2026年中考数学一轮复习 有理数（含解析）

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中考数学一轮复习 有理数
一．选择题（共10小题）
1．（2025 宁德）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（　　）
A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C．a b＞0 D．0
2．（2025 市北区校级期末）当|a|＝5，|b|＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（　　）
A．﹣12 B．﹣2或﹣12 C．2 D．﹣2
3．（2025 市北区校级期末）下列说法不正确的是（　　）
A．0既不是正数，也不是负数
B．绝对值最小的数是0
C．绝对值等于自身的数只有0和1
D．平方等于自身的数只有0和1
4．（2025 宜昌）如果“盈利5%”记作+5%，那么﹣3%表示（　　）
A．亏损3% B．亏损8% C．盈利2% D．少赚3%
5．（2025 金华）如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（　　）
A．Φ45.02 B．Φ44.9 C．Φ44.98 D．Φ45.01
6．（2025 遵义）在0，﹣2，5，，﹣0.3中，负数的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2025 毕节市）下列说法正确的是（　　）
A．一个数的绝对值一定比0大
B．一个数的相反数一定比它本身小
C．绝对值等于它本身的数一定是正数
D．最小的正整数是1
8．（2025 市北区校级期末）下列说法：①有理数中，0的意义仅表示没有；②整数包括正整数和负整数；③正数和负数统称有理数；④0是最小的整数；⑤负分数是有理数．其中正确的个数（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．5个
9．（2025 淮北期末）下列各组数中，相等的一组是（　　）
A．﹣（﹣1）与﹣|﹣1| B．﹣32与（﹣3）2
C．（﹣4）3与﹣43 D．与（）2
10．（2025 麻城市期中）下表是某水库一周内水位高低的变化情况（用正数记水位比前一日上升数，用负数记下降数）．那么本周星期几水位最低（　　）
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位变化/米 0.12 ﹣0.02 ﹣0.13 ﹣0.20 ﹣0.08 ﹣0.02 0.32
A．星期二 B．星期四 C．星期六 D．星期五
二．填空题（共5小题）
11．（2025 永州）已知0，则的值为 　 　 ．
12．（2024秋 金乡县期末）某种零件，标明要求是φ20±0.02mm（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是19.9mm，该零件 　 　 （填“合格”或“不合格”）．
13．（2025 常州）若|x|+3＝|x﹣3|，则x的取值范围是　 　 ．
14．（2025 黔东南州模拟）在数学兴趣小组活动中，小明为了求的值，在边长为1的正方形中，设计了如图所示的几何图形．则的值为　 　 （结果用n表示）．
15．（2025 龙泉驿区期末）如果x、y都是不为0的有理数，则代数式的最大值是　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2024秋 深圳校级期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：
（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c 　 　 0，a+b 　 　 0，c﹣a 　 　 0．
（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．
17．（2025 泗阳县校级一模）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数是 　 　 ，点P表示的数是 　 　 （用含t的代数式表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
18．（2025 吉林一模）计算：﹣14﹣（1﹣0.5）[2﹣（﹣3）2]．
19．（2025 鼓楼区校级期中）先阅读，后探究相关的问题
【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
（1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为 　 　 和 　 　 ，B，C两点间的距离是 　 　 ；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为 　 　 ；如果|AB|＝3，那么x为 　 　 ；
（3）若点A表示的整数为x，则当x为 　 　 时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；
（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 　 　 ．
20．（2025 射阳县期末）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24．
（1）求3*（﹣4）的值；
（2）求（﹣2）*（6*3）的值．
中考数学一轮复习 有理数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 宁德）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（　　）
A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C．a b＞0 D．0
【考点】数轴．
【答案】B
【分析】根据a，b两数在数轴的位置依次判断所给选项的正误即可．
【解答】解：∵﹣1＜a＜0，b＞1，
∴A、a+b＞0，故错误，不符合题意；
B、a﹣b＜0，正确，符合题意；
C、a b＜0，错误，不符合题意；
D、0，错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】考查数轴的相关知识；用到的知识点为：数轴上左边的数比右边的数小；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号．
2．（2025 市北区校级期末）当|a|＝5，|b|＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（　　）
A．﹣12 B．﹣2或﹣12 C．2 D．﹣2
【考点】绝对值．
【答案】B
【分析】先根据绝对值的性质，判断出a、b的大致取值，然后根据a+b＞0，进一步确定a、b的值，再代入求解即可．
【解答】解：∵|a|＝5，|b|＝7，
∴a＝±5，b＝±7
∵|a+b|＝a+b，
∴a+b≥0，
∴a＝±5．b＝7，
当a＝5，b＝7时，a﹣b＝﹣2；
当a＝﹣5，b＝7时，a﹣b＝﹣12；
故a﹣b的值为﹣2或﹣12．
故选：B．
【点评】此题主要考查了绝对值的性质，能够根据已知条件正确地判断出a、b的值是解答此题的关键．
3．（2025 市北区校级期末）下列说法不正确的是（　　）
A．0既不是正数，也不是负数
B．绝对值最小的数是0
C．绝对值等于自身的数只有0和1
D．平方等于自身的数只有0和1
【考点】绝对值．
【答案】C
【分析】根据正负数的定义，绝对值的性质、平方的性质即可判断．
【解答】解：A、B、D均正确，绝对值等于它自身的数是所有非负数，所以C错误，符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了正负数的定义，绝对值的性质、平方的性质，熟练掌握性质是解答此题的关键．
4．（2025 宜昌）如果“盈利5%”记作+5%，那么﹣3%表示（　　）
A．亏损3% B．亏损8% C．盈利2% D．少赚3%
【考点】正数和负数．
【答案】A
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【解答】解：∵“盈利5%”记作+5%，
∴﹣3%表示亏损3%．
故选：A．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
5．（2025 金华）如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（　　）
A．Φ45.02 B．Φ44.9 C．Φ44.98 D．Φ45.01
【考点】正数和负数．
【答案】B
【分析】依据正负数的意义求得零件直径的合格范围，然后找出不符要求的选项即可．
【解答】解：∵45+0.03＝45.03，45﹣0.04＝44.96，
∴零件的直径的合格范围是：44.96≤零件的直径≤45.03．
∵44.9不在该范围之内，
∴不合格的是B．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是正数和负数的意义，根据正负数的意义求得零件直径的合格范围是解题的关键．
6．（2025 遵义）在0，﹣2，5，，﹣0.3中，负数的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】正数和负数．
【答案】B
【分析】根据小于0的是负数即可求解．
【解答】解：在0，﹣2，5，，﹣0.3中，﹣2，﹣0.3是负数，共有两个负数，
故选：B．
【点评】本题主要考查了正数和负数，熟记概念是解题的关键．注意0既不是正数也不是负数．
7．（2025 毕节市）下列说法正确的是（　　）
A．一个数的绝对值一定比0大
B．一个数的相反数一定比它本身小
C．绝对值等于它本身的数一定是正数
D．最小的正整数是1
【考点】绝对值；有理数；相反数．
【答案】D
【分析】分别利用绝对值以及有理数和相反数的定义分析得出即可．
【解答】解：A、一个数的绝对值一定比0大，有可能等于0，故此选项错误；
B、一个数的相反数一定比它本身小，负数的相反数，比它本身大，故此选项错误；
C、绝对值等于它本身的数一定是正数，0的绝对值也等于其本身，故此选项错误；
D、最小的正整数是1，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了绝对值以及有理数和相反数的定义，正确掌握它们的区别是解题关键．
8．（2025 市北区校级期末）下列说法：①有理数中，0的意义仅表示没有；②整数包括正整数和负整数；③正数和负数统称有理数；④0是最小的整数；⑤负分数是有理数．其中正确的个数（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．5个
【考点】有理数；正数和负数．
【答案】A
【分析】根据在有理数中，0的意义不仅表示没有，在进行运算时，0还表示正数与负数的分界等，0既不是正数，也不是负数，0是偶数，但不是最小的整数，判断所给命题是否正确．
【解答】解：①在有理数中，0的意义不仅表示没有，在进行运算时，0还表示正数与负数的分界等，故①错误；
②整数包括正整数、负整数和0，故②错误；
③整数和分数统称为有理数，故③错误；
④整数包括正整数和负整数、0，因此0不是最小的整数，故错误；
⑤所有的分数都是有理数，因此正确；
综上，⑤正确，
故选：A．
【点评】本题主要考查了有理数的分类等相关知识，特别注意：在有理数中，0的意义不仅表示没有，在进行运算时，0还表示正整数与负整数的分界等，0既不是整数，也不是负数，是偶数．
9．（2025 淮北期末）下列各组数中，相等的一组是（　　）
A．﹣（﹣1）与﹣|﹣1| B．﹣32与（﹣3）2
C．（﹣4）3与﹣43 D．与（）2
【考点】有理数的乘方；相反数；绝对值．
【答案】C
【分析】根据有理数的乘方的定义，绝对值的性质对各选项分别计算，然后利用排除法求解．
【解答】解：A、﹣|﹣1|＝﹣1，﹣（﹣1）＝1，﹣（﹣1）≠﹣|﹣1|，故本选项错误；
B、（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9，9≠﹣9，故本选项错误；
C、（﹣4）3＝﹣64，﹣43＝﹣64，（﹣4）3＝﹣43，故本选项正确；
D、，，，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了绝对值、有理数的乘方．解题的关键是掌握有理数的乘方运算法则，要注意﹣43与（﹣4）3的区别．
10．（2025 麻城市期中）下表是某水库一周内水位高低的变化情况（用正数记水位比前一日上升数，用负数记下降数）．那么本周星期几水位最低（　　）
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位变化/米 0.12 ﹣0.02 ﹣0.13 ﹣0.20 ﹣0.08 ﹣0.02 0.32
A．星期二 B．星期四 C．星期六 D．星期五
【考点】正数和负数．
【专题】应用题．
【答案】C
【分析】用正数记水位比前一日上升数，用负数记下降数．由图表可知从周二开始水位下降，一直降到周六，所以星期六水位最低．
【解答】解：由于用正数记水位比前一日上升数，用负数记下降数，由图表可知，周一水位比上周末上升0.12米，从周二开始水位下降，一直降到周六，所以星期六水位最低．
故选：C．
【点评】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分内容时一定要联系实际，不能死学．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 永州）已知0，则的值为 　﹣1　 ．
【考点】绝对值．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】先判断出a、b异号，再根据绝对值的性质解答即可．
【解答】解：∵0，
∴a、b异号，
∴ab＜0，
∴1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了绝对值的性质，主要利用了负数的绝对值是它的相反数，判断出a、b异号是解题的关键．
12．（2024秋 金乡县期末）某种零件，标明要求是φ20±0.02mm（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是19.9mm，该零件 　不合格　 （填“合格”或“不合格”）．
【考点】正数和负数．
【专题】应用题．
【答案】见试题解答内容
【分析】φ20±0.02 mm，知零件直径最大是20+0.02＝20.02mm，最小是20﹣0.02＝19.98mm，合格范围在19.98mm和20.02mm之间．
【解答】解：零件合格范围在19.98mm和20.02mm之间．19.9mm＜19.98mm，所以不合格．
故答案为：不合格．
【点评】本题考查数学在实际生活中的应用．
13．（2025 常州）若|x|+3＝|x﹣3|，则x的取值范围是　x≤0　 ．
【考点】绝对值．
【专题】压轴题；分类讨论．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据绝对值的性质，要化简绝对值，可以就x≥3，0＜x＜3，x≤0三种情况进行分析．
【解答】解：①当x≥3时，原式可化为：x+3＝x﹣3，无解；
②当0≤x＜3时，原式可化为：x+3＝3﹣x，此时x＝0；
③当x＜0时，原式可化为：﹣x+3＝3﹣x，等式恒成立．
综上所述，则x≤0．
【点评】此题主要是能够根据x的取值范围进行分情况化简绝对值，然后根据等式是否成立进行判断．
14．（2025 黔东南州模拟）在数学兴趣小组活动中，小明为了求的值，在边长为1的正方形中，设计了如图所示的几何图形．则的值为　1　 （结果用n表示）．
【考点】有理数的乘方．
【专题】压轴题；规律型．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据图中可知正方形的面积依次为，，．根据组合图形的面积计算可得．
【解答】解：1．
答：的值为1．
故答案为：1．
【点评】考查了正方形的面积公式，及组合图形的面积计算．正方形的面积为1，根据图中二等分n次，面积为．
15．（2025 龙泉驿区期末）如果x、y都是不为0的有理数，则代数式的最大值是　1　 ．
【考点】绝对值．
【专题】分类讨论．
【答案】见试题解答内容
【分析】此题要分三种情况进行讨论：①当x，y中有二正；②当x，y中有一负一正；③当x，y中有二负；分别进行计算．
【解答】解：①当x，y中有二正，
1+1﹣1＝1；
②当x，y中有一负一正，
1﹣1+1＝1；
③当x，y中有二负，
1﹣1﹣1＝﹣3．
故代数式的最大值是1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了绝对值，以及有理数的除法，关键是要分清分几种情况，然后分别进行讨论计算．
三．解答题（共5小题）
16．（2024秋 深圳校级期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：
（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c 　＜　 0，a+b 　＜　 0，c﹣a 　＞　 0．
（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．
【考点】绝对值；数轴．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据数轴判断出a、b、c的正负情况，然后分别判断即可；
（2）去掉绝对值号，然后合并同类项即可．
【解答】解：（1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|，
所以，b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0；
故答案为：＜，＜，＞；
（2）|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|
＝（c﹣b）+（﹣a﹣b）﹣（c﹣a）
＝c﹣b﹣a﹣b﹣c+a
＝﹣2b．
【点评】本题考查了绝对值的性质，数轴，熟记性质并准确识图观察出a、b、c的正负情况是解题的关键．
17．（2025 泗阳县校级一模）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数是 　﹣4　 ，点P表示的数是 　6﹣6t　 （用含t的代数式表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
【考点】数轴．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由已知得OA＝6，则OB＝AB﹣OA＝4，因为点B在原点左边，从而写出数轴上点B所表示的数；动点P从点A出发，运动时间为t（t＞0）秒，所以运动的单位长度为6t，因为沿数轴向左匀速运动，所以点P所表示的数是6﹣6t；
（2）①点P运动t秒时追上点Q，由于点P要多运动10个单位才能追上点Q，则6t＝10+4t，然后解方程得到t＝5；
②分两种情况：当点P运动a秒时，不超过Q，则10+4a﹣6a＝8；超过Q，则10+4a+8＝6a；由此求得答案解即可．
【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，
∴OA＝6，
则OB＝AB﹣OA＝4，
点B在原点左边，
∴数轴上点B所表示的数为﹣4；
点P运动t秒的长度为6t，
∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴P所表示的数为：6﹣6t；
（2）①点P运动t秒时追上点Q，
根据题意得6t＝10+4t，
解得t＝5，
答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；
②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，
当P不超过Q，则10+4a﹣6a＝8，解得a＝1；
当P超过Q，则10+4a+8＝6a，解得a＝9；
答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．
【点评】此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据已知得出各线段之间的关系等量关系是解题关键．
18．（2025 吉林一模）计算：﹣14﹣（1﹣0.5）[2﹣（﹣3）2]．
【考点】有理数的混合运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】先算乘方和括号里面的，再算乘法，由此顺序计算即可．
【解答】解：原式＝﹣1﹣0.5（2﹣9）
＝﹣1﹣（）
．
【点评】此题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序，正确判定符号计算即可．
19．（2025 鼓楼区校级期中）先阅读，后探究相关的问题
【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
（1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为 　﹣2.5　 和 　1　 ，B，C两点间的距离是 　3.5　 ；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为 　|x﹣（﹣1）|　 ；如果|AB|＝3，那么x为 　﹣4，2　 ；
（3）若点A表示的整数为x，则当x为 　﹣1　 时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；
（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 　﹣5≤x≤2　 ．
【考点】绝对值；数轴．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据数先在数轴上描出点，再根据点得出两点间的距离；
（2）根据数轴上两点间的距离公式，可得到一点距离相等的点有两个；
（3）根据到两点距离相等的点是这两个点的中点，可得答案；
（4）根据线段上的点到这两点的距离最小，可得范围．
【解答】解：（1）如图，点B为所求点．B点表示的数﹣2.5，C点表示的数1，BC的长度是1﹣（﹣2.5）＝3.5；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为|x﹣（﹣1）|，如果|AB|＝3，那么x为﹣4，2；
（3）若点A表示的整数为x，则当x为﹣1，时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；
（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣5≤x≤2，
故答案为：﹣2.5，1，3.5；|x﹣（﹣1）|，﹣4，2；﹣1；﹣5≤x≤2．
【点评】本题考查了绝对值，由数轴上点的关系，得出到一点距离相等的点有两个，到两点相等的点是这两点的中点，到两点距离和最小的点是这条线段上的点．
20．（2025 射阳县期末）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24．
（1）求3*（﹣4）的值；
（2）求（﹣2）*（6*3）的值．
【考点】有理数的乘法．
【专题】新定义．
【答案】见试题解答内容
【分析】分别根据运算“*”的运算方法列式，然后进行计算即可得解．
【解答】解：（1）3*（﹣4）＝4×3×（﹣4）＝﹣48；
（2）（﹣2）*（6*3）＝（﹣2）*（4×6×3）＝（﹣2）*（72）＝4×（﹣2）×（72）＝﹣576．
【点评】本题考查了有理数的乘法，是基础题，理解新运算的运算方法是解题的关键．
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