4.2.1随机变量及其与事件的联系（教学课件）- 高中数学人教B版（2019）选择性必修第二册（共34张PPT）

(共34张PPT)
4.2.1 随机变量及其与事件的联系
第四章 概率与统计
人教B版（2019）
素养目录
02 理解随机变量与随机事件的关系；
01 了解随机变量的概念；
03 理解随机变量之间的关系.
新知导入
我们已经知道，可以通过随机试验的样本空间来理解随机事件，在了解样本空间和随机事件所包含的样本点数目时，可以借助排列组合的知识.
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【情境与问题】
为了督促各地做好环境保护工作，环保部门决定在31个省(自治区、直辖市)和新疆生产建设兵团中，随机抽取6个进行突击检查，抽得的结果只要有一个不同就认为是不同的试验结果，记样本空间为Ω.
(1)Ω中包含的样本点数目是多少？
Ω中包含的样本点数目是
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【情境与问题】
为了督促各地做好环境保护工作，环保部门决定在31个省(自治区、直辖市)和新疆生产建设兵团中，随机抽取6个进行突击检查，抽得的结果只要有一个不同就认为是不同的试验结果，记样本空间为Ω.
(2)设抽得的结果中直辖市个数为X，那么对于Ω中每一个样本点，X都有唯一确定的值吗？X的取值是固定不变的吗？如果不是，X可取的值有哪些？
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因为我国只有北京市、上海市、天津市、重庆市这4个直辖市，而且是随机选取，因此对样本空间Ω中的每一个样本点，变量X都有唯一的取值.
但对于不同的样本点，X的取值可能不同，其值可以是0，1，2，3，4中任意一个.
数学中，X这样的变量称为随机变量.
随机变量
一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量.
表示：①大写英文字母X，Y，Z，…
②小写希腊字母ξ，η，ζ，…
随机变量所有可能的取值组成的集合，称为这个随机变量的取值范围.
由定义可知，随机变量的取值由随机试验的结果决定.
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例1 先后抛两枚均匀的硬币，设正面朝上的硬币数为X，样本空间为Ω.
（1）借助合适的符号，用列举法写出样本空间Ω；
（2）求出随机变量X的取值范围.
解：(1)用FZ表示第1枚硬币反面朝上，第二枚硬币正面朝上，其他事件用相同方法表示，则样本空间
(2)因为有可能没有硬币正面朝上，也有可能恰有一枚硬币正面朝上，还有可能两枚硬币都正面朝上，因此X的取值范围是{0，1，2}.
Ω={FF，FZ，ZF，ZZ}
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【尝试与发现】
先后抛两枚均匀的硬币，设正面朝上的硬币数为X，样本空间为Ω.（1） X=1与样本空间Ω中的样本点之间有什么关系？
X=1的充要条件是实验结果为FZ或ZF.
根据题意有：A={FZ，ZF}
因为X=1与事件A的样本点一样，所以X=1与事件A等价.
（2）记事件A为“恰有一枚硬币正面朝上”， 写出A所包含的样本点，它与事件A之间有什么关系？
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【尝试与发现】
先后抛两枚均匀的硬币，设正面朝上的硬币数为X，样本空间为Ω.
（3） X=1与X=2能同时成立吗？
∵X=2表示“两枚硬币都正面朝上”，即试验结果为FF，
∴X=1与X=2不能同时成立，即X=1与X=2互斥.
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更进一步，利用古典概型的知识可知
由于 与事件 等价，因此上述概率的表达式也可记作
由于这里的随机变量 只能取0，1，2中的某一个，所以 与 1 也是等价的，从而事件 也可用 表示，因此
这就是说，在引入了随机变量之后，可以利用随机变量来表示事件.
一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数，那么X=a，X ≤b，X＞b等都表示事件，而且:
(2)事件X ≤ a与 X＞a相互对立，因此
P(X ≤ a)+P(X＞a)=1.
(1)当a≠b时，事件 X=a 与 X=b 互斥；
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在用随机变量表示事件及事件的概率时，有时可不写出样本空间.
例如，抛一枚均匀硬币，如果正面朝上，取Z=1；如果反面朝上，取Z=0.
那么Z的取值范围是多少？Z=1的概率为多少？Z>-1表示什么？其概率为多少？
Z是一个随机变量，Z的取值范围：{1，0}，Z=1表示“正面朝上”，
因此
Z > -1表示“正面朝上或者反面朝上”，因此 P (Z> -1) = 1.
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Y 是一个随机变量，且 Y 的取值范围是{1，2，3，4，5，6}
掷一个均匀的骰子，如果设朝上的点数为Y，那么Y的取值范围是多少？ Y=2的概率为多少？Y＞3概率为多少？
Y=2表示“朝上的点数为2”，因此
Y＞3表示“朝上的点数大于3”，即“朝上的点数为4，5，6中的某一个”，
因此
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用ξ表示某网页在一天内(即24h内)被浏览的次数，ξ的取值范围是多少？
若P(ξ≤1000)=0.3，则P（ξ>1000)等于多少？
ξ是一个随机变量，ξ 的取值范围：{0，1，2，3，…}=N
因为ξ≤1000与ξ>1000相互对立，则P(ξ>1000)=1-0.3=0.7.
以上所介绍的随机变量，其所有可能的取值，都是可以一一列举出来的，它们都是离散型随机变量．
与离散型随机变量对应的是连续型随机变量，一般来说，连续型随机变量可以在某个实数范围内连续取值．
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【尝试与发现】
为了调动员工的积极性，某厂某月实行超额奖励制度，具体措施是：每超额完成1件产品，奖励100元.假设这个月中，该厂的每名员工都完成了定额，而且超额完成的产品数都不超过50.从该厂员工中随机抽出一名，记抽出的员工该月超额完成的产品数为X，获得的超额奖励为Y元，则X与Y均为随机变量.
（1）当X=3时，Y的值是多少？总结X与Y之间的关系.
因为 表示超额完成了3件产品，
所以按照奖励制度可知 . 依照题意可知 .
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【尝试与发现】
为了调动员工的积极性，某厂某月实行超额奖励制度，具体措施是：每超额完成1件产品，奖励100元.假设这个月中，该厂的每名员工都完成了定额，而且超额完成的产品数都不超过50.从该厂员工中随机抽出一名，记抽出的员工该月超额完成的产品数为X，获得的超额奖励为Y元，则X与Y均为随机变量.
（2）分别写出X，Y的取值范围.
由于 的取值范围是 ，
因此 的取值范围是
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与 虽然都是随机变量，但是它们之间的关系却是确定的.当 的值确定之后， 的值也就确定了；反之亦然.
一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是实数且a≠0，则Y=aX+b也是一个随机变量.
由于X=t的充要条件是Y=at+b，因此P(X=t)=P(Y=at+b).
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例2 某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的：底薪1000元，每工作一小时获取30元.从该快餐店中任意抽取一名小时工，设其月工作时间为X小时，获取的税前月工资为Y元.
（1）当X=110时，求Y的值；
（2）写出X与Y之间的关系式；
（3）若P（X≤120）=0.6，求P（Y>4600）的值.
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解：（1）当X=110时，表示工作了110个小时，
（2）根据题意有Y=30X+1000.
所以Y=110×3+1000=4300.
（3）∵X≤120 30X≤3600 30X+1000≤4600
∴P(Y≤4600)=P(X≤120) = 0.6，
从而P(Y>4600) = 0.4.
Y≤4600，
C
C
B
第一次取到白球，第二次取到红球，并且停止取球
小结
随机变量
随机变量的概念
随机变量之间的关系
随机变量与随机事件之间的联系
谢谢同学们的聆听