苏教版高中数学选择性必修第一册第1章直线与方程1.2.1直线的点斜式、斜截式方程课件(共59张PPT)

(共59张PPT)
苏教版2019高二数学（选修一）第一章 直线与方程
1.2.1 直线的点斜式、斜截式方程
学习目标
1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.
2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.
3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题．
飞逝的流星形成了一条美丽的弧线,这条弧线可以看做是满足某种运动规律的点的集合.在平面直角坐标系中,直线也可以看做是满足某种条件的点的集合,直线的位置既可由两点惟一确定,也可由一点和一个方向来确定.
情景导入
2、直线斜率的两个定义
3、直线倾斜角和斜率的取值范围
1、直线倾斜角的定义
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把 x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线l重合时所转过的最小正角称为直线l的倾斜角。
注意：(1)直线向上方向； (2)x轴的正方向。
复习回顾
4、直线倾斜角和斜率的关系
复习回顾
问题1：直角坐标平面内确定一条直线的几何要素有哪些？

因为直线1的斜率为k，
由斜率公式得:
即：
1.直线的点斜式方程
新知探究

与x轴平行的直线倾斜角为0°，
其斜率 k = tan 0° = 0，
故与x轴平行的直线方程为:
x轴所在直线的倾斜角为0°，其斜率k = tan 0° = 0，
故x轴所在直线方程为：
问题4：坐标轴或与坐标轴平行的直线方程怎么表示？
（1）x轴所在直线的方程是什么？
即：
与y轴平行的直线倾斜角为90°，其斜率不存在，
不能用点斜式方程表示，
故y轴所在直线方程为：
问题4：坐标轴或与坐标轴平行的直线方程怎么表示？
（3）y轴所在直线的方程是什么？
故y轴所在直线方程为：
y轴所在直线的倾斜角为90°其斜率不存在，不能用点斜式方程表示，
问题5：直线的点斜式方程能表示坐标平面上的所有直线吗？
当直线的斜率不存在（即与y轴重合或平行）时，直线的方程不可以用点斜式来表示。
课本例1　已知一直线经过点P(－2,3)，斜率为2，求这条直线的方程．
解　由直线的点斜式方程，得所求直线的方程为y－3＝2(x＋2)，
即2x－y＋7＝0.
课本例题
典例剖析
例1　写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点(2,5)，倾斜角为45°；
(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程；
(3)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行；
(4)经过点D(1,1)，且与x轴垂直．
解　 (1)因为倾斜角为45°，
所以斜率k＝tan 45°＝1，
所以直线的方程为y－5＝x－2.
(2)直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°.
由题意知，直线l的倾斜角为135°，
所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1.
所以直线的方程为y－4＝－(x－3)．
(3)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，
所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0，
即y＝－1.
(4)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x＝1， 该直 线没有点斜式方程.
概念归纳
求直线的点斜式方程的步骤及注意点
(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x1，y1)→定斜率k→写出方程y－y1＝k(x－x1)．
(2)点斜式方程y－y1＝k(x－x1)可表示过点P(x1，y1)的所有直线，但x＝x1除外．
练一练
课本例2：
直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程．
解：由直线的点斜式方程，得直线1的方程为y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b.
课本例题
其中，b为直线与y轴交点的纵坐标。我们称b为直线l 在y轴上的截距。


2.直线的斜截式方程
新知探究
方程y=kx+b由直线的斜率与它在y轴上的截距确定，把这个方程叫做直线的斜截式方程，
简称斜截式（Slope intercept form）。
问题6：截距是距离吗？两者有什么区别？如何定义直线在x 轴上的截距？
截距是直线与坐标轴交点的坐标，它可正、可负、可为零，而距离是恒大于等于0的。
当直线与x轴相交时，我们把直线与x轴交点的横坐标叫做直线在x轴上的截距，简称横截距。
问题7：观察方程y=kx+b，它的形式有什么特点？此方程能表示平面内所有直线吗？
我们发现：方程左端的系数恒为1，方程右端x的系数k和常数项b均有明显的几何意义。
k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。
问题8：斜截式与点斜式存在什么关系？
斜截式是点斜式的特殊情况，有时比点斜式更方便
问题9：斜截式y=kx+b在形式上与一次函数的表达式一样，
它们之间有什么差别？
只有当k≠0时，斜截式方程才是一次函数的表达式
例2　根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率是3，在y轴上的截距是－3；
(2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；
(3)过点A(－1，－2)，B(－2,3)．
典例剖析
求直线的斜截式方程的策略
(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．
(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可．
概念归纳
练一练
练一练
例3、求下列直线的点斜式方程
(1)直线经过点P(-2，3)，斜率为2；
(2)直线经过点A (-1，2)，且倾斜角α=135o；
(3)直线的斜率为2，经过点(0，1)。
典例剖析
3.利用点斜式、斜截式求直线方程　
已知直线的斜率为k，与y轴的交点是P(0，b)，求这条直线的方程。
当直线与y轴相交时，我们把直线与y轴交点的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距，简称纵截距。
即：
例4　(1)已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有的直线恒过定点(　　)
A．(1,3) B．(－1，－3)
C．(3,1) D．(－3，－1)
答案　C
典例剖析
1．若本例(1)中直线不经过第四象限，求k的取值范围．
　(1)解含参数的直线恒过定点问题，可将直线方程整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的直线必过定点(x0，y0)．
(2)在求面积时，要将截距转化为距离．
概念归纳
(1)若y＝a|x|与y＝x＋a(a>0)有两个公共点，则a的取值范围是(　　)
A．a>1 B．0C．a＝1 D．01
答案　A
练一练
解析　y＝x＋a(a>0)表示斜率为1，在y轴上的截距为a(a>0)的直线，
y＝a|x|表示关于y轴对称的两条射线．
所以当0当a>1时，有两个公共点，如图②.
1．方程y＝k(x－2)表示(　　)
A．过点(－2,0)的所有直线
B．过点(2,0)的所有直线
C．过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线
D．过点(2,0)且除去x轴的所有直线
答案　C
解析　易验证直线过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴．
随堂练
随堂练
随堂练
4．若直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有(　　)
A．k>0，b>0 B．k>0，b<0
C．k<0，b>0 D．k<0，b<0
答案　B
解析　直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，由图知，k>0，b<0.
随堂练
分层练习-基础
1．已知一直线经过点A(3，－2)，且与x轴平行，则该直线的方程为(　　)
A．x＝3 B．x＝－2
C．y＝3 D．y＝－2
答案　D
解析　∵直线与x轴平行，∴其斜率为0，
∴直线的方程为y＝－2.
分层练习-基础
2．若直线l的倾斜角为45°，且过点(0，－1)，则直线l的方程是(　　)
A．y－1＝x B．y＋1＝x
C．y－1＝－x D．y＋1＝－x
答案　B
解析　∵直线l的倾斜角为45°，
∴直线l的斜率为1，
又∵直线l过点(0，－1)，
∴直线l的方程为y＋1＝x.
分层练习-基础
4．直线y＝ax＋(a≠0)的图形可能是(　　)
答案　B
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
8．已知△ABC的三个顶点都在第一象限内，A(1,1)，B(5,1)，∠A＝45°，∠B＝45°.求：
(1)直线AB的方程；
(2)直线AC和BC的方程．
分层练习-基础
解　(1)因为A(1,1)，B(5,1)，所以直线AB平行于x轴，所以直线AB的方程为y＝1.
(2)由题意知，直线AC的倾斜角为∠A＝45°，所以kAC＝tan 45°＝1.
又直线AC过点A(1,1)，所以直线AC的方程为y－1＝1×(x－1)，即y＝x.
同理可知，直线BC的倾斜角为180°－∠B＝135°，所以kBC＝tan 135°＝－1.
又直线BC过点B(5,1)，所以直线BC的方程为y－1＝－1×(x－5)，即y＝－x＋6.
分层练习-基础
分层练习-巩固
9．已知直线l不经过第三象限，设它的斜率为k，在y轴上的截距为b(b≠0)，则(　　)
A．kb<0 B．kb≤0
C．kb>0 D．kb≥0
答案　B
解析　当k≠0时，∵直线l不经过第三象限，∴k<0，b>0，∴kb<0.
当k＝0，b>0时，直线l也不过第三象限，∴kb≤0.
分层练习-巩固
答案　BC
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-拓展
分层练习-拓展
12．已知直线l：y＝kx＋2k＋1.
(1)求证：直线l恒过一个定点；
(2)当－3(1)证明　由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2)．
由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2,1)．
(2)解　设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，
1、直线的点斜式方程
2、直线的斜截式方程
3、直线的点斜式方程和斜截式方程之间的关系
斜截式是点斜式的特殊情况，两者均不能表示斜率不存在即与x轴垂直的直线。
课堂小结