B.
【变式8.3】经过点两点的直线的方向向量为，则k为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【解题思路】根据直线的斜率与方向向量关系即可求出答案.
【解答过程】经过两点的直线的方向向量为，
所以 ，解得
故选：A.
【题型9 已知直线的方向向量求直线方程】
【例9】已知直线经过点，且它的一个方向向量为，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据给定条件，利用直线的点斜式方程求解即得.
【解答过程】因为直线的一个方向向量为，则直线的斜率为3，而直线过点，
所以直线的方程为，即.
故选：C.
【变式9.1】过点且方向向量为的直线的一般式方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据方向向量求得直线斜率，再由点斜式化简可得结果.
【解答过程】易知方向向量为的直线斜率为，
所以直线的方程为，即.
故选：C.
【变式9.2】已知直线l的一个方向向量为，若l过点，则直线l的方程为（）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据方向向量求出直线的斜率，再由点斜式写出方程即可.
【解答过程】根据直线的方向向量可得直线的斜率为，又因为直线过点，
所以直线的方程为,
故选：A.
【变式9.3】过点且方向向量为的直线的一般式方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据方向向量可得直线斜率，即可根据点斜式求解直线方程.
【解答过程】由于方向向量为，故斜率为，故直线方程为，
即，
故选：B.