3.1.2排列与排列数（教学课件）- 高中数学人教B版（2019）选择性必修第二册（共39张PPT）

(共39张PPT)
3.1.2 排列与排列数
第三章 排列、组合与二项式定理
人教B版（2019）
素养目录
02 掌握排列数公式及其推导方法.
01 通过具体实例理解排列、排列数的概念；
新知导入
【尝试与发现】
试解答下列三个计数问题：
（1）小张要在 3 所大学中选择 2 所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，小张共有多少种不同的选择方式？
（2）在 3 名学生中选出 2 名，分别在某话剧表演中扮演 A 和 B 两个角色，共有多少种不同的选择方式？
（3）学校要在 3 名教师中指派 2 人，分别去上海和浙江交流教学经验，共有多少种不同的指派方案？
它们的答案是否一致？
探究新知
以上三个问题虽然实际背景不同，但所求的本质上都是“从 3 个不同对象中选出 2 个并排成先后顺序，有多少种不同的排法”.
因此它们的答案肯定是一致的.
事实上，根据分步计数原理可知，方法种数都是3×2=6种.
一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照一定顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列.
特别地，当m=n时的排列 (即取出所有对象的排列)称为全排列.
特征：①取出的对象互不相同；(互异性)
②取出的对象要按一定的顺序排列.(有序性)
排列
探究新知
【尝试与发现】（1）小张要在 3 所大学中选择 2 所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，小张共有多少种不同的选择方式？
如果用(A，B)表示第一志愿是A，第二志愿是B，则(A，B)就是一个排列.
【思考】(A，B)与(A，C)是相同排列吗？排列(A，B)与(B，A)呢？相同排列有什么特点
两个排列，如果组成排列的对象是相同的，并且对象的排列顺序也相同，那么就称这两个排列是相同的；否则，就称为是不同的.
因此，(A，B)与(A，C)是不同的排列，(A，B)与(B，A)也是不同的排列.
排列数
从n个不同对象中任取m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数.用符号 表示.
注意：(1)所谓排成一列，是指与顺序有关，例如，排列AB与排列BA是不同的排列，可以把一个排列看成一个类似点坐标的有序数对.
(2)符号 中，总要求n和m都是正整数，且m≤n，以后不再声明.
探究新知
思考：排列和排列数有什么区别？
一个排列是指“从n个不同对象中，任取m(m ≤ n)个对象按照一定的顺序排成一列”，它是具体的一种选排情况；
排列数是指“从n个不同对象中任取m(m ≤ n)个对象的所有排列的个数”，它是一个数.
通过探究我们已经知道
【思考】一般情况下， 等于多少呢？
(1) 等于多少？
等于从n个不同对象中取出1个的方法种数，即
(2) 等于多少？
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等于从n个不同对象中取出2个并排成先后顺序的方法种数.分两步完成：
第一步，选一个排在第一个位置，有n种选法；
第二步，在剩下的对象中选一个排在第二个位置，有n-1种选法.
因此共有n(n-1)种选法，即
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(3) 等于多少？
(4) 等于多少？
……
思考： 等于多少？
排列数公式：
m个数
例如：
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例1 求从A，B，C这3个对象中取出3个对象的所有排列的个数，并写出所有的排列.
解：所求排列数为
所有的排列可用下图表示.
由图可知，所有排列为ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA.
通常将上式的右边，从n到1连续n个正整数的乘积简写成：n！
(读作“n的阶乘”).
一般地，在 中，当m=n时，
即
阶乘
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当0所以此时排列数公式可以改写为：
为了使得上式对m=n时也成立，规定：0!=1 .
另外，为了方便起见，也规定 .
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例2 求证：
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思考：假设有n+1个不同对象，甲是其中一个，从这n+1个对象中取出m个做成的排列，可以分为两类：（1）不包括对象甲的；（2）包括对象甲的.
分别计算每一类的排列个数.
（1）若不包括对象甲，则应从余下的n个对象中取出m个对象排成一列，所以有 种方法.
（2）若包括对象甲，分两步完成：
第一步让甲占据一个位置，有m种方法；
第二步，从余下的n个对象中取出m-1个对象占据余下的m-1个位置，有 种方法.根据分步乘法计数原理，共有 种方法.
因此，
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例3 某地区足球比赛共有12个队伍参加，每队都要与其他各队在主客场分别比赛一次，则共要进行多少场比赛？
解：如果把每一场比赛都看成主场队在前，客场队在后的一个排列，则不难看出，所求比赛数等于从12个对象中取出2个的排列数，即
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例4 某信号兵用红、黄、蓝三面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以只挂1面旗，也可以挂2面旗或3面旗，旗数或顺序不同时，表示信号不同，则一共可表示多少种不同的信号？
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解题过程中，可以将基本计数原理与排列知识有机结合.
解：按照所挂旗数，可以分为三类：
第一类是只挂1面旗，此时可表示 种不同的信号；
第二类是挂2面旗，此时可表示 种不同的信号；
第三类是挂3面旗，此时可表示 种不同的信号 .
按照分类加法计数原理，一共可表示不同的信号
种.
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例5 用 这10个数字，可以排成多少个没有重复数字的三位数？
解：（方法一）要组成一个没有重复数字的三位数，可以分为两步：
第一步，确定百位上的数字，因为只能是 这9个数字中的某一个，所以有 种方法；
第二步，确定十位和个位上的数字，因为数字不能重复，所以只能从百位以外的数字来选取，因此共有 种方法.
由分步乘法计数原理可知，满足条件的三位数个数为：
.
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方法二通常称为 "排除法"，也就是先算出无限制条件的所有排法种数，然后再减去不符合条件的排法种数.
（方法二）从 这10个数字中，取出3个做排列的排列数为 .
所有的这些排列中，0排在首位的都不能对应一个三位数，而其他的都对应一个三位数.
又因为0排在首位的排列共有 个，
所以可知所求三位数的个数为 .
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例6 用 0，1，2，…，9 这 10 个数字，可以排成多少个没有重复数字的四位偶数？
解：满足条件的四位数可以分为两类：第一类的末位数字是0，有 个.
第二类的末位数字不是0. 要排成这样的四位数，可以分成三个步骤来完成：
第一步，确定末位数字，因为只能是2，4，6或8，所以有 种方法；
第二步，确定首位数字，因为数字不能重复，所以有 种方法；
第三步，确定中间两位数字，有 种方法. 由分步乘法计数原理可知，这样的数字有 个.
由分类加法计数原理可知，满足条件的四位数个数为：
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例7 有 3 位男生和 2 位女生，在某风景点前站成一排拍合照，要求 2 位女生要相邻，有多少种不同的站法？
解：分成两步来完成：第一步，先让两位女生站好，有 种方法；
第二步，把两位女生当成一个整体，与3位男生去站成一排，有 种方法.
根据分步乘法计数原理可知，共有 种不同的站法.
例7的解法，相当于把两位女生捆绑在了一起，因此也常被称为“捆绑法”.
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例8 某晚会要安排3个歌唱节目（记为 A，B，C）和2个舞蹈节目 （记为甲、乙），要求舞蹈节目不能相邻，共有多少种不同的安排方法？
解：分成两步来完成：第一步，先确定3个歌唱节目的先后顺序（不考虑舞蹈节目），总共有 种排法；
第二步，歌唱节目的先后顺序确定之后，舞蹈节目共有 种排法（例如，如果第一步确定的歌唱节目先后顺序为ABC，则舞蹈节目只能安排在如图所示的4个空格中）.
由分步乘法计数原理可知，共有 种不同的安排方法.
探究新知
值得注意的是，例8中所有符合条件的安排方法都可用解法中的方式得到，如“AB 甲 C 乙”，只要在图中的第三个、第四个空格分别填上甲、乙即可. 这种解题方法通常称为“插空法”.
在解决类似的要求不相邻的问题中，用插空法往往简单、有效.
C
B
B
B
ACD
72
720
小结
排列数公式：
排列、排列数
排列与排列数
谢谢同学们的聆听