2026年中考数学一轮复习 一次函数（含解析）

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中考数学一轮复习 一次函数
一．选择题（共10小题）
1．（2025 枣庄）如图，直线yx+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为（　　）
A．（﹣3，0） B．（﹣6，0） C．（，0） D．（，0）
2．（2025 碑林区校级模拟）在一次函数yax﹣a中，y随x的增大而减小，则其图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024秋 沈阳校级期末）一次函数y＝mx+n与y＝mnx（mn≠0），在同一平面直角坐标系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024春 阳谷县期末）如图，已知：函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（　　）
A．x＞﹣5 B．x＞﹣2 C．x＞﹣3 D．x＜﹣2
5．（2025 唐山二模）如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，1），B（3，1），C（2，2），当直线与△ABC有交点时，b的取值范围是（　　）
A．﹣1≤b≤1 B．b≤1 C．b D．﹣1≤b
6．（2025 潍坊）若式子（k﹣1）0有意义，则一次函数y＝（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024秋 郑州期中）已知点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线yx+2上，则y1，y2大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能比较
8．（2024春 巨野县期末）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点（2，0），点（0，3）．有下列结论：
①关于x的方程kx+b＝0的解为x＝2；
②关于x的方程kx+b＝3的解为x＝0；
③当x＞2时，y＜0；
④当x＜0时，y＜3．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
9．（2025 江西校级模拟）设0＜k＜2，关于x的一次函数y＝kx+2（1﹣x），当1≤x≤2时的最大值是（　　）
A．2k﹣2 B．k﹣1 C．k D．k+1
10．（2025 防城港）关于直线l：y＝kx+k（k≠0），下列说法不正确的是（　　）
A．点（0，k）在l上
B．l经过定点（﹣1，0）
C．当k＞0时，y随x的增大而增大
D．l经过第一、二、三象限
二．填空题（共5小题）
11．（2025 茂名）如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为　 　 ．
12．（2024秋 无锡期末）已知函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1是正比例函数，则m＝　 　 ．
13．（2025 自贡）如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为 　 　 ．
14．（2025 盐城）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是 　 　 ．
15．（2025 洪山区校级模拟）已知m是整数，且一次函数y＝（m+4）x+m+2的图象不过第二象限，则m＝　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 肃州区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M沿路线O→A→C运动．
（1）求直线AB的解析式．
（2）求△OAC的面积．
（3）当△OMC的面积是△OAC的面积的时，求出这时点M的坐标．
17．（2025 齐齐哈尔）甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，途经C地，甲车到达C地停留1小时，因有事按原路原速返回A地．乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图，结合图象信息解答下列问题：
（1）乙车的速度是　 　 千米/时，t＝　 　 小时；
（2）求甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）直接写出乙车出发多长时间两车相距120千米．
18．（2025 河南）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
19．（2025 岳池县模拟）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
20．（2024秋 河源期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
（1）求AB的长；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PABS△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
中考数学一轮复习 一次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 枣庄）如图，直线yx+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为（　　）
A．（﹣3，0） B．（﹣6，0） C．（，0） D．（，0）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；轴对称﹣最短路线问题．
【答案】C
【分析】（方法一）根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D关于x轴的对称点D′的坐标，结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式，令y＝0即可求出x的值，从而得出点P的坐标．
（方法二）根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D关于x轴的对称点D′的坐标，根据三角形中位线定理即可得出点P为线段CD′的中点，由此即可得出点P的坐标．
【解答】解：（方法一）作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．
令yx+4中x＝0，则y＝4，
∴点B的坐标为（0，4）；
令yx+4中y＝0，则x+4＝0，解得：x＝﹣6，
∴点A的坐标为（﹣6，0）．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C（﹣3，2），点D（0，2）．
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为（0，﹣2）．
设直线CD′的解析式为y＝kx+b，
∵直线CD′过点C（﹣3，2），D′（0，﹣2），
∴有，解得：，
∴直线CD′的解析式为yx﹣2．
令yx﹣2中y＝0，则0x﹣2，解得：x，
∴点P的坐标为（，0）．
故选C．
（方法二）连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．
令yx+4中x＝0，则y＝4，
∴点B的坐标为（0，4）；
令yx+4中y＝0，则x+4＝0，解得：x＝﹣6，
∴点A的坐标为（﹣6，0）．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C（﹣3，2），点D（0，2），CD∥x轴，
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为（0，﹣2），点O为线段DD′的中点．
又∵OP∥CD，
∴点P为线段CD′的中点，
∴点P的坐标为（，0）．
故选：C．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是找出点P的位置．
2．（2025 碑林区校级模拟）在一次函数yax﹣a中，y随x的增大而减小，则其图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】一次函数的图象．
【专题】几何直观；模型思想．
【答案】B
【分析】根据y＝kx+b，k＜0时，y随x的增大而减小，可得答案．
【解答】解：在yax﹣a中，y随x的增大而减小，得a＜0，﹣a＞0，
故B正确．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象，利用一次函数的性质是解题关键．
3．（2024秋 沈阳校级期末）一次函数y＝mx+n与y＝mnx（mn≠0），在同一平面直角坐标系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】一次函数的图象．
【专题】分类讨论．
【答案】C
【分析】由于m、n的符号不确定，故应先讨论m、n的符号，再根据一次函数的性质进行选择．
【解答】解：（1）当m＞0，n＞0时，mn＞0，
一次函数y＝mx+n的图象一、二、三象限，
正比例函数y＝mnx的图象过一、三象限，无符合项；
（2）当m＞0，n＜0时，mn＜0，
一次函数y＝mx+n的图象一、三、四象限，
正比例函数y＝mnx的图象过二、四象限，C选项符合；
（3）当m＜0，n＜0时，mn＞0，
一次函数y＝mx+n的图象二、三、四象限，
正比例函数y＝mnx的图象过一、三象限，无符合项；
（4）当m＜0，n＞0时，mn＜0，
一次函数y＝mx+n的图象一、二、四象限，
正比例函数y＝mnx的图象过二、四象限，无符合项．
故选：C．
【点评】一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
4．（2024春 阳谷县期末）如图，已知：函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（　　）
A．x＞﹣5 B．x＞﹣2 C．x＞﹣3 D．x＜﹣2
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】推理填空题．
【答案】B
【分析】根据一次函数的图象和两函数的交点坐标即可得出答案．
【解答】解：∵函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），
则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是x＞﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了议程函数与一元一次不等式的应用，主要考查学生的观察能力和理解能力，题型较好，难度不大．
5．（2025 唐山二模）如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，1），B（3，1），C（2，2），当直线与△ABC有交点时，b的取值范围是（　　）
A．﹣1≤b≤1 B．b≤1 C．b D．﹣1≤b
【考点】一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征．
【答案】B
【分析】将A（1，1），B（3，1），C（2，2）的坐标分别代入直线中求得b的值，再根据一次函数的增减性即可得到b的取值范围．
【解答】解：直线yx+b经过点B时，将B（3，1）代入直线中，可得b＝1，解得b；
直线yx+b经过点A时：将A（1，1）代入直线中，可得b＝1，解得b；
直线yx+b经过点C时：将C（2，2）代入直线中，可得1+b＝2，解得b＝1．
故b的取值范围是b≤1．
故选：B．
【点评】考查了一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
6．（2025 潍坊）若式子（k﹣1）0有意义，则一次函数y＝（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】一次函数图象与系数的关系；零指数幂；二次根式有意义的条件．
【答案】A
【分析】首先根据二次根式中的被开方数是非负数，以及a0＝1（a≠0），判断出k的取值范围，然后判断出k﹣1、1﹣k的正负，再根据一次函数的图象与系数的关系，判断出一次函数y＝（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是哪个即可．
【解答】解：∵式子（k﹣1）0有意义，
∴
解得k＞1，
∴k﹣1＞0，1﹣k＜0，
∴一次函数y＝（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是：
．
故选：A．
【点评】（1）此题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0＝1（a≠0）；②00≠1．
（3）此题还考查了二次根式有意义的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．
7．（2024秋 郑州期中）已知点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线yx+2上，则y1，y2大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能比较
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【答案】A
【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据两点横坐标的大小即可得出结论．
【解答】解：∵k0，
∴y随x的增大而减小．
∵﹣4＜2，
∴y1＞y2．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出一次函数的增减性是解答此题的关键．
8．（2024春 巨野县期末）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点（2，0），点（0，3）．有下列结论：
①关于x的方程kx+b＝0的解为x＝2；
②关于x的方程kx+b＝3的解为x＝0；
③当x＞2时，y＜0；
④当x＜0时，y＜3．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【考点】一次函数与一元一次方程．
【专题】函数及其图象．
【答案】A
【分析】根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：由图象得：①关于x的方程kx+b＝0的解为x＝2，正确；
②关于x的方程kx+b＝3的解为x＝0，正确；
③当x＞2时，y＜0，正确；
④当x＜0时，y＞3，错误；
故选：A．
【点评】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，利用数形结合是求解的关键．
9．（2025 江西校级模拟）设0＜k＜2，关于x的一次函数y＝kx+2（1﹣x），当1≤x≤2时的最大值是（　　）
A．2k﹣2 B．k﹣1 C．k D．k+1
【考点】一次函数的性质．
【专题】压轴题．
【答案】C
【分析】首先确定一次函数的增减性，根据增减性即可求解．
【解答】解：原式可以化为：y＝（k﹣2）x+2，
∵0＜k＜2，
∴k﹣2＜0，则函数值随x的增大而减小．
∴当x＝1时，函数值最大，最大值是：（k﹣2）+2＝k．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数的性质，正确根性质确定当x＝2时，函数取得最小值是解题的关键．
10．（2025 防城港）关于直线l：y＝kx+k（k≠0），下列说法不正确的是（　　）
A．点（0，k）在l上
B．l经过定点（﹣1，0）
C．当k＞0时，y随x的增大而增大
D．l经过第一、二、三象限
【考点】一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征．
【答案】D
【分析】直接根据一次函数的性质选择不正确选项即可．
【解答】解：A、当x＝0时，y＝k，即点（0，k）在l上，故此选项正确；
B、当x＝﹣1时，y＝﹣k+k＝0，此选项正确；
C、当k＞0时，y随x的增大而增大，此选项正确；
D、不能确定l经过第一、二、三象限，此选项错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．此题难度不大．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 茂名）如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为　a＜c＜b　 ．
【考点】正比例函数的图象．
【专题】一次函数及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据直线所过象限可得a＜0，b＞0，c＞0，再根据直线陡的情况可判断出b＞c，进而得到答案．
【解答】解：根据三个函数图象所在象限可得a＜0，b＞0，c＞0，
再根据直线越陡，|k|越大，则b＞c．
则b＞c＞a，
故答案为：a＜c＜b．
【点评】此题主要考查了正比例函数图象，关键是掌握：当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．同时注意直线越陡，则|k|越大
12．（2024秋 无锡期末）已知函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1是正比例函数，则m＝　﹣1　 ．
【考点】正比例函数的定义．
【答案】见试题解答内容
【分析】由正比例函数的定义可得m2﹣1＝0，且m﹣1≠0．
【解答】解：由正比例函数的定义可得：m2﹣1＝0，且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y＝kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．
13．（2025 自贡）如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为 　16　 ．
【考点】一次函数综合题．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，线段BC扫过的面积应为一平行四边形的面积，其高是AC的长，底是点C平移的路程．求当点C落在直线y＝2x﹣6上时的横坐标即可．
【解答】解：如图所示．
∵点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），
∴AB＝3．
∵∠CAB＝90°，BC＝5，
∴AC＝4．
∴A′C′＝4．
∵点C′在直线y＝2x﹣6上，
∴2x﹣6＝4，解得 x＝5．
即OA′＝5．
∴CC′＝5﹣1＝4．
∴S BCC′B′＝4×4＝16．
即线段BC扫过的面积为16．
故答案为16．
【点评】此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，难度中等．
14．（2025 盐城）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是 　yx﹣1　 ．
【考点】一次函数图象与几何变换．
【专题】一次函数及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据已知条件得到A（，0），B（0，﹣1），求得OA，OB＝1，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB＝AF，根据全等三角形的性质得到AE＝OB＝1，EF＝OA，求得F（，），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，解方程组于是得到结论．
【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A、B，
∴令x＝0，得y＝﹣1，令y＝0，则x，
∴A（，0），B（0，﹣1），
∴OA，OB＝1，
过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，
∵∠ABC＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AB＝AF，
∵∠OAB+∠ABO＝∠OAB+∠EAF＝90°，
∴∠ABO＝∠EAF，
∴△ABO≌△FAE（AAS），
∴AE＝OB＝1，EF＝OA，
∴F（，），
设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线BC的函数表达式为：yx﹣1，
故答案为：yx﹣1．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
15．（2025 洪山区校级模拟）已知m是整数，且一次函数y＝（m+4）x+m+2的图象不过第二象限，则m＝　﹣3或﹣2　 ．
【考点】一次函数的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】由于一次函数y＝（m+4）x+m+2的图象不过第二象限，则得到，然后解不等式即可m的值．
【解答】解：∵一次函数y＝（m+4）x+m+2的图象不过第二象限，
∴，
解得﹣4＜m≤﹣2，
而m是整数，
则m＝﹣3或﹣2．
故填空答案：﹣3或﹣2．
【点评】此题首先根据一次函数的性质，利用已知条件列出关于m的不等式组求解，然后取其整数即可解决问题．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 肃州区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M沿路线O→A→C运动．
（1）求直线AB的解析式．
（2）求△OAC的面积．
（3）当△OMC的面积是△OAC的面积的时，求出这时点M的坐标．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）求得C的坐标，即OC的长，利用三角形的面积公式即可求解；
（3）当△OMC的面积是△OAC的面积的时，根据面积公式即可求得M的横坐标，然后代入解析式即可求得M的坐标．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式是y＝kx+b，
根据题意得：，
解得：，
则直线的解析式是：y＝﹣x+6；
（2）在y＝﹣x+6中，令x＝0，解得：y＝6，
S△OAC6×4＝12；
（3）设OA的解析式是y＝mx，则4m＝2，
解得：m，
则直线的解析式是：yx，
∵当△OMC的面积是△OAC的面积的时，
∴M的横坐标是4＝1，
在yx中，当x＝1时，y，则M的坐标是（1，）；
在y＝﹣x+6中，x＝1则y＝5，则M的坐标是（1，5）．
则M的坐标是：M1（1，）或M2（1，5）．
【点评】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式．先根据条件列出关于字母系数的方程，解方程求解即可得到函数解析式．当已知函数解析式时，求函数中字母的值就是求关于字母系数的方程的解．
17．（2025 齐齐哈尔）甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，途经C地，甲车到达C地停留1小时，因有事按原路原速返回A地．乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图，结合图象信息解答下列问题：
（1）乙车的速度是　60　 千米/时，t＝　3　 小时；
（2）求甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）直接写出乙车出发多长时间两车相距120千米．
【考点】一次函数的应用．
【专题】压轴题；推理填空题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）首先根据图示，可得乙车的速度是60千米/时，然后根据路程÷速度＝时间，用两地之间的距离除以乙车的速度，求出乙车到达A地用的时间是多少；最后根据路程÷时间＝速度，用两地之间的距离除以甲车往返AC两地用的时间，求出甲车的速度，再用360除以甲车的速度，求出t的值是多少即可．
（2）根据题意，分3种情况：①当0≤x≤3时；②当3＜x≤4时；③4＜x≤7时；分类讨论，求出甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式，并写出自变量的取值范围即可．
（3）根据题意，分3种情况：①甲乙两车相遇之前相距120千米；②当甲车停留在C地时；③两车都朝A地行驶时；然后根据路程÷速度＝时间，分类讨论，求出乙车出发多长时间两车相距120千米即可．
【解答】解：（1）根据图示，可得
乙车的速度是60千米/时，
甲车的速度是：
（360×2）÷（480÷60﹣1﹣1）
＝720÷6
＝120（千米/小时）
∴t＝360÷120＝3（小时）．
故答案为：60；3．
（2）①当0≤x≤3时，设y＝k1x，
把（3，360）代入，可得
3k1＝360，
解得k1＝120，
∴y＝120x（0≤x≤3）．
②当3＜x≤4时，y＝360．
③4＜x≤7时，设y＝k2x+b，
把（4，360）和（7，0）代入，可得
解得
∴y＝﹣120x+840（4＜x≤7）．
综上所述：甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式为y
（3）①（480﹣60﹣120）÷（120+60）+1
＝300÷180+1
（小时）
②当甲车停留在C地时，
（480﹣360+120）÷60
＝240÷60
＝4（小时）
③两车都朝A地行驶时，
设乙车出发y小时后两车相距120千米，
则60y﹣[120（y﹣1）﹣360]＝120，
所以480﹣60y＝120，
所以60y＝360，
解得y＝6．
综上，可得
乙车出发后两车相距120千米．
【点评】（1）此题主要考查了一次函数的应用问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
（2）此题还考查了行程问题，要熟练掌握速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间．
18．（2025 河南）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用．
【专题】销售问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意列出方程组求解，
（2）①据题意得，y＝﹣50x+15000，
②利用不等式求出x的范围，又因为y＝﹣50x+15000是减函数，所以x取34，y取最大值，
（3）据题意得，y＝（100+m）x+150（100﹣x），即y＝（m﹣50）x+15000，分三种情况讨论，①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，②m＝50时，m﹣50＝0，y＝15000，③当50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随x的增大而增大，分别进行求解．
【解答】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意得
解得
答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元．
（2）①据题意得，y＝100x+150（100﹣x），即y＝﹣50x+15000，
②据题意得，100﹣x≤2x，解得x≥33，
∵y＝﹣50x+15000，﹣50＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x＝34时，y取最大值，则100﹣x＝66，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．
（3）据题意得，y＝（100+m）x+150（100﹣x），即y＝（m﹣50）x+15000，
33x≤70
①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，
∴当x＝34时，y取最大值，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．
②m＝50时，m﹣50＝0，y＝15000，
即商店购进A型电脑数量满足33x≤70的整数时，均获得最大利润；
③当50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随x的增大而增大，
∴当x＝70时，y取得最大值．
即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况．
19．（2025 岳池县模拟）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先把A点和B点坐标代入y＝kx+b得到关于k、b的方程组，解方程组得到k、b的值，从而得到一次函数的解析式；
（2）先确定D点坐标，然后根据三角形面积公式和△AOB的面积＝S△AOD+S△BOD进行计算．
【解答】解：（1）把A（﹣2，﹣1），B（1，3）代入y＝kx+b得，
解得．
所以一次函数解析式为yx；
（2）把x＝0代入yx得y，
所以D点坐标为（0，），
所以△AOB的面积＝S△AOD+S△BOD
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．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
20．（2024秋 河源期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
（1）求AB的长；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PABS△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】一次函数图象与几何变换．
【专题】一次函数及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先求得点A和点B的坐标，则可得到OA、OB的长，然后依据勾股定理可求得AB的长，
（2）依据翻折的性质可得到AC的长，于是可求得OC的长，从而可得到点C的坐标；设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．，Rt△OCD中，依据勾股定理可求得x的值，从而可得到点D（0，﹣6）．
（3）先求得S△PAB的值，然后依据三角形的面积公式可求得BP的长，从而可得到点P的坐标．
【解答】解：（1）令x＝0得：y＝4，
∴B（0，4）．
∴OB＝4
令y＝0得：0x+4，解得：x＝3，
∴A（3，0）．
∴OA＝3．
在Rt△OAB中，AB5．
（2）∵AC＝AB＝5，
∴OC＝OA+AC＝3+5＝8，
∴C（8，0）．
设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．
在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即（x+4）2＝x2+82，解得：x＝6，
∴D（0，﹣6）．
（3）存在，理由如下：
∵S△PABS△OCD，
∴S△PAB6×8＝12．
∵点P在y轴上，S△PAB＝12，
∴BP OA＝12，即3BP＝12，解得：BP＝8，
∴P点的坐标为（0，12）或（0，﹣4）．
【点评】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．
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