2024新人教版八年级上数学 14.2 三角形全等的判定 第4课时 尺规作图问题 课件(共35张PPT)

(共35张PPT)
人教版（2024）
八年级上册
14.2 三角形全等的判定
第4课时 尺规作图问题
第十四章·全等三角形
尺规作图问题
知识目标
1.作一个角等于已知角；过直线外一点作这条直线的平行线；已知两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；
2.通过实践验证全等三角形的判定定理，明确作图步骤背后的数学依据.
能力目标
1.将抽象的文字描述转化为具体的图形表达，培养从条件出发设计合理作图路径的思维习惯；
2.能够清晰阐述作图依据，并用规范术语书写证明过程，实现“做中学、说中学”.
素质目标
1.体会尺规作图的历史意义，感受数学的美学与理性精神；
2.在小组互助中分享经验技巧，学会倾听他人思路并优化自身方案.
教学难点
教学重点
典型尺规作图的具体步骤
尺规作图的作图顺序
情景导入
1
合作探究
2
抽象概括
3
示范讲解
4
课堂练习
5
课堂小结
6
情景导入
合作探究
抽象概念
示范讲解
课堂练习
课堂小结
情景激趣
尺规作图的起源
古希腊数学家如欧几里得将尺规作图系统化，他在《几何原本》中详细阐述了尺规作图的基本规则和方法，这些规则成为后世几何学的重要基石，推动了数学的理论化发展。
古埃及人在土地丈量中使用简单的工具，如绳子和木棍，这些实践为尺规作图的初步发展奠定了基础。他们需要精确划分土地，以确保公平分配，这些经验逐渐积累，形成了早期的几何知识。
古希腊的理论奠基
古埃及的测量实践
情景导入
合作探究
抽象概念
示范讲解
课堂练习
课堂小结
情景激趣
尺规作图的发展历程
三大作图难题的提出
古希腊时期，数学家们提出了三个著名的尺规作图难题：化圆为方、倍立方体和三等分角。这些问题引发了无数数学家的研究，促进了数学理论的深入发展，尽管这些问题最终被证明无法用尺规解决，但其研究过程极大地丰富了数学知识。
中世纪的传播与改进
在中世纪，尺规作图的知识通过阿拉伯世界传播到欧洲。阿拉伯数学家对尺规作图进行了进一步的研究和改进，他们引入了新的作图方法和工具，为文艺复兴时期的数学复兴奠定了基础。
情景导入
合作探究
抽象概念
示范讲解
课堂练习
课堂小结
复习旧知
圆规
尺规作图的基本工具
直尺
直尺在尺规作图中用于画直线。它没有刻度，只能用来连接两点或延长已知直线。直尺的使用需要精确的操作，以确保所画直线的准确性，这是尺规作图的基础。
圆规用于画圆和弧线。它可以确定圆的半径和圆心，通过圆规可以构造出许多复杂的几何图形。圆规的使用需要掌握一定的技巧，如保持圆规的稳定性，确保所画圆的准确性。
情景导入
合作探究
抽象概念
示范讲解
课堂练习
课堂小结
复习旧知
作一条线段等于已知线段
a
尺规作图问题
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
尺规作图
只用直尺（没有刻度）和圆规也可以画出一些图形，这种画图方法被称为尺规作图.
由三角形全等判定可以知道，每一种判定两个三角形全等的条件（_____，_____，_____，_____），都只能作出唯一的三角形.
SSS
SAS
ASA
AAS
情景导入
合作探究
抽象概念
示范讲解
课堂练习
课堂小结
知识回顾
判定两个三角形全等的条件
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
三边分别相等
两边和它们的
夹角分别相等
两角和它们的
夹边分别相等
两角分别相等且其中
一组等角的对边相等
SSS
SAS
AAS
ASA
分析问题，寻找对应
线段和角都是基本的几何图形，也是构成其他几何图形的元素. 如何用直尺和圆规作一个角等于已知角呢？
分组讨论
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
任务1：尺规作图——利用直尺和圆规作一个三角形
已知：已知三条线段 a，b，c（其中任意两条线段的和大于第三条线段），求作△ABC，使其边分别为 a，b，c．
分析问题，寻找对应
尺规作图——利用直尺和圆规作一个三角形
已知：已知三条线段 a，b，c（其中任意两条线段的和大于第三条线段），求作△ABC，使其边分别为 a，b，c．
任务1
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
分析：由作一条线段等于已知线段，能够作出边AB，即A，B两点确定，而BC=a，AC=b，故以点A为圆心，b为半径画弧长，以点B为圆心，a为半径画弧，两弧的交点就是点C.
a
b
c
分析问题，寻找对应
尺规作图——利用直尺和圆规作一个三角形
任务1
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
作法：
第一步：作线段AB等于c；
第二步：以点A为圆心，以b为半径画弧长；
c
B
A
c
B
A
b
分析问题，寻找对应
尺规作图——利用直尺和圆规作一个三角形
任务1
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
作法：
第三步：以点B为圆心，以a为半径画弧，两弧交于点C；
c
B
A
b
a
第四步：连接AC，BC，△ABC即为所求.
c
B
A
b
a
C
分析问题，寻找对应
尺规作图——利用直尺和圆规作一个角等于已知角
已知∠AOB，要用直尺和圆规作一个角与其相等，关键是能用直尺和圆规确定∠AOB 的大小.
任务2
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
分析： 一个三角形的三条边、三个角是确定的. 如果能将∠AOB“放在”某个三角形中，作为其一个角，再作出一个与其全等的三角形，能否得到与∠AOB 一样大小的角？为什么？
O
A
B
能，因为全等三角形的对应角相等.
分析问题，寻找对应
尺规作图——利用直尺和圆规作一个角等于已知角
已知∠AOB，要用直尺和圆规作一个角与其相等，关键是能用直尺和圆规确定∠AOB 的大小.
任务2
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
思考1： 如何围绕∠AOB 构建一个三角形？
O
A
B
如图，在∠AOB 的边 OA，OB 上分别取点 C，D，连接 CD，得到△COD. ∠AOB 就是△ COD 的一个内角.
C
D
为了作图方便，一般取 OC = OD.
分析问题，寻找对应
尺规作图——利用直尺和圆规作一个角等于已知角
已知∠AOB，要用直尺和圆规作一个角与其相等，关键是能用直尺和圆规确定∠AOB 的大小.
任务2
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
思考2：为了作出与△COD 全等的三角形，哪种三角形全等的判定方法可以作为作图依据？
O
A
B
如图，在∠AOB 的边 OA，OB 上分别取点 C，D，连接 CD，得到△COD. ∠AOB 就是△ COD 的一个内角.
C
D
分析问题，寻找对应
尺规作图——利用直尺和圆规作一个角等于已知角
已知∠AOB，要用直尺和圆规作一个角与其相等，关键是能用直尺和圆规确定∠AOB 的大小.
任务2
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
O
A
B
第一步：以点 O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 OA，OB 于点 C，D；
C
D
第二步：作一条射线 O'A'，以点 O' 为圆心，OC为半径作弧，交 O'A' 于点 C'；
O'
A'
C'
分析问题，寻找对应
尺规作图——利用直尺和圆规作一个角等于已知角
已知∠AOB，要用直尺和圆规作一个角与其相等，关键是能用直尺和圆规确定∠AOB 的大小.
任务2
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
O
A
B
第三步：以点 C' 为圆心，CD 为半径作弧，与上一步作的弧相交于点 D'；
C
D
第四步： 过点 D' 作射线 O'B'，则∠A'O'B' = ∠AOB.
O'
A'
C'
D'
B'
分析问题，寻找对应
尺规作图——利用直尺和圆规过直线外一点作这条直线的平行线
与“作一条线段等于已知线段”一样，“作一个角等于已知角”也是基本、常用的尺规作图，利用它可以进一步完成其他尺规作图.
任务3
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
回顾：我们学过的判定两直线平行的方法有哪些？
① 同位角相等，两直线平行；
② 内错角相等，两直线平行；
③ 同旁内角互补，两直线平行；
④ 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
这是尺规作图的依据
例题讲解
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
如图，已知直线 AB 及直线 AB 外一点 C，利用直尺和圆规过点 C 作直线 AB 的平行线 CD.
例1
C
A
B
作法：
(1) 过点 C 作一条直线，与直线 AB 相交于点 E；
C
A
B
E
(2) 在点 C 处作∠CEB 的同位角∠FCD，使∠FCD = ∠CEB；
F
D
(3) 反向延长 CD，得直线 CD，则直线 CD // AB.
解：如图，直线 CD 即所求作直线.
分析问题，寻找对应
尺规作图——利用直尺和圆规已知两边及其夹角作三角形
已知线段 a，b （a>b）和∠α，求作△ABC，使 AB = a，AC = b，∠A =∠α.
任务4
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
a
b
α
先作一个角等于已知角
在作出的角的两边上截取指定长度的边
确定三角形的三个顶点的位置
分析问题，寻找对应
尺规作图——利用直尺和圆规已知两边及其夹角作三角形
已知线段 a，b （a>b）和∠α，求作△ABC，使 AB = a，AC = b，∠A =∠α.
任务4
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
α
A
D
E
第一步，作∠DAE＝∠α；
分析问题，寻找对应
尺规作图——利用直尺和圆规已知两边及其夹角作三角形
已知线段 a，b （a>b）和∠α，求作△ABC，使 AB = a，AC = b，∠A =∠α.
任务4
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
A
D
E
A
D
E
B
C
第二步，在射线 AD 上作 AB = a，在射线 AE 上作 AC = b；
分析问题，寻找对应
尺规作图——利用直尺和圆规已知两边及其夹角作三角形
已知线段 a，b （a>b）和∠α，求作△ABC，使 AB = a，AC = b，∠A =∠α.
任务4
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
A
D
E
A
D
E
B
C
第三步，连接 BC，则△ABC 就是所求作的三角形.
对照练习
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
1.如图，用直尺和圆规作一个三角形，使这个三角形的两角分别等于∠α，∠β，这两角的夹边等于线段 a.
a
α
β
A
B
C
解：如图，△ABC 即所求作的三角形.
a
α
β
对照练习
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
2. 如图，已知∠AOB，以点 O 为圆心，以任意长为半径作弧①，分别交 OA，OB 于点E，F，再以点 E 为圆心，以 EF 长为半径作弧，交弧①于点 D，画射线 OD. 若∠AOB = 28°，则∠BOD 的度数为（ ）
A. 34° B. 62°
C. 56° D. 124°
C
对照练习
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
3. 已知△ABC，由尺规作图痕迹可知△ABC≌△ABD，判定这两个三角形全等的理由为（ ）
A. SSS B. SAS
C. AAS D. ASA
D
对应中考
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
1.（2024·北京）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法.
(1)如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D:
(2)作射线O’A’，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交O’A’于点C;以点C’为圆心，CD长为
半径画弧，两弧交于点D’;
(3)过点D’作射线O’B’，则∠A’O’B’= ㄥAOB
上述通过判定ΔC’O’D’≌ΔCOD得到∠A’O’B’= ∠AOB,其中判定ΔC’O’D’≌COD的依据是( )
A.三边分别相等的两个三角形全等 B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
A
对应中考
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
2.（2024·山东德州）已知∠AOB，点P为OA上一点，用尺规作图，过点P作OB的平行线，下列作图痕迹不正确的是( )
A B
C D
B
对应中考
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
3.（2024·江苏扬州）如图，已知∠PAQ及AP边上一点C.
用无刻度直尺和圆规在射线AQ上求作点O，使得∠COQ=2∠CAQ;(保留作图痕迹，不写作法)
解：如图所示
∴∠COQ=2∠CAQ;
点0即为所求
课堂小结
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
我亲历了什么
我知道了什么
我会什么
尺规作图的几种情况
独立完成尺规作图要求
明确尺规作图的依据
课堂小结
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
尺规作图
只用直尺（没有刻度）和圆规也可以画出一些图形，这种画图方法被称为尺规作图.
由三角形全等判定可以知道，每一种判定两个三角形全等的条件（_____，_____，_____，_____），都只能作出唯一的三角形.
SSS
SAS
ASA
AAS
课堂小结
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
尺规作图
依据：SSS
依据：“同位角相等，两直线平行”或“内错角相等，两直线平行”
作一个角等于已知角
过直线外一点作这条直线的平行线
已知两边及其夹角作三角形，已知两角及其夹边作三角形.
课堂小结
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
课后作业
A层：P44：习题14.2：9题.
B层：P44：习题14.2：10题.
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