2024-2025学年福建省福州市福州三中高二（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省福州三中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知等比数列{an}中，a1=1，a4=-8，则公比q=（　　）
A. 2 B. -4 C. 4 D. -2
2.已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，A为C上的一点，AF中点的横坐标为2，则|AF|=（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3.在三棱柱ABC-A1B1C1中，设=，=，=，N为BC的中点，则=（　　）
A. B. C. D.
4.已知f′（x）是函数f（x）在R上的导函数，函数f（x）在x=-2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（　　）
A. B.
C. D.
5.有6本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（　　）
A. 1440种 B. 1560种 C. 1920种 D. 5760种
6.若函数f（x）=bx-2sinx在区间上单调递增，则实数b的取值范围是（　　）
A. b≥0 B. b＞0 C. D.
7.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x+y-2=0与圆O：x2+y2=4交于点A，B，动点P在圆C：（x+2）2+y2=r2（r＞0）上运动，若△PAB的面积的取值范围为[2，6]，则r的值为（　　）
A. B. C. 2 D.
8.设F是双曲线的右焦点，O为坐标原点，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若△FOH的内切圆与x轴切于点B，且，则C的离心率为（　　）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则（　　）
A. n=7 B. 只有第4项的二项式系数最大
C. 各项系数之和为-1 D. x5的系数为560
10.已知Sn为等差数列{}的前n项和，公差为d.若＞0，S20=0，则（　　）
A. 数列{}为递增数列 B. S8=S12
C. 当且仅当n=10时，Sn取到最大值 D. +＞0
11.很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（　　）
A. AG⊥平面BCDG B. 若E是棱BC的中点，则DE与平面AFG平行
C. 点B到平面ACD的距离为 D. 该半正多面体的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量X的方差D（X）=3，则D（2X+3）= ______.
13.已知直线l：y-2=k（x-2）与圆C：x2+y2+2y-24=0相交于A，B两点，则弦长|AB|的取值范围是______.
14.设O为坐标原点，若曲线y=x2+1和曲线y=alnx（a＞0）上分别存在A，B两点，使得∠AOB=45°，则a的取值范围为______.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在数列{an}中，a1=2，.
（1）证明：数列{an-n}是等比数列.
（2）求数列{an}的前n项和Sn.
16.(本小题12分)
如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，EF∥DC，AE=DE=EF=AD=2，AB=4，.
（1）证明：平面ADE⊥平面ABCD.
（2）求平面ADE与平面BCF所成角的余弦值.
17.(本小题12分)
已知编号为甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球，一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球.
（1）从甲袋中一次性摸出2个小球，记随机变量X为1号球的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；
（2）现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球.求第二次摸到的是3号球的概率.
18.(本小题12分)
已知函数f（x）=ae2x+x+1.
（1）当a=-1时，求函数y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调区间；
（3）当a＜0时，关于x的不等式f（x）+（a+2）ex≤0恒成立，求整数a的最大值.
19.(本小题12分)
已知双曲线C的渐近线方程为y=±x,右顶点为B，点A（4，2）在C上.
（1）求C的方程；
（2）过点D（2，0）的直线l与C相交于F，G两点，点E与点F关于x轴对称，问直线EG是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；
（3）将圆心在y轴上，且与C的两支各恰有一个公共点的圆称为“子圆”，若两个“子圆”外切于点R，圆心距为d,求.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】ACD
10.【答案】BC
11.【答案】AC
12.【答案】12
13.【答案】
14.【答案】[，+∞）
15.【答案】（1）证明：由an+1=3an-2n+1，
得an+1-（n+1）=3（an-n），又a1-1=2-1=1≠0，
∴数列{an-n}为首项为1，公比为3的等比数列；
（2）解：由（1）得，数列{an-n}为首项为1，公比为3的等比数列，
则，即，
∴
=
=．
16.【答案】证明过程请见解答； ．
17.【答案】分布列见详解；E（X）=1；
．
18.【答案】y=-x；
当a≥0时f（x）的单调递增区间是（-∞，+∞），无单调递减区间；
当a＜0时f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为；
-2．
19.【答案】解：（1）因为双曲线C的渐近线方程为y=±x,
所以设双曲线的方程为x2-y2=λ（λ≠0），
将点A（4，2）代入得42-22=λ，
即λ=12，
所以双曲线C的方程为；
（2）当直线DG的斜率不为零时，
设直线DG的方程为x=my+2，F（x1，y1），G（x2，y2），E（x1，-y1），
由
消去x整理得（m2-1）y2+4my-8=0，
依题意得：m2-1≠0，且Δ=16m2+32（m2-1）＞0，即且m2≠1，
，，
易知，直线EG的斜率存在，
设直线EG的方程为．
令y=0，得
=．
所以直线EG过定点（6，0），
当直线DG的斜率为0时，直线EG的方程为y=0，过点（6，0），
综上，直线EG过定点（6，0）．
（3）考虑以（0，y0）为圆心的“子圆”，
由Ω0的方程与C的方程消去x,
得关于y的二次方程．
依题意，该方程的判别式，
所以．
对于外切于点R的两个“子圆”Ω1，Ω2，显然点R在y轴上，
设R（0，h），Ω1，Ω2的半径分别为r1，r2，
不妨设Ω1，Ω2的圆心分别为（0，h+r1），（0，h-r2）．
则，．
两式相减得：，而r1+r2＞0，所以．
所以，
整理得：．
因为d=r1+r2，点，
所以
=．
所以，
故．

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