21.2.1 配方法（ 第2课时） 用配方法解一元二次方程 教案 初中数学人教版（2024）九年级上册

第2课时　用配方法解一元二次方程
1.了解配方的概念.
2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.（重点）
3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.（难点）
一、新课导入
1.用直接开平方法解下列方程：
（1）9x2＝1； （2）（x－2）2＝2.
2.下列方程能用直接开平方法来解吗？
（1）x2＋6x＋9＝5； （2）x2＋6x＋4＝0.
【提示】把两题转化成（x＋n）2＝p（p≥0）的形式，再利用开平方法.
【探究交流】填一填下列完全平方公式.
（1）a2＋2ab＋b2＝（　a＋b　）2；
（2）a2－2ab＋b2＝（　a－b　）2.
填上适当的数或式，使下列各等式成立.
（1）x2＋4x＋　22　＝（x＋　2　）2；
（2）x2－6x＋　32　＝（x－　3　）2；
（3）x2＋8x＋　42　＝（x＋　4　）2；
（4）x2－x＋　　＝.
【思考】你发现了什么规律？
【归纳总结】配方的方法：
二次项系数为1的完全平方式；
常数项等于一次项系数一半的平方.
【思考】x2＋px＋＝
二、新知探究
用配方法解方程
【思考】怎样解方程x2＋6x＋4＝0①？
问题1　方程①怎样变成（x＋n）2＝p的形式呢？
问题2　为什么在方程x2＋6x＝－4的两边加上9？加其他数行吗？
不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方式x2＋2bx＋b2的形式.
【归纳总结】方程配方的方法归纳：
在方程两边都加上　一次项系数一半　的　平方　.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.
【归纳总结】
1.配方法的定义：
像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.
2.用配方法解一元二次方程的基本思路：
把方程化为（x＋n）2＝p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解.
三、新知应用
例1　解下列方程：
（1）x2－8x＋1＝0；
解：移项，得x2－8x＝－1.
配方，得x2－8x＋42＝－1＋42，（x－4）2＝15.
由此可得x－4＝±，
x1＝4＋，x2＝4－.
（2）2x2＋1＝3x；
解：移项，得2x2－3x＝－1.
二次项系数化为1，得x2－x＝－.
配方，得x2－x＋＝－＋，
＝.
由此可得x－＝±，
x1＝1，x2＝.
【思考】移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢？
（3）3x2－6x＋4＝0.
解：移项，得3x2－6x＝－4.
二次项系数化为1，得x2－2x＝－.
配方，得x2－2x＋12＝－＋12，（x－1）2＝－.
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，（x－1）2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根.
【思考】用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？
移项时需注意改变符号.
【思考】用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，二次项系数化为1；
②左边配成完全平方式；
③左边写成完全平方形式；
④降次；
⑤解一次方程.
【归纳总结】一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成（x＋n）2＝p　　　　（Ⅱ）
的形式，那么就有：
①当p＞0时，方程（Ⅱ）有两个不等的实数根　x1＝－n－　，　x2＝－n＋　；
②当p＝0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根　x1＝x2＝－n　；
③当p＜0时，因为对任意实数x，都有（x＋n）2≥0，所以方程（Ⅱ）无实数根.
例2　试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5的值必定大于零.
解：k2－4k＋5＝k2－4k＋4＋1＝（k－2）2＋1.
因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.
所以不论k取何实数，多项式k2－4k＋5的值必定大于零.
例3　若a，b，c为△ABC的三边长，且a2－6a＋b2－8b＋＋25＝0，试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得（a－3）2＋（b－4）2＋＝0.
由代数式的性质可知（a－3）2＝0，（b－4）2＝0，＝0.
∴a＝3，b＝4，c＝5.∴a2＋b2＝32＋42＝52＝c2.
∴△ABC为直角三角形.
例4　读诗词解题：
大江东去浪淘尽，
千古风流数人物。
而立之年督东吴，
早逝英年两位数。
十位恰小个位三，
个位平方与寿符。
哪位学子算得快，
多少年华属周瑜？
通过列方程，算出周瑜去世时的年龄.
解：设个位上的数字为x，十位上的数字为（x－3）.
根据题意，得x2＝10（x－3）＋x.
解方程，得x1＝6，x2＝5.
∴这个两位数为36或25.
∵周瑜30岁还攻打过东吴，
∴周瑜去世时的年龄为36岁.
四、课堂小结
用配方法解一元二次方程
特别提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为x2＋px＋q＝0的形式.
五、课堂训练
1.解下列方程：
（1）x2＋4x－9＝2x－11；
（2）x（x＋4）＝8x＋12；
（3）4x2－6x－3＝0；
（4）3x2＋6x－9＝0.
解：（1）x2＋2x＝－2，（x＋1）2＝－1，此方程无解.
（2）x2－4x＝12，（x－2）2＝16，x1＝6，x2＝－2.
（3）x2－x＝，＝，x1＝，x2＝.
（4）x2＋2x＝3，（x＋1）2＝16，x1＝－3，x2＝1.
2.应用配方法求最值.
（1）2x2－4x＋5的最小值；
（2）－3x2＋12x－16的最大值.
解：（1）原式＝2（x－1）2＋3.当x＝1时，取最小值，最小值为3.
（2）原式＝－3（x－2）2－4.当x＝2时，取最大值，最大值为－4.
3.已知a，b，c为△ABC的三边长，且a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝0，试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得[（a－b）2＋（a－c）2＋（b－c）2]＝0.
由代数式的性质可知（a－b）2＝0，（a－c）2＝0，（b－c）2＝0.∴a＝b＝c.
∴△ABC为等边三角形.
六、布置作业
完成对应课时练习.
　　教学过程中，强调配方法解方程就是将方程左边配成完全平方式的过程.因此需熟练掌握完全平方式的形式.