九年级数学上册人教版第24.3节《正多边形和圆》课时练习题（含答案）

九年级数学上册人教版第24.3节《正多边形和圆》课时练习题
一、单选题
1．如图，以点为圆心的两个同心圆把以为半径的大圆的面积三等分，这两个圆的半径分别为，．则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．若正多边形的一个外角为，则这个正多边形的中心角的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，某同学作了一个圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（　　）

A．1 B．3 C． D．
4．同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距的比为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，的半径为， ABC是的内接等边三角形，点在上．四边形为平行四边形，则平行四边形的面积是（　　）
A．4 B．4 C．2 D．2
6．对于下列说法：①正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；②正多边形一定有内切圆和外接圆；③有一个内切圆和一个外接圆的多边形一定是正多边形；④各边相等的圆内接多边形是正多边形，你认为正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
7．如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．20
二、填空题
8．若正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为 ．
9．如图，若的半径为1，则的内接正八边形的面积为 ．

10．如图，正方形的边长为，剪去个角后成为正八边形，则正八边形的边长为 ．
11．如图，正五边形内接于，点在弧上，则的度数为 ．

12．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为，则该半圆的半径为 ．
13．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是 ．
三、解答题
14．如图，正方形内接于，其边长为4，求的内接正三角形的边长．

15．我们学习了，多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题：

(1)将如表的表格补充完整：
正多边形边数 ______
的 度数 ______ ______ ______ ______
(2)根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
16．如图，在正五边形中，对角线，相交于点．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求证：四边形为菱形．
17．用无刻度的直尺完成下列画图．
(1)如图（1），的三个顶点在上，，，F是的中点．先分别画出，的中点G，H，再画的内接正五边形；
(2)如图（2），正五边形五个顶点在上，过点A画的切线．
18．如图，点P是等边三角形中边上的动点（），作的外接圆交于点D．点E是圆上一点，且，连接交于点F．
(1)求证：
(2)当点P运动变化时，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求的度数．
(3)探究线段、、之间的数量关系，并证明．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连结EB，交OD于点F．
（1）求证：OD⊥BE．
（2）若DE=，AB=6，求AE的长．
（3）若△CDE的面积是△OBF面积的，求线段BC与AC长度之间的等量关系，并说明理由．
20．有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形
(1)如图1，在半对角四边形中，，，求与的度数之和；
(2)如图2，锐角 ABC内接于，若边上存在一点，使得，的平分线交于点，连结并延长交于点，．求证：四边形是半对角四边形；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，交于点，当时，求的直径．

试卷第1页，共3页
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《九年级数学上册人教版第24.3节《正多边形和圆》课时练习题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C C B A A B A
8．
9．
10．
11．/36度
12．
13．4
14．
15．（1）解：正三角形中的度数是正三角形的内角度数，即，
正方形中的度数为，即，
正五边形中的度数为，即，
正六边形中的度数为，即，
正边形中的度数为，即，
当时，即，
解得，
故答案为：，，，，；
（2）由（1）得，正边形中，
当时，即，
解得不是整数，
所以不存在一个正边形，使其中的．
16．（1）∵在正五边形中
∴，
∴
同理可得，
∴
∴
∴
∴
∴是等腰三角形；
（2）由（1）中同理可得，，
∴
∴
∴
∵在正五边形中
∴
∵
∴
∴四边形为菱形．
17．（1）解：如图即为所求．

理由如下：∵，
∴，，
∴，，
∴为的中点，
∵为的中点，
∴过的交点的线段为的中线，
∴为的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴为，
∴的度数为，
∴，
∴，
∴五边形为的内角正五边形．
（2）解：如图，延长交于，连接交于，连接并延长交于，过作直线，直线即为所求；
理由：由圆和正五边形的对称性可知，为的中点，
∵正五边形每个内角为，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
∴直线是的切线．
18．（1）证明：连接PE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ACB＝60°，
∴∠PEB＝∠ACB＝60°，
∴∠A＝∠PEB，
∵，
∴∠PBD＝∠PBE，
∵BP＝BP，
∴△ABP≌△EBP（AAS），
∴AB＝EB，
∴EB＝BC；
（2）解：当点P运动时，∠BFD的度数不会变化，
∵，
∴∠DEP＝∠EBP，
∵∠BFD＝∠EBP＋∠DEB，
∴∠BFD＝∠DEP＋∠DEB
＝∠PEB
＝60°，
∴∠BFD的度数为60°；
（3），理由如下：
延长交于点，
，
，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，，
，
连接，
四边形是圆的内接四边形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，
即．
19．（1）连接AD，
∵AB是直径，
∴∠AEB=∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴∠CAD=∠BAD，BD=CD，
∴，
∴OD⊥BE；
（2）∵∠AEB=90°，
∴∠BEC=90°，
∵BD=CD，
∴BC=2DE=2，
∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠BAC+∠BDE=180°，
∵∠CDE+∠BDE=180°，
∴∠CDE=∠BAC，
∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴，即，
∴CE=2，
∴AE=AC-CE=AB-CE=4；
（3）∵BD=CD，
∴S△CDE=S△BDE，
∵BD=CD，AO=BO，
∴OD∥AC，
∵△OBF∽△ABE，
∴，
∴S△ABE=4S△OBF，
∵，
∴S△ABE=4S△OBF=6S△CDE，
∴S△CAB=S△CDE+S△BDE+S△ABE=8S△CDE，
∵△CDE∽△CAB，
∴，
∴，
∵BD=CD，AB=AC，
∴，即AC=BC．
20．（1）在半对角四边形中，，，
，
，
，
即与的度数和为；
（2）在和中
，
，
，
，
连接，
设，则，
，
，
，
，
，
四边形是半对角四边形；
（3）过点作于，
四边形是半对角四边形，
，
，
，
，
，
，，
，
，
的直径为．
答案第1页，共2页
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