21.2.1 配方法（ 第1课时） 用直接开平方法解一元二次方程 教案 初中数学 人教版（2024）九年级上册

21.2　解一元二次方程
21.2.1　配方法
第1课时　用直接开平方法解一元二次方程
1.理解一元二次方程“降次”的转化思想，并会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.（难点）
2.运用开平方法解形如x2＝p或（x＋n）2＝p（p≥0）的方程.（重点）
一、新课导入
1.如果x2＝a，则x叫做a的　平方根　.
2.如果x2＝a（a≥0），则x＝　±　.
3.如果x2＝16，则x＝　±4　.
4.任何数都有平方根吗？
负数没有平方根.
二、新知探究
【思考】解下列方程，并说明你所用的方法，与同学交流.
（1）x2＝121；
解：根据平方根的意义，得
x1＝11，x2＝－11.
（2）x2＝0；
解：根据平方根的意义，得
x1＝x2＝0.
（3）x2＋4＝0.
解：移项，得x2＝－4.
因为负数没有平方根，所以原方程无解.
【归纳总结】一般地，对于方程x2＝p，　（Ⅰ）
（1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ）有两个不等的实数根　x1＝－　，　x2＝　；
（2）当p＝0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根　x1＝x2＝0　；
（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程（Ⅰ）无实数根.
利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
三、新知应用
例1　利用直接开平方法解下列方程：
（1）x2＝6；　（2）x2－900＝0.
解：（1）直接开平方，得x＝±.∴x1＝，x2＝－.
（2）移项，得x2＝900.直接开平方，得x＝±30.
∴x1＝30，x2＝－30.
对照上面方法，你认为怎样解方程（x＋3）2＝5？
在解方程（x＋3）2＝5时，由方程x2＝25得x＝±5.由此想到：
由方程（x＋3）2＝5，①
得x＋3＝±，即x＋3＝，或x＋3＝－.②
于是，方程（x＋3）2＝5的两个根为x1＝－3＋，x2＝－3－.
【归纳总结】上面的解法中，由方程①得到②，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程①转化为我们会解的方程了.
例2　解下列方程：
（1）（x＋1）2＝2；　（2）（x－1）2－4＝0；
（3）12（3－2x）2－3＝0.
解：（1）∵x＋1是2的平方根，∴x＋1＝±，
即x1＝－1＋，x2＝－1－.
（2）移项，得（x－1）2＝4.
∵x－1是4的平方根，
∴x－1＝±2，即x1＝3，x2＝－1.
（3）移项，得12（3－2x）2＝3，
两边都除以12，得（3－2x）2＝.
∵3－2x是的平方根，∴3－2x＝±，
即3－2x＝，3－2x＝－.
∴x1＝，x2＝.
【思考】探讨交流
1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？
如果一个一元二次方程具有x2＝p或（x＋n）2＝p（p≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.
2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.
四、课堂小结
五、课堂训练
1.下列解方程的过程中，正确的是（　D　）
A. x2＝－2，解方程，得x＝±
B.（x－2）2＝4，解方程，得x－2＝2，x＝4
C.4（x－1）2＝9，解方程，得4（x－1）＝±3，x1＝，x2＝
D.（2x＋3）2＝25，解方程，得2x＋3＝±5，x1＝1，x2＝－4
2.解下列方程：
（1）x2－81＝0；　（2）2x2＝50；
（3）（x＋1）2＝4.
解：（1）x1＝9，x2＝－9；（2）x1＝5，x2＝－5；
（3）x1＝1，x2＝－3.
3.下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗？如果有错，指出具体位置并帮他改正.
解：－5＝0，＝5，①
y＋1＝，②　y＝－1，③
y＝3－3.④
解：不对.从②开始错，应改为y＋1＝±.
y1＝3－3，y2＝－3－3.
六、布置作业
完成对应课时练习.
　　教学过程中，强调利用开平方法解一元二次方程的本质是求一个数的平方根的过程.同时体会到解一元二次方程的过程就是一个“降次”的过程.