21.1 一元二次方程 教案 初中数学人教版（2024）九年级上册

第二十一章　一元二次方程
21.1　一元二次方程
1.理解一元二次方程及其相关概念.（重点）
2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数.（重点）
3.理解并灵活运用一元二次方程的概念并解决有关问题.（难点）
一、新课导入
问题1　什么叫方程？我们学过哪些方程？
含有未知数的等式叫做方程.
我们学过的方程有一元一次方程、二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程.
问题2　什么叫一元一次方程？
含有一个未知数，且未知数的次数是1的方程，叫做一元一次方程.
问题3　根据一元一次方程的定义，想一想什么叫一元二次方程？
二、新知探究
（一）一元二次方程的概念
问题1　如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
解：设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为（100－2x）cm，宽为（50－2x）cm.根据方盒的底面积为3600cm2，得（100－2x）（50－2x）＝3600.整理、化简，得x2－75x＋350＝0.①
【思考】该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
问题2　要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
解：全部比赛的场数为4×7＝28.设应邀请x个队参赛.根据题意，列方程x（x－1）＝28.
整理、化简，得x2－x－56＝0.②
【思考】该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
【思考】方程①，②都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同点呢？
x2－75x＋350＝0①　x2－x－56＝0②
【归纳总结】共同点：
①是整式方程；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2.
一元二次方程的概念：
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a≠0），
其中ax2是二次项，a是二次项系数；
bx是一次项，b是一次项系数；
c是常数项.
【思考】为什么一般形式ax2＋bx＋c＝0中要限制a≠0，b，c可以为零吗？
当a＝0时， bx＋c＝0
当a≠0，b＝0时， ax2＋c＝0
当a≠0，c＝0时， ax2＋bx＝0
当a≠0， b＝c＝0时，ax2＝0
【归纳总结】只要满足a≠0，b，c可以为任意实数.
（二）一元二次方程的根
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元一次方程的解也叫做一元二次方程的根.
【思考】下面哪些数是方程x2－x－12＝0的根？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.
解：4和－3.
【思考】你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根.
三、新知应用
例1　下列选项中，是关于x的一元二次方程的是（　C　）
A. x2＋＝0 B.3x2－5xy＋y2＝0
C.（x－1）（x－2）＝0 D. ax2＋bx＋c＝0
例2　将方程3x（x－1）＝5（x＋2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：去括号，得3x2－3x＝5x＋10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2－8x－10＝0.其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－10.
注意：系数和项均包含前面的符号.
例3　当a为何值时，下列方程为一元二次方程？
（1）ax2－x＝6x2；
（2）2（a－1）－6x－7＝10.
解：（1）将方程化成一元二次方程的一般形式，得（a－6）x2－x＝0.所以当a－6≠0，即a≠6时，原方程为一元二次方程.
（2）由｜a｜＋1＝2，且a－1≠0知，当a＝－1时，原方程为一元二次方程.
二次项系数不为零不容忽视.
【拓展提高】
已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的一个根为1，求a＋b＋c的值.
解：由题意，得a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
【思考】
1.若a＋b＋c＝0，你能通过观察，求出方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的一个根吗？
解：能.由题意，得a＋b＋c＝0，即a·12＋b·1＋c＝0.
∴方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的一个根是1.
2.若4a＋2b＋c＝0，你能通过观察，求出方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的一个根吗？
解：能. x＝2.
四、课堂小结
一元二次方程
五、课堂训练
1.判断下列方程是否为一元二次方程？
（1）x2＋x＝36； （2）x3＋x2＝36；
（3）x＋3y＝36； （4）－＝0；
（5）x＋1＝0； （6）＝6；
（7）4x2－1＝（2x＋3）2；
（8）（）2－2－6＝0.
解：（1）（6）是一元二次方程，（2）（3）（4）（5）（7）（8）不是一元二次方程.
2.变式训练：已知方程（2a－4）x2－2bx＋a＝0.
（1）在什么条件下，此方程为一元二次方程？
（2）在什么条件下，此方程为一元一次方程？
解：（1）当2a－4≠0，即a≠2时，此方程为一元二次方程.
（2）当a＝2且b≠0时，此方程为一元一次方程.
3.如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.
解：根据题意，得75（1＋x）2＝108.
六、布置作业
完成对应课时练习.
　　教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的思想方法.