2024新人教版八年级上数学 14.2 三角形全等的判定 第5课时 用 ''HL'' 判定直角三角形全等 课件(共35张PPT)

(共35张PPT)
人教版（2024）
八年级上册
14.2 三角形全等的判定
第5课时 用 ''HL''
判定直角三角形全等
第十四章·全等三角形
判定直角三角形全等
知识目标
1.理解并掌握“HL”定理的内容。
2.明确该定理适用于仅当其中一个角为90°的特殊情形，区分其与一般三角形全等判定条件的不同。
3.能够准确识别题目中的已知条件是否符合HL定理的应用前提。
能力目标
1.用规范的数学语言书写证明步骤，能基于HL定理进行简单的几何论证。
2.在复杂图形中提取关键信息，灵活运用HL定理解决实际问题。
素质目标
1.渗透“特殊与一般”“分类讨论”的辩证思维思想，体会数学定理的严谨性和普适性。
2.培养科学探究精神，鼓励学生通过猜想—验证—结论的研究路径自主建构知识。
教学难点
教学重点
HL定理的条件与结论
“必须包含斜边”是关键前提，例如仅知两条直角边相等时不能用HL
情景导入
1
合作探究
2
抽象概括
3
示范讲解
4
课堂练习
5
课堂小结
6
情景导入
合作探究
抽象概念
示范讲解
课堂练习
课堂小结
情景激趣
回顾：判定两个三角形全等的条件
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
三边分别相等
两边和它们的
夹角分别相等
两角和它们的
夹边分别相等
两角分别相等且其中
一组等角的对边相等
SSS
SAS
AAS
ASA
情景导入
合作探究
抽象概念
示范讲解
课堂练习
课堂小结
情景激趣
舞台背景的几何挑战
如图，舞台背景的形状是两个直角三角形， 为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．你能帮工作人员想个办法吗？
情景导入
合作探究
抽象概念
示范讲解
课堂练习
课堂小结
情景激趣
舞台背景的几何挑战
方案2：根据SAS可测量其余两边与这两边的夹角.
方案1：根据ASA,AAS可测量对应一边和一锐角.
已知两个直角相等
情景导入
合作探究
抽象概念
示范讲解
课堂练习
课堂小结
情景激趣
如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？
探究判定两个直角三角形全等的条件
分析问题，寻找对应
对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？
分组讨论
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
A
B
C
A'
B'
C'
分析问题，寻找对应
判定两个直角三角形全等的条件：①一条直角边和一锐角分别相等
分组讨论
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
A
B
C
A'
B'
C'
情况1：若∠A=∠A′，AB=A′B′，已知∠B=∠B′，则△ABC与△A′B′C′ ，根据 .
ASA
全等
分析问题，寻找对应
判定两个直角三角形全等的条件：①一条直角边和一锐角分别相等
分组讨论
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
A
B
C
A'
B'
C'
AAS
情况2：若∠C=∠C′，AB=A′B′，已知∠B=∠B′，则△ABC与△A′B′C′ ，根据 .
全等
分析问题，寻找对应
判定两个直角三角形全等的条件：②斜边和一锐角分别相等
分组讨论
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
A
B
C
A'
B'
C'
若∠A=∠A′，AC=A′C′，
已知∠B=∠B′，则△ABC与△A′B′C′ ，根据 .
AAS
全等
分析问题，寻找对应
判定两个直角三角形全等的条件：③两直角边分别相等
分组讨论
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
A
B
C
A'
B'
C'
若AB=A′B′，BC=B′C′，
已知∠B=∠B′，则△ABC与△A′B′C′ ，根据 .
ASA
全等
分析问题，寻找对应
如果满足斜边和一条直角边分别相等呢？能证明全等吗？
分组讨论
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
分析问题，寻找对应
任意画一个Rt△ABC，使∠C =90°，再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB，然后把画好的Rt△A′B′C′剪下来放到Rt△ABC上，你发现了什么？
分组讨论
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
A
B
C
作法：
（1）画∠MC'N=90°；
（2）在射线C'M上截取B'C'=BC；
（3）以点B'为圆心，AB为半径画弧，交射线C'N于点A'；
（4）连接A'B'.
分析问题，寻找对应
任意画一个Rt△ABC，使∠C =90°，再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB，然后把画好的Rt△A′B′C′剪下来放到Rt△ABC上，你发现了什么？
分组讨论
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
C ′
N
M
A
B
C
A ′
B ′
两个三角形放在一起能完全重合
分析问题，寻找对应
接下来讨论射线 CA 上除点 C，A 外的点与点 B 的连线和边 AB 的大小关系.
分组讨论
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
C
A
B
(C')
(B')
① 设点 M 在直角边 AC (不包括端点)上，连接 BM，则∠BMA ＞∠C，∠BMA是钝角．
② 若过点 M 且垂直于 BM 的直线与线段 AB 相交于点 M′，则有 AB ＞ BM′ ＞ BM．
M
外角的性质
M'
垂线段最短
分析问题，寻找对应
接下来讨论射线 CA 上除点 C，A 外的点与点 B 的连线和边 AB 的大小关系.
分组讨论
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
C
A
B
(C')
(B')
③ 设点 N 在线段 CA 的延长线上，连接 BN，同理可得 BN ＞ AB．
④ 因此，在射线 CA 上，与点 B 的连线长度等于 AB 的点只有一个．
M
M'
在点 A 下方时，长度 ＜ AB；在点 A 上方时，长度 ＞ AB.
N
⑤再由点 A′ 在射线 CA 上，
A′B′ = AB，可知点 A′与点 A 重合．
判定直角三角形全等
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）
如图，在Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ （HL）
AB ＝A′B′
BC ＝ B′C′
几何语言：
基本事实：
知识点 用“HL”判定直角三角形全等
C
A
B
C'
A'
B'
判定直角三角形全等
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
在使用“HL”时,同学们应注意什么
（1）“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法.
两个“△”前要加“Rt”.
（2）注意对应相等.
”HL”中“H”代表斜边，“L”代表直角边.
“斜边-直角边”顺序不要混淆.
在Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ （HL）
AB ＝A′B′
BC ＝ B′C′
例题讲解
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
例1
解
证明：∵　AC⊥BC，BD⊥AD，
∴　∠C =∠D = 90°．
在Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，
AB = BA，
AC = BD，
∴　Rt△ABC ≌ Rt△BAD（HL）．
∴　BC =AD（全等三角形对应边相等）．
如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC = BD．
求证 BC =AD．
例题讲解
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
例2
如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要明证△ABC ≌△BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由．
（1） （ ）；
（2） （ ）；
（3） （ ）；
（4） （ ）．
AD = BC
AC = BD
∠DAB = ∠CBA
∠DBA = ∠CAB
HL
HL
AAS
AAS
例题讲解
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
例3
如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？
解
在Rt△ABC和Rt△DEF中,
BC=EF,
AC=DF ,
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
∴∠B=∠DEF.
∵ ∠DEF+∠F=90°,
∴∠B+∠F=90°.
例题讲解
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
例4
如图，两根长度均为12m的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗 请说明你的理由.
解
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD和Rt △ACD中,
∴Rt△ABD≌Rt △ACD（HL），
∴BD=CD.
AB=AC,
∠ADB=∠ADC ,
对照练习
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
1.如图，C 是路段AB 的中点，两人从C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地．DA⊥AB，EB⊥AB． D，E 与路段AB的距离相等吗？为什么？
A
B
C
D
E
分析：CA=CB
CD=CE
∠A=∠B=90°
对照练习
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
1.如图，C 是路段AB 的中点，两人从C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地．DA⊥AB，EB⊥AB． D，E 与路段AB的距离相等吗？为什么？
A
B
C
D
E
解：D,E与线段AB的距离相等.
∵C是路段AB的中点，
∴AC=BC.
∵DA⊥AB ， EB⊥AB ，
∴∠A=∠B=90°.
CD=CE，
AC=CB，
在Rt△ADC 和Rt△BEC 中，
∴ Rt△ADC ≌ Rt△BEC (HL).
∴　AD =BE.
∴ D,E与线段AB的距离相等.
对照练习
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
2.如图，AB =CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E ，F，CE =BF．求证：（1）AE =DF ; （2）CD//AB.
A
B
C
D
E
F
分析： CE-EF=BF-EF,即CF=BE
Rt△ABE ≌ Rt△DCF（HL）
　AE=DF
∠B=∠C
　CD//AB
对照练习
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
2.如图，AB =CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E ，F，CE =BF．求证：（1）AE =DF ; （2）CD//AB.
A
B
C
D
E
F
证明：∵CE=BF，
∵AE⊥BC ， DF⊥BC ，
∴∠AEB=∠DFC=90°.
AB=DC，
CF=BE，
在Rt△ABE 和Rt△DCF 中，
∴　 Rt△ABE ≌ Rt△DCF （HL）．
∴　AE=DF ， ∠B=∠C.
∴　CD//AB.
∴CE-EF=BF-EF，即CF=BE.
对照练习
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
3.如图，已知AB=AC，AE=AF， AE⊥EC，AF⊥BF，
垂足分别是点E、F.求证：∠1=∠2.
A
B
C
E
F
1
2
证明：∵　AE⊥EC，AF⊥BF ，
∴∠E=∠F=90°.
在Rt△AEC 和 Rt△AFB 中，
AC =AB，
AE =AF，
∴Rt△AEC ≌ Rt△AFB（HL）.
∴∠EAC=∠FAB.
∴∠EAC-∠BAC=∠FAB-∠BAC.
∴∠1=∠2.
对照练习
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
4.如图 在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE.求证：△EBC≌△DCB.
A
B
C
E
D
证明：∵ BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠BDC=90 °.
在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中，
CE=BD,
BC=CB .
∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL).
对应中考
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
1.(2025·重庆)学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流，现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空:
第一步:构造角平分线.
小红在∠AOB的边OA上任取一点E，并过点E作了OA的垂线(如图).请你利用尺规作图，在OB边上截取OF=OE，过点F作OB的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线OP,OP即为∠AOB的平分线(不写作法，保留作图痕迹).
第二步:利用三角形全等证明她的猜想.
证明:∵PE⊥OA，PF⊥OB,
∴∠OEP=∠OFP=90°.
在RtΔOEP和RtΔOFP中,
① ，
② ，
∴ Rt ΔOEP≌Rt ΔOFP(HL)
∴ ③ .
∴OP平分∠AOB
①PO=PO; ②OE=OF;③∠EOP= ∠FOP
对应中考
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
2.(2023·浙江)如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，0为AC边上一点，连结OB，以OC为半径的半圆与AB边相切于点D，交AC边于点E.
求证:BC=BD.
证明:如图，连接OD，
∵BD是⊙O的切线，点D为切点，
∴∠ODB=90°，
∠ACB=90°，
∴RtΔODB≌RtΔOCB(HL).
∴BC=BD.
课堂小结
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
我亲历了什么
我知道了什么
我会什么
用“HL”判定直角三角形全等
独立书写用“HL”判定直角三角形全等的步骤
推导判定两个直角三角形全等的条件
课堂小结
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）
基本事实：
知识点 用“HL”判定直角三角形全等
（1）“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法.
两个“△”前要加“Rt”.
（2）注意对应相等.
”HL”中“H”代表斜边，“L”代表直角边.
“斜边-直角边”顺序不要混淆.
在Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ （HL）
AB ＝A′B′
BC ＝ B′C′
课堂小结
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
课后作业
A层：P43：习题14.2：11题.
B层：P43：习题14.2：12题.
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