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轴对称图形和等腰三角形 单元全优达标卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2． 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，AB上一点D，且AD＝BC，过点D作DE∥BC且DE＝AB，连接EC，则∠DCE的度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．45°
4．一张菱形纸片按图①②依次对折后，再按图③剪一个圆形小孔，然后展开、铺平，所得的图案是( ).
A． B． C． D．
5．如图，中，平分，是的中点，过点作的垂线交于点，连接，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．等腰三角形的周长为26cm，一边长为6cm，那么腰长为（ ）
A．6cm B．10cm
C．6cm或10cm D．14cm
7．如图，已知 中， ，AO，BO分别是角平分线，且 ，分别交AC于N，BC于M，则 的周长为（ ）
A．12 B．24 C．36 D．不确定
8．有一等腰三角形纸片ABC，AB=AC，裁剪方式及相关数据如图所示，则得到的甲、乙、丙、丁四张纸片中，面积最大的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．如图，在中，，是的平分线，于点E.若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，在等边中，以为直角顶点作等腰直角， 分别交 、于 点 、， 为线段上一动点，为线段上一动点，且， 以下个结论：①；②；③；④当的值最小时， ． 正确的个数为( )
A．4个 B．3 个
C．2 个 D．1 个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知等边三角形的边长为2，则该等边三角形的周长为 ．
12．如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点F，平分，已知，，的面积，求的面积 ．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是△ABC的角平分线，BC＝10cm，BD：DC＝3：2，则点D到AB的距离为 ．
14．如图，已知点I是△ABC的角平分线的交点.若AB＋BI＝AC，设∠BAC＝α，则∠AIB＝ （用含α的式子表示）
15．如图，在中，，以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，交AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点．作直线FG．若直线FG经过点E，则的度数为 °．
16．中，为上一点，为上一点，过作，交于点，交于点，，，则 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．在△ABC中，已知∠A＝α．
（1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D．
①当α＝70°时，∠BDC度数＝ 度（直接写出结果）；
②∠BDC的度数为 （用含α的代数式表示）；
（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE角平分线交于点F，求∠BFC的度数（用含α的代数式表示）．
（3）在（2）的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的角平分线与∠GCB的角平分线交于点M（如图3），求∠BMC的度数（用含α的代数式表示）．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）当∠DEF＝70°时，求∠A的度数．
19．数学课上，张老师举了下面的例题：
例1：等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数．(答案：35° )
例2：等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数．(答案：40°或70°或100° )
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式：等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数．
（1）请你解答以上的变式题；
（2）解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．
20．在数学兴趣小组活动中，小明同学对几何动点问题进行了探究：
问题背景：在中，．点D为边上一动点，连接，点为边上一动点，连接，以为边，在右侧作等边，连接．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，当点运动到的四等分点（靠近点）时，点停止运动，此时点从点运动到点，试判断点从点运动到点的过程中线段和的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，点从的四等分点（靠近点）出发，向终点A运动，同时，点从点出发，向终点运动，运动过程中，始终保持，求出的最小值．
21．如图，已知AC、DB的交点为E，AE＝DE， ；过点E作EF⊥BC，垂足为F.
（1）求证： ABE≌ DCE；
（2）求证：F为BC边的中点.
22．如图，在边长为1的小正方形所组成的网格上，每个小正方形的顶点都称为“格点”，的顶点都在格点上，用直尺完成下列作图：
（1）作出关于直线的对称图形；
（2）的面积为 ．
23．已知，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，连接AC，BD．
（1）请补全图形，并说明AC，BD的位置关系；
（2）证明（1）中的结论.
24．如图1，四边形中，交于．
（1）求证：平分；
（2）如图2，若的平分线与的延长线交于，设，
①若，求的值；
②若，试确定的取值范围．
25．如图，等边△ABC 中，高线 AD=6，点P从点 A出发，沿着AD运动到点 D停止，以CP为边向左下方作等边△CPQ，连接BQ，DQ.
（1）请说明：△ACP ≌△BCQ；
（2）在点P的运动过程中，当△BDQ是等腰三角形时，求∠BDQ的度数；
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轴对称图形和等腰三角形 单元全优达标卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项A符合题意；
B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故选项B不符合题意；
C、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故选项C不符合题意；
D、该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故选项D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此进行判断即可．
2． 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形由多个弧线组成， 既是轴对称图形又是中心对称图形 ，符合题意；
B、此选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形 ，不符合题意；
C、此选项中的图形虽然是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；
D、此选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
3．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，AB上一点D，且AD＝BC，过点D作DE∥BC且DE＝AB，连接EC，则∠DCE的度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．45°
【答案】B
【解析】【解答】如图所示，连接AE．
∵AB=DE，AD=BC
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，可得AE=DE
∵AB=AC，∠BAC=20°，
∴∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=80°，
在△ADE与△CBA中，
，
∴△ADE≌△CBA（ASA），
∴AE=AC，∠AED=∠BAC=20°，
∵∠CAE=∠DAE-∠BAC=80°-20°=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴CE=AC=AE=DE，∠AEC=∠ACE=60°，
∴△DCE是等腰三角形，
∴∠CDE=∠DCE，
∴∠DEC=∠AEC-∠AED=40°，
∴∠DCE=∠CDE=（180-40°）÷2=70°．
故答案为：B．
【分析】连接AE．根据ASA可证△ADE≌△CBA，根据全等三角形的性质可得AE=AC，∠AED=∠BAC=20°，根据等边三角形的判定可得△ACE是等边三角形，根据等腰三角形的判定可得△DCE是等腰三角形，再根据三角形内角和定理和角的和差关系即可求解．
4．一张菱形纸片按图①②依次对折后，再按图③剪一个圆形小孔，然后展开、铺平，所得的图案是( ).
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：展开铺平后的图案是：
故答案为：C.
【分析】严格按照图中的顺序向右翻折，向右上角翻折，打出一个圆形小孔，展开得到结论.
5．如图，中，平分，是的中点，过点作的垂线交于点，连接，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】是的中点，过点作的垂线交于点，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
故选：．
【分析】
由线段垂直平分线的性质得，则；由于的外角等于，可由三角形外角的性质得等于等于，从而由角平分线的概念可得，利用角之间的位置关系可得等于与的和，最后利用三角形的内角和定理即可得出的度数．
6．等腰三角形的周长为26cm，一边长为6cm，那么腰长为（ ）
A．6cm B．10cm
C．6cm或10cm D．14cm
【答案】B
【解析】【解答】解：①当6cm为腰长时，则腰长为6cm，底边=26﹣6﹣6=14cm，因为14＞6+6，所以不能构成三角形；
②当6cm为底边时，则腰长=（26﹣6）÷2=10cm，因为6﹣6＜10＜6+6，所以能构成三角形；
故选B．
【分析】题中给出了周长和一边长，而没有指明这边是否为腰长，则应该分两种情况进行分析求解．
7．如图，已知 中， ，AO，BO分别是角平分线，且 ，分别交AC于N，BC于M，则 的周长为（ ）
A．12 B．24 C．36 D．不确定
【答案】C
【解析】【解答】解：∵BO为角平分线，
∴∠3=∠4，
又∵∠3=∠5，
∴∠4=∠5，OM=BM，且AB∥MN，∠6=∠1，
∵AO为角平分线，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠6，ON=AN，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的定义及∠3=∠5，可得∠4=∠5，AB∥MN，∠1=∠2，从而可得OM=BM，∠6=∠1，由∠1=∠2，可得∠2=∠6，利用等角对等边可得ON=AN，由△CMN=CN+CM+OM+ON=CM+BM+CN+ON=AC+BC，据此即可求出结论.
8．有一等腰三角形纸片ABC，AB=AC，裁剪方式及相关数据如图所示，则得到的甲、乙、丙、丁四张纸片中，面积最大的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【解析】【解答】解：如图
∵AB=AC，AM⊥BC
∴BM=CM
由图可知BH=5，HM=2，EM=1，AE=2，AM=2+1=3，BM=CM=7，
∴S△ABM=S△ADH+S梯形ADHM，
∴
解之：DH=.
∴S甲=，S乙=.
∴S甲＞S乙
解之：EG=.
∴S丙=，S丁=.
∴S丙＜S丁 ∵S丁＜S甲，
∴丁的面积最大.
故答案为：D.
【分析】利用等腰三角形的三线合一的性质，易证BM=CM，观察图形可求出相关的线段的长，再根据S△ABM=S△ADH+S梯形ADHM，可求出DH的长，利用三角形的面积公式可求出甲、乙的面积；再利用同样的方法求出EG的长，继而可求出丙、丁的面积，然后比较甲、乙、丙、丁面积的大小，即可得到面积最大的图形。
9．如图，在中，，是的平分线，于点E.若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】【解答】解：∵BD是∠ABC平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝2，
∵AC＝5，
∴AD＝AC CD＝5 2＝3，
故答案为：B．
【分析】先利用角平分线的性质求出DE＝CD＝2，再利用线段的和差求出AD的长即可.
10．如图，在等边中，以为直角顶点作等腰直角， 分别交 、于 点 、， 为线段上一动点，为线段上一动点，且， 以下个结论：①；②；③；④当的值最小时， ． 正确的个数为( )
A．4个 B．3 个
C．2 个 D．1 个
【答案】A
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知等边三角形的边长为2，则该等边三角形的周长为 ．
【答案】6
12．如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点F，平分，已知，，的面积，求的面积 ．
【答案】4
【解析】【解答】解：如图，过点F作于点N，于点M，
，，分别为的角平分线，
，，
∴，
，
∵平分，
，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵的面积，
，
∴，
∴，
，
∴的面积，
故答案为：4．
【分析】本题主要考查了三角形面积计算，三角形全等的判定和性质，以及角平分线的性质，三角形内角和定理应用，过点F作于点N，于点M，由，分别为的角平分线，求得，得到，再由平分，得到，
利用ASA，证得，得出，同理证得，得出，结合，得出，根据的面积，列出方程，求得，结合，即可得出答案．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是△ABC的角平分线，BC＝10cm，BD：DC＝3：2，则点D到AB的距离为 ．
【答案】4
【解析】【解答】∵BC=10cm，BD：DC=3：2，
∴BD=6cm，CD=4cm，
∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB=90°，
∴点D到AB的距离等于DC，即点D到AB的距离等于4cm．
【分析】因为点D到AB的距离是点D到AB的垂线段的长度，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知CD与点D到AB的距离相等，结合已知可求得CD的长。
14．如图，已知点I是△ABC的角平分线的交点.若AB＋BI＝AC，设∠BAC＝α，则∠AIB＝ （用含α的式子表示）
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，在AC上截取AD=AB，连接DI，
点I是△ABC的角平分线的交点
所以有∠BAI=∠DAI，∠ABI=∠CBI，∠ACI=∠BCI，
在△ABI和△ADI中，
∴△ABI≌△ADI（SAS）
∴DI=BI
又∵AB＋BI＝AC，AB+DC=AC
∴DI=DC
∴∠DCI=∠DIC
设∠DCI=∠DIC=β
则∠ABI=∠ADI=2∠DCI=2β
在△ABC中，
∠BAC+2∠ABI+2∠DCI=180°，即 ，
∴
在△ABI中，
【分析】在AC上截取AD=AB，易证△ABI≌△ADI，所以BI=DI，由AB＋BI＝AC，可得DI=DC，设∠DCI=β，则∠ADI=∠ABI=2β，然后用三角形内角和可推出β与α的关系，进而求得∠AIB.
15．如图，在中，，以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，交AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点．作直线FG．若直线FG经过点E，则的度数为 °．
【答案】126
【解析】【解答】解：连接AD，DE，
设 ，
∵，
∴ ，
∵以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，交AC于点E，
∴ ，
∴ ，
∵分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：126．
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
16．中，为上一点，为上一点，过作，交于点，交于点，，，则 ．
【答案】
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．在△ABC中，已知∠A＝α．
（1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D．
①当α＝70°时，∠BDC度数＝ 度（直接写出结果）；
②∠BDC的度数为 （用含α的代数式表示）；
（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE角平分线交于点F，求∠BFC的度数（用含α的代数式表示）．
（3）在（2）的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的角平分线与∠GCB的角平分线交于点M（如图3），求∠BMC的度数（用含α的代数式表示）．
【答案】（1）125；90°+ α
（2）解：∵BF和CF分别平分∠ABC和∠ACE
∴ ， ，
∴∠BFC＝∠FCE﹣∠FBC）＝ ＝
即 ．
（3）解：由轴对称性质知： ，
由（1）②可得 ，
∴ ．
【解析】【解答】解：（1）①125°；
②结论： ，
理由：∵ ∠ABC，∠DCB＝ ∠ACB，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣ （∠ABC+∠ACB）＝180°﹣ （180°﹣∠A）＝90°+ ∠A＝90°+ α．
故答案分别为125°，90°+ α．
【分析】（1）①根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可求解；
②根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可求解；
（2）根据三角形的外角的性质和角平分线的定义，即可求解；
（3）根据轴对称图形的性质，结合（1）②的结论，即可求解．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）当∠DEF＝70°时，求∠A的度数．
【答案】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BDE和△CEF中，
，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形
（2）解：∵∠DEC＝∠B+∠BDE，
即∠DEF+∠CEF＝∠B+∠BDE，
∵△BDE≌△CEF，
∴∠CEF＝∠BDE，
∴∠DEF＝∠B，
在△ABC中，AB＝AC，∠DEF＝70°，
∴∠A＝40°．
【解析】【分析】（1）由等边对等角可得∠B＝∠C，根据SAS可证△BDE≌△CEF，可得DE＝EF，根据等腰三角形的判定即证；
（2） 利用三角形外角的性质可得∠DEC=∠DEF+∠CEF＝∠B+∠BDE，由（1）知△BDE≌△CEF，可得∠CEF＝∠BDE，从而可得∠DEF＝∠B=70°，利用等腰三角形的性质及三角形内角和即可求出∠A的度数.
19．数学课上，张老师举了下面的例题：
例1：等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数．(答案：35° )
例2：等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数．(答案：40°或70°或100° )
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式：等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数．
（1）请你解答以上的变式题；
（2）解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．
【答案】（1）（1）当∠A＝80°为顶角时，
∠B＝＝50°；
当∠B是顶角，则∠A是底角，则∠B＝180°-80°-80°＝20°；
当∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，则∠B＝∠A＝80°，
综上所述，∠B的度数为50°或20°或80°；
（2）分两种情况：
①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，
∴∠B的度数只有一个；
②当0＜x＜90时，
若∠A为顶角，则∠B＝（）°
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝（180-2x）°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°．
当≠180-2x且180-2x≠x且≠x，
即x≠60时，∠B有三个不同的度数．
综上所述，可知当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．
【解析】【分析】（1）∠A是顶角，则∠B是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；∠B是顶角，则∠A是底角，则根据等腰三角形的两个底角相等，以及三角形的内角和定理即可求解；∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；
（2）分两种情况：①90≤x＜180；②0＜x＜90，结合三角形内角和定理求解即可
20．在数学兴趣小组活动中，小明同学对几何动点问题进行了探究：
问题背景：在中，．点D为边上一动点，连接，点为边上一动点，连接，以为边，在右侧作等边，连接．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，当点运动到的四等分点（靠近点）时，点停止运动，此时点从点运动到点，试判断点从点运动到点的过程中线段和的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，点从的四等分点（靠近点）出发，向终点A运动，同时，点从点出发，向终点运动，运动过程中，始终保持，求出的最小值．
【答案】（1）证明：∵△BEF是等边三角形，
∴BE=BF，∠EBF=60°，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABC-∠CBE=∠EBF-∠CBE，
∴∠DBE=∠CBF，
又∵BD=BC，
∴△BDE≌△BCF(SAS).
（2），理由如下：
过点作，垂足为点，取中点，连接，
，
，
，
点是的中点，
，
是等边三角形，
，
点是中点，点是四等分点，
，
，
，
由（1）得，
又，
，
，
，
，
，
，
，
是的垂直平分线，
（3）解：以BC为边作等边△BCM，连接MF，
∵△BEF和△BCM是等边三角形，
，
，
，
，即当点和点运动过程中，始终保持，
则点F在以BM为直径的圆弧上运动，起点为的中点，终点为点，
由三角形三边关系可知，则，
连接，交圆弧于点，此时取得最小值，
是等边三角形，点是中点，，
，
，
，
则的最小值为．
【解析】【分析】
本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，垂直平分线的性质，隐圆，本题的关键在于构造全等三角形，发现隐圆从而解决最小值问题．（1）根据等边三角形的性质可知：BE=BF，∠EBF=60°，再根据角的和差运算和等式的性质可得：∠DBE=∠CBF，再结合BD=BC和三角形全等的判定定理SAS可证得△BDE≌△BCF，由此可证得结论；
（2）过点F作GF⊥BC于点G，取AB的中点H，连接CH，由四等分点证明DH=BD，再根据等腰三角形的性质推论：三线合一可得：DC⊥BH，根据三角形全等的判定定理AAS可证得△BDE≌△BGF，根据线段垂直平分线的判定定理可证得：GF是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得到BF=CF；
（3）以BC为边作等边三角形BCM，连接MF，证明，则可得点F在以BM为直径的圆弧上运动，起点为BC的中点N，终点为点M，连接OC，交圆弧于点F，此时CF取得最小值，即可求出答案．
（1）证明：是等边三角形，
，
，
，即，
又，
．
（2），理由如下：
过点作，垂足为点，取中点，连接，
，
，
，
点是的中点，
，
是等边三角形，
，
点是中点，点是四等分点，
，
，
，
由（1）得，
又，
，
，
，
，
，
，
，
是的垂直平分线，
．
（3）以为边作等边三角形，连接，
，是等边三角形，
，
，
，
，即当点和点运动过程中，始终保持，
则点在以为直径的圆弧上运动，起点为的中点，终点为点，
由三角形三边关系可知，则，
连接，交圆弧于点，此时取得最小值，
是等边三角形，点是中点，，
，
，
，
则的最小值为．
21．如图，已知AC、DB的交点为E，AE＝DE， ；过点E作EF⊥BC，垂足为F.
（1）求证： ABE≌ DCE；
（2）求证：F为BC边的中点.
【答案】（1）证明：在 ABE和 DCE中，
∴ ABE≌ DCE（ASA）
（2）证明：由（1）得 ABE≌ DCE
∴BE=CE
∵EF⊥BC
∴BF=FC
即F为BC边的中点.
【解析】【分析】（1）由已知条件可得AE=DE，∠A=∠D，由对顶角的性质可得∠AEB=∠DEC，然后结合全等三角形的判定定理ASA进行证明；
（2）由全等三角形的性质可得BE=CE，结合等腰三角形的性质可得BF=FC，据此证明.
22．如图，在边长为1的小正方形所组成的网格上，每个小正方形的顶点都称为“格点”，的顶点都在格点上，用直尺完成下列作图：
（1）作出关于直线的对称图形；
（2）的面积为 ．
【答案】（1）解：如图，点，点，点关于的对称点分别为点，点，点，
连接，，，
则即为所作．
（2）7
【解析】【解答】解：△ABC的面积=5×3-×4×2-×3×1-×5×1=7；
故答案为：7.
【分析】（1）根据轴对称的性质分别确定点A、B、C关于直线对称的对应点D、E、F，再顺次连接即可；
（2）利用割补法求出△ABC的面积即可.
23．已知，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，连接AC，BD．
（1）请补全图形，并说明AC，BD的位置关系；
（2）证明（1）中的结论.
【答案】（1）解：补图如下：
结论：AC⊥BD
（2）解：∵AB=AD
∴点A在线段BD的垂直平分线上
∵CB=CD
∴点C在线段BD的垂直平分线上
∵两点确定一条直线
∴AC是线段BD的垂直平分线
即AC⊥BD
【解析】【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）根据垂直平分线的判定定理证出点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，即可得出结论.
24．如图1，四边形中，交于．
（1）求证：平分；
（2）如图2，若的平分线与的延长线交于，设，
①若，求的值；
②若，试确定的取值范围．
【答案】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠C=180°.
∵DE⊥DC，
∴∠BDE+∠BDC=90°，
∴∠ADE+∠C=90°.
∵∠BDC=∠BCD，
∴∠BDE=∠ADE，
∴DE平分∠ADB.
（2）①∵DE平分∠ADB，BF平分∠ABD，
∴∠EDB=∠ADB，∠DBF=∠ABD，
∴∠EDB+∠DBF=(∠ADB+∠ABD).
∵∠A+∠ADB+∠ABD=180°，
∴∠EDB+∠DBF=90°-∠A.
∵∠EDF=90°，∠F=α=50°，
∴∠FGD=40°.
∵∠FGD=∠EDB+∠DBF，
∴90°-∠A=40°，
∴∠A=100°.
②∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠EDB+∠DBF=(∠ADB+∠ABD)=∠ABC.
∵∠FGD=∠EDB+∠DBF，
∴∠FGD=∠ABC.
∵∠F<∠ABC，
∴∠F<∠FGD.
∵∠F+∠FGD=90°，
∴∠F<45°，即0<α<45°.
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ADC+∠C=180°，有垂直的定义可得∠BDE+∠BDC=90°，则∠ADE+∠C=90°，根据已知条件可得∠BDC=∠BCD，则∠BDE=∠ADE，据此证明；
（2）①根据角平分线的概念可得∠EDB=∠ADB，∠DBF=∠ABD，则∠EDB+∠DBF=(∠ADB+∠ABD)，结合内角和定理可得∠EDB+∠DBF=90°-∠A，易得∠FGD=40°，由外角的性质可得∠FGD=∠EDB+∠DBF，据此求解；
②由平行线的性质可得∠ADB=∠DBC，结合角平分线的概念可得∠EDB+∠DBF=∠ABC，由外角的性质可得∠FGD=∠EDB+∠DBF，推出∠FGD=∠ABC，结合已知条件可得∠F<∠FGD，据此求解.
25．如图，等边△ABC 中，高线 AD=6，点P从点 A出发，沿着AD运动到点 D停止，以CP为边向左下方作等边△CPQ，连接BQ，DQ.
（1）请说明：△ACP ≌△BCQ；
（2）在点P的运动过程中，当△BDQ是等腰三角形时，求∠BDQ的度数；
【答案】（1）解：∵△ABC和△PQC是等边三角形，
∴AC=BC，PC=QC，∠ACB=∠PCQ=60°，
又∵∠ACP=60°-∠BCP，∠BCQ=60°-∠BCP，
∴∠ACP=∠BCP
在△ACP和△BCQ中，
∴△ACP≌△BCQ（SAS）.
（2）解：由（1）知，△ACP ≌△BCQ，
∴∠QBD=∠PAC=30°，
当△BDQ 是等腰三角形时，
①若BQ=QD，如图1，则∠BDQ=30°；
②若BQ=BD，如图2，则∠BDQ=75°；
③若BD=DQ，如图3，则∠BDQ=120°.
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AC=BC，PC=QC，∠ACB=∠PCQ=60°，根据角的和差关系可得∠ACP=∠BCP，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）由（1）知：△ACP ≌△BCQ，则∠QBD=∠PAC=30°，①若BQ=QD，根据等腰三角形的性质可得∠BDQ的度数；②若BQ=BD，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠BDQ的度数；③若BD=DQ，同理可得∠BDQ的度数.
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