高中数学第八章 课件【共10份打包】

(共64张PPT)
第八章
§8.1　直线的方程
数学
大
一
轮
复
习
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式).
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.直线的方向向量
设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量.
2.直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l_____
的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为 .
向上
0°≤α<180°
3.直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的　　　　叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k＝　　　.(α≠90°)
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝　　　.
正切值
tan α
　
4.直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 ________________ 不含直线x＝x0
斜截式 __________ 不含垂直于x轴的直线
两点式 __________________________ 不含直线x＝x1和直线y＝y1
截距式 _________ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 _________________________ 平面直角坐标系内的直线都适用
y－y0＝k(x－x0)
y＝kx＋b
(x1≠x2，y1≠y2)
＝1
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角.(　　)
(2)直线的斜率越大，倾斜角就越大.(　　)
(3)若直线的倾斜角为α，则斜率为tan α.(　　)
(4)截距一定是正数.(　　)
×
√
×
×
2.直线x－y＋2 025＝0的倾斜角是
A.30° B.45° C.60° D.90°
根据题意，设直线x－y＋2 025＝0的倾斜角为α，
因为其斜率k＝tan α＝，
又由0°≤α<180°，所以α＝60°.
√
3.过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_________________
　　　　　.
3x－2y＝0或x＋
y－5＝0
当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；
当截距不为0时，设直线方程为＝1，
则＝1，
解得a＝5，直线方程为x＋y－5＝0.
所以直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
4.直线x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)所过的定点坐标为　　　　 .
(1，－1)
直线x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)可以化为m(y＋1)＋y＋x＝0，
令故所过的定点坐标为(1，－1).
1.倾斜角与斜率的关系
(1)当直线不垂直于x轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系.
(2)当直线l的倾斜角α∈时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈时，α越大，直线l的斜率越大.
(3)所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率，与x轴垂直的直线的倾斜角为，其斜率不存在.
微点提醒
2.直线的方向向量
当直线的斜率k存在时，直线的方向向量为(1，k).
3.谨记以下两个关键点
(1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.
(2)当直线的斜率存在时，可设直线的方程为y＝kx＋b；当直线的斜率不为0时，可设直线的方程为x＝ty＋b.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)(多选)已知直线l：x＋y－2＝0，则下列选项中正确的有
A.直线l的斜率为－
B.直线l的倾斜角为
C.直线l不经过第四象限
D.直线l的一个方向向量为v＝(－，3)
√
直线的倾斜角与斜率
题型一
√
由l：x＋y－2＝0，可得y＝－x＋2，故其斜率为k＝－，倾斜角为，故A项正确，B项错误；
由直线y＝－x＋2知其斜率k<0，纵截距b＝2>0，所以直线l不经过第三象限，经过第四象限，故C项错误；
取直线l上两点A(0，2)，B(，－1)，可得＝(－，3)，即直线l的一个方向向量为v＝(－，3)，故D项正确.
(2)若直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是　　　　　　　　　　　　，直线l的倾
斜角的取值范围是　　　　 .
(－∞，－]∪[1，＋∞)
如图，当直线l过点B时，设直线l的斜率为k1，则k1
＝＝－；当直线l过点A时，设直线l的斜率为
k2，则k2＝＝1，所以要使直线l与线段AB有公共
点，则直线l的斜率的取值范围是(－∞，－]∪
[1，＋∞).
方法一　设直线l的倾斜角为α，所以tan α∈(－∞，－]∪[1，＋∞)，且α∈[0，π)，
所以α的取值范围是.
方法二　因为k1＝－，k2＝1，
所以直线PA，PB的倾斜角分别为，
由图可知，直线l的倾斜角的取值范围是.
直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分两种情况讨论.
思维升华
跟踪训练1　(1)如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则
A.k1B.k3C.k1D.k3当倾斜角为锐角时，斜率为正，倾斜角越大，倾斜程度越大，斜率越大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，所以k1√
(2)直线(1－a2)x＋y＋1＝0(a∈R)的倾斜角的取值范围是
A. B.
C.∪ D.∪
设(1－a2)x＋y＋1＝0的倾斜角为α∈[0，π)，
由题意可知，直线的斜率k＝a2－1≥－1，
即tan α≥－1，且α∈[0，π)，所以α∈∪.
√
求直线的方程
题型二
例2　(1)(多选)下列四个选项中，正确的是
A.经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B.经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(x2－
　x1)·(y－y1)＝(y2－y1)·(x－x1)表示
C.两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线
D.经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示
√
√
经过定点P0(x0，y0)的直线，当斜率存在时，可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示，当斜率不存在时，用方程x＝x0表示，A错误；
经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(x2－x1)·(y－y1)＝(y2－y1)·(x－x1)表示，B正确；
两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线，C正确；
经过定点A(0，b)且垂直于x轴的直线不能用方程y＝kx＋b表示，D错误.
(2)(多选)下列说法中，正确的是
A.直线y＝5x－3在y轴上的截距为－3
B.以向量n＝(－3，4)为方向向量且过点(2，－3)的直线方程为4x＋3y－1
　＝0
C.A(1，3)，B(2，5)，C(－2，－3)三点共线
D.经过点(－1，1)且倾斜角是直线y＝2x＋3的倾斜角的两倍的直线方程为
　4x＋3y＋1＝0
√
√
√
令x＝0，则y＝－3，所以直线y＝5x－3在y轴上的截距为－3，故A正确；
依题意所求直线的斜率为－，又该直线过点(2，－3)，
故所求直线方程为y＋3＝－(x－2)，即4x＋3y＋1＝0，故B错误；
因为kAB＝＝2，kAC＝＝2，所以kAB＝kAC，所以A(1，3)，B(2，5)，
C(－2，－3)三点共线，故C正确；
设直线y＝2x＋3的倾斜角为α，则tan α＝2，显然α是锐角，因此所求直线
的斜率k＝tan 2α＝＝－，所以所求的直线方程为y－1＝
－(x＋1)，即4x＋3y＋1＝0，故D正确.
求直线方程的两种方法
(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式.
(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数.
思维升华
跟踪训练2　求符合下列条件的直线方程：
(1)直线过点A(－1，－3)，且斜率为－；
∵所求直线过点A(－1，－3)，且斜率为－，
∴直线方程为y＋3＝－(x＋1)，即x＋4y＋13＝0.
(2)斜率为，且与两坐标轴围成的区域的面积为6；
设直线方程为y＝x＋b，
令x＝0，得y＝b，
令y＝0，得x＝－b，
∴|b|·＝6，解得b＝±3，
∴直线方程为y＝x±3，即3x－4y±12＝0.
(3)直线过点(2，1)，且横截距为纵截距的两倍.
当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为y＝kx，
又直线过点(2，1)，∴1＝2k，解得k＝，
∴直线方程为y＝x，即x－2y＝0；
当横截距与纵截距都不为0时，
可设直线方程为＝1，
由题意可得
∴直线方程为＝1，即x＋2y－4＝0，
综上，所求直线方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0.
直线方程的综合应用
题型三
例3　已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程.
方法一　设直线l的方程为
y－1＝k(x－2)(k<0)，
则A，B(0，1－2k)，
S△AOB＝(1－2k)·
＝≥
＝×(4＋4)＝4，
当且仅当－4k＝－且k<0，即k＝－时，等号成立.
故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.
方法二　设直线l的方程为＝1，
且a>0，b>0，
因为直线l过点M(2，1)，所以＝1，
则1＝≥2，故ab≥8，
故S△AOB的最小值为ab＝×8＝4，
当且仅当，即a＝4，b＝2时，等号成立，
故直线l的方程为＝1，
即x＋2y－4＝0.
延伸探究　在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程.
由本例方法二知，＝1，a>0，b>0，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b
＝(a＋b)·
＝3＋≥3＋2，
当且仅当，
即a＝2＋，b＝1＋时，等号成立，
所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为＝1，即x＋
y－2－＝0.
直线方程综合问题的两大类型及解法
(1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决.
(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决.
思维升华
跟踪训练3　(1)(2025·菏泽模拟)“直线y＝(k－1)x＋2k＋1经过第一、二、四象限”是“－A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
要使y＝(k－1)x＋2k＋1经过第一、二、四象限，
则解得－因此，“直线y＝(k－1)x＋2k＋1经过第一、二、四象限”是“－的充要条件.
(2)已知O是坐标原点，直线l的方程为(m＋1)x＋y－2m－3＝0(m∈R).若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，则△AOB的面积最小值为　　　.
4
由题意知m≠－1，又(m＋1)x＋y－2m－3＝0，
令x＝0，得y＝2m＋3，令y＝0，得x＝，
由得到m>－1，
所以S△AOB＝×(2m＋3)××，
令m＋1＝t>0，得到S△AOB＝××≥×8＝4，
当且仅当4t＝，即t＝时取等号，此时m＝－.
返回
课时精练
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 A C B A C C BCD
题号 8 9 10 11 答案 AD AC 3x－y＝0或x－y+2＝0 题号 12 13 14 答案 C (1，－2) 13
14
一、单项选择题
1.若向量a＝(，1)是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为
A. B. C. D.
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知识过关
答案
√
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答案
设直线l的倾斜角为α(0≤α<π)，
若向量a＝(，1)是直线l的一个方向向量，
则直线l的斜率为k＝tan α＝，
因为0≤α<π，所以α＝.
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答案
2.已知直线(a－)x＋y＋2＝0的倾斜角为30°，则a等于
A.2 B. C. D.0
直线(a－)x＋y＋2＝0的斜率为－a，所以tan 30°＝－a＝，解得a＝.
√
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答案
3.(2024·贵阳模拟)直线l1，l2的倾斜角分别为α，β，则“α＝β”是“tan α＝tan β”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
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答案
因为直线l1，l2的倾斜角分别为α，β，
所以α∈[0，π)，β∈[0，π)，
若tan α＝tan β，则α＝β，
若α＝β＝，则tan α，tan β都不存在，
所以“α＝β”是“tan α＝tan β”的必要不充分条件.
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答案
4.已知直线l倾斜角的余弦值为－，且经过点(2，1)，则直线l的方程为
A.2x＋y－5＝0 B.2x－y－3＝0
C.x－2y＝0 D.x＋2y－4＝0
√
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答案
设直线l的倾斜角为θ∈[0，π)，则cos θ＝－，可得sin θ＝，
则直线l的斜率k＝tan θ＝＝－2，
且直线l经过点(2，1)，
所以直线l的方程为y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.
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答案
5.若直线沿x轴向右平移2个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则直线l的斜率为
A.－2 B.－ C. D.2
由题意，设直线方程为y＝kx＋b，直线沿x轴向右平移2个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，直线方程为y＝k(x－2)＋b＋1，化简得y＝kx－2k＋b＋1，因为平移后与原直线重合，则kx＋b＝kx－2k＋b＋1，
解得k＝.
√
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答案
6.(2024·乌鲁木齐模拟)直线l1，l2的斜率分别为1，2，l1，l2的夹角为θ，则sin 2θ等于
A. B. C. D.
√
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答案
设直线l1，l2的倾斜角分别为α，β，
则β>α，tan α＝1，tan β＝2，θ＝β－α，
因此tan θ＝tan(β－α)＝＝，
所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝
＝.
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二、多项选择题
7.下列命题中错误的是
A.若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数
B.任何直线都存在斜率和倾斜角
C.直线的一般式方程为Ax＋By＋C＝0
D.任何一条直线至少要经过两个象限
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答案
√
√
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答案
若直线的倾斜角α∈，则其斜率k＝tan α<0，A正确；
倾斜角为的直线不存在斜率，B错误；
直线的一般式方程为Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0，C错误；
当直线与x轴或y轴重合时，该直线不经过任何象限，D错误.
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答案
8.对于直线l：x＝my＋1，下列说法正确的是
A.直线l恒过定点(1，0)
B.直线l的斜率必定存在
C.当m＝时，直线l的倾斜角为60°
D.当m＝2时，直线l在y轴上的截距为－
√
√
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答案
直线l：x＝my＋1，令y＝0，则x＝1，所以直线l恒过定点(1，0)，故A正确；
当m＝0时，直线l的斜率不存在，故B不正确；
当m＝时，直线l：x＝y＋1，即y＝x－，则直线l的斜率为，
所以直线l的倾斜角为30°，故C不正确；
当m＝2时，直线l：x＝2y＋1，令x＝0，解得y＝－，即直线l在y轴上的截距为－，故D正确.
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答案
9.下列说法正确的是
A.直线y＝ax－2a＋3(a∈R)必过定点(2，3)
B.直线y＋1＝2x在y轴上的截距为1
C.点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l：mx＋y－m－1＝0与线段AB相交，
　则实数m的取值范围是
D.方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)表示同一条直线
√
√
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答案
直线y＝ax－2a＋3＝a(x－2)＋3过定点(2，3)，A选项
正确；
直线y＋1＝2x即y＝2x－1，在y轴上的截距为－1，B
选项错误；
直线l：mx＋y－m－1＝0即m(x－1)＋y－1＝0过定点C(1，1)，画出图象
如图所示，其中kAC＝＝－4，kBC＝，直线l的斜率为－m，所以－m≥或－m≤－4，解得m≤－或m≥4，C选项正确；
方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)相比不含点(－1，2)，D选项错误.
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答案
三、填空题
10.已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为
　　　　　.
由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则
得k≥.
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答案
11.经过点(1，3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是_______
　　　　　　　　.
3x－y
＝0或x－y＋2＝0
当直线过原点时，由于斜率为＝3，故直线方程为y＝3x，即3x－y＝0；
当直线不过原点时，设直线方程为＝1，把点(1，3)代入可得a＝－2，
故直线方程为x－y＋2＝0.
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答案
12.(2024·信阳模拟)动点P在函数y＝－(x＋1)的图象上，以P为切点的切
线的倾斜角的取值范围是　　　　　.
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答案
设以P点为切点的切线的倾斜角为θ，
因为函数f(x)＝－(x≥0)，
所以f'(x)＝－
＝－≤－×2＝－，
当且仅当3，即x＝时取等号，
又因为θ∈[0，π)，所以tan θ≤－，
所以θ∈.
故倾斜角的取值范围是.
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答案
能力拓展
13.已知直线l的斜率小于0，且l经过点P(6，8)，并与坐标轴交于A，B两点，C(4，0)，当△ABC的面积取得最小值时，直线l的斜率为
A.－ B.－ C.－ D.－
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答案
由题意可设直线l：y－8＝k(x－6)(k<0)，即y＝kx＋8－6k(k<0).
不妨假设A在x轴上，则A，B(0，8－6k)，易知A在C右侧，
记O为坐标原点，因为线段OA与OB的长度分别为6－，8－6k，
所以△ABC的面积S＝(8－6k)＝≥(64＋
2)＝32＋16，
当且仅当－＝－12k(k<0)，即k＝－时，等号成立.
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答案
14.若实数a，b，c成等差数列，则直线ax＋by＋c＝0必经过一个定点，则该定点坐标为　　　　　.
因为实数a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b，即a－2b＋c＝0，
所以直线ax＋by＋c＝0必过点(1，－2).
(1，－2)
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13
14(共64张PPT)
第八章
§8.2　两条直线的位置关系
数学
大
一
轮
复
习
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表：
位置 关系 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件
平行 _______________ ____________________________________________________________________________
垂直 __________ _______________
相交 _______ _______________
k1＝k2且b1≠b2
A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)
k1·k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0
2.三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2).
②结论：|P1P2|＝ .
③特例：点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝ .
(2)点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ .
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝ .
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2 l1∥l2.(　　)
(2)若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　)
(3)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离.(　　)
(4)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上.(　　)
√
×
×
√
2.(2025·福州模拟)若直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：(a－1)x－y－＝0垂直，则实数a的值是
A.－1或2 　 B.－1 C.2 D.
直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：(a－1)x－y－＝0垂直，则有a(a－1)－2＝0，解得a＝－1或a＝2.
√
3.两条平行直线x＋y＋4＝0与2x＋2y＋3＝0间的距离为
A. B. C. D.
因为直线x＋y＋4＝0，即2x＋2y＋8＝0，
原问题转化为求两条平行直线2x＋2y＋8＝0与2x＋2y＋3＝0间的距离，
由两条平行直线间的距离公式可得d＝.
√
4.过直线x＋y＋1＝0和3x－y－3＝0的交点，且倾斜角为45°的直线方程为　　　　　　.
x－y－2＝0
联立，又倾斜角为45°，所以斜率为1，故直线方程为y＋＝x－，即x－y－2＝0.
谨防四个易误点
(1)两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况.
(2)两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况.
(3)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.
(4)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)已知直线l1：ax＋y－2＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋2＝0，l3：－2bx＋y＋1＝0，a，b∈R，若l1∥l2，l1⊥l3，则b等于
A.－或 B.
C.或－ D.
√
两条直线的平行与垂直
题型一
已知直线l1：ax＋y－2＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋2＝0，l3：－2bx＋y＋1＝0，a，b∈R，
由l1∥l2，得a(a＋1)－2＝0，解得a＝－2或a＝1，
当a＝－2时，l1：－2x＋y－2＝0，即2x－y＋2＝0，l2：2x－y＋2＝0，所以l1与l2重合，不符合题意；
当a＝1时，l1：x＋y－2＝0，l2：2x＋2y＋2＝0，即x＋y＋1＝0，所以l1∥l2.
故a＝1，
由l1⊥l3，得－2b＋1＝0，故b＝.
(2)(2025·许昌模拟)已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(3，
－2)，C(5，1)，D(2，3)，则四边形ABCD的形状是
A.平行四边形 B.正方形
C.菱形 D.矩形
√
因为kAB＝－，kBC＝，
kCD＝－，kAD＝，
所以kAB＝kCD，kBC＝kAD，
所以AB∥CD，BC∥AD，
所以四边形ABCD是平行四边形，
又kABkAD＝－1，则AB⊥AD，所以四边形ABCD是矩形，
又|AB|＝，|BC|＝，即|AB|
＝|BC|，
所以四边形ABCD是正方形.
判断两条直线位置关系的注意点
(1)斜率不存在的特殊情况.
(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.
思维升华
跟踪训练1　(1)已知直线l1：a2x－y＋a2－3a＝0，l2：(4a－3)x－y－2＝0，若l1∥l2，则a等于
A.1 B.1或2 C.1或3 D.3
直线l1：a2x－y＋a2－3a＝0，l2：(4a－3)x－y－2＝0，可化为
l1：y＝a2x＋a2－3a，l2：y＝(4a－3)x－2，
因为l1∥l2，
所以解得a＝3.
√
(2)(多选)△ABC的三个顶点坐标为A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列说法中正确的是
A.边BC与直线3x－2y＋1＝0平行
B.边BC上的高所在的直线方程为3x＋2y－12＝0
C.过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为x＋y－13＝0
D.过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点D(3，5)
√
√
直线BC的斜率为k＝，而直线3x－2y＋1＝0的斜率为，两直线不
平行，A错误；
边BC上的高所在直线斜率为－，直线方程为y＝－(x－4)，即3x＋2y－
12＝0，B正确；
过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为x＋y－13＝0，过原点时方程为7x－6y＝0，C错误；
过点A且平分△ABC面积的直线过边BC的中点，中点坐标为(3，5)，D正确.
两直线的交点与距离问题
题型二
例2　(1)(2024·南阳质检)点P为直线2x－3y＋1＝0和x＋y－2＝0的交点，则点P到直线l：kx－y＋k＋2＝0的最大距离为
A. B. C. D.5
√
由即P(1，1)，
直线l：k(x＋1)＋2－y＝0，所以直线l过定点A(－1，2)，
所以当直线AP与直线l垂直时，点P到直线l的距离最大，
且最大值为|AP|＝.
(2)(2024·武汉模拟)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－8＝0之间的距离是2，则m－n＝　　　.
10
由题意可得＝－，解得n＝－4，
此时l1的方程为x－2y＋m＝0，l2的方程为x－2y－4＝0，
则2，
即|m＋4|＝10，解得m＝6或m＝－14，
又m>0，所以m＝6，
故m－n＝10.
利用距离公式应注意的点
(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.
(2)使用两条平行线间的距离公式前要把两条直线方程化为一般式且x，y的系数对应相等.
思维升华
跟踪训练2　(1)过两条直线l1：x＋2y－4＝0，l2：2x－y－3＝0的交点，且与直线x＋3y＋1＝0垂直的直线的方程为
A.3x－y－5＝0 B.6x－2y－3＝0
C.x－3y＋3＝0 D.3x＋y－7＝0
√
由
设与直线x＋3y＋1＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则3×2－1＋m＝0，得m＝－5，
所以所求直线方程为3x－y－5＝0.
(2)(多选)(2024·九江模拟)已知两条平行直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－3＝0.若直线l被l1，l2截得的线段长为2，则直线l的倾斜角可能是
A.15° B.75° C.105° D.165°
√
√
∵直线l被l1，l2截得的线段长为2，
两平行直线的距离d＝＝2，
∴直线l和l1，l2的夹角为45°，
又直线l1，l2的倾斜角为150°，
∴直线l的倾斜角可能是15°或105°.
直线系方程
微拓展
常见的直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C).
(2)与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C2＝0.
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，λ∈R，但不包括直线l2.
典例　过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为
A.3x－19y＝0 B.19x－3y＝0
C.19x＋3y＝0 D.3x＋19y＝0
设过两直线交点的直线系方程为
x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，
代入原点坐标，得4＋5λ＝0，解得λ＝－，
故所求直线方程为x－3y＋4－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.
√
对称问题
题型三
例3　已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求：
(1)点A关于直线l的对称点A'的坐标；
设A'(x，y)，由已知条件得
解得所以A'.
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l对称的直线m'的方程；
在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M'必在直线m'上.
设对称点M'(a，b)，则
得M'.
设直线m与直线l的交点为Q，
由得Q(4，3).
又m'经过点Q(4，3)，所以直线m'的方程为，即9x－46y＋102＝0.
(3)直线l关于点A的对称直线l'的方程.
方法一　在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，
如P(1，1)，Q(4，3)，则P，Q关于点A(－1，－2)的对称点P'，Q'均在直线l'上，
易得P'(－3，－5)，Q'(－6，－7)，
所以l'的方程为，即2x－3y－9＝0.
方法二　因为l∥l'，
所以设l'的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1).
因为点A(－1，－2)到两直线l，l'的距离相等，
所以由点到直线的距离公式，
得，得C＝－9，所以l'的方程为2x－3y－9＝0.
对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题.
思维升华
跟踪训练3　(1)直线3x－2y＝0关于点对称的直线方程为
A.2x－3y＝0 B.3x－2y－2＝0
C.x－y＝0 D.2x－3y－2＝0
√
方法一　设所求直线上任一点为(x，y)，则其关于点，
因为点在直线3x－2y＝0上，
所以3－2(－y)＝0，
化简得3x－2y－2＝0，
所以所求直线方程为3x－2y－2＝0.
方法二　在直线3x－2y＝0上任取两点O(0，0)，
M(2，3)，
设点O，M关于点的对称点分别为O'，M'，
则O'，M'，
所以所求直线方程为，
即3x－2y－2＝0.
(2)设直线l1：x－2y－2＝0与l2关于直线l：2x－y－4＝0对称，则直线l2的方程是
A.11x＋2y－22＝0 B.11x＋y＋22＝0
C.5x＋y－11＝0 D.10x＋y－22＝0
√
联立
取直线l1：x－2y－2＝0上一点(0，－1)，设点(0，－1)关于直线l：2x－y－4＝0的对称点为(a，b)，则
直线l2的斜率k＝＝－，
所以直线l2的方程为y＝－(x－2)，
整理为11x＋2y－22＝0.
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课时精练
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 A A D D D C BCD
题号 8 9 10 11 答案 ACD AC x+y－1＝0 3x+y－20＝0和3x+y+10＝0 题号 12 13 14 答案 C 13
14
一、单项选择题
1.已知直线l1：x＋(a－1)y－3＝0与直线l2：x＋2y＋3＝0相互垂直，则a的值为
A. B.1 C.3 D.－
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知识过关
答案
∵l1⊥l2，∴1×1＋(a－1)·2＝0，解得a＝.
√
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答案
2.“m＝－3”是“直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
由直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，得≠且m≠0，解得m＝2或m＝－3，所以“m＝－3”是“直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行”的充分不必要条件.
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答案
3.直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0相交，则k的取值范围是
A.{k|k≠1} B.{k|k≠－9}
C.{k|k≠1且k≠9} D.{k|k≠1且k≠－9}
由题意得3(2k－3)－k·[－(k＋2)]≠0，
解得k≠1且k≠－9.
√
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答案
4.(2025·绵阳模拟)已知A(－2，0)，B(4，m)两点到直线l：x－y＋1＝0的距离相等，则m等于
A.－2 B.6
C.－2或4 D.4或6
√
点A到直线l的距离为，
点B到直线l的距离为，
因为点A到直线l的距离和点B到直线l的距离相等，
所以|5－m|＝1，所以m＝4或m＝6.
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答案
5.(2024·绍兴模拟)原点O到直线l：λx＋y－λ＋1＝0(λ∈R)的距离的最大值为
A. B. C. D.
√
直线l：λx＋y－λ＋1＝0，可化为l：λ(x－1)＋y＋1＝0，
令
所以直线l过定点P(1，－1)，
当OP⊥l时，原点到直线l：λx＋y－λ＋1＝0(λ∈R)的距离最大，最大值为|OP|＝.
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答案
6.过定点M(1，2)作两条相互垂直的直线l1，l2，设原点到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，则d1＋d2的最大值为
A. B.2 C. D.
√
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答案
如图所示，作OP⊥l1交l1于点P，作OQ⊥l2交l2于点Q，
可得四边形OPMQ为矩形，连接OM，
所以＝|OM|2＝12＋22＝5，
又由基本不等式可知，≤，
所以≤，
即d1＋d2≤，当且仅当d1＝d2＝时，等号成立，
故d1＋d2的最大值为.
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二、多项选择题
7.(2024·南平模拟)已知直线l1：4x－3y－3＝0，直线l2：(m＋2)x－(m＋1)y＋m＝0(m∈R)，则
A.当m＝－1时，l1⊥l2
B.当m＝2时，l1∥l2
C.当l1∥l2时，l1与l2之间的距离为1
D.直线l1与l2不可能重合
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答案
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√
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答案
当m＝－1时，l2：x－1＝0，显然与l1不垂直，A不正确；
当m＝2时，l2：4x－3y＋2＝0，因为≠，所以l1∥l2，B正确；
当l1∥l2时，4m＋4＝3m＋6且3m≠－3m－3，解得m＝2，此时l2：4x－3y
＋2＝0，l1与l2之间的距离为d＝＝1，C正确；
若两直线重合，则，该方程无解，所以两直线不可
能重合，D正确.
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答案
8.若三条不同的直线l1：ax＋y＋2＝0，l2：x＋y－1＝0，l3：x－y＋3＝0不能围成一个三角形，则a的取值可能为
A.－1 B.－ C.1 D.4
√
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√
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答案
若l1∥l2，则a＝1；
若l1∥l3，则－a＝1，解得a＝－1；
若l1，l2，l3交于一点，联立方程组
代入ax＋y＋2＝0，得－a＋2＋2＝0，解得a＝4，
综上，a的取值集合为{4，－1，1}.
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答案
9.(2024·太原模拟)已知直线l1：x＋y＝0，l2：2x－3y－6＝0，则下列说法正确的是
A.直线l1与l2相交于点
B.直线l1，l2和x轴围成的三角形的面积为
C.直线l2关于原点O对称的直线方程为2x－3y＋6＝0
D.直线l2关于直线l1对称的直线方程为3x－2y＋6＝0
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答案
由
，所以A选项正确；
直线l2：2x－3y－6＝0与x轴的交点为(3，0)，与y轴的交点为(0，－2)，直线l1过原点，由图可知，直线l1，l2和x轴围成的三角形的面积为×3×，所以B选项错误；
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答案
由上述分析可知，直线l2关于原点O对称的直线过
点(－3，0)，(0，2)，所以直线l2关于原点O对称的
直线方程为y－2＝(x－0)，即2x－3y＋6＝0，
所以C选项正确；
点(3，0)关于直线x＋y＝0的对称点是(0，－3)，点(0，－2)关于直线x＋y
＝0的对称点是(2，0)，所以直线l2关于直线l1对称的直线方程为＝
1，即3x－2y－6＝0，所以D选项错误.
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三、填空题
10.经过点P(1，0)和两直线l1：x＋2y－2＝0，l2：3x－2y＋2＝0交点的直线方程为　　　　　　.
x＋y－1＝0
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设所求直线方程为x＋2y－2＋λ(3x－2y＋2)＝0，点P(1，0)在直线上，
∴1－2＋λ(3＋2)＝0，解得λ＝，
∴所求直线方程为x＋2y－2＋×(3x－2y＋2)＝0，即x＋y－1＝0.
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答案
11.已知两条平行直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自绕点A，B旋转，平行线之间的距离最大时两平行直线方程分别为______________
　　　　　　　　.
3x＋y－20＝0
和3x＋y＋10＝0
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答案
两条平行直线分别过点A(6，2)，B(－3，－1)，并且各自绕点A，B旋转，
当直线AB与两平行直线垂直时，两平行线之间的距离最大，
因为直线AB的斜率kAB＝，
故这两条平行直线的斜率为－3，
则两平行直线方程分别为y－2＝－3(x－6)，y＋1＝－3(x＋3)，
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
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答案
12.(2024·贵州模拟)“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”这是唐代边塞诗人李颀的《古从军行》中的诗句，诗句中隐含着一个著名的数学问题——“将军饮马”问题，即将军观望烽火之后，从山脚下的某处返回军营，途中须到河边让马饮水然后再赶回军营，将军怎样走才能使返回总路程最短？已知在平面直角坐标系中，军营所在位置为坐标原点O(0，0)，将军从山脚下的点P(1，1)处出发返回军营，河岸线所在直线方程为x－y＋2＝0.则返回总路程最短为　　　 .
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答案
过P作关于直线x－y＋2＝0对称的点Q，如图，
设Q(a，b)，
所以
解得
所以Q(－1，3)，故最短距离为|QO|＝.
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答案
能力拓展
13.设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是
A. B. C.5 D.10
√
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答案
显然x＋my＝0过定点A(0，0)，直线mx－y－m＋3＝0可
化成y＝m(x－1)＋3，则经过定点B(1，3)，
根据两条直线垂直的一般式方程的条件，得1×m＋m×
(－1)＝0，
于是直线x＋my＝0和直线mx－y－m＋3＝0垂直，
又P为两条直线的交点，则PA⊥PB，
又|AB|＝，
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答案
由勾股定理和基本不等式，
|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10≥2|PA|·|PB|，则|PA|·|PB|≤5，
当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立，所以|PA|·|PB|
的最大值是5.
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答案
14.正方形ABCD的两个顶点A，B在直线x＋y－4＝0上，另两个顶点C，D分别在直线2x－y－1＝0，4x＋y－23＝0上，那么正方形ABCD的边长为
　　　　　　.
2或14
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答案
返回
设直线CD的方程为x＋y＋m＝0，
联立得C，
联立得D，
∴由两点间的距离公式可得|CD|＝|m＋11|，
又直线AB与CD的距离为d＝，∴|m＋11|＝，
解得m＝－8或m＝－32，即|CD|＝2或14.
即正方形的边长为2或14.
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14(共74张PPT)
第八章
§8.3　圆的方程
数学
大
一
轮
复
习
1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.
2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.圆的定义和圆的方程
定义 平面上到定点的距离等于　　　的点的集合叫做圆 方 程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C_______
半径为___
一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 圆心C____________
半径r＝________________
定长
(a，b)
r
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|>r M在　　　，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2 M在圆外；
(2)|MC|＝r M在　　　，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 M在圆上；
(3)|MC|圆外
圆上
圆内
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(　　)
(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2，1)为圆心，a为半径的圆.(　　)
(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　)
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　　)
√
√
×
√
2.在平面直角坐标系中，圆心为(1，0)，半径为2的圆的标准方程是
A.(x－1)2＋y2＝2 B.(x＋1)2＋y2＝2
C.(x－1)2＋y2＝4 D.(x＋1)2＋y2＝4
√
3.(多选)已知圆C：x2＋y2－4x＋6y＋11＝0与点A(0，－5)，则
A.圆C的半径为2
B.点A在圆C外
C.点A在圆C内
D.点A与圆C上任一点距离的最小值为
√
√
因为x2＋y2－4x＋6y＋11＝0，即(x－2)2＋(y＋3)2＝2，所以圆心为C(2，－3)，半径r＝，故A错误；
又|AC|＝＝2>r，所以点A在圆C外，故B正确，C错误；
因为|AC|＝2，所以点A与圆C上任一点距离的最小值为|AC|－r＝，故D正确.
4.若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围为
A.R B.a≤1
C.a<1 D.a>1
√
根据题意，若方程表示圆，则有(2a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，解得a<1.
1.掌握圆的两个性质
(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；
(2)圆心在任一弦的中垂线上.
2.牢记一个相关结论
圆的“直径式”方程：以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　设☉M的圆心M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在☉M上，则☉M的方程为　　　　　　　　　　.
圆的方程
题型一
(x－1)2＋(y＋1)2＝5
方法一　设☉M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
则
∴☉M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
方法二　设☉M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则M，
∴
∴☉M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
方法三　设A(3，0)，B(0，1)，☉M的半径为r，
则kAB＝＝－，线段AB的中点坐标为，
∴线段AB的垂直平分线方程为y－＝3，
即3x－y－4＝0.
联立∴M(1，－1)，
∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，
∴☉M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
求圆的方程的常用方法
(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.
思维升华
跟踪训练1　(2025·邢台模拟)已知圆C与y轴相切于点A(0，2)，且与直线4x－3y＋9＝0相切，则圆C的标准方程为
A.(x－3)2＋(y－2)2＝9
B.(x＋3)2＋(y－2)2＝9
C.(x－3)2＋(y－2)2＝9或＋(y－2)2＝
D.(x＋3)2＋(y－2)2＝9或＋(y－2)2＝
√
因为圆C与y轴相切于点A(0，2)，所以可设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－2)2＝a2.
因为圆C与直线4x－3y＋9＝0相切，所以圆心(a，2)到该直线的距离d＝＝|a|，所以a＝3或a＝－，
所以圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝9或＋(y－2)2＝.
与圆有关的轨迹问题
题型二
例2　已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍，则△MAB面积的最大值为
A.8 B.8 C.4 D.
√
命题点1　直接法
设M(x，y)，因为A(－2，0)，B(2，0)，
由|MA|＝|MB|，得(x＋2)2＋y2＝2(x－2)2＋2y2，
化简得M的轨迹方程为圆(x－6)2＋y2＝32，半径r＝4，
如图，有S△MAB≤·|AB|·r＝8.
所以△MAB面积的最大值为8.
命题点2　定义法
例3　已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且|AM|＝2，则点A的轨迹方程是
A.y2＝4x B.x2＋y2－2x－2y－3＝0
C.x2＋y2－2y－3＝0 D.y2＝－4x
√
因为圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，
所以圆心C(1，1)，半径r＝1，
因为点M是圆上的动点，所以|MC|＝1，
又AM与圆相切，且|AM|＝2，
则|AC|＝，
故点A的轨迹是以点C为圆心，为半径的圆，
所以点A的轨迹方程为(x－1)2＋(y－1)2＝5，
即x2＋y2－2x－2y－3＝0.
命题点3　相关点法
例4　(2024·新课标全国Ⅱ)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为
A.＝1(y>0) B.＝1(y>0)
C.＝1(y>0) D.＝1(y>0)
√
设点M(x，y)，
则P(x，y0)，P'(x，0)，
因为M为PP'的中点，
所以y0＝2y，即P(x，2y)，
又P在曲线x2＋y2＝16(y>0)上，
所以x2＋4y2＝16(y>0)，
即＝1(y>0)，
即点M的轨迹方程为＝1(y>0).
求与圆有关的轨迹问题的常用方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.
(3)相关点法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.
思维升华
跟踪训练2　已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0).求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
方法一　设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且AC，BC斜率均存在，
所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝，kBC＝·＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)，即(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
方法二　设线段AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).
所以直角顶点C的轨迹方程为
(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
设M(x，y)，C(x0，y0)，
因为B(3，0)，且M是线段BC的中点，
所以由中点坐标公式得x＝，y＝，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为
(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4(y≠0)，即(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
因此直角边BC的中点M的轨迹方程为
(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
命题点1　利用几何性质求最值
与圆有关的最值问题
题型三
例5　(多选)已知实数x，y满足x2＋y2－4y＋3＝0，则
A.当x≠0时，的最小值是－
B.x2＋y2的最小值是1
C.y－x的最小值是2－
D.|x＋y＋3|的最小值为2
√
√
由x2＋y2－4y＋3＝0，得x2＋(y－2)2＝1.该方程表示圆心
为C(0，2)，半径r＝1的圆.
设＝k(x≠0)，则k表示圆上的点(除去点(0，1)和(0，3))
与原点O(0，0)连线的斜率，
由y＝kx(x≠0)，则≤1，
解得k≥或k≤－，故A错误；
因为x2＋y2表示圆上的点到原点的距离的平方，又圆心在y轴上，
所以当x＝0，y＝1时，x2＋y2取得最小值，且最小值为1，故B正确；
设y－x＝b，则y＝x＋b，b表示当直线y＝x＋b与圆有公共点时，直线在y轴上的截距，
则≤1，
解得2－≤b≤2＋，
即y－x的最小值是2－，故C正确；
|x＋y＋3|表示圆上的点到直线x＋y＋3＝0距离的倍，
圆心(0，2)到直线x＋y＋3＝0的距离为d＝，
则|x＋y＋3|的最小值为×＝5－，故D错误.
圆的参数方程
微拓展
圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的参数方程为其中θ为参数.
典例　利用圆的参数方程求解例5选项B和C.
x2＋y2－4y＋3＝0可化为x2＋(y－2)2＝1，
令其中θ为参数.
对于B项，x2＋y2＝cos2θ＋(2＋sin θ)2＝cos2θ＋sin2θ＋4sin θ＋4＝4sin θ＋5，
∵sin θ∈[－1，1]
∴(x2＋y2)min＝4×(－1)＋5＝1.
对于C项，y－x＝2＋sin θ－cos θ＝sin＋2，∵sin∈[－1，1]，
∴(y－x)min＝×(－1)＋2＝2－.
命题点2　利用函数求最值
例6　设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0).则·的最大值为　　　　.
12
方法一　由题意，得＝(2－x，－y)，
＝(－2－x，－y)，
所以·＝x2＋y2－4，
由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程
x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，
所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4
＝6y－12.
易知2≤y≤4，所以当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12.
方法二　(向量极化恒等式)
因为O为AB的中点，则＝－，
所以·＝()·()＝－4，
设圆心坐标为C，则||max＝||＋1＝4，
所以(·)max＝42－4＝12.
与圆有关的最值问题的求解方法
(1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题.
(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值.
思维升华
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.
思维升华
跟踪训练3　(1)(2024·济南模拟)已知点Q(－1，1)，P为圆(x－1)2＋(y＋1)2＝4上的动点，则线段PQ的长度的取值范围为　　 　　　　；点P到直线3x＋4y－14＝0的距离的最大值为　　.
[2－2，2＋2]
5
圆(x－1)2＋(y＋1)2＝4的圆心为C(1，－1)，半径r＝2，
∴|QC|＝2，
∴2－2≤|PQ|≤2＋2，
∴线段PQ的长度的取值范围为[2－2，2＋2].
又圆心C(1，－1)到直线3x＋4y－14＝0的距离为d＝＝3，
∴圆(x－1)2＋(y＋1)2＝4上的动点P到直线3x＋4y－14＝0的距离的最大值为3＋2＝5.
(2)(2024·商洛模拟)已知P(x0，y0)是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上任意一点，则的最大值为　　　　 .
设k＝，
变形可得k(x0－3)－y0－1＝0，则的几何意义为直线k(x－3)－y－1＝
0的斜率，
圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圆C的圆心为C(1，1)，半径为1.
因为P(x0，y0)是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上任意一点，
所以圆C与直线k(x－3)－y－1＝0有公共点，
即圆C的圆心C(1，1)到直线k(x－3)－y－1＝0的距离不大于圆C的半径，
所以≤1，
解得≤k≤，
即.
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课时精练
对一对
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题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B D C C ACD AD
题号 8 11 12 答案 (3，5) ACD 850 答案
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(1)由题意可知，线段AB的中点为(2，3)，kAB＝0，所以线段AB的垂直平分线方程为x＝2，
它与x轴的交点为圆心C(2，0)，
又半径r＝|AC|＝，
所以圆C的方程为
(x－2)2+y2＝10.
9.
答案
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(2)设P(x0，y0)，Q(x，y)，
由＝3，
得(8－x0，－y0)＝3(8－x，－y)，
所以
又点P在圆C上，故(x0－2)2+＝10，
所以(3x－18)2+(3y)2＝10，
化简得点Q的轨迹方程为(x－6)2+y2＝.
9.
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(1)依题意，设圆C1的方程为(x－a)2+(y－3)2＝a2，
又圆心(a，3)在直线3x－2y＝0上，
∴3a－6＝0，∴a＝2，
∴圆C1的方程为
(x－2)2+(y－3)2＝4.
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(2)注意到点C1(2，3)和点C2(－3，－4)在直线x+y＝0的两侧，
直线x+y＝0与两圆分别相离，如图所示.
∴|PM|+|PN|≥|PC1|－2+|PC2|－3≥|C1C2|－5＝－5，
当且仅当M，N，P在线段C1C2上时等号成立，
则|PM|+|PN|的最小值为－5.
10.
一、单项选择题
1.(2025·重庆模拟)已知A(－1，0)，B(3，6)，则以AB为直径的圆的一般方程为
A.x2＋y2－2x－6y＋3＝0 B.x2＋y2－2x－6y－3＝0
C.x2＋y2＋2x－6y＋3＝0 D.x2＋y2＋2x－6y－3＝0
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知识过关
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答案
已知A(－1，0)，B(3，6)，则线段AB中点的坐标为，即(1，3).
|AB|＝＝2，
所以以AB为直径的圆的圆心坐标为(1，3)，半径为.
所以该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝13，
整理得一般方程为x2＋y2－2x－6y－3＝0.
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答案
2.圆心在y轴上，半径为2，且过点(2，4)的圆的方程为
A.x2＋(y－1)2＝1 B.(x－2)2＋y2＝4
C.(x－2)2＋(y－4)2＝4 D.x2＋(y－4)2＝4
依题意设圆心坐标为(0，b)，则圆的方程为x2＋(y－b)2＝4，又22＋(4－b)2＝4，解得b＝4，所以圆的方程为x2＋(y－4)2＝4.
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答案
3.已知等腰三角形ABC的底边BC对应的顶点是A(4，2)，底边的一个端点是B(3，5)，则底边另一个端点C的轨迹方程是
A.(x－4)2＋(y－2)2＝10
B.(x＋4)2＋(y－2)2＝10
C.(x－4)2＋(y－2)2＝10(去掉(3，5)，(5，－1)两点)
D.(x－4)2＋(y－2)2＝10(x≠3且x≠5)
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答案
设C(x，y)，由题意知，
|AB|＝，
因为△ABC是以BC为底边的等腰三角形，于是有|CA|＝|AB|＝，
即点C的轨迹是以A为圆心，为半径的圆，
又点A，B，C构成三角形，即三点不可共线，
则轨迹中需去掉点B(3，5)及点B关于点A对称的点(5，－1)，
所以点C的轨迹方程为(x－4)2＋(y－2)2＝10(去掉(3，5)，(5，－1)两点).
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答案
4.若直线x－y－3＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，动点P在圆C：x2＋(y－1)2＝1上，则△ABP面积的最大值为
A.2 B.2 C.3 D.3
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答案
因为直线x－y－3＝0与坐标轴的交点为A(，0)，B(0，－3)，
则|AB|＝＝2，
圆x2＋(y－1)2＝1的圆心为C(0，1)，半径r＝1，
则圆心C(0，1)到直线x－y－3＝0的距离d＝＝2，
所以圆C上的点P到直线x－y－3＝0的最大距离为d＋r＝2＋1＝3，
所以△ABP面积的最大值为×2×3＝3.
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答案
二、多项选择题
5.已知圆E：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则下列结论中正确的是
A.圆E的圆心为(－1，2)
B.圆E的半径为4
C.a＋b＝1
D.ab的取值范围是
√
√
√
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答案
将圆E的方程化为标准方程可得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，所以该圆的圆心为(－1，2)，半径为2，故选项A正确，选项B不正确；
由已知可得，直线2ax－by＋2＝0经过圆心，所以2a×(－1)－2b＋2＝0，整理可得a＋b＝1，故选项C正确；
由选项C知a＋b＝1，
所以ab≤，当且仅当a＝b＝时取等号，故选项D正确.
1
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答案
6.设圆C：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，则下列命题正确的是
A.任意k∈R，圆的面积都是4π
B.存在k∈R，使得圆C过点(3，0)
C.经过点(2，2)的圆C有且只有一个
D.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
√
√
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答案
由于对任意k∈R，圆的半径都是2，故面积都是4π，A正确；
由于(3－k)2＋(0－k)2＝2k2－6k＋9＝2≥>4，故圆C必定不过点(3，0)，B错误；
对k＝2－和k＝2＋，均有(2－k)2＝2，故(2－k)2＋(2－k)2＝4，即圆C经过点(2，2)，C错误；
圆心C(k，k)始终在直线y＝x上，D正确.
三、填空题
7.已知P(m，n)是圆C：x2＋y2－8x－6y＋23＝0上一点，则的最小值是　　　.
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答案
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答案
表示圆上的点P(m，n)到点(1，0)的距离，
由x2＋y2－8x－6y＋23＝0可化为(x－4)2＋(y－3)2＝2，
则圆心为(4，3)，半径为，
点(1，0)到圆心的距离为＝3，
所以点P(m，n)到点(1，0)的距离的最小值为3＝2，
即的最小值是2.
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答案
8.(2024·西安模拟)若过点P(0，1)可作圆x2＋y2－2x－4y＋a＝0的两条切线，则a的取值范围是　　　　.
圆x2＋y2－2x－4y＋a＝0，即圆(x－1)2＋(y－2)2＝5－a，则5－a>0，解得a<5.又过点P(0，1)可作圆的两条切线，则点P在圆外，所以>，即2>5－a，解得a>3，故3(3，5)
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12
答案
四、解答题
9.已知圆C的圆心在x轴上，并且过A(1，3)，B(3，3)两点.
(1)求圆C的方程；
由题意可知，线段AB的中点为(2，3)，kAB＝0，所以线段AB的垂直平分线方程为x＝2，
它与x轴的交点为圆心C(2，0)，
又半径r＝|AC|＝，
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
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答案
(2)若P为圆C上任意一点，定点M(8，0)，点Q满足＝3，求点Q的轨迹方程.
设P(x0，y0)，Q(x，y)，
由＝3，得(8－x0，－y0)＝3(8－x，－y)，
所以
又点P在圆C上，故(x0－2)2＋＝10，
所以(3x－18)2＋(3y)2＝10，
化简得点Q的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝.
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12
答案
10.已知圆C1的圆心在直线3x－2y＝0上，且与y轴相切于点(0，3).
(1)求圆C1的方程；
依题意，设圆C1的方程为(x－a)2＋(y－3)2＝a2，
又圆心(a，3)在直线3x－2y＝0上，
∴3a－6＝0，∴a＝2，
∴圆C1的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4.
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12
答案
(2)若M，N分别是圆C1和圆C2：(x＋3)2＋(y＋4)2＝9上的点，点P是直线x＋y＝0上的点，求|PM|＋|PN|的最小值.
注意到点C1(2，3)和点C2(－3，－4)在直线x＋y＝0的两侧，
直线x＋y＝0与两圆分别相离，如图所示.
∴|PM|＋|PN|≥|PC1|－2＋|PC2|－3
≥|C1C2|－5＝－5，
当且仅当M，N，P在线段C1C2上时等号成立，
则|PM|＋|PN|的最小值为－5.
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答案
能力拓展
11.(多选)已知圆C：x2＋(y－2)2＝2，点P是圆C上的一个动点，点A(2，0)，则
A.≤|AP|≤3
B.∠PAC的最大值为
C.△PAC面积的最大值为2
D.·的最大值为12
√
√
√
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12
答案
圆C的圆心为C(0，2)，半径r＝，
圆心C(0，2)到A(2，0)的距离d＝2，
∴2－r≤|AP|≤2＋r，
即≤|AP|≤3，故A正确；
根据题意，如图，当CP⊥AP时，∠PAC取得最大值，
此时△APC为直角三角形，由于|AC|＝2|CP|＝2，
∴∠PAC＝，
1
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12
答案
故∠PAC的最大值为，故B错误；
由于|AC|＝2|CP|＝2，
∴当AC⊥CP时，△PAC的面积最大，
即△PAC面积的最大值为×2×＝2，故C正确；
如图，当·取最大值，
||＝2，||＝3，
∴·＝12，故D正确.
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答案
12.(2025·桂林模拟)点P为圆x2＋y2＝152上一点，点A(5，0)，B(0，5)，记P到A，B两点的距离分别为l与m.则l2＋m2的最大值为　　　.
850
A(5，0)，B(0，5)，
设P(15cos θ，15sin θ)，θ∈[0，2π)，
则l2＋m2＝＋(15sin θ)2＋(15cos θ)2＋(15sin θ－5)2
＝225×2＋100－150(cos θ＋sin θ)
＝550－300sin，
故当θ＋，即θ＝时，l2＋m2取最大值，最大值为850.
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第八章
§8.4　直线与圆的位置关系
数学
大
一
轮
复
习
1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
相离 相切 相交
图形
量化 方程 观点 Δ　　0 Δ　　0 Δ　　0
几何 观点 d　　r d　　r d　　r
<
＝
>
>
＝
<
2.直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝　　　　　　.
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝___________________
.
3.直线与圆相切
圆C的圆心为C，半径为r，切线为l，切点为P，则|CP|＝r，CP⊥l.
2
·
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)过点P有两条与圆C相切的直线.(　　)
(2)过任意一点作直线与圆相交，且弦长等于半径，这样的直线有两条.
(　　)
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切.(　　)
(4)在圆中最长的弦是直径.(　　)
√
×
×
√
2.直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是
A.相交且直线经过圆心 B.相切
C.相离 D.相交且直线不经过圆心
圆心到直线的距离d＝＝1<4，
且直线3x＋4y＝5不过点(0，0)，
所以直线与圆相交，且不经过圆心.
√
3.直线2x－y＋1＝0与圆x2＋y2＝2交于A，B两点，则弦AB的长度为
A. B. C. D.
设圆x2＋y2＝2的圆心为C(0，0)，半径r＝，
因为C(0，0)到直线2x－y＋1＝0的距离
d＝，
所以|AB|＝2＝2.
√
4.若点A(0，1)在圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)上，则过点A的圆的切线方程为　　　　　　.
y＝x＋1
因为点A(0，1)在圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)上，
所以过A的圆的切线和AC垂直，
因为A(0，1)，C(1，0)，所以kAC＝＝－1，
所以切线方程的斜率为1，
所以切线方程为y＝1×(x－0)＋1，
即y＝x＋1.
牢记三个相关结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　已知直线l：y＝kx＋1与圆C：(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)，则“ k∈R，直线l与圆C有公共点”是“r>”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
直线与圆位置关系的判断
题型一
方法一　易知圆C：(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)的圆心为C(－1，0)，半径为r，
当 k∈R，直线l与圆C有公共点时，
≤r恒成立，
即(r2－1)k2＋2k＋r2－1≥0恒成立，
则r2－1>0且Δ＝4－4≤0，
解得r2－1≥1，即r≥或r≤－(舍去)，
所以“ k∈R，直线l与圆C有公共点”是“r>”的必要不充分条件.
方法二　直线l恒过定点P(0，1)，要使对任意直线l与圆C有公共点，只需点P(0，1)在圆内或圆上即可，
即(0＋1)2＋12≤r2，即r≥，
所以“ k∈R，直线l与圆C有公共点”是“r>”的必要不充分条件.
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系判断.
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.
思维升华
跟踪训练1　(多选)已知圆C：(x－2)2＋y2＝16，直线l：mx＋y－3m－1＝0，则下列结论中正确的是
A.直线l恒过定点(3，1) B.直线l与圆C相切
C.直线l与圆C相交 D.直线l与圆C相离
√
√
圆C：(x－2)2＋y2＝16的圆心C(2，0)，半径r＝4，直线l：m(x－3)＋y－1＝0恒过定点(3，1)，显然<4＝r，因此点(3，1)在圆C内，直线l与圆C相交，B，D错误，A，C正确.
直线与圆的弦长问题
题型二
例2　(1)(2025·赣州模拟)若圆C的圆心为C(3，1)，y轴被圆C截得的弦长为8，则圆C的一般方程为
A.x2＋y2－6x＋2y－15＝0
B.x2＋y2－6x＋2y－7＝0
C.x2＋y2－6x－2y－15＝0
D.x2＋y2－6x－2y－7＝0
√
如图，设y轴被圆C截得的弦为AB，过点 C 作CD⊥AB
于D，
依题意，|BD|＝|AB|＝4，因为C(3，1)，故|CD|＝3，
从而圆的半径为 |BC|＝＝5，故所求圆的方程
为(x－3)2＋(y－1)2＝25，
即x2＋y2－6x－2y－15＝0.
(2)一条直线经过点M，被圆x2＋y2＝25截得的弦长等于8，则这条直线的方程为
A.x＝－3或3x＋6y＋5＝0
B.x＝－3或y＝－
C.3x＋6y＋5＝0
D.x＝－3或3x＋4y＋15＝0
√
由圆的方程，得圆心坐标为(0，0)，半径r＝5，
∵直线被圆截得的弦长为8，∴弦心距d＝＝3，
若此弦所在的直线的斜率不存在，即直线方程为x＝－3，满足题意；
若此弦所在的直线的斜率存在，设斜率为k，
∴所求直线的方程为y＋＝k(x＋3)，即kx－y－＋3k＝0，
∴圆心到所设直线的距离d＝＝3，解得k＝－，
此时直线方程为y＋＝－(x＋3)，即3x＋4y＋15＝0，
综上，所求直线的方程为x＝－3或3x＋4y＋15＝0.
弦长的两种求法
(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长.
(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.
思维升华
跟踪训练2　(2025·江西省重点中学盟校联考)已知直线l过点P(1，－1)，且与圆C：x2＋y2－6x＋6y＝0交于A，B两点，则线段AB的长度的取值范围是
A. B.
C. D.
√
圆C：x2＋y2－6x＋6y＝0可得圆心C(3，－3)，半径r＝3，
因为12＋(－1)2－6－6<0，所以定点P在圆C内，
设圆心C到直线l的距离为d，则弦长|AB|＝2，
当d＝0时，弦长最大，这时过点P的最长弦长为圆的直
径2r＝6；
当d最大时，这时dmax＝|PC|＝＝2，
所以弦长的最小值|AB|min＝2＝2＝2，
所以弦长|AB|的取值范围为.
直线与圆的切线问题
题型三
例3　(多选)过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，所得切线方程为
A.x＝4 B.15x＋8y－36＝0
C.y＝－3 D.8x－15y－3＝0
√
√
由圆心为(3，1)，半径为1，当过点A(4，－3)的切线斜率存在时，设切线方程为y＝k(x－4)－3，
则圆心到切线的距离d＝＝1，
可得k＝－，
所以y＝－(x－4)－3，
即15x＋8y－36＝0；
当切线斜率不存在时，切线方程为x＝4，显然与圆相切，
综上，切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法
(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.
(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.
注意验证斜率不存在的情况.
思维升华
跟踪训练3　在平面直角坐标系中，已知圆C：(x－1)2＋y2＝4，若直线l：x＋y＋m＝0上有且只有一个点P满足：过点P作圆C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，且使得四边形PMCN为正方形，则正实数m的值为
A.1 B.2 C.3 D.7
√
由(x－1)2＋y2＝4可知圆心C(1，0)，半径为2，
因为四边形PMCN为正方形，且边长为圆C的半径2，所以|PC|＝2，
所以直线l：x＋y＋m＝0上有且只有一个点P，使得|PC|＝2，即PC⊥l，
所以圆心C到直线l的距离为2，
所以＝2，
解得m＝3或m＝－5，
又m>0，所以m＝3.
直线与圆位置关系中的最值问题
题型四
例4　已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，则四边形PACB面积的最小值为　　　 .
2
圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，
即圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，
所以圆心C(1，1)，半径r＝1，
如图，连接PC，因为S四边形PACB＝2S△PAC
＝2××|AP|·|AC|＝|AP|＝，
所以求S四边形PACB的最小值就是求|PC|的最小值，而|PC|的最小值就是圆心C到直线3x＋4y＋8＝0的距离d，
即d＝＝3，
所以四边形PACB面积的最小值为＝2.
涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果.
思维升华
跟踪训练4　(2024·邵阳模拟)已知直线l：x－y－2＝0与圆O：x2＋y2＝1，过直线l上的任意一点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，则∠APB的最大值为
A. B. C. D.
√
由题意可知，圆O：x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径为1，
则圆心O到直线l的距离为>1，
可知直线l与圆O相离，
因为∠APB∈(0，π)，
所以∠APO＝∠APB∈，
且sin∠APO＝，
当|OP|最小时，sin∠APO最大，可得∠APO最大，即∠APB最大，
又因为|OP|的最小值即为圆心O到直线l的距离为，
此时sin∠APO＝，∠APO＝，
所以∠APB的最大值为.
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课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D A C C ABD BC
题号 7 8 11 12
答案 m2+n2＝1 A
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)由题意，设圆心C的坐标为(a，0)(a≥0)，
因为直线l1：3x+4y+15＝0，半径为3的圆C与l1相切，则＝3，又a≥0，所以a＝0，
因此圆C的方程为x2+y2＝9.
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)由勾股定理可知，圆心C到直线l2的距离为d＝＝1.
当直线l2的斜率不存在时，直线l2的方程为x＝1，此时圆心C到直线l2的距离为1，符合题意；
当直线l2的斜率存在时，设直线l2的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y+2－k＝0，
则d＝＝1，解得k＝，
此时，直线l2的方程为y－2＝(x－1)，即3x－4y+5＝0.
综上所述，直线l2的方程为x＝1或3x－4y+5＝0.
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)由题意可知圆C的圆心为C(a，0)，半径r＝|a－1|.
因为∠APB＝，AP⊥AC，
所以∠APC＝，
从而|PC|＝2|AC|＝2r，
即＝2|a－1|，
两边平方整理得a2－2a＝0，
又a>0，所以a＝2.
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)由(1)知圆C：(x－2)2+y2＝1，点D(1，0)在圆C上，
又因为MD⊥ND，所以线段MN为圆C的直径，即直线MN过圆心C(2，0)，|MN|＝2.
显然直线MN的斜率不为0，
设其方程为x－2＝ty，
点D(1，0)到直线MN的距离为d＝.
根据三角形的面积公式可得d＝.
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
所以，解得t＝±1，
所以直线MN的方程为
x－y－2＝0或x+y－2＝0.
10.
一、单项选择题
1.(2025·焦作模拟)若圆C：(x－2)2＋＝a(a>0)与x轴相切，则a等于
A.1 B. C.2 D.4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
知识过关
答案
圆C：(x－2)2＋＝a(a>0)的圆心坐标为，
因为圆C与x轴相切，所以＝a且a>0，解得a＝4.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
2.(2024·吴忠模拟)直线l：xcos θ＋ysin θ－2＝0与圆O：x2＋y2＝1的位置关系为
A.相离 B.相切
C.相交 D.无法确定
由题意知，圆心O(0，0)，半径r＝1，所以圆心O到直线l的距离d＝
＝2>r＝1，故圆O与直线l相离.
√
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答案
3.(2024·重庆模拟)已知从点P(1，－1)发出的光线经y轴反射，反射光线与圆C：x2＋y2－6x－6y＋＝0相切，其反射光线的斜率为
A. B.2
C.或2 D.－或
√
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答案
点P(1，－1)关于y轴的对称点P'(－1，－1)，由反射光线的性质知，反射
光线即为过点P'(－1，－1)的圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝的切线，由题意
知，切线的斜率必存在，设切线的斜率为k，则切线l：y＋1＝k(x＋1)，
由，得2k2－5k＋2＝0，解得k＝或2.
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答案
4.(2025·南京模拟)设直线x＋ay＋2＝0与圆C：x2＋(y－2)2＝16相交于A，B两点，且△ABC的面积为8，则a等于
A.－ B.－1 C.1 D.
√
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答案
由三角形的面积公式可得S△ABC＝×42sin∠ACB＝8，
得sin∠ACB＝1，由0<∠ACB<π，得∠ACB＝，
所以△ABC为等腰直角三角形，
所以圆心C(0，2)到直线x＋ay＋2＝0的距离为d＝4sin ＝2，
由点到直线的距离公式得d＝＝2，解得a＝1.
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答案
二、多项选择题
5.已知直线l：y＝kx－k，k∈R，圆C：x2＋y2＝4，则下列结论正确的有
A.直线l过定点(1，0)
B.直线l与圆C恒相交
C.直线l被圆C截得的弦长最短为2
D.若直线l被圆C截得的弦长为，则k＝±1
√
√
√
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答案
对于A，直线l：y＝kx－k，即y＝k(x－1)，则直线l过定点(1，0)，故A正确；
对于B，因为12＋02＝1<4，所以定点(1，0)在圆C：x2＋y2＝4内部，所以直线l与圆C恒相交，故B正确；
对于C，当直线l与x轴垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短，此时l：x＝1，直线l被圆C截得的弦长为2＝2，但此时直线l的斜率不存在，不符合题意，故C错误；
对于D，直线l：kx－y－k＝0，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝，得k＝±1，故D正确.
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答案
6.(2025·重庆模拟)已知动点P在直线l：x＋y－6＝0上，动点Q在圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝4上，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法正确的有
A.直线l与圆C相交
B.|PQ|的最小值为2－2
C.四边形PACB面积的最小值为4
D.存在P点，使得∠APB＝
√
√
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答案
圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝4的圆心C(1，1)，半径r＝2，
连接PC，
对于A，点C到直线l：x＋y－6＝0的距离d＝＝2>
2＝r，直线l与圆C相离，A错误；
对于B，点Q在圆C上，则|PQ|min＝d－r＝2－2，B正确；
对于C，由切线长定理知，四边形PACB的面积
S＝2S△PAC＝2·|PA|·|AC|＝2|PA|＝2≥2＝4，
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答案
当且仅当PC⊥l时取等号，因此四边形PACB面积的最
小值为4，C正确；
对于D，由切线长定理知，∠APB＝2∠APC，而
sin∠APC＝≤，
又∠APC是锐角，正弦函数y＝sin x在上单调递增，则∠APC的最大值为，
当且仅当PC⊥l时取等号，因此∠APB的最大值为，D错误.
三、填空题
7.圆x2＋y2－6y＝0在点P(，1)处的切线方程为　　　　　　　　.
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答案
x－2y－3＝0
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答案
因为＋12－6×1＝0，
所以P(，1)在圆x2＋y2－6y＝0上，
设x2＋y2－6y＝0的圆心为A(0，3)，
故kAP＝＝－，
切线斜率为k＝，
所求的切线方程为y－1＝(x－)，
即x－2y－3＝0.
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答案
8.直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如x＝ty＋1表示过点(1，0)且斜率不为0的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.若圆C1：x2＋y2＝1是直线族mx＋ny＝1(m，n∈R)的包络曲线，则m，n满足的关系式为　　　　　　　.
由定义可知，mx＋ny＝1与x2＋y2＝1相切，则圆C1的圆心(0，0)到直线mx
＋ny＝1的距离等于1，则d＝＝1，m2＋n2＝1.
m2＋n2＝1
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答案
四、解答题
9.(2024·邢台模拟)已知直线l1：3x＋4y＋15＝0，半径为3的圆C与l1相切，圆心C在x轴的非负半轴上.
(1)求圆C的方程；
由题意，设圆心C的坐标为(a，0)(a≥0)，
因为直线l1：3x＋4y＋15＝0，半径为3的圆C与l1相切，则＝3，
又a≥0，所以a＝0，
因此圆C的方程为x2＋y2＝9.
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答案
(2)设过点P(1，2)的直线l2被圆C截得的弦长等于4，求直线l2的方程.
由勾股定理可知，圆心C到直线l2的距离为d＝＝1.
当直线l2的斜率不存在时，直线l2的方程为x＝1，此时圆心C到直线l2的距离为1，符合题意；
当直线l2的斜率存在时，设直线l2的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，
则d＝＝1，解得k＝，
此时，直线l2的方程为y－2＝(x－1)，即3x－4y＋5＝0.
综上所述，直线l2的方程为x＝1或3x－4y＋5＝0.
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答案
10.(2024·河南省部分名校联考)已知圆C：(x－a)2＋y2＝(a－1)2(a>0)，过点P(1，)作圆C的两条切线，切点分别为A，B，且∠APB＝.
(1)求a的值；
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答案
由题意可知圆C的圆心为C(a，0)，半径r＝|a－1|.
因为∠APB＝，AP⊥AC，
所以∠APC＝，从而|PC|＝2|AC|＝2r，
即＝2|a－1|，
两边平方整理得a2－2a＝0，
又a>0，所以a＝2.
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答案
(2)过点D(1，0)作两条互相垂直的直线，分别与圆C交于不同于点D的两点M，N，若|MD||ND|＝，求直线MN的方程.
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答案
由(1)知圆C：(x－2)2＋y2＝1，点D(1，0)在圆C上，
又因为MD⊥ND，所以线段MN为圆C的直径，即直线MN过圆心C(2，0)，|MN|＝2.
显然直线MN的斜率不为0，
设其方程为x－2＝ty，
点D(1，0)到直线MN的距离为d＝.
根据三角形的面积公式可得
d＝.
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答案
所以，解得t＝±1，
所以直线MN的方程为
x－y－2＝0或x＋y－2＝0.
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答案
能力拓展
11.(2024·山西天一名校模拟)已知O是坐标原点，若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0上有且仅有2个点到直线2x－y－1＝0的距离为2，则实数a的取值范围为
A.(－4－4，4－4) B.[－4－4，4－4]
C.(－2－2，2－2) D.[－2－2，2－2]
√
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答案
圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a(a<5)的圆心C(－1，2)，半径r＝，
设与直线l：2x－y－1＝0平行且距离为2的直线方程为2x－y－t＝0(t≠1)，
则＝2，
解得t＝±2＋1，
直线l1：2x－y＋2－1＝0，
l2：2x－y－2－1＝0，
点C(－1，2)到直线l1的距离d1＝－2，
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答案
到直线l2的距离d2＝＋2，
由圆C上有且仅有2个点到直线2x－y－1＝0的距离
为2，得圆C与直线l1相交，且与直线l2相离，
则
解得－4－4所以实数a的取值范围为(－4－4，4－4).
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答案
12.已知圆C：x2＋y2－6x＝0，直线l1，l2都经过原点O，且l1⊥l2，若l1与l2
被圆C所截得的弦长之比为2∶1，则直线l1的斜率为　　　.
±
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答案
返回
由题可得圆的圆心为C(3，0)，半径r＝3，
显然直线l1的斜率存在，且不为0，
设l1的斜率为k，则直线l2的斜率为－，
则直线l1的方程为y＝kx，直线l2的方程为y＝－x，
设圆心到直线l1和l2的距离分别为d1，d2，则d1＝，d2＝，
由题意可知2＝2×2，
整理得4＝27，所以＝27，解得k＝±.(共66张PPT)
第八章
§8.5　圆与圆的位置关系
数学
大
一
轮
复
习
1.能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系.
2.能根据圆与圆的位置关系求公共弦方程、公共弦长、切线等一些简单问题.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
圆与圆的位置关系(☉O1，☉O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
图形 量的关系
外离 _________
外切 _________
相交 ________________
d>r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2| 图形 量的关系
内切 ___________
内含 ___________
d＝|r1－r2|
d<|r1－r2|
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离.(　　)
(2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.(　　)
(3)若两圆相切，则两圆有三条公切线.(　　)
(4)若两圆C1，C2相交于A，B两点，则线段C1C2与线段AB互相垂直平分.
(　　)
×
×
×
×
2.圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置关系是
A.外切 B.相交 C.外离 D.内切
圆C1的圆心C1(0，0)，半径r1＝2，
圆C2可化为(x－4)2＋(y－3)2＝9，
∴圆心C2(4，3)，半径r2＝3，
∴|C1C2|＝＝5＝r1＋r2，
故两圆外切.
√
3.设a>0，若圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋y2＝25有公共点，则a的取值范围为
A.(0，4) B.{4}
C.(4，6) D.[4，6]
圆(x－a)2＋y2＝1，圆心为(a，0)，半径为1，圆x2＋y2＝25，圆心为(0，0)，半径为5，若圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋y2＝25有公共点，则4≤|a|≤6，又a>0，所以4≤a≤6.
√
4.(2024·哈尔滨模拟)已知圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：x2＋y2－4x－4y＋4＝0，两圆的公共弦所在的直线方程为　　　　　　.
x＋y－2＝0
由圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：x2＋y2－4x－4y＋4＝0，两式作差得，4x＋4y－4＝4，即x＋y－2＝0，所以两圆的公共弦所在的直线方程是x＋y－2＝0.
灵活应用两圆相交时公共弦的性质
圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时：
(1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在的直线方程；
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；
(3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2).
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)(多选)(2024·合肥模拟)已知圆O：x2＋y2＝1，圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝4，a∈R，则
A.两圆的圆心距|OC|的最小值为1
B.若圆O与圆C相切，则a＝±2
C.若圆O与圆C恰有两条公切线，则－2D.若a＝，且P，Q分别是圆O和圆C上的动点，则|PQ|的取值范围是[1，7]
√
圆与圆的位置关系的判断
题型一
√
√
根据题意，可得圆O：x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径r＝1，圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝4的圆心为C(a，1)，半径R＝2，因为两圆的圆心距d＝|OC|＝≥1，所以A项正确；
当两圆内切时，圆心距d＝|OC|＝R－r＝1，即＝1，解得a＝0；当两圆外切时，圆心距d＝|OC|＝R＋r＝3，即＝3，解得a＝±2.综上所述，若两圆相切，则a＝0或a＝±2，故B项不正确；
若圆O与圆C恰有两条公切线，则两圆相交，d＝|OC|∈(R－r，R＋r)，即∈
(1，3)，可得1<<3，解得－2当a＝时，两圆的圆心距d＝|OC|＝4>R＋r，故两圆外离，则|OC|－R－r≤|PQ|≤|OC|＋R＋r，即1≤|PQ|≤7，故D项正确.
(2)圆C1：x2＋y2＋8x－2y＋9＝0和圆C2：x2＋y2＋6x－4y＋11＝0的公切线方程是
A.y＝－x＋1
B.y＝－x＋1或y＝x＋5
C.y＝－x＋5
D.y＝x＋1或y＝2x＋5
√
圆C1：(x＋4)2＋(y－1)2＝8，圆心C1(－4，1)，半径r1＝2，
圆C2：(x＋3)2＋(y－2)2＝2，圆心C2(－3，2)，半径r2＝，
因为|C1C2|＝＝r1－r2，
所以两圆内切，公切线只有一条，
因为两圆圆心连线与切线相互垂直，且＝1，
所以切线的斜率为－1，
由方程组解得
故圆C1与圆C2的切点坐标为(－2，3)，
故公切线方程为y－3＝－(x＋2)，
即y＝－x＋1.
判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是解析几何中主要使用的方法.
(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系.
思维升华
跟踪训练1　(2024·聊城模拟)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝4恰有一条公切线，则下列直线一定不经过点(a，b)的是
A.2x＋y－＝0 B.2x－y＋2＝0
C.x＋y－＝0 D.x－y＋2＝0
√
圆C1：x2＋y2＝1的圆心C1(0，0)，半径r1＝1，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝4的圆心C2(a，b)，半径r2＝2，若圆C1与圆C2恰有一条公切线，则两圆内切，所以|C1C2|＝|r1－r2|，即＝1，所以点(a，b)的轨迹为圆x2＋
y2＝1.圆心(0，0)到直线2x＋y－＝0的距离为<1，则该
直线可能过点(a，b)，故A不符合；
圆心(0，0)到直线2x－y＋2＝0的距离为<1，则该直线可能
过点(a，b)，故B不符合；
圆心(0，0)到直线x＋y－＝0的距离为＝1，则该直线可能过点(a，b)，故C不符合；
圆心(0，0)到直线x－y＋2＝0的距离为>1，则该直线一定不
过点(a，b)，故D符合.
公共弦问题
题型二
例2　(多选)(2024·白城模拟)已知圆O：x2＋y2＝4与圆C：(x－3)2＋(y－2)2＝9交于A，B两点，则下列说法正确的是
A.线段AB的垂直平分线所在的直线方程为2x－3y＝0
B.直线AB的方程为3x＋2y－4＝0
C.|AB|＝
D.若点P是圆O上的一点，则△PAB面积的最大值为
√
√
√
由圆C：(x－3)2＋(y－2)2＝9知圆心为C(3，2)，所以直线OC的方程为y＝x，即2x－3y＝0，所以线段AB的垂直平分线所在的直线方程为2x－3y＝0，故A正确；
因为圆O：x2＋y2＝4与圆C：(x－3)2＋(y－2)2＝9，两圆的方程作差，可得直线AB的方程为3x＋2y－4＝0，故B正确；
点O到直线AB的距离d＝，又圆O的半径r＝2，所以|AB|＝2＝2，故C错误；
点P到直线AB的距离的最大值为d＋r＝＋2，则△PAB面积的最大值为×
×，故D正确.
(1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
(2)公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.
思维升华
跟踪训练2　(多选)若圆O：x2＋y2＝4与圆C1：(x－m)2＋(y－n)2＝4的公共弦AB的长度为2，则下列结论正确的有
A.m2＋n2＝4
B.直线AB的方程为mx＋ny－2＝0
C.线段AB中点的轨迹方程为x2＋y2＝3
D.四边形AOBC1的面积为
√
√
两圆的方程相减可得直线AB的方程为2mx＋2ny－m2－n2＝0，因为圆O的圆心为O(0，0)，半径为2，且公共弦AB的长度为2，则O(0，0)到直线2mx＋2ny
－m2－n2＝0的距离为1，所以＝1，解得m2＋n2＝4，所以直线AB的
方程为mx＋ny－2＝0，故A，B正确；
由圆的性质可知直线OC1垂直平分线段AB，所以O(0，0)到直线mx＋ny－2＝0的距离即为线段AB的中点与点O的距离，设线段AB中点的坐标为(x，y)，则＝1，即x2＋y2＝1，故C错误；
易得四边形AOBC1为菱形，且|AB|＝2，|OC1|＝2，则四边形AOBC1的面积为
×2×2＝2，故D错误.
隐　圆
微拓展
隐圆是指条件中某些点或点的轨迹在某个圆上，常见的隐圆形式有：
(1)阿氏圆：平面上两定点A，B，则平面上所有满足＝λ(λ>0且λ≠1)的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为·|AB|的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.
(2)直角顶点在以斜边为直径的圆上：在△PAB中，若PA⊥PB，则点P的轨迹是以线段AB为直径的圆(除去A，B两点).
典例　(多选)(2024·铜仁模拟)古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值m(m>0且m≠1)的点的轨迹是圆”.人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，
简称阿氏圆.在平面直角坐标系Oxy中，A(－2，0)，B(4，0)，点P满足.设点P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是
A.曲线C的方程为(x＋4)2＋y2＝16
B.|PB|的最大值为12
C.曲线C上总存在两个点到点A的距离为1
D.过点B作曲线C的两条切线，切点分别为M，N，则直线MN的方程为x＝－2
√
√
√
如图，因为在平面直角坐标系Oxy中，A(－2，0)，B(4，0)，点P满足.设P(x，y)，则，化简可得(x＋4)2＋y2＝16，故选项A
正确；
由(x＋4)2＋y2＝16可得圆心C(－4，0)，半径r1＝4，
所以|PB|max＝|BC|＋r1＝12，故选项B正确；
到点A的距离为1的点在以A为圆心，半径r2＝1的圆上，即圆A：(x＋2)2＋y2＝1，又|AC|＝2<|r2－r1|＝3，所以圆C与圆A内含，故曲线C上不存在点到点A的距离为1，所以选项C错误；
依题意，在四边形CMBN中，∠BMC＝∠BNC＝90°，所以C，M，B，N四点共圆，且直径为BC，该圆的方程为x2＋y2＝16，故MN为圆C与圆x2＋y2＝16的公共弦，其方程为x＝－2，所以选项D正确.
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课时精练
对一对
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题号 1 2 3 4 5 6 答案 A C B D BCD ABC 题号 7 8 11 12
答案 2x－y－5＝0 D ABD
答案
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(1)由x2+y2－4x－6y＝0可得(x－2)2+(y－3)2＝13，圆心为(2，3)，半径为r＝，
圆心C(2，3)到直线y＝2x的距离为d＝，
所以直线y＝2x被圆C截得的弦长为2＝2.
9.
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(2)设圆M的方程为(x－a)2+(y－b)2＝R2(R>0)，
则
解得
因为圆M与圆C相切于原点，且圆M过点(－4，0)，所以两圆外切，
所以R+＝，
9.
答案
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即
＝，
解得b＝－3，所以R＝，
所以圆M的方程为(x+2)2+(y+3)2＝13.
9.
答案
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(1)因为圆C1：x2+y2+6x－10y+25＝0与C2：x2+y2－8y+7＝0交于A，B两点，
所以两圆方程作差得直线AB的方程为3x－y+9＝0.
又圆C2：x2+(y－4)2＝9，
所以点C2到直线AB的距离
d＝，
所以|AB|＝2.
10.
答案
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(2)圆C1：(x+3)2+(y－5)2＝9，
圆C2：x2+(y－4)2＝9，
则C1(－3，5)，C2(0，4)，
则＝－，
则直线C1C2的方程为y＝－x+4，
即x+3y－12＝0，
由解得
10.
答案
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所以C(3，3)，
所以点C到直线AB的距离
d1＝，
设圆C的半径为r，
所以r＝，
所以圆C的方程为(x－3)2+(y－3)2＝29.
10.
一、单项选择题
1.(2024·长春模拟)已知圆E：(x－2)2＋(y－4)2＝25，圆F：(x－2)2＋(y－2)2＝1，则这两圆的位置关系为
A.内含 B.相切 C.相交 D.外离
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知识过关
答案
圆E：(x－2)2＋(y－4)2＝25的圆心为E(2，4)，半径r1＝5，圆F：(x－2)2＋
(y－2)2＝1的圆心为F(2，2)，半径r2＝1，则|EF|＝＝
2，故|EF|√
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答案
2.若半径为1的动圆与圆C：(x－1)2＋y2＝4相切，则动圆圆心的轨迹方程为
A.(x－1)2＋y2＝9
B.(x－1)2＋y2＝3
C.(x－1)2＋y2＝9或(x－1)2＋y2＝1
D.(x－1)2＋y2＝3或(x－1)2＋y2＝5
√
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答案
设动圆圆心为A(x，y)，半径为1，已知圆C的圆心为C(1，0)，半径为2.
若两圆外切，则|AC|＝＝1＋2＝3，即圆A：(x－1)2＋y2＝9；
若两圆内切，则|AC|＝＝2－1＝1，即圆A：(x－1)2＋y2＝1.
综上，动圆圆心的轨迹方程是(x－1)2＋y2＝9或(x－1)2＋y2＝1.
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答案
3.(2024·驻马店模拟)设圆O：x2＋y2＝4和圆C：(x＋2)2＋(y＋2)2＝4交于A，B两点，则四边形OACB的面积为
A.2 B.4 C.6 D.4
√
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答案
由题意可知O(0，0)，C(－2，－2)，且两圆半径均为2，
将两圆方程相减，得直线AB的方程为x＋y＋2＝0，
易知四边形OACB为边长为2的正方形，
所以S四边形OACB＝2×2＝4.
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答案
4.(2025·济南模拟)已知圆O：x2＋y2＝1，A(4，a)，B(4，－a)，若圆O上有且仅有一点P，使PA⊥PB，则正实数a的取值为
A.2或4 B.2或3
C.4或5 D.3或5
√
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答案
由题意可知，圆O：x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径r＝1，且a>0，
因为PA⊥PB，可知点P的轨迹为以线段AB的中点M(4，0)为圆心，半径R＝a的圆，
又因为点P在圆O：x2＋y2＝1上，
可知圆O与圆M有且仅有一个公共点，
则|OM|＝r＋R或|OM|＝|r－R|，
即4＝1＋a或4＝|1－a|，
解得a＝3或a＝5.
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答案
二、多项选择题
5.(2024·齐齐哈尔模拟)已知圆C1：(x－3)2＋y2＝1，圆C2：x2＋(y－a)2＝16，则下列结论正确的有
A.若圆C1和圆C2无公共点，则a>4
B.若圆C1和圆C2外切，则a＝±4
C.若两圆有一条公切线，则a＝0
D.当a＝－2时，圆C1和圆C2相交，且公共弦所在直线的方程为3x＋2y－10
　＝0
√
√
√
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答案
由题意得圆C1的圆心为C1(3，0)，半径为r1＝1，圆C2的圆心为C2(0，a)，半径为r2＝4，|C1C2|＝.
若圆C1和圆C2无公共点，则两圆外离或内含，则|C1C2|＝>r1＋r2＝5，或|C1C2|＝4或a<－4，故A错误；
若C1和C2外切，则|C1C2|＝＝r1＋r2＝5，解得a＝±4，故B正确；
若两圆有一条公切线，则两圆内切，则|C1C2|＝＝r2－r1＝3，解得a＝0，故C正确；
当a＝－2时，r2－r1＝3<|C1C2|＝<5＝r1＋r2，则圆C1和圆C2相交，将两圆方程相减得3x＋2y－10＝0，故D正确.
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答案
6.已知圆O：x2＋y2＝1，圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝r2(r>0)，P，Q分别是圆O与圆C上的动点，则
A.直线4x＋3y＝0平分圆O和圆C
B.当r＝2时，|PQ|的取值范围为[2，8]
C.存在点P，使∠OPC＝
D.当r＝3时，过P点作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则∠APB不可
　能等于
√
√
√
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答案
易知圆O：x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径r1＝1，圆C：
(x－3)2＋(y＋4)2＝r2的圆心为C(3，－4)，半径为r.
平分两圆的直线为直线OC，其方程为4x＋3y＝0，故A正确；
当r＝2时，|OC|＝5>1＋2＝3，可知两圆外离，|PQ|的取值
范围为[|OC|－3，|OC|＋3]，即|PQ|的取值范围为[2，8]，故B正确；
若存在点P，使∠OPC＝，则点P在以OC为直径的圆M上，又点P为圆O
上的动点，故点P为圆M与圆O的公共点，显然圆M与圆O有两个公共点，故C正确；
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答案
若∠APB＝，可知四边形ACBP为正方形，如图所示，
则可得|PC|＝3，而|PC|的取值范围是[|OC|－1，|OC|＋1]，
即|PC|的取值范围是[4，6]，
而3∈[4，6]，所以存在P满足∠APB＝，故D错误.
三、填空题
7.(2024·沈阳模拟)已知圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2－8x＋4y＋16＝0关于直线l对称，则直线l的方程为　　　　　　　.
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答案
2x－y－5＝0
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答案
由题意知，l是圆O和圆C圆心连线的垂直平分线，
∵O(0，0)，C(4，－2)，
则OC的中点为(2，－1)，
圆心OC连线的斜率为kOC＝－，则直线l的斜率为2，
故直线l的方程为y＋1＝2(x－2)，
即2x－y－5＝0.
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答案
8.(2025·泰州模拟)已知点A(－2，0)，B(2，0)，若圆(x－a)2＋(y－a－3)2＝1上
存在点M满足·＝5，则实数a的取值范围是　　　　　　　　　.
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答案
设M(x，y)，则＝(－2－x，－y)，＝(2－x，－y)，
因为·＝5，则(－2－x)(2－x)＋(－y)(－y)＝5，
即x2＋y2＝9，圆心坐标为(0，0)，半径为3，
因为M也在圆(x－a)2＋(y－a－3)2＝1上，圆心坐标为(a，a＋3)，半径为1，
故(3－1)2≤a2＋(a＋3)2≤(3＋1)2，
整理得解得≤a≤，
所以实数a的取值范围是.
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答案
四、解答题
9.已知圆C：x2＋y2－4x－6y＝0.
(1)求直线y＝2x被圆C截得的弦长；
由x2＋y2－4x－6y＝0可得(x－2)2＋(y－3)2＝13，圆心为(2，3)，半径为r＝，
圆心C(2，3)到直线y＝2x的距离为d＝，
所以直线y＝2x被圆C截得的弦长为2＝2.
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答案
(2)已知圆M过点(－4，0)且与圆C相切于原点，求圆M的方程.
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答案
设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝R2(R>0)，
则解得
因为圆M与圆C相切于原点，且圆M过点(－4，0)，所以两圆外切，
所以R＋，
即，
解得b＝－3，所以R＝，
所以圆M的方程为(x＋2)2＋(y＋3)2＝13.
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答案
10.(2024·延边模拟)已知圆C1：x2＋y2＋6x－10y＋25＝0与圆C2：x2＋y2－8y＋7＝0交于A，B两点，圆C经过A，B两点，且圆心在直线4x－3y－3＝0上.
(1)求|AB|；
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答案
因为圆C1：x2＋y2＋6x－10y＋25＝0与C2：x2＋y2－8y＋7＝0交于A，B两点，
所以两圆方程作差得直线AB的方程为3x－y＋9＝0.
又圆C2：x2＋(y－4)2＝9，
所以点C2到直线AB的距离
d＝，
所以|AB|＝2.
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答案
(2)求圆C的方程.
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答案
圆C1：(x＋3)2＋(y－5)2＝9，圆C2：x2＋(y－4)2＝9，
则C1(－3，5)，C2(0，4)，则＝－，
则直线C1C2的方程为y＝－x＋4，
即x＋3y－12＝0，
由
所以C(3，3)，所以点C到直线AB的距离d1＝，
设圆C的半径为r，所以r＝，
所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝29.
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能力拓展
11.(2024·鹰潭模拟)已知m∈R，若直线l1：mx＋y＋2m＝0与l2：x－my＋4m＝0的交点P在圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)上，则r的最大值是
A.4 B.3 C.2 D.3
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答案
易知直线l1：mx＋y＋2m＝0恒过定点A(－2，0)，
直线l2：x－my＋4m＝0恒过定点B(0，4)，
且m×1＋1×(－m)＝0，易知直线l1与l2互相垂直，即可得∠APB＝90°，
所以P点轨迹是以AB为直径的圆，圆心为AB的中点(－1，2)，半径为，可得P点轨迹方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，
又因为P点在圆C上，所以可得圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5与圆C有公共点，
当两圆内切(圆C在外)时，r取得最大值，
此时满足＝r－，解得r＝3.
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答案
12.(多选)(2024·宜春模拟)在平面直角坐标系Oxy中，已知A(－4，0)，B(2，0)，点M满足|MA|＝2|MB|，则下列说法正确的是
A.点M的轨迹方程为(x－4)2＋y2＝16
B.△AMB面积的最大值为12
C.若Q(8，8)，则|MA|＋2|MQ|的最小值为10
D.当点M不在x轴上时，MO始终平分∠AMB
√
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答案
设点M(x，y)，由|MA|＝2|MB|，得＝2，化为(x－4)2＋y2＝16，所以点M的轨迹是
以点(4，0)为圆心，4为半径的圆，A正确；
△AMB面积的最大值为×|AB|×r＝×6×4＝12，故
B正确；
显然点Q(8，8)在圆外，点B(2，0)在圆内，|MA|＋2|MQ|＝2|MB|＋2|MQ|
＝2(|MB|＋|MQ|)≥2|BQ|＝2＝20，当B，M，Q三点共线且
点M在线段BQ之间时，(|MA|＋2|MQ|)min＝20，故C错误；
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答案
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由|OA|＝4，|OB|＝2，有＝2＝，当点M不在x轴上时，由三角形内角平分线分线段成比例定理的逆定理知，MO是△AMB中∠AMB的角平分线，故D正确.(共81张PPT)
第八章
§8.6　椭　圆
数学
大
一
轮
复
习
1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.
2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).
3.掌握椭圆的简单应用.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于　　　(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的　　 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 　　.
注意：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆；
(2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段；
(3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在.
常数
焦点
焦距
2.椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
范围 ______________________ ______________________
顶点 ________________________________________________ ________________________________________________
轴长 短轴长为　　，长轴长为____ －a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
2b
2a
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
焦点 ____________________ ____________________
焦距 |F1F2|＝____ 对称性 对称轴：　　　　　，对称中心：_____ 离心率 ____________ a，b，c的关系 __________ F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
2c
x轴和y轴
原点
e＝(0a2＝b2＋c2
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)到两定点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆.(　　)
(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.(　　)
(3)＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆.(　　)
(4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.(　　)
×
×
√
×
2.已知平面内一动点P到两定点F1(－2，0)，F2(2，0)的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
√
因为平面内一动点P到两定点F1(－2，0)，F2(2，0)的距离之和为8，且8>|F1F2|＝4，
所以动点P的轨迹为焦点位于x轴的椭圆，
设椭圆方程为＝1(a>b>0)，焦距为2c(c>0)，则
故动点P的轨迹方程为＝1.
3.(2024·黔东南模拟)椭圆＝1(m>0)的离心率为
A. B. C. D.
由椭圆的标准方程可得a2＝5m，b2＝3m，
所以离心率e＝
＝.
√
4.若椭圆C：＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为　　　.
3
由题意知a＝2，b＝，所以c＝1，则椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c＝3.
椭圆中常见结论：
P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，设∠F1PF2＝θ，如图所示.
(1)当P为短轴端点时，θ最大，最大；当点P为长轴端点时，θ最小为0.
(2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(3)|PF1|·|PF2|≤＝a2.
(4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ.
(5)焦点三角形的周长为2(a＋c).
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)已知动圆M和圆C1：(x＋1)2＋y2＝36内切，并和圆C2：(x－1)2＋y2＝4外切，则动圆圆心M的轨迹是
A.直线
B.圆
C.焦点在x轴上的椭圆
D.焦点在y轴上的椭圆
√
椭圆的定义及其应用
题型一
设动圆的圆心M的坐标为(x，y)，半径为r，
因为动圆M与圆C1：(x＋1)2＋y2＝36内切，且与圆C2：(x－1)2＋y2＝4外切，
可得|MC1|＝6－r，|MC2|＝r＋2，
所以|MC1|＋|MC2|＝8>|C1C2|＝2，
根据椭圆的定义知，动点M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝8，2c＝2，
可得a＝4，c＝1，则b＝，
所以动点M的轨迹方程为＝1，
所以其轨迹为焦点在x轴上的椭圆.
(2)(2025·长沙模拟)已知点O为坐标原点，椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，设线段PF1的中点为M，且|OF2|＝|OM|，则△PF1F2的面积为
A. B. C.3 D.4
√
由题意可得a＝3，b＝，c＝＝2.
如图，因为O，M分别是F1F2和PF1的中点，
所以|PF2|＝2|OM|＝
2|OF2|＝2c＝4，
根据椭圆定义，可得|PF1|＝2a－|PF2|＝2，又因为|F1F2|＝2c＝4，
所以△PF1F2为等腰三角形，且F2到PF1的距离为h＝，
故△PF1F2的面积为|PF1|·h＝.
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等.
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
思维升华
跟踪训练1　(1)(2024·惠州模拟)已知椭圆的方程为＝1，过椭圆中心的直线交椭圆于A，B两点，F2是椭圆的右焦点，则△ABF2的周长的最小值为
A.8 B.6＋2
C.10 D.8＋2
√
椭圆的方程为＝1，
则a＝3，b＝2，
设椭圆的左焦点为F1，连接AF1，BF1，如图.
则由椭圆的中心对称性可知|OA|＝|OB|，|OF1|＝|OF2|，
可知四边形AF1BF2为平行四边形，
则|BF2|＝|AF1|，
可得△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝|AF2|＋|AF1|＋|AB|＝2a＋|AB|，
当A，B分别位于短轴的端点时，|AB|取最小值，
最小值为2b＝4，
所以周长为2a＋|AB|≥6＋4＝10.
(2)设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在椭圆C上，若·＝0，则△PF1F2的面积为　　　.
1
因为椭圆C：＋y2＝1，
所以a＝2，b＝1，c＝，
又因为·＝0，
所以⊥，即PF1⊥PF2，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝4， ①
且m2＋n2＝， ②
由①2－②得到2mn＝4，即mn＝2，
所以mn＝1.
椭圆的标准方程
题型二
例2　(1)过点P(2，)且与椭圆＋y2＝1有相同焦点的椭圆的方程为
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
√
方法一　依题意，所求椭圆的焦点为F1(－3，0)，F2(3，0)，
∴2a＝|PF1|＋|PF2|
＝
＝4，
∴a＝2，又c＝3，
∴b2＝a2－c2＝3，
∴所求椭圆的方程为＝1.
方法二　椭圆＋y2＝1的焦点为(±3，0)，
∴设与椭圆＋y2＝1共焦点的椭圆的方程为＝1，a2>9，
代入点(2，＝1，
解得a2＝12(a2＝3舍去)，
故所求椭圆的方程为＝1.
(2)已知椭圆C的焦点在坐标轴上，且经过A(－，－2)和B(－2，1)两
点，则椭圆C的标准方程为　　　　　　.
＝1
设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，将A和B的坐标代入方程得
则所求椭圆的标准方程为＝1.
根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，
n>0，m≠n)；与椭圆＝1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为＝1(a>b>0，m>－b2)；与椭圆＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为＝λ或＝λ(a>b>0，λ>0).
思维升华
跟踪训练2　(1)(2025·九江模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且倾斜角为的直线交C于第一象限内一点A.若线段AF1的中点在y轴上，△AF1F2的面积为2，则椭圆C的方程为
A.＋y2＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
√
如图，∵O为线段F1F2的中点，B为线段AF1的中点，
∴OB∥AF2，又OB⊥x轴，∴AF2⊥x轴.
在Rt△AF1F2中，∠AF1F2＝，
设|AF2|＝t(t>0)，则|AF1|＝2t，|F1F2|＝t.
∵△AF1F2的面积为2，∴×t×t＝2，t＝2.
∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝3t＝6，a＝3，
2c＝|F1F2|＝t＝2，c＝，b2＝a2－c2＝6，
则椭圆C的方程为＝1.
(2)(2025·开封模拟)已知椭圆C的中心为原点，焦点在坐标轴上，长轴长是
短轴长的3倍，且经过点P(3，0)，则椭圆C的标准方程为______________
　　　　　　.
＋y2＝1或
＝1
当椭圆C的焦点在x轴上时，设椭圆C的标准方程为＝1(a>b>0)，
由题可知
则椭圆C的标准方程为＋y2＝1；
当椭圆C的焦点在y轴上时，设椭圆C的标准方程为＝1(a>b>0)，
由题可知
则椭圆C的标准方程为＝1.
命题点1　离心率
椭圆的几何性质
题型三
例3　(2024·衡水模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2向圆x2＋y2＝b2引切线交椭圆于点P，O为坐标原点，若|OP|＝|OF2|，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
√
由椭圆的对称性，设P位于x轴上方，画出图形如图，设切点为M，连接PF1，OM，
由已知|OP|＝|OF2|＝|OF1|，∴PF1⊥PF2，
∵OM⊥PF2，∴OM∥PF1，
又O是F1F2的中点，
圆x2＋y2＝b2的半径为b，
则|PF1|＝2|OM|＝b，|PF2|＝2a－b，
∴b2＋(2a－b)2＝4c2＝4(a2－b2)，
即2a＝3b，得，
故e＝.
求椭圆离心率或其范围的方法
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解.
(2)由a与b的关系，利用变形公式e＝求解.
(3)构造a，c的方程.可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
思维升华
命题点2　与椭圆有关的范围(最值)
例4　(多选)已知椭圆＝1，F1，F2为左、右焦点，B为上顶点，P为椭圆上任一点，则
A.的最大值为4
B.|PF1|的取值范围是[4－2，4＋2]
C.不存在点P使PF1⊥PF2
D.|PB|的最大值为2
√
√
对于A，依题意知a＝4，b＝2，c＝2，当P为短轴端点时，()max
＝×2c×b＝4，故A正确；
对于B，由椭圆的性质知|PF1|的取值范围是[a－c，a＋c]，即[4－2，4＋2]，故B正确；
对于C，sin∠F2BO＝，所以∠F2BO＝，所以∠F1BF2＝，即∠F1PF2的最大值为，最小值为0，所以存在点P使PF1⊥PF2，故C错误；
对于D，设P(x0，y0)，所以|PB|＝＝1，所以＝16－4，所以|PB|＝
＝，又－2≤y0≤2，故当y0＝－时，|PB|max＝，故D错误.
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质.
(2)利用函数，尤其是二次函数.
(3)利用不等式，尤其是基本不等式.
思维升华
跟踪训练3　(1)(多选)已知椭圆＝1(0A.椭圆的短轴长为
B.|AF2|＋|BF2|的最大值为8
C.离心率为
D.椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2＝
√
√
易知当AB⊥x轴时，即线段AB为通径时，|AB|最短，
∴|AB|＝＝4，解得b2＝6，∴椭圆方程为＝1.
对于A，椭圆的短轴长为2b＝2，故A错误；
对于B，∵△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋
|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，且|AB|min＝4，∴＝12－|AB|min＝8，故B正确；
对于C，∵c＝，a＝3，∴离心率e＝，故C错误；
对于D，易知当点P位于短轴端点时，∠F1PF2最大，
此时|PF1|＝|PF2|＝a＝3，
|F1F2|＝2c＝2，∴cos∠F1PF2＝>0，
又∠F1PF2为三角形内角，∴∠F1PF2∈，
∴椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2＝，故D正确.
(2)(2024·湛江模拟)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，若椭圆C上存在一点
P满足|PF1|＝3|PF2|，则椭圆C的离心率的取值范围是　　　　 .
因为|PF1|＝3|PF2|，
则2a＝|PF1|＋|PF2|＝4|PF2|，
解得|PF2|＝，
又因为|PF2|＝∈[a－c，a＋c]，
则e＝，
又0所以椭圆C的离心率的取值范围是.
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课时精练
对一对
答案
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12
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B D D B BC BCD
题号 7 8 11 12 答案 (4，6)∪(6，8) B 答案
1
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6
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9
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11
12
(1)由已知|PN|＝|PA|，
故|PM|+|PN|＝|PM|+|PA|＝|AM|
＝8>|MN|＝6，
所以点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，
设点P的轨迹方程为＝1(a>b>0)，
则2a＝8，即a＝4，c＝3，b2＝a2－c2＝7，
所以点P的轨迹方程为＝1.
9.
答案
1
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11
12
(2)不妨设|MQ|＝m，
由椭圆定义可得|QN|＝2a－m＝8－m，又|MN|＝2c＝6，
则在△MNQ中，由余弦定理可得
cos∠QMN＝
＝，解得m＝.
故△QMN的面积S＝·sin∠QMN·m·2c
＝cm＝×3×.
9.
答案
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12
(1)由题意，令x＝c，
可得y2＝b2，
解得y＝±，可得c，
又由c2＝a2－b2，
整理得6a2－6c2＝ac，
即6－6e2＝e，
即6e2+e－6＝0，解得e＝，
即椭圆C的离心率为.
10.
答案
1
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12
(2)由椭圆C的方程，
不妨设M(0，b)，N(0，－b)，
设P(x0，y0)，
所以b2+a2＝a2b2，
则直线MP的方程为y＝x+b，
令y＝0，可得xR＝，
同理直线NP的方程为y＝x－b，
10.
答案
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12
令y＝0，可得xQ＝，
因为|OR|·|OQ|＝＝a2＝4，解得a＝2，
又因为e＝，所以c＝，
则b＝＝1，
所以椭圆C的方程为+y2＝1.
10.
一、单项选择题
1.若椭圆的焦点在x轴上且经过点(－4，0)，焦距为6，则该椭圆的标准方程为
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
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知识过关
答案
√
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答案
由题意得a＝4，2c＝6，则c＝3，b2＝a2－c2＝7，所以该椭圆的标准方程为＝1.
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12
答案
2.(2025·哈尔滨模拟)已知F1是椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线x＝1与C交于A，B两点，则△F1AB的周长为
A. B. C.2 D.4
由于＝1，故AB经过椭圆的右焦点，
故△F1AB的周长为4a＝4×＝4.
√
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12
答案
3.若椭圆＝1(a>0)的离心率为，则该椭圆的半焦距为
A. B.
C.3或 D.3或
√
1
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12
答案
若椭圆的焦点在x轴上，则离心率e＝，得a2＝12，此时半焦距c＝＝3；
若椭圆的焦点在y轴上，则离心率e＝，此时半焦距c＝.
所以该椭圆的半焦距为3或.
1
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答案
4.(2024·广州模拟)已知点F，A分别是椭圆＝1(a>b>0)的左焦点、右顶点，B(0，b)满足·＝0，则椭圆的离心率等于
A. B.
C. D.
√
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12
答案
∵·＝0，∴FB⊥AB，
∴|FB|2＋|AB|2＝|AF|2，
即b2＋c2＋a2＋b2＝(a＋c)2，
整理得ac－b2＝0，即c2＋ac－a2＝0，
等号两边同时除以a2，得－1＝0，
即e2＋e－1＝0，解得e＝，
∵01
2
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12
答案
二、多项选择题
5.(2025·汕头模拟)已知椭圆C：＝1的两个焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上任意一点，则下列结论正确的是
A.椭圆C的离心率为
B.|PF1|的最小值为2
C.|PF1|·|PF2|的最大值为16
D.可能存在点P，使得∠F1PF2＝65°
√
√
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答案
椭圆C：＝1的长半轴长a＝4，短半轴长b＝2，半焦距c＝＝2，则椭圆C的离心率e＝，A错误；
因为a－c≤|PF1|≤a＋c，因此|PF1|min＝a－c＝2，B正确；
|PF1|·|PF2|≤＝a2＝16，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝4时取等号，
C正确；
当P点在短轴端点时，∠F1PF2最大，此时sin，所以∠F1PF2
＝60°，因此∠F1PF2最大为60°，D错误.
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12
答案
6.已知圆O：x2＋y2＝3经过椭圆C：＝1(a>b>0)的两个焦点F1，F2，且P为圆O与椭圆C在第一象限内的公共点，且△PF1F2的面积为1，则下列结论正确的是
A.椭圆C的焦距为 B.椭圆C的短轴长为2
C.△PF1F2的周长为4＋2 D.点P的坐标为
√
√
√
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3
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12
答案
因为圆O：x2＋y2＝3经过椭圆C：＝1(a>b>0)的两个焦点F1，F2，
所以c＝，故焦距为2，A错误；
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
因为P在圆上，则∠F1PF2＝，则mn＝1，解得mn＝2，
又由勾股定理知m2＋n2＝＝12，
所以(m＋n)2＝m2＋n2＋2mn＝16，
所以m＋n＝4，即2a＝4，a＝2，
所以b＝＝1，所以短轴长为2，B正确；
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答案
△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋2c＝2a＋2c＝4＋2，C正确；
又P为圆O与椭圆C在第一象限内的公共点，
则|F1F2|·xP＝×2·xP＝1，
故xP＝，
代入圆的方程可得＝3，所以yP＝，
故点P的坐标为，D正确.
三、填空题
7.已知方程＝1表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围是　　　　　　 .
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答案
因为方程＝1表示的曲线是椭圆，
所以解得4所以实数k的取值范围是(4，6)∪(6，8).
(4，6)∪(6，8)
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答案
8.设F1，F2分别是椭圆E：＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆E于P，Q两点，且PF1⊥PQ，|PF2|＝2|QF2|，则椭圆E的离心率
为　　　.
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答案
设|QF2|＝m(m>0)，
则|PF2|＝2m，|PQ|＝3m，
根据椭圆定义，|PF1|＝2a－2m，|QF1|＝2a－m，
又因为PF1⊥PQ，
所以在Rt△PF1Q中，＋|PQ|2＝，
即(2a－2m)2＋(3m)2＝(2a－m)2，解得m＝a，
则|PF2|＝a，|PF1|＝a，
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答案
则在Rt△PF1F2中，，
即＝(2c)2，
所以e2＝，e＝.
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答案
四、解答题
9.已知圆M：(x＋3)2＋y2＝64的圆心为M，定点N(3，0)，动点A在圆M上，线段AN的垂直平分线交线段MA于点P.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
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答案
由已知|PN|＝|PA|，
故|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|
＝8>|MN|＝6，
所以点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，
设点P的轨迹方程为＝1(a>b>0)，
则2a＝8，即a＝4，c＝3，b2＝a2－c2＝7，
所以点P的轨迹方程为＝1.
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答案
(2)若点Q是曲线C上一点，且∠QMN＝60°，求△QMN的面积.
不妨设|MQ|＝m，
由椭圆定义可得|QN|＝2a－m＝8－m，
又|MN|＝2c＝6，
则在△MNQ中，由余弦定理可得
cos∠QMN＝，
解得m＝.
故△QMN的面积S＝·sin∠QMN·m·2c＝cm＝×3×.
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答案
10.(2024·西安模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，过F2作垂直于x轴的直线l交椭圆于A，B两点，且满足|AF2|＝c.
(1)求椭圆C的离心率；
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答案
由题意，令x＝c，可得y2＝b2，
解得y＝±c，
又由c2＝a2－b2，整理得6a2－6c2＝ac，
即6－6e2＝e，
即6e2＋e－6＝0，解得e＝，
即椭圆C的离心率为.
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答案
(2)M，N是椭圆C短轴的两个端点，设点P是椭圆C上一点(异于椭圆C的顶点)，直线MP，NP分别与x轴相交于R，Q两点，O为坐标原点，若|OR|·
|OQ|＝4，求椭圆C的方程.
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答案
由椭圆C的方程，不妨设M(0，b)，N(0，－b)，
设P(x0，y0)，所以b2＋a2＝a2b2，
则直线MP的方程为y＝x＋b，
令y＝0，可得xR＝，
同理直线NP的方程为y＝x－b，
令y＝0，可得xQ＝，
因为|OR|·|OQ|＝＝a2＝4，解得a＝2，
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答案
又因为e＝，所以c＝，
则b＝＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
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能力拓展
11.已知椭圆C：＝1的右焦点为F，P为椭圆C上任意一点，点A的坐标为，则|PA|＋|PF|的最大值为
A. B.5 C. D.
√
1
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5
6
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8
9
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11
12
答案
易知点A位于椭圆内部，如图，设椭圆C的左焦点为F1(－1，0)，
由椭圆定义可得，|PF|＝4－|PF1|，
所以|PA|＋|PF|＝4＋|PA|－|PF1|≤4＋|AF1|
＝4＋＝4＋1＝5.
所以|PA|＋|PF|的最大值为5.
1
2
3
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5
6
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8
9
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12
答案
12.已知F1，F2分别是椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，且PF1∥QF2.若|PF1|＋|QF2|≥b，则C的离
心率的取值范围是　　　　 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
返回
由点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，延长PF1交椭圆于另一交点，记为A，
由PF1∥QF2再结合椭圆的对称性，
易知|AF1|＝|QF2|，所以|PF1|＋|QF2|＝|PA|，
椭圆过焦点的弦中通径最短，
所以当PA垂直于x轴时，|PA|最短，
所以b≤|PA|min＝，所以ab≤2b2，即，
又0第八章
§8.7　双曲线
数学
大
一
轮
复
习
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.
2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).
3.了解双曲线的简单应用.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的　　　　等于非零常数(_______
|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的　　　，两焦点间的距离叫做双曲线的　　　.
注意：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在.
(2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支.
(3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
绝对值
小于
焦点
焦距
2.双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程
图形
性质 焦点 ____________________ ____________________
焦距 __________ 范围 或 ，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：　　　　；对称中心：_____ F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
|F1F2|＝2c
x≤－a
x≥a
坐标轴
原点
标准方程
性质 顶点 _____________________ _____________________
轴 实轴：线段 ，长： ；虚轴：线段B1B2，长： ；实半轴长： ，虚半轴长：___ 渐近线 __________ __________
离心率 a，b，c的关系 c2＝ (c>a>0，c>b>0) A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
A1A2
2a
2b
a
b
y＝±x
y＝±x
(1，＋∞)
a2＋b2
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(　　)
(2)方程＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.(　　)
(3)双曲线＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是±＝0.(　　)
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　)
√
×
×
√
2.双曲线x2－4y2＝1的离心率为
A. B. C. D.
因为x2－4y2＝1，即x2－＝1，
所以a＝1，b＝，c＝，
所以e＝.
√
3.(多选)已知双曲线方程＝1，下列说法中正确的有
A.焦点坐标为(0，±5)
B.虚轴长为6
C.焦距为10
D.渐近线方程为y＝±x
√
√
由双曲线方程＝1，
得a＝4，b＝3，c＝＝5，
又焦点在x轴上，所以焦点坐标为(±5，0)，A选项错误；
所以虚轴长为2b＝6，B选项正确；
焦距为2c＝10，C选项正确；
渐近线方程为y＝±x＝±x，D选项错误.
4.已知点P在双曲线＝1(a>0，b>0)上，双曲线的左、右焦点分别记为F1，F2，焦距为2，已知PF1⊥PF2，|PF1|＝2|PF2|，则该双曲线的实轴长为　　　　　　.
2
因为|PF1|＝2|PF2|，
由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，
所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
因为PF1⊥PF2，
所以(4a)2＋(2a)2＝＝20，
解得a＝1，则实轴长为2.
1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.
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微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为
A.x2－＝1(x≥1) B.x2－＝1
C.x2－＝1(x≤－1) D.－x2＝1
双曲线的定义及应用
题型一
√
设动圆M的半径为r，
则|MC1|＝r＋1，|MC2|＝r＋3，
则|MC2|－|MC1|＝2<|C1C2|＝6，
根据双曲线的定义知，动圆的圆心M的轨迹为双曲线x2－＝1的左半支.
(2)(2025·永州模拟)已知F1，F2分别是双曲线E：＝1的左、右焦点，M是双曲线E的左支上一点，过F2作∠F1MF2平分线的垂线，垂足为N，O为坐标原点，则|ON|等于
A.4 B.2 C.3 D.1
√
双曲线＝1的实半轴长为a＝2，
延长F2N，MF1交于点H，
由题意△MNH≌△MNF2，则|MH|＝|MF2|，|NH|＝|NF2|，
又O是F1F2的中点，
所以|ON|＝|F1H|＝(|MH|－|MF1|)＝(|MF2|－|MF1|)＝a＝2.
平面内到一个定点和相应一条定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹：
(1)当0(2)当e>1时，轨迹为双曲线.
①定点为焦点，定直线l叫准线，左焦点对应左准线，右焦点对应右准线.
②焦点在x轴上的椭圆(双曲线)的准线方程为x＝±.
圆锥曲线的第二定义
微拓展
典例　(1)椭圆＝1(a>b>0)，焦距为4，P为椭圆上任一点，若P到点(2，0)的距离与到直线x＝的距离之比为，则椭圆方程为 .
＝1
依题意，右焦点F2(2，0)，右准线x＝，
由椭圆第二定义知，
∵c＝2，故a＝4，∴b2＝a2－c2＝12，
∴椭圆方程为＝1.
(2)已知双曲线＝1的右焦点为F2，M是双曲线右支上一点，定点A(9，2)，则|MA|＋|MF2|的最小值为　　 .
设M到直线x＝的距离为d，由双曲线第二定义知，
＝e＝，∴d＝|MF2|，
∴|MA|＋|MF2|＝|MA|＋d，
如图，可知(|MA|＋d)min＝xA－＝9－.
在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系，利用三角形的面积公式求解.对于选择题或填空题直接利用焦点三角形的面积公式计算即可.
思维升华
跟踪训练1　(1)设P是双曲线＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于
A.1 B.17 C.1或17 D.5或13
√
由双曲线＝1得
a＝4，b＝2，c＝6，
由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝2a＝8.
因为|PF1|＝9，所以|9－|PF2||＝8，得|PF2|＝1或17，
若|PF2|＝1，则P在双曲线的右支上，应有|PF2|≥c－a＝2，不成立；
若|PF2|＝17，则P在双曲线的左支上，应有|PF2|≥c＋a＝10，成立.所以|PF2|＝17.
(2)F1，F2分别为双曲线C：＝1(a>0)的左、右焦点，P是双曲线C右支上的一点，PF1与双曲线C的左支交于点Q.已知△PQF2是等边三角形，则双曲线C的实轴长为　　　　.
2
由双曲线的对称性，设点P在第一象限，如图.
因为△PQF2是等边三角形，
所以|PQ|＝|PF2|＝|QF2|，
所以|PF1|－|PF2|＝|QF1|＝2a，
又|QF2|－|QF1|＝2a，则|QF2|＝4a，|PF1|＝6a，
在△PF1F2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝
＝，
整理得c2＝7a2，所以b2＝c2－a2＝6a2＝6，解得a＝1，所以实轴长为2.
双曲线的标准方程
题型二
例2　(1)(2024·济南模拟)已知双曲线C1过点A(－，1)，且与双曲线C2：x2－3y2＝1有相同的渐近线，则双曲线C1的标准方程为
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
√
由双曲线C1与双曲线C2：x2－3y2＝1有相同的渐近线，
故可设双曲线C1的方程为x2－3y2＝λ(λ≠0)，
又因为C1过点A(－，1)，
代入双曲线C1的方程得15－3＝λ，
解得λ＝12，所以双曲线C1的标准方程是＝1.
(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的
等轴双曲线的标准方程是　　　　　　 .
＝1或＝1
直线3x－4y＋12＝0与坐标轴的交点为(－4，0)，(0，3)，若双曲线的焦点在x轴上，
∴等轴双曲线的一个焦点为(－4，0)，
即c＝4，∴a2＝b2＝c2＝8，
故等轴双曲线的标准方程为＝1.
若双曲线的焦点在y轴上，
∴等轴双曲线的一个焦点为(0，3)，
即c＝3，∴a2＝b2＝c2＝，
故等轴双曲线的标准方程为＝1.
求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.
(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可
将双曲线方程设为＝λ(λ≠0)，与双曲线＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程可设为＝1(－a2<λ思维升华
跟踪训练2　江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映，怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是
A.＝1 B.－y2＝1
C.＝1 D.＝1
√
由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，点(4，3)在该双曲线上.
设该双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，
则
故该双曲线的标准方程是＝1.
命题点1　渐近线
双曲线的几何性质
题型三
例3　(2025·石家庄质检)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的实半轴长为，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线C的渐近线方程为
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
√
设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的上焦点为(0，c)(c>0)，双曲线的渐
近线方程为by±ax＝0，
由点到直线的距离公式可得
＝b＝3，
又双曲线C：＝1(a>0，b>0)的实半轴长为，所以a＝，
所以双曲线C的渐近线方程为3y±x＝0，即y＝±x.
(1)渐近线方程的求法：求双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令＝0，即得两渐近线方程±＝0.
(2)在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方程和离心率，在双曲线＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±，满足关系式e2＝1＋k2.
思维升华
命题点2　离心率
例4　(1)(2024·武汉模拟)已知焦点在x轴上的双曲线的两条渐近线所成的角为，则双曲线的离心率为
A. B.
C.2或 D.2或
√
依题意，双曲线的一条渐近线的倾斜角为，
所以＝tan ＝tan ，
即，
所以e＝或e＝＝2，
综上，双曲线的离心率为或2.
(2)(2024·武汉模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△ABF1的周长为10a，则双曲线离心率的取值范围为
A. B.
C. D.
√
根据双曲线定义知，△ABF1的周长为4a＋2|AB|，
所以4a＋2|AB|＝10a，所以|AB|＝3a，
又|AB|≥，所以3a≥，
即3a2≥2b2，
所以3a2≥2(c2－a2)，
即5a2≥2c2，
解得e≤，
故双曲线离心率的取值范围是.
求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围).
思维升华
跟踪训练3　(1)已知双曲线E：＝1(a>0，b>0)的焦点恰好为矩形ABCD的长边中点，且该矩形的顶点都在双曲线上，矩形的长宽比为2∶1，则双曲线的离心率为
A.2＋2 B.3＋2
C.1＋ D.2－1
√
如图，连接CF1，
由题意知C(c，2c)，
|CF2|＝2c，|F1F2|＝2c，
则|CF1|＝2c，
则由双曲线的定义知
|CF1|－|CF2|＝2a，
即2c－2c＝2a，a＝(－1)c，
所以双曲线的离心率e＝＋1.
(2)(2024·绍兴模拟)若双曲线C1：＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆C2：(x－2)2＋y2＝1有公共点，则C1的离心率的取值范围为
A. B.
C.(1，2) D.(1，2]
√
∵双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，且渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1有公共点，
∴圆心到渐近线的距离小于等于半径，
即≤1，∴3b2≤a2，∴c2＝a2＋b2≤a2，
∴1返回
课时精练
对一对
答案
1
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3
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7
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9
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11
12
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C B D B AD BC
题号 8 11 12 答案 C 5 答案
1
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12
(1)因为a＝2，且双曲线的焦点在x轴上，
可设双曲线的标准方程为
＝1(b>0)，
将点A(－5，2)代入双曲线的方程得＝1，解得b2＝16，
因此，双曲线的标准方程为＝1.
9.
答案
1
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9
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11
12
(2)在椭圆＝1中，
c＝，
所以椭圆的焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，
设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)，
因为双曲线与椭圆有相同焦点，
所以a2+b2＝c2＝5，
点P(－，2)代入双曲线方程，
9.
答案
1
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6
7
8
9
10
11
12
可得＝1，
联立解得
所以双曲线的标准方程为x2－＝1.
9.
答案
1
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9
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11
12
(1)＝1的渐近线的方程为y＝±x，即bx±ay＝0，
由双曲线的对称性不妨取渐近线为bx－ay＝0，则点F(c，0)到bx－ay＝0
的距离d＝＝b＝4，
又因为焦距2c＝10，所以c＝5，
所以a2＝c2－b2＝9，
所以双曲线C的方程为＝1.
10.
答案
1
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9
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12
(2)记双曲线C的左焦点为F0，则F0(－5，0)，
|PA|+|PF|＝|PA|+|PF0|+2a＝|PA|+|PF0|+6，
当F0，P，A三点共线时，
|PA|+|PF0|最小，
且最小值为|AF0|＝17.
故|PA|+|PF|的最小值为
17+6＝23.
10.
一、单项选择题
1.(2025·八省联考)双曲线x2－＝1的渐近线方程为
A.y＝±x B.y＝±2x
C.y＝±3x D.y＝±4x
1
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12
知识过关
答案
√
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12
答案
2.“m>2”是“方程＝1表示双曲线”的
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
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12
答案
因为方程＝1表示双曲线，所以(2－m)(m＋1)<0，解得m<－1
或m>2.
即m∈(－∞，－1)∪(2，＋∞).
因为(2，＋∞)是(－∞，－1)∪(2，＋∞)的真子集，
所以“m>2”是“方程＝1表示双曲线”的充分不必要条件.
1
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12
答案
3.若动圆过定点A(2，0)，且和定圆C：(x＋2)2＋y2＝1外切，则动圆圆心P的轨迹方程为
A.x2－＝1 B.x2－＝1
C.4x2－＝1 D.4x2－＝1
√
1
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11
12
答案
定圆C的半径为1，圆心为C(－2，0)，与A(2，0)关于原点对称.设动圆的半径为r，
则|PA|＝r，由两圆外切可得|PC|＝1＋r，
所以|PC|－|PA|＝1<|AC|＝4，
所以P的轨迹为双曲线的右支.
设P的轨迹方程为＝1(a>0，b>0)，
则a＝，c＝2，b2＝c2－a2＝，
所以动圆圆心P的轨迹方程为4x2－＝1.
1
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12
答案
4.(2025·天津市河西区模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，过F1作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，且|MF2|＝3|OM|，则双曲线C的离心率为
A. B. C.2 D.3
√
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12
答案
由题意得F1(－c，0)，|MF1|＝b，由勾股定理得|OM|＝a，
因为MF1垂直于渐近线，所以cos∠MOF1＝，
因为|MF2|＝3|OM|，所以|MF2|＝3a，而|OF2|＝c，
在△MOF2中，由余弦定理得cos∠MOF2＝，
因为∠MOF1＋∠MOF2＝π，
所以＝0，
化简得c2＝6a2，所以c＝a，故e＝.
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12
答案
二、多项选择题
5.(2024·南通调研)已知双曲线C：＝1(b>0)的右焦点为F，直线l：x＋by＝0是C的一条渐近线，P是l上一点，则
A.C的虚轴长为2
B.C的离心率为
C.|PF|的最小值为2
D.直线PF的斜率不等于－
√
√
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答案
双曲线C：＝1的渐近线方程为bx±2y＝0，依题意得－＝－，解得b＝，
对于A，C的虚轴长为2b＝2，A正确；
对于B，C的离心率e＝，B错误；
对于C，点F(，0)到直线l：x＋y＝0的距离为，即|PF|的最小值为，C错误；
对于D，直线l：x＋y＝0的斜率为－，而点F不在l上，点P在l上，则直线PF的斜率不等于－，D正确.
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12
答案
6.(2025·泉州模拟)已知双曲线C：－x2＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝x，上、下焦点分别为F1，F2，则
A.双曲线C的方程为－x2＝1
B.双曲线C的离心率为2
C.双曲线C上的点到焦点的最小距离为
D.若点M(2，t)为双曲线C上支上的一点，则△MF1F2的内切圆面积为2π
√
√
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答案
对于A，双曲线C：－x2＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±ax，则a＝，
于是双曲线C的方程为－x2＝1，故A错误；
对于B，双曲线C的离心率e＝＝2，故B正确；
对于C，c＝，双曲线C上的点到焦点的最小距离为c－a＝，故C正确；
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12
答案
对于D，F1，F2，由点M(2，t)
在双曲线上支上，得t＝，
|F1F2|·2，
△MF1F2的周长为|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝，
设△MF1F2的内切圆半径为r，
则×r＝，解得r＝，
因此△MF1F2的内切圆面积为π，故D错误.
三、填空题
7.(2024·新课标全国Ⅰ)设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|
＝10，则C的离心率为　　 .
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12
答案
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12
答案
|F1A|＝13，|AF2|＝|AB|＝5，
且AF2⊥F1F2，
|F1F2|＝＝12.
由双曲线定义可得2a＝|F1A|－|AF2|＝8，
2c＝|F1F2|＝12，
化简得a＝4，c＝6，
则C的离心率e＝.
1
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12
答案
8.(2024·抚顺模拟)已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，则|PF1|＝　　　 .
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答案
依题意，a＝，b＝2，c＝，
∴|PF2|＝b＝2，|OF2|＝c＝(O为坐标原点)，
∴cos∠PF2F1＝，
在△PF2F1中，由余弦定理得|PF1|＝
＝
＝2.
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答案
四、解答题
9.求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)焦点在x轴上，a＝2，经过点A(－5，2)；
因为a＝2，且双曲线的焦点在x轴上，
可设双曲线的标准方程为＝1(b>0)，
将点A(－5，2)代入双曲线的方程得
＝1，解得b2＝16，
因此，双曲线的标准方程为＝1.
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答案
(2)过点P(－，2)，且与椭圆＝1有相同焦点的双曲线方程.
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答案
在椭圆＝1中，
c＝，
所以椭圆的焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，
设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)，
因为双曲线与椭圆有相同焦点，
所以a2＋b2＝c2＝5，
点P(－，2)代入双曲线方程，可得＝1，
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答案
联立
所以双曲线的标准方程为x2－＝1.
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答案
10.已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的焦距为10，F为双曲线的右焦点，且点F到渐近线的距离为4.
(1)求双曲线C的方程；
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答案
＝1的渐近线的方程为
y＝±x，即bx±ay＝0，
由双曲线的对称性不妨取渐近线为bx－ay＝0，则点F(c，0)到bx－ay＝0的距离
d＝＝b＝4，
又因为焦距2c＝10，所以c＝5，所以a2＝c2－b2＝9，
所以双曲线C的方程为＝1.
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答案
(2)若点A(12，0)，点P为双曲线C左支上一点，求|PA|＋|PF|的最小值.
记双曲线C的左焦点为F0，则F0(－5，0)，
|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF0|＋2a＝|PA|＋|PF0|＋6，
当F0，P，A三点共线时，|PA|＋|PF0|最小，且最小
值为|AF0|＝17.
故|PA|＋|PF|的最小值为17＋6＝23.
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答案
能力拓展
11.(2024·天津)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
√
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答案
由题意可知，∠F1PF2＝90°，
又直线PF2的斜率为2，
可得tan∠PF2F1＝＝2，
根据双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2a，
得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
|PF1||PF2|＝×4a×2a＝4a2，
又＝8，所以a2＝2，
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答案
所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2
＝(4a)2＋(2a)2＝20a2＝40.
又|F1F2|2＝4c2，所以c2＝10，
又a2＋b2＝c2，所以b2＝8，
所以双曲线的方程为＝1.
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答案
12.已知点P是双曲线＝1右支上的一点，点A，B分别是圆(x＋6)2＋y2＝4和圆(x－6)2＋y2＝1上的点.则|PA|－|PB|的最小值为　　　.
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答案
由双曲线＝1可知，
a＝4，b＝2，c＝＝6，
且圆(x＋6)2＋y2＝4的圆心为F1(－6，0)，半径r1＝2，
圆(x－6)2＋y2＝1的圆心为F2(6，0)，半径r2＝1，
由圆的性质可知|PA|≥|PF1|－r1＝|PF1|－2，
|PB|≤|PF2|＋r2＝|PF2|＋1，
可得|PA|－|PB|≥(|PF1|－2)－(|PF2|＋1)＝|PF1|－|PF2|－3，
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答案
返回
可知F1(－6，0)，F2(6，0)为双曲线的焦点，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝8，
可得|PA|－|PB|≥|PF1|－|PF2|－3＝5，
所以|PA|－|PB|的最小值为5.(共70张PPT)
第八章
§8.8　抛物线
数学
大
一
轮
复
习
1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.
2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).
3.了解抛物线的简单应用.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.抛物线的概念
把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离　　　的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的　　　，直线l叫做抛物线的　　　.
注意：定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F且垂直于直线l的一条直线.
相等
焦点
准线
2.抛物线的标准方程和简单几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0， y∈R x≤0， y∈R y≥0， x∈R y≤0，
x∈R
焦点 ________ __________ ________ __________
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
准线 方程 ________ ______ ________ ______
对称轴 _____ _____ 顶点 ________ 离心率 e＝___ x＝－
x＝
y＝－
y＝
x轴
y轴
(0，0)
1
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线.
(　　)
(2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1，0).(　　)
(3)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离.(　　)
(4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，也可以写成y＝ax2(a≠0)，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的.(　　)
√
×
×
√
2.(多选)关于抛物线y2＝－2x，下列说法正确的是
A.开口向左 B.焦点坐标为(－1，0)
C.准线为x＝1 D.对称轴为x轴
√
√
对于抛物线y2＝－2x，开口向左，焦点坐标为，准线方程为x＝，对称轴为x轴，故AD正确.
3.(2024·驻马店模拟)已知点P(6，y0)在焦点为F的抛物线C：y2＝2px(p>0)上，若|PF|＝，则p等于
A.3 B.6 C.9 D.12
抛物线C：y2＝2px(p>0)，准线方程为x＝－，P(6，y0)，由抛物线的定
义可知
|PF|＝6＋，解得p＝3.
√
4.(2024·宝鸡模拟)抛物线y2＝2px(p>0)过点A(2，2)，则点A到抛物线准线
的距离为　　 .
由题意22＝2p×2，解得p＝1，所以抛物线的准线方程为x＝－，故所求距离为2＋.
抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；
(3)；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦；
(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)(2025·东北三省精准教学联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，若抛物线上一点M满足|MF|＝2，∠OFM＝60°，则p等于
A.3 B.4 C.6 D.8
√
抛物线的定义及应用
题型一
如图，过点M分别向x轴和准线作垂线，垂足分别为A，N，
根据抛物线定义，
有|MF|＝|MN|＝2，
所以p＝|MN|＋|MF|·cos 60°＝3.
(2)记抛物线E：y2＝4x的焦点为F，点A在E上，B(2，1)，则|AF|＋|AB|的最小值为
A.2 B.3 C.4 D.5
√
过点A作准线x＝－1的垂线，垂足为D，则|AF|＝|AD|，则|AF|＋|AB|＝|AD|＋|AB|≥3，如图所示，所以|AF|＋|AB|的最小值为3.
延伸探究　本例(2)中，点B坐标改为(2，3)，点A到准线的距离为d，求|AB|＋d的最小值.
令x＝2，y2＝8<9，
故点B在抛物线外部.
由抛物线定义，d＝|AF|，
∴|AB|＋d＝|AB|＋|AF|
≥|BF|＝，如图所示，
当且仅当B，A，F三点共线时等号成立，
∴|AB|＋d的最小值为.
“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解.“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径.
思维升华
跟踪训练1　(1)(2024·贵阳模拟)抛物线y2＝4x上一点M到焦点的距离是10，则M到x轴的距离是
A.4 B.6 C.7 D.9
抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，由抛物线定义可得xM＋1＝10，故xM＝10－1＝9，则|yM|＝＝6，即M到x轴的距离为6.
√
(2)已知点P为抛物线y2＝－4x上的动点，设点P到直线l：x＝1的距离为d1，到直线x＋y－4＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是
A. B. C.2 D.
√
直线l：x＝1为抛物线y2＝－4x的准线，点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线x＋y－4＝0的垂线，如图所示，当点P为所作直线与抛物线的交点时，d1＋d2的值最小，为点F到直线x＋y－4＝0的距离.
∵F(－1，0)，
∴(d1＋d2)min＝.
抛物线的标准方程
题型二
例2　(1)若抛物线过点(3，－4)，则抛物线的标准方程为______________
　　　.
y2＝x或x2＝
－y
∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0).
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，
则2p＝，2p1＝.
∴所求抛物线的标准方程为
y2＝x或x2＝－y.
(2)“米”是象形字，数学探究课上，某同学用抛物线C1：y2＝－2px(p>0)，C2：y2＝2px(p>0)构造了一个类似“米”字形的图案，如图所示，若抛物线C1，C2的焦点分别为F1，F2，点P在抛物线C1上，过点P作x轴的平行线交抛物线C2于点Q，若|PF1|＝2|PQ|＝8，则p等于
A.4 B.6 C.8 D.12
√
方法一　如图，过点P作PM⊥F1F2于点M，
∵|PF1|＝2|PQ|＝8，
∴|OM|＝2，则xP＝－2，
又点P在抛物线C1：y2＝－2px(p>0)上，
∴＝4p，
则|PM|＝2，
在Rt△PMF1中，|MF1|＝－2，
∵|PM|2＋，
∴＝82，
∴p＝12(p＝－20舍去).
方法二　设P(x0，y0)，则x0<0，
∵|PF1|＝2|PQ|＝8，
∴－x0＋＝2(－2x0)＝8，
∴x0＝－2，p＝12.
求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法.
(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论.
思维升华
跟踪训练2　(1)动点P到点A(0，2)的距离比它到直线l：y＝－4的距离小2，则动点P的轨迹方程为
A.y2＝4x B.y2＝8x
C.x2＝4y D.x2＝8y
因为动点P到点A(0，2)的距离比它到直线l：y＝－4的距离小2，所以动点P到点A(0，2)的距离与它到直线y＝－2的距离相等，根据抛物线的定义可得点P的轨迹为以A(0，2)为焦点，以直线y＝－2为准线的抛物线，其标准方程为x2＝8y.
√
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上且位于第一象限，AB⊥l于点B，若|AF|＝|BF|＝4，则抛物线C的标准方程为　　　　 .
y2＝4x
∵|AF|＝|AB|且|AF|＝|BF|＝4，
∴△ABF为等边三角形，∴∠ABF＝60°，
设抛物线的准线与x轴交于点E，∴∠FBE＝30°，
∴|EF|＝|BF|·sin 30°＝4×＝2，即p＝2，
∴抛物线C的标准方程为y2＝4x.
抛物线的几何性质
题型三
例3　(1)若抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是
A.p<1 B.p>1 C.p<2 D.p>2
√
设P为抛物线上任意一点，则P到焦点的距离等于到准线：x＝－的距离，显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值.∴>1，即p>2.
(2)(多选)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝8x过焦点的弦的两个端点，焦点为F，则
A.焦点F的坐标为(4，0)
B.|AB|＝x1＋x2＋4
C.y1y2＝－8
D.
√
√
由抛物线y2＝8x，可得焦点为F(2，0)，故A错误；
由抛物线的性质可得|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋2＋x2＋2＝x1＋x2＋4，故B正确；
方法一　设直线AB的方程为x＝my＋2，与抛物线的方程联立，可得y2－8my－16＝0，Δ>0，
则y1＋y2＝8m，y1y2＝－16，
＝
＝
＝
＝
＝，故C错误，D正确.
方法二　因为p＝4，所以y1y2＝－p2＝－16，
，故C错误，D正确.
应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.
思维升华
跟踪训练3　(1)(多选)对于抛物线x2＝y，下列描述正确的是
A.开口向上，焦点为(0，2)
B.开口向上，焦点为
C.焦点到准线的距离为4
D.准线方程为y＝－4
√
√
由抛物线x2＝y，即x2＝8y，可知抛物线开口向上，焦点坐标为(0，2)，焦点到准线的距离为4，准线方程为y＝－2.
(2)(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)经过点M(1，2)，其焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于两个不同的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则
A.p＝2 B.|AB|≥4
C.·＝－4 D.k1k2＝－4
√
√
√
因为抛物线y2＝2px(p>0)经过点M(1，2)，所以22＝2p，解得p＝2，故A正确；
所以抛物线方程为y2＝4x，则焦点为F(1，0)，
设直线l：x＝my＋1，联立
消去x整理得y2－4my－4＝0，
则Δ＝16m2＋16>0，
所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，
则x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2，
x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)
＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝1，
所以|AB|＝x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4，故B正确；
因为＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，
所以·＝x1x2＋y1y2＝－3，故C错误；
由题意知，x1≠0且x2≠0，所以k1k2＝·＝－4，故D正确.
返回
课时精练
对一对
答案
1
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3
4
5
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7
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9
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12
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C C C A ABC ABD 8
题号 8 11 12 答案 D y2＝3x 答案
1
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6
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12
(1)由题意知动点M到F(2，0)的距离与它到直线x＝－2的距离相等，所以动点M的轨迹为以F(2，0)为焦点，以直线x＝－2为准线的抛物线，因此动点M的轨迹方程为y2＝8x.
9.
答案
1
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6
7
8
9
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12
(2)设M，
由两点间的距离公式得
|MA|＝
＝，
当m2＝16，即m＝±4时，|MA|min＝4，
即当M的坐标为(2，4)或(2，－4)时，点M与点A的距离最小，最小值为4.
9.
答案
1
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11
12
(1)设圆心C的坐标为(x，y)，
则半径r＝，
又动圆在y轴上截得的弦长为8，
所以42+x2＝(x－4)2+y2，
化简得y2＝8x，
即动圆圆心C的轨迹方程为y2＝8x.
10.
答案
1
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3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)如图，设轨迹C的焦点为F(2，0)，点P到直线y＝x+4的距离为|PP1|，到y轴的距离为|PP2|，点F到直线
y＝x+4的距离为|FF1|，
由抛物线的定义，
可知|PP2|＝|PF|－2，
所以|PP1|+|PP2|
＝|PP1|+|PF|－2，
10.
答案
1
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5
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10
11
12
由图可知|PP1|+|PF|的最小值为点F到直线y＝x+4的距离，
所以(|PP1|+|PF|)min
＝|FF1|＝＝3，
所以|PP1|+|PP2|的最小值为
3－2.
即点P到直线y＝x+4和y轴的距离之和的最小值为3－2.
10.
一、单项选择题
1.(2025·德州模拟)抛物线x＝－2y2的焦点坐标为
A. B.
C. D.
1
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11
12
知识过关
答案
由抛物线方程x＝－2y2，可知抛物线标准方程为y2＝－x，
则p＝.
√
1
2
3
4
5
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7
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11
12
答案
2.(2024·重庆模拟)已知点P(x，y)满足＝|x＋1|，则点P的轨迹为
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
表示点P(x，y)到点(1，0)的距离；|x＋1|表示点P(x，y)到直线x＝－1的距离.因为＝|x＋1|，所以点P(x，y)到点(1，0)
的距离等于点P(x，y)到直线x＝－1的距离，所以点P的轨迹为抛物线.
√
1
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11
12
答案
3.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|等于
A. B. C.3 D.2
√
1
2
3
4
5
6
7
8
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11
12
答案
过点Q作QQ'⊥l于点Q'，如图.
∵＝4，
∴|PQ|∶|PF|＝3∶4，
又焦点F到准线l的距离为4，
∴|QF|＝|QQ'|＝×4＝3.
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2
3
4
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答案
4.(2024·海口模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线x＝1与抛物线E交于A，B两点，直线x＝4与E交于C，D两点，若A，B，C，D四点构成的梯形的面积为18，则|FA|＋|FB|＋|FC|＋|FD|等于
A.14 B.12 C.16 D.18
√
1
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3
4
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答案
将x＝1代入y2＝2px，得y＝±，
将x＝4代入y2＝2px，得y＝±2，
所以|AB|＋|CD|＝2＋4＝6，
因为A，B，C，D四点构成的梯形的面积为18，
所以(|AB|＋|CD|)×(4－1)＝9＝18，
解得p＝2，则E的准线方程为x＝－1，
故由抛物线定义知|FA|＋|FB|＋|FC|＋|FD|＝(1＋1)＋(1＋1)＋(4＋1)＋(4＋1)＝14.
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答案
二、多项选择题
5.(2025·八省联考)已知F(2，0)是抛物线C：y2＝2px的焦点，M是C上的点，O为坐标原点.则
A.p＝4
B.|MF|≥|OF|
C.以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
D.当∠OFM＝120°时，△OFM的面积为2
√
√
√
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答案
由题意得＝2，则p＝4，A正确；
设M(x0，y0)，则|MF|＝x0＋，|OF|＝，
又因为x0≥0，所以|MF|≥|OF|，B正确；
由抛物线的定义知M到F的距离与M到C的准线的距离相等，故以M为圆心且过F的圆与C的准线相切，C正确；
当∠OFM＝120°时，设M在第一象限，则x0>2，y0>0，
故kMF＝＝tan 60°＝，即x0＝＋2，
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答案
又＝8x0，
所以－8y0－16＝0，
解得y0＝4或y0＝－(舍去)，
所以S△OFM＝|OF|×|y0|＝×2×4＝4，D错误.
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答案
6.(2024·茂名模拟)过抛物线C：y2＝4x的焦点F作直线l交C于A，B两点，则
A.|AB|的最小值为4
B.以AB为直径的圆与C的准线相切
C.若|AB|＝5，则线段AB中点的横坐标为2
D.＝1
√
√
√
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答案
结合抛物线的焦点弦中通径最短，可得|AB|≥2p＝4，
故选项A正确；
设AB的中点为M，且A，B，M在准线上的投影分别为
A'，B'，M'，
由抛物线的定义可知|AA'|＝|AF|，|BB'|＝|BF|，
易知四边形ABB'A'为直角梯形，所以|MM'|＝，
故以AB为直径的圆与C的准线相切，故选项B正确；
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答案
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA'|＋|BB'|＝x1＋＋x2＋＝x1
＋x2＋p＝5，
所以x1＋x2＝3，所以线段AB中点的横坐标为
，故选项C错误；
由抛物线的焦点弦的性质知，＝1，故选项D正确.
三、填空题
7.(2025·成都模拟)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＝1的一个顶点，则p的值为　　　.
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答案
因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为＝1的右顶点为
(4，0)，
由题意可得＝4，解得p＝8.
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答案
8.已知抛物线C：y2＝2x，焦点为F，准线为l，过抛物线C上一点P作PQ⊥l于点Q，若∠FPQ＝，则|PF|＝　　　.
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答案
如图，设|PF|＝t，
∴|PQ|＝t，
则△QPF为等腰三角形，且∠QPF＝，∴∠PQF＝，
由余弦定理得|QF|＝t，
在Rt△QMF中，∠MQF＝，|MF|＝p＝1，
∴|MF|＝|QF|sin∠MQF＝t×＝1，
解得t＝，∴|PF|＝.
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答案
四、解答题
9.已知动点M与点F(2，0)的距离与其到直线x＝－2的距离相等.
(1)求动点M的轨迹方程；
由题意知动点M到F(2，0)的距离与它到直线x＝－2的距离相等，所以动点M的轨迹为以F(2，0)为焦点，以直线x＝－2为准线的抛物线，因此动点M的轨迹方程为y2＝8x.
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答案
(2)求点M与点A(6，0)的距离的最小值，并指出此时M的坐标.
设M，
由两点间的距离公式得
|MA|＝
＝，
当m2＝16，即m＝±4时，|MA|min＝4，
即当M的坐标为(2，4)或(2，－4)时，点M与点A的距离最小，最小值为4.
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答案
10.已知动圆过定点(4，0)，且在y轴上截得的弦长为8.
(1)求动圆圆心C的轨迹方程；
设圆心C的坐标为(x，y)，
则半径r＝，
又动圆在y轴上截得的弦长为8，
所以42＋x2＝(x－4)2＋y2，化简得y2＝8x，
即动圆圆心C的轨迹方程为y2＝8x.
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答案
(2)已知P为轨迹C上的一动点，求点P到直线y＝x＋4和y轴的距离之和的最小值.
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答案
如图，设轨迹C的焦点为F(2，0)，点P到直线y＝x＋4的距离为|PP1|，到y轴的距离为|PP2|，点F到直线y＝x＋4的距离为|FF1|，
由抛物线的定义，可知|PP2|＝|PF|－2，
所以|PP1|＋|PP2|＝|PP1|＋|PF|－2，
由图可知|PP1|＋|PF|的最小值为点F到直线y＝x＋4的距离，
所以(|PP1|＋|PF|)min＝|FF1|＝＝3，
所以|PP1|＋|PP2|的最小值为3－2.
即点P到直线y＝x＋4和y轴的距离之和的最小值为3－2.
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答案
能力拓展
11.已知抛物线y2＝2px(p>0)上不同的三点A，B，C的横坐标成等差数列，P为抛物线的焦点，则
A.A，B，C的纵坐标成等差数列
B.A，B，C到x轴的距离成等差数列
C.A，B，C到原点的距离成等差数列
D.A，B，C到点P的距离成等差数列
√
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答案
设点A，B，C的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，P，准线方程为x＝－，
因为抛物线y2＝2px(p>0)上不同的三点A，B，C的横坐标成等差数列，所
以有2x2＝x1＋x3，于是有2，
根据抛物线定义可得2|BP|＝|AP|＋|CP|，显然选项D正确；
当三点A，B，C的坐标分别为(0，0)，(2，2)，(4，2)时，因为p>0，所以2×2＝0＋2不成立，因此选项A不正确；
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答案
因为A，B，C到x轴的距离分别为0，2，2，p>0，所以2×2＝0＋2不成立，因此选项B不正确；
因为|AO|＝0，|BO|＝，|CO|＝，p>0，所以2×＝0＋不成立，因此选项C不正确.
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答案
12.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线分别交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为　　　　.
y2＝3x
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答案
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如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，
准线与x轴交于点G，
设|BF|＝a，则|BC|＝2a，由抛物线的定义得|BD|＝a，故
∠BCD＝30°，∴在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，
∵|AE|＝|AF|＝3，
∴|AC|＝3＋3a＝6，解得a＝1，
∵BD∥FG，∴，∴p＝，
因此抛物线的方程为y2＝3x.(共84张PPT)
第八章
§8.9　直线与圆锥曲线的
　　　位置关系
数学
大
一
轮
复
习
1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.
2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.
3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交 Δ 0；直线与圆锥曲线相切 Δ 0；直线与圆锥曲线相离 Δ 0.
特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点.
②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点.
>
＝
<
2.弦长公式
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，则|AB|＝
＝|x1－x2|
＝ ，
或|AB|＝|y1－y2|＝____________________________.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)过点＋y2＝1相交.(　　)
(2)直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切.(　　)
(3)与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点.(　　)
(4)圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦.(　　)
√
√
×
√
2.若直线y＝kx＋2与椭圆＝1有且只有一个交点，则k的值是
A. B.－
C.± D.±
由
得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，
由题意知Δ＝(12k)2－4×6×(2＋3k2)＝0，
解得k＝±.
√
3.已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的长是
A.2 B.4 C.8 D.16
联立
消去y并整理得x2－6x＋1＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝6，x1x2＝1，
所以|AB|＝×＝8.
√
4.已知点A，B是双曲线C：＝1上的两点，线段AB的中点是M(3，
2)，则直线AB的斜率为　　　.
方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵点A，B是双曲线C上的两点，
∴＝1，＝1，
两式相减得
，
∵M(3，2)是线段AB的中点，
∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，
∴，
∴kAB＝.
方法二　由kAB·kOM＝，
得kAB＝·×.
1.已知M，N是椭圆C：＝1(a>b>0)上的两点，点O为坐标原点，且P是M，N的中点，则kMN·kOP＝－.
2.若曲线为双曲线＝1(a>0，b>0)，其余条件不变，则kMN·kOP＝.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)已知直线l的方程为mx＋y＋2m＝1，椭圆C的方程为＝1，则直线l与椭圆C的位置关系为
A.相离 B.相交
C.相切 D.不能确定
√
直线与圆锥曲线的位置关系
题型一
直线l：mx＋y＋2m＝1，
即m(x＋2)＋y－1＝0，
令
则直线l过定点(－2，1)，
因为<1，
则该定点在椭圆内，
则直线l与椭圆C的位置关系为相交.
(2)(2024·肇庆模拟)已知双曲线E：＝1，则过点P(2，)与双曲线E有且只有一个公共点的直线共有
A.4条 B.3条 C.2条 D.1条
√
分析条件可得，点P(2，)在双曲线的渐近线y＝x上，
且位于第一象限，和双曲线的右顶点有相同的横坐标，
如图，所以过P(2，)且与双曲线E有且只有一个公共
点的直线只有两条：一条是切线x＝2，一条是过点P(2，)且与另一条渐近线平行的直线.
(1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合).
思维升华
跟踪训练1　(1)(2025·宿迁模拟)已知抛物线C：x2＝y，点M(m，1)，则“m>1”是“过M且与C仅有一个公共点的直线有3条”的
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
由于过M且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条，则当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线为x＝m；
当直线的斜率存在时，设直线为y－1＝k(x－m)，
则
消去y整理得x2－kx＋km－1＝0，
所以Δ＝0，即关于k的方程k2－4km＋4＝0有两个不同的解，
所以Δ1>0即16m2－16>0，
解得m<－1或m>1，
所以“m>1”是“过M且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条”的充分条件.
(2)已知直线y＝x与双曲线＝1(a>0，b>0)无公共点，则双曲线的离心率的取值范围是　　　　 .
(1，]
双曲线的一条渐近线为y＝x，因为直线y＝x与双曲线无公共点，则0<≤1，
又＝e2－1，且e>1，
所以1弦长问题
题型二
例2　已知抛物线G：y2＝4x的焦点与椭圆E：＝1(a>b>0)的右焦点F重合，椭圆E的长轴长为4.
(1)求椭圆E的方程；
∵抛物线G：y2＝4x的焦点为(1，0)，
∴c＝1，又a＝2，则b2＝a2－c2＝3，
故椭圆E的方程为＝1.
(2)过点F且斜率为k的直线l交椭圆E于A，B两点，交抛物线G于M，N两点，求的值.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4)，
直线l的方程为y＝k(x－1)，与椭圆E的方程联立
得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，Δ＝144(k2＋1)>0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝·，
直线l的方程y＝k(x－1)与抛物线G的方程联立
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＝16(k2＋1)>0，
∴x3＋x4＝，x3x4＝1，
∴|MN|＝x3＋x4＋2＝.
故·.
(1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线，任何两点的弦长都可以用弦长公式求(过两点的直线的斜率存在且不等于0).
(2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|＝x1＋x2＋p.
(3)设直线方程时应注意讨论是否存在斜率.
思维升华
跟踪训练2　(2024·亳州模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点P为椭圆C上任意一点，且△PF1F2的周长为6＋4.
(1)求椭圆C的方程；
由题意知
解得
则椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)直线l1：y＝x＋与直线l2：y＝x－分别交椭圆C于点A，B和点C，D，求四边形ABCD的面积.
易知四边形ABCD为平行四边形，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
消去y并整理得5x2＋9x＋9＝0，Δ＝63>0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝，
则|AB|＝，
因为AB与CD平行，所以这两条直线的距离d＝，
则平行四边形ABCD的面积S＝|AB|·d＝×.
中点弦问题
题型三
例3　(1)已知直线l交抛物线C：x2＝－18y于M，N两点，且MN的中点为(3，－2)，则直线l的斜率为
A.－3 B.－ C. D.－
√
由题意知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则
两式相减得＝－18(y1－y2)，
整理得＝－，
因为MN的中点为(3，－2)，
则x1＋x2＝2×3＝6，
所以k＝＝－＝－，
即直线l的斜率为－.
(2)(2024·肇庆模拟)已知直线l：x－y＋3＝0与双曲线C：＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，点P(1，4)是弦AB的中点，则双曲线C的渐近线方程是
A.y＝±x B.y＝±2x
C.y＝±x D.y＝±4x
√
方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
可得＝1，＝1，
两式相减可得
，
由点P(1，4)是弦AB的中点，且直线l：x－y＋3＝0，
可得x1＋x2＝2，y1＋y2＝8，y1－y2＝x1－x2，
即有b2＝4a2，即b＝2a，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x.
方法二　由题意知kAB＝1，kOP＝4(O为坐标原点)，
则＝kAB·kOP＝4，
所以b2＝4a2，b＝2a，
故双曲线C的渐近线方程为y＝±2x.
解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路
(1)根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解.
(2)点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)为A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为C(x0，y0)，将这两点坐标分别代入圆锥曲线(焦
点在x轴上)的方程，并对所得两式作差，化简得椭圆：kAB＝－·，双曲线：kAB＝·.
思维升华
跟踪训练3　(2024·六安模拟)已知椭圆E：＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
√
方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以
两式相减可得，
整理可得＝－，
根据题意可知直线AB的斜率为，
由AB的中点坐标为(1，－1)可得x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，
因此＝－＝－，可得a2＝2b2，
方法二　设AB的中点为P，O为坐标原点，
kAB＝，kOP＝＝－1，
则kAB·kOP＝－＝－，所以a2＝2b2，
由右焦点为F(3，0)可得a2－b2＝c2＝9，
解得b2＝9，a2＝18，
所以椭圆E的方程为＝1.
返回
课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B D D D BCD BCD
题号 8 11 12 答案 50 C 24 答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)由椭圆C：+y2＝1，
可得a＝，b＝1，
则c＝＝1，
所以椭圆的离心率为e＝，
左焦点为F(－1，0).
9.
答案
1
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6
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8
9
10
11
12
(2)由椭圆C：+y2＝1，
可得＝1，即＝1－，
当y0＝0时，
直线l的方程为x＝或x＝－，此时直线l与椭圆C相切；
当y0≠0时，
联立方程组
9.
答案
1
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3
4
5
6
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8
9
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11
12
可得(2)x2－4x0x+4－4＝0，即x2－2x0x+＝0，
则Δ＝－4
＝4－4＝0，
所以直线l与椭圆C相切，
综上可得，直线l：x0x+2y0y＝2与椭圆C相切.
9.
答案
1
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6
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8
9
10
11
12
(1)因为双曲线C的两条渐近线互相垂直，
所以双曲线C为等轴双曲线，
所以设所求双曲线方程为
x2－y2＝m(m≠0)，
又双曲线C经过点P(2，－)，
所以4－2＝m，即m＝2，
所以双曲线C的方程为x2－y2＝2，
即标准方程为＝1.
10.
答案
1
2
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4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)根据题意可知直线l的斜率存在，又直线l过点Q(0，2)，所以设直线l的方程为y＝kx+2，
E(x1，y1)，F(x2，y2)，
所以原点O到直线l的距离d＝，
联立
得(k2－1)x2+4kx+6＝0，
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
所以k2≠1且Δ＝16k2－24(k2－1)＝24－8k2>0，
所以k2<3，且k2≠1，
x1+x2＝－，
x1x2＝，
所以|EF|＝·
＝·，
10.
答案
1
2
3
4
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6
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8
9
10
11
12
所以△OEF的面积为·|EF|·d
＝···＝2，
所以＝1，
解得k2＝2，所以k＝±，
所以直线l的方程为y＝x+2或y＝－x+2.
10.
一、单项选择题
1.已知直线2x＋y－2＝0与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，则|AB|等于
A. B.5 C.3 D.4
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知识过关
答案
√
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答案
将2x＋y－2＝0与抛物线C：y2＝4x联立得x2－3x＋1＝0，Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3，
显然抛物线焦点坐标为(1，0)，
令x＝1，即2＋y－2＝0，
得y＝0，则直线过焦点，
则|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋2＝5.
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答案
2.(2025·江西省部分高中学校联考)若直线l：y＝x＋m与椭圆C：＝1没有公共点，则m的取值范围为
A.(－2，2) B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C.(－，) D.(－∞，－)∪(，＋∞)
√
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答案
由
可得14x2＋18mx＋9m2－45＝0，
故Δ＝324m2－56(9m2－45)<0，
故m<－或m>.
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答案
3.(2025·张掖模拟)已知倾斜角为的直线l与椭圆C：＋y2＝1交于A，B两点，P为AB的中点，O为坐标原点，则直线OP的斜率为
A.－1 B.－ C.－ D.－
√
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答案
方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
则kAB＝＝1，x0＝，y0＝，
所以kOP＝，
所以kABkOP＝，
将A，B两点坐标代入椭圆方程可得
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答案
两式作差可得＝0，
所以kABkOP＝＝－，
则kOP＝－.
方法二　由题意得a2＝4，b2＝1，kAB＝1，
由kAB·kOP＝－，
即1×kOP＝－，所以kOP＝－.
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答案
4.已知双曲线C：－x2＝1的下焦点和上焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F2AB面积是△F1AB面积的4倍，则m等于
A.3 B.－3 C. D.－
√
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答案
由C：－x2＝1可知F1(0，－2)，F2(0，2)，
联立
消元得2x2－2mx＋3－m2＝0，
则Δ＝4m2－8(3－m2)>0，即m2>2，
由△F2AB面积是△F1AB面积的4倍，可知F2到直线AB的距离是F1到直线
AB距离的4倍，即＝4×，
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答案
化简可得15m2＋68m＋60＝0，
即(3m＋10)(5m＋6)＝0，
解得m＝－或m＝－(舍去).
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答案
二、多项选择题
5.平面直角坐标系中椭圆C的中心为原点，焦点在坐标轴上，点，均在椭圆C上，则
A.椭圆C的离心率为
B.直线l：kx＋y－k＝0与椭圆C相交
C.椭圆C的短轴长为2
D.若椭圆C上弦AB的中点坐标为，则直线AB的斜率为－
√
√
√
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答案
设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，且m≠n)，
则
所以椭圆方程为＋y2＝1，
所以a＝2，b＝1，c＝，e＝，故A错误；
直线l的方程可整理为k(x－1)＋y＝0，
令
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答案
所以直线l恒过定点(1，0)，
因为＋0<1，所以点(1，0)在椭圆＋y2＝1内，所以直线l与椭圆相交，
故B正确；
2b＝2，所以短轴长为2，故C正确；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
两式相减得＝－(y1＋y2)(y1－y2)，
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答案
因为弦AB的中点为，
所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝1，
所以＝－(y1－y2)，
整理得kAB＝＝－，故D正确.
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答案
6.已知抛物线C：y＝4x2的焦点为F，A，B为C上的两点，过A，B作C的两条切线交于点P，设两条切线的斜率分别为k1，k2，直线AB的斜率为k3，则
A.C的准线方程为y＝－1
B.k1，k3，k2成等差数列
C.若P在C的准线上，则k1k2＝－1
D.若P在C的准线上，则|AF|＋4|BF|的最小值为
√
√
√
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答案
抛物线C：x2＝y，抛物线C的准线方程为y＝－，A选项错误；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵y'＝8x，∴k1＝8x1，k2＝8x2，
k3＝＝4(x2＋x1)，
∴k1＋k2＝2k3，B选项正确；
由上可知直线PA：y＝8x1x－4，
直线PB：y＝8x2x－4，
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答案
解得P，又P在C的准线上，
所以4x1x2＝－，x1x2＝－，k1k2＝64x1x2＝－1，
C选项正确；
|AF|＋4|BF|＝y1＋4y2＋＝4＋16≥16|x1x2|＋，
当且仅当x1＝－2x2时取等号，D选项正确.
三、填空题
7.已知A，B为双曲线x2－＝1上两点，且线段AB的中点坐标为(－1，
－4)，则直线AB的斜率为　　　.
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答案
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答案
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则两式相减得
(x1＋x2)(x1－x2)＝，
由线段AB的中点坐标为(－1，－4)，
即－2(x1－x2)＝，
∴kAB＝.
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答案
8.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A，B为C上的两点.若直线FA的斜率
为，且·＝0，延长AF，BF分别交C于P，Q两点，则四边形ABPQ的
面积为　　　.
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答案
由题可知，抛物线的焦点为F(1，0)，
因为直线FA的斜率为，
所以直线AP的方程为y＝(x－1)，
与抛物线C的方程联立，得x2－18x＋1＝0，
所以Δ＝(－18)2－4>0，
设A(x1，y1)，P(x2，y2)，
则x1＋x2＝18，x1x2＝1，
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答案
故|AP|＝·
＝×8＝20.
因为·＝0，所以FA⊥FB，
所以直线FB的斜率为－2，直线BQ的方程为y＝－2(x－1)，
与抛物线C的方程联立，得x2－3x＋1＝0.
所以Δ＝(－3)2－4>0，
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答案
设B(x3，y3)，Q(x4，y4)，
则x3＋x4＝3，x3x4＝1，
故|BQ|＝·×＝5.
所以四边形ABPQ的面积为
|AP|·|BQ|＝50.
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答案
四、解答题
9.已知点M(x0，y0)为椭圆C：＋y2＝1上任意一点，直线l：x0x＋2y0y＝2，
点F为椭圆C的左焦点.
(1)求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标；
由椭圆C：＋y2＝1，
可得a＝，b＝1，则c＝＝1，
所以椭圆的离心率为e＝，
左焦点为F(－1，0).
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答案
(2)求证：直线l与椭圆C相切.
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答案
由椭圆C：＋y2＝1，
可得＝1，即＝1－，
当y0＝0时，直线l的方程为x＝或x＝－，此时直线l与椭圆C相切；
当y0≠0时，联立方程组
可得(2)x2－4x0x＋4－4＝0，
即x2－2x0x＋＝0，
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答案
则Δ＝－4＝4－4＝0，
所以直线l与椭圆C相切，
综上可得，直线l：x0x＋2y0y＝2与椭圆C相切.
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答案
10.已知双曲线C的中心为坐标原点O，点P(2，－)在双曲线C上，且其两条渐近线相互垂直.
(1)求双曲线C的标准方程；
因为双曲线C的两条渐近线互相垂直，
所以双曲线C为等轴双曲线，
所以设所求双曲线方程为x2－y2＝m(m≠0)，
又双曲线C经过点P(2，－)，
所以4－2＝m，即m＝2，
所以双曲线C的方程为x2－y2＝2，即标准方程为＝1.
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答案
(2)若过点Q(0，2)的直线l与双曲线C交于E，F两点，△OEF的面积为2，求直线l的方程.
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答案
根据题意可知直线l的斜率存在，又直线l过点Q(0，2)，所以设直线l的方程为y＝kx＋2，E(x1，y1)，F(x2，y2)，
所以原点O到直线l的距离d＝，
联立得(k2－1)x2＋4kx＋6＝0，
所以k2≠1且Δ＝16k2－24(k2－1)＝24－8k2>0，
所以k2<3，且k2≠1，
x1＋x2＝－，x1x2＝，
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答案
所以|EF|＝··，
所以△OEF的面积为·|EF|·d
＝···＝2，
所以＝1，
解得k2＝2，所以k＝±，
所以直线l的方程为y＝x＋2或y＝－x＋2.
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答案
能力拓展
11.(2024·内江模拟)已知双曲线C的方程为5x2－y2＝1，过点P(0，－1)作直
线l与双曲线左、右两支交于点M，N.若＝2，则直线l的方程为
A.y＝x－1 B.y＝x－1或y＝－x－1
C.y＝x－1或y＝－x－1 D.y＝x－1
√
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝kx－1，
联立 (5－k2)x2＋2kx－2＝0，
则x1＋x2＝， ①
x1x2＝， ②
因为＝2，则－x1＝2x2， ③
①③联立解得x1＝，x2＝，
代入②得k2＝1 k＝±1，
则直线l的方程为y＝x－1或y＝－x－1.
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答案
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答案
12.已知O为坐标原点，椭圆C：＝1的右焦点为F2，过点F2作与两坐标轴既不平行也不重合的直线l与C交于不同的两点A，B，若y轴上存在点Q，使得|AQ|＝|BQ|，则的最小值为　　　　.
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答案
由题意知F2(1，0)，设直线l的方程为x＝ty＋1，t≠0，
联立消去x得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0，Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝，所以x1＋x2＝t(y1＋y2)＋2＝，
|AB|＝·|y1－y2|＝·.
设线段AB的中点为P，则P，则线段AB的垂直平分线的方程为y＋＝－t，
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答案
返回
又|AQ|＝|BQ|，所以点Q在线段AB的垂直平分线上，令x＝0，得y＝，即Q，
所以＝12≥24，当且仅当|t|＝，即t＝±1时取等号，所以当t＝±1时，取得最小值24.(共72张PPT)
第八章
§8.10　圆锥曲线中的综合
　　　 问题
数学
大
一
轮
复
习
1.圆锥曲线中的综合问题是高考考查的重点内容，常见热点题型有求值、证明问题，定点、定值问题，范围、最值问题以及探索性问题.
2.以解答题的形式压轴出现，难度较大.
重点解读
例1　(2024·六盘水模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)过点M(3，4)，左、右顶点分别为A，B，直线MA与直线MB的斜率之和为3.
(1)求双曲线C的标准方程；
求值与证明问题
题型一
依题意双曲线的左、右顶点分别为A(－a，0)，B(a，0)，
所以kMA＋kMB＝＝3，
解得a2＝1，
将M(3，4)代入x2－＝1，得9－＝1，
解得b2＝2，
故双曲线C的标准方程为x2－＝1.
(2)过双曲线右焦点F2的直线l交双曲线右支于P，Q(P在第一象限)两点，＝3，E是双曲线上一点，△PQE的重心在x轴上，求点E的坐标.
易知F2(，0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l的方程为x＝ty＋，
将x＝ty＋代入x2－＝1，
整理得(2t2－1)y2＋4ty＋4＝0，
则2t2－1≠0，且Δ＝16(t2＋1)>0，
则t2≠，
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
又由＝3 y1＝－3y2，
代入上式得
得t2＝，－3＝－ y2＝－，
因为△PQE的重心在x轴上，所以yE＋y1＋y2＝0，
所以yE＝2y2＝－，
代入双曲线的方程得xE＝±，
故E或E.
(1)求值问题即是根据条件列出对应的方程，通过解方程求解.
(2)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).
思维升华
跟踪训练1　(2024·雅安模拟)设F1，F2分别为椭圆C：＝1(a>b>0)
的左、右焦点，椭圆的短轴长为2，M是直线x＝2上除(2，0)外的任意一点，且直线MF2的斜率与直线MF1的斜率之比为3.
(1)求椭圆C的方程；
由已知得2b＝2，所以b＝1.
设M(2，y0)(y0≠0)，F1(－c，0)，F2(c，0)，
则·＝3，
所以c＝1，a＝，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)过右焦点F2且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点，设直线MA，MF2，MB的斜率分别为k1，k2，k3，证明：k1，k2，k3成等差数列.
如图，设直线AB的方程为x＝my＋1(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(2，t)(t≠0)，
由得
(m2＋2)y2＋2my－1＝0，Δ＝8m2＋8>0，
则y1＋y2＝－，y1y2＝－，
k1＋k3＝
＝＝2t，
又k2＝t，所以k1＋k3＝2k2.所以k1，k2，k3成等差数列.
定点与定值问题
题型二
例2　(2024·北京模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的
离心率为，左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为
F1，F2.过右焦点F2的直线l交椭圆于点M，N，且△F1MN
的周长为16.
(1)求椭圆C的标准方程；
由△F1MN的周长为16，
及椭圆的定义，可知4a＝16，即a＝4，
又离心率为e＝，
所以c＝2，
b2＝a2－c2＝16－4＝12.
所以椭圆C的标准方程为＝1.
(2)记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，证明：为定值.
依题意，直线l与x轴不重合，F2(2，0)，
设l的方程为x＝my＋2.
联立
得(3m2＋4)y2＋12my－36＝0，
因为点F2在椭圆C内，所以Δ>0，
即(12m)2＋4(3m2＋4)×36>0，易知该不等式恒成立，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由根与系数的关系，得
y1＋y2＝，y1y2＝.
又A(－4，0)，B(4，0)，则，
又，即my1y2＝3(y1＋y2)，
故
＝，为定值.
(1)求解直线或曲线过定点问题的基本思路
①把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.
②由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m).
思维升华
(2)圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
①求代数式为定值.依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可求得.
②求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形即可求得.
③求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据题设条件对解析式进行化简、变形即可求得.
思维升华
跟踪训练2　已知抛物线E：y2＝4x，点A，B，C，D都在抛物线E上.
(1)若点A与点C的纵坐标之和为2，求直线AC的斜率；
设A(x1，y1)，C(x2，y2)，
则y1＋y2＝2，
由＝4(x1－x2)，
即＝2，
所以直线AC的斜率为2.
(2)若直线AC，BD均过定点(2，0)，且AC⊥BD，M，N分别为AC，BD的中点，证明：直线MN过定点.
由题意可知直线AC，BD的斜率均存在，设直线AC的方程为x＝my＋2(m≠0)，A(x1，y1)，C(x2，y2)，
则由得y2－4my－8＝0，
Δ＝16m2＋32>0，则y1＋y2＝4m，
设线段AC的中点M的坐标为(xM，yM)，
则yM＝＝2m，
xM＝myM＋2＝2m2＋2，所以M(2m2＋2，2m)，
同理N，
①当m＝±1时，M，N两点的坐标为(4，2)和(4，－2)，直线MN的方程为x＝4；
②当m≠±1时，直线MN的斜率为kMN＝，
则直线MN的方程为y－2m＝(x－2m2－2)，
即y＝x－(x－4)，
所以直线MN过定点(4，0)，
综合①②可知直线MN过定点(4，0).
范围与最值问题
题型三
例3　(2025·商洛模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为2，实轴的左、右顶点分别为A1，A2，虚轴的上、下顶点分别为B1，B2，且四边形A1B1A2B2的面积为2.
(1)求双曲线C的标准方程；
由双曲线的几何性质可知，四边形A1B1A2B2是菱形，且|A1A2|＝2a，|B1B2|＝2b，
∴四边形A1B1A2B2的面积为×2a×2b＝2， ①
又离心率为e＝＝2， ②
a2＋b2＝c2， ③
联立①②③可得a＝1，b＝，c＝2，
∴双曲线C的标准方程为x2－＝1.
(2)已知直线l：y＝kx＋m(km≠0)与双曲线C交于P，Q两点，若|B1P|＝|B1Q|，求实数m的取值范围.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，B1(0，)，
线段PQ的中点为M(x0，y0)，
联立
消去y整理可得(k2－3)x2＋2kmx＋m2＋3＝0，
∴
即m2－k2＋3>0且k≠±， ④
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
∴x0＝，y0＝kx0＋m＝.
∵|B1P|＝|B1Q|，∴B1M⊥PQ.
∴＝－，
∴3－k2＝m， ⑤
又k2＝3－m>0， ⑥
由④⑤⑥得m<－或0∴实数m的取值范围是∪.
圆锥曲线中最值的求法
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.
思维升华
跟踪训练3　(2024·咸阳模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点(4，a)到其准线的距离为5.
(1)求抛物线C的方程；
由抛物线C的方程可得其准线方程为x＝－，
依题意得＋4＝5，解得p＝2.
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)过点(2，1)的直线与抛物线C交于A，B两点，与x轴交于点H(x0，0)，圆H：＋y2＝4与x轴交于点M，求△ABM面积的最小值.
依题意可设直线AB的方程为x＝m(y－1)＋2，
联立
消去x得y2－4my＋4m－8＝0，
Δ＝16m2－16m＋32>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4m，y1y2＝4m－8.
∴|y1－y2|＝＝4.
依题意知|MH|＝2，
∴S△ABM＝×|y1－y2|×|MH|＝4.
∵m2－m＋2＝，
∴S△ABM≥2，
即△ABM面积的最小值为2.
课时精练
答案
1
2
3
4
(1)由题意知b＝1，
所以椭圆C的方程为+y2＝1，
代入点，得a2＝2，
所以椭圆C的标准方程为
+y2＝1.
1.
答案
1
2
3
4
(2)△EMN为直角三角形，证明如下：
设直线l：
y＝kx－，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立
消去y得(9+18k2)x2－12kx－16＝0，易知Δ>0，
1.
答案
1
2
3
4
则x1+x2＝，
x1x2＝－，
又因为＝(x1，y1－1)，
＝(x2，y2－1)，
所以·
＝x1x2+(y1－1)(y2－1)
1.
答案
1
2
3
4
＝x1x2+
＝(1+k2)x1x2－k(x1+x2)+＝(1+k2)
·＝0，
所以EM⊥EN，故△EMN为直角三角形.
1.
答案
1
2
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4
(1)由题可得16＝8p，
解得p＝2，所以F(1，0)，
S△MOF＝|OF|yM
＝×1×4＝2.
(2)由(1)可知抛物线C的方程为y2＝4x.
由题意可知直线AB不与x轴平行，设直线AB的方程为
x＝my+b，
2.
答案
1
2
3
4
A，B，
则y1，y2≠±4.
联立方程
整理可得y2－4my－4b＝0，
则Δ＝16m2+16b>0，
且y1+y2＝4m， ①
y1y2＝－4b. ②
2.
答案
1
2
3
4
kMA＝，
同理可得kMB＝.
由题意得kMA·kMB＝×＝－2，
即4(y1+y2)+y1y2+24＝0，
将①②代入可得16m－4b+24＝0，即b＝4m+6.
2.
答案
1
2
3
4
故直线AB的方程可化为
x＝my+4m+6，
即x－6＝m(y+4)，
所以直线AB过定点(6，－4).
2.
答案
1
2
3
4
(1)双曲线C：＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为
y＝±x，
又一条渐近线方程为x+2y＝0，
所以，
又焦点到渐近线的距离为1，
即＝1，
所以c＝，
3.
答案
1
2
3
4
又c＝，
所以a2＝4，b2＝1，
则双曲线C的方程为－y2＝1.
3.
答案
1
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3
4
(2)由(1)可得A(2，0)，B(0，－1)，
则直线AB的方程为y＝x－1，设l：y＝kx，
E(x1，y1)，F(－x1，－y1)，M(x2，y2)，
由题意可知0由△AFM的面积是△AEM面积的5倍，
可得|FM|＝5|EM|，
即x1+x2＝5(x2－x1)，
3.
答案
1
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3
4
所以x2＝x1，由
消去y可得kx＝x－1，
解得x2＝，由
消去y可得(1－4k2)x2＝4，
解得x1＝，
3.
答案
1
2
3
4
由x2＝x1，
可得52k2－36k+5＝0，
解得k＝或k＝(舍去)，
当k＝时，x2＝，x1＝，
符合题意，
所以直线l的斜率为.
3.
答案
1
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4
(1)∵椭圆C：＝1(a>b>0)过点(2，1)，且离心率为，
∴解得
∴椭圆C的方程为＝1.
4.
答案
1
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3
4
(2)由题得圆的圆心为(0，0)，
半径为，
当切线斜率不存在时，切点即为Q，此时|OQ|＝；
当切线斜率存在时，设切线方程为y＝kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程得
(1+2k2)x2+4kmx+2m2－6＝0，
4.
答案
1
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4
∴x1+x2＝－，
x1x2＝，
∴y1+y2＝k(x1+x2)+2m
＝，
∴Q，
∵直线AB与圆O相切，
4.
答案
1
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3
4
∴，
即m2＝2(1+k2)，
∴|OQ|2＝
＝
＝2，
当k＝0时，|OQ|＝；
4.
答案
1
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4
当k≠0时，
|OQ|＝，
∵4k2+≥2＝4，
当且仅当4k2＝时等号成立，
∴<|OQ|≤，
∴当切线斜率存在时，≤|OQ|≤，
4.
答案
1
2
3
4
综上可得，|OQ|的最大值为，
此时4k2＝，即k＝±，
∴m2＝2(1+k2)＝3，即m＝±，
∴直线AB的方程为
y＝x±或y＝－x±.
4.
1.已知椭圆C：＝1(a>b>0)的上顶点为E(0，1)，且经过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
1
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知识过关
答案
由题意知b＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1，
代入点，得a2＝2，
所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)过点且斜率存在的直线l与椭圆C交于M，N两点，判断△EMN的形状并给出证明.
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答案
1
2
3
4
答案
△EMN为直角三角形，证明如下：
设直线l：y＝kx－，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立
消去y得(9＋18k2)x2－12kx－16＝0，易知Δ>0，
则x1＋x2＝，x1x2＝－，
又因为＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，
所以·＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)
1
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4
答案
＝x1x2＋
＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋
＝(1＋k2)·＝0，
所以EM⊥EN，故△EMN为直角三角形.
1
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4
答案
2.(2025·安康模拟)已知M(4，4)为抛物线C：y2＝2px(p>0)上的一点，F为C的焦点，O为坐标原点.
(1)求△MOF的面积；
由题可得16＝8p，解得p＝2，
所以F(1，0)，S△MOF＝|OF|yM＝×1×4＝2.
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答案
(2)若A，B为抛物线C上的两个动点，直线MA与MB的斜率之积恒等于－2，证明：直线AB过定点.
1
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答案
由(1)可知抛物线C的方程为y2＝4x.
由题意可知直线AB不与x轴平行，设直线AB的方程为x＝my＋b，
A，B，
则y1，y2≠±4.
联立方程
整理可得y2－4my－4b＝0，
则Δ＝16m2＋16b>0，且y1＋y2＝4m， ①
y1y2＝－4b. ②
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答案
kMA＝，
同理可得kMB＝.
由题意得kMA·kMB＝×＝－2，
即4(y1＋y2)＋y1y2＋24＝0，
将①②代入可得16m－4b＋24＝0，即b＝4m＋6.
故直线AB的方程可化为x＝my＋4m＋6，
即x－6＝m(y＋4)，
所以直线AB过定点(6，－4).
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答案
3.(2024·酒泉模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为x＋2y＝0，且焦点到渐近线的距离为1.
(1)求双曲线C的方程；
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答案
双曲线C：＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，
又一条渐近线方程为x＋2y＝0，
所以，
又焦点到渐近线的距离为1，
即＝1，
所以c＝，
又c＝，所以a2＝4，b2＝1，
则双曲线C的方程为－y2＝1.
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答案
(2)若双曲线C的右顶点为A，B(0，－b)，过坐标原点的直线l与C交于E，F两点，与直线AB交于点M，且点E，M都在第一象限，△AFM的面积是△AEM面积的5倍，求直线l的斜率.
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答案
由(1)可得A(2，0)，B(0，－1)，
则直线AB的方程为y＝x－1，设l：y＝kx，
E(x1，y1)，F(－x1，－y1)，M(x2，y2)，
由题意可知0由△AFM的面积是△AEM面积的5倍，
可得|FM|＝5|EM|，即x1＋x2＝5(x2－x1)，
所以x2＝x1，
由
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答案
消去y可得kx＝x－1，
解得x2＝，
由
消去y可得(1－4k2)x2＝4，
解得x1＝，
由x2＝x1，
可得52k2－36k＋5＝0，
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答案
解得k＝或k＝(舍去)，
当k＝时，x2＝，x1＝，符合题意，
所以直线l的斜率为.
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答案
4.(2024·晋中模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)过点(2，1)，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
能力拓展
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答案
∵椭圆C：＝1(a>b>0)过点(2，1)，且离心率为，
∴
解得
∴椭圆C的方程为＝1.
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答案
(2)已知圆的方程为x2＋y2＝2，过圆上任意一点作圆的切线，切线与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，设Q为AB的中点，当|OQ|取最大值时，求直线AB的方程.
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4
答案
由题得圆的圆心为(0，0)，半径为，
当切线斜率不存在时，切点即为Q，此时|OQ|＝；
当切线斜率存在时，设切线方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程得
(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，
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答案
∴Q，
∵直线AB与圆O相切，
∴，
即m2＝2(1＋k2)，
∴|OQ|2＝＝2，
当k＝0时，|OQ|＝；
当k≠0时，|OQ|＝，
1
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答案
∵4k2＋≥2＝4，
当且仅当4k2＝时等号成立，
∴<|OQ|≤，
∴当切线斜率存在时，≤|OQ|≤，
综上可得，|OQ|的最大值为，
此时4k2＝，即k＝±，
∴m2＝2(1＋k2)＝3，即m＝±，
∴直线AB的方程为y＝x±或y＝－x±.