17.1 一元二次方程概念 教学设计 初中数学 沪科版八年级下册

《一元二次方程概念》教学设计
教学目标：
1.理解一元二次方程的相关概念，准确辨认各项系数;掌握方程成立的各种条件。
2.在探索问题的过程中引导学生用抽象、类比的思想分析问题,引导学生理清实际问题中的数量关系，组织学生讨论，让学生类比、抽象出一元二次方程的概念。
3.通过一元二次方程的概念的探索,引导学生发现数学世界的严谨性和精确性;并能将严谨性和精确性融入生活之中，转变为自己的人生态度;在生活能做到一丝不苟。同时也要培养学生独立思考，自主学习的好习惯;同时也要开拓创新精神和创新能力。
教学重点:
理解一元二次方程的定义、正确辨别各项系数、掌握方程成立的条件、根的作用。
教学难点：
一元二次方程的各项系数的辨别。
教学过程：
一、创设问题情境，引入新知
出示：
问题1:一块矩形铝皮长10dm，宽5dm;把它角各剪掉一样的的正方形，将剩下的折起，折成一个无盖铝盒子。如果铝盒下底面积是36m2，则铝皮各角应剪去面积多少的正方形
师生探究:设剪下的铝皮正方形的边长为xdm，则盒底的长为(10-2x)dm,宽为(5-2x)dm:根据方盒的底面积为36m2,得:(10-2x)(5-2x)=36
整理，得:4x2-30x+14=0;化简，得:2x2-15x+7=0;
由方程 2x2 - 15x+7=0可以得出所切正方形的具体尺寸，
出示：
问题2:在一块矩形草坪宽20m、长32m，要在上面修宽一样的三条路(纵向的两条、横向的一条，并且纵向和横向相互垂直)，草坪被均分成一样的6块用来修花坛，所有花坛的面积和为570m ，则道路的宽应为多少
师生探究:设小路的宽为x，则横向道路的面积怎么表示 纵向又该如何表示的呢 相互重叠的部分的面积是多少呢 道路的面积用x的代数式怎样表示 关于这个问题的等量关系是什么
32×20-(32x +2×20x-2x2)=570
整理得:x - 36x+35=0，
由方程x2-36x+35=0可以得出小路的宽。
设计意图:通过生活中的修花坛和道路的实际问题创设一个数学情境，从而引出一个数学问题。对生活中的实际问题探索，能激发学生对一元二次探究的兴趣和好奇心，和学习数学的激情。
二、基于上述情境探索新知
观察下列得到的方程:(1) 2×2-15x+7=0(2) x2 - 36x+35 =0
学生进行活动大讨论:
(1)上述整理后的方程里面未知数有几个呢
(2)方程里面的未知数最高次数又是多少次呢
(3)等式左右两边是整式吗
(4)是否存在某个值使等式左右两边相等
师生共同总结:
(1)都只含一个未知数x;
(2)它们的最高次数都是2次的;(3)都是整式方程;
(4)存在值使等式相等，则这个值称为方程的根.
归纳定义:
等号左右两边都是整式，方程里面只有一个未知数(一元)，且未知数的最高次数为2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程。
一般形式是:ax2+ bx + c = 0(a ≠0); ax2是二次项，a是二次项系数;bx是一次项，是一次项系数;c是常数项。
思考:为什么规定a≠0 b，c可以为0吗
三、变式训练
例:将方程2 x (x -2) = 4(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数.
解:去括号得:2 x2 -4x=4x+8
化简得:2 x2-8x-8=0整理得:x2-4x-4=0
一般形式为:x2-4x-4=0;二次项系数为1;一次项系数为-4;常数项为-4;
教师活动:在学生回答各项系数的过程中，对学生进行提示并分析学生可能出现的问题(比如系数的符号题，对应对应系数错乱问题);引导学生明白问题所在，进一步巩固一元二次方程的基本概念的认知结构。
四、巩固训练
1.判断下列方程是否为一元二次方程
(1) x2-3x+2=0
(2) x2-x(x-1)+4=0
(3)3x-5=0
(4) 4x2 +x-2=0
(5) 3x2 - 5x(x+1) =0
是一元二次方程:(1)、(4)、(5);不是一元二次方程:(2)、(3)。
2.将上面一元二次方程(1)(4)(5)化成一般形式，并且能够指出各项的系数。
(1)一般形式为x2-3x+2=0，二次项系数为1，一次项系数为-3，常数项为2。
(4)一般形式为4x2+x-2=0，二次项系数为4，一次项系数为1，常数项为-2。
(5)一般形式为-2x2-5x=0，二次项系数为-2，一次项系数为-5，常数项为0。
3.课堂小结
一元二次方程定义中的三个必要条件:
(1)必须是整式方程前提，
(2)有且只能含有一个未知数是核心，
(3)且未知数的最高次数是2是关键。
五、 课后作业布置
1、复习今天所讲的知识点;
2、独立完成课后练习的第一大题，第二大题:
3、配套完成练习册作业。