苏教版高中数学选择性必修第一册第1章直线与方程1.1直线的斜率与倾斜角课件(共71张PPT)

(共71张PPT)
苏教版2019高二数学（选修一）第一章 直线与方程
1.1 直线的斜率与倾斜角
学习目标
1.了解直线的斜率和倾斜角的概念.
2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.
3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．
现实世界中,到处有美妙的曲线,从飞逝的流星到雨后的彩虹，从古代的石拱桥到现代的立交桥…
行星围绕太阳运行,人们可以建立行星运动的轨迹方程,并借助方程进一步认识它的运动规律.
在建造桥梁时,我们可以根据要求,首先确定桥拱所对应的曲线的方程,然后进行进一步的设计和施工.
情景导入
y
x
o
x
y
o
1.直线的斜率
新知探究
问题1：过一点有多少条直线？确定一条直线需要几个点？
（1）过一个点有 直线；
（2） 确定一条直线。
无数条
两点
问题2：确定一条直线的要素除了两点之外，还有哪些确定直线的方法？
一点与直线的方向，即直线的倾斜程度。
问题3：生活中我们如何刻画楼梯或路面的倾斜程度
楼梯或路面的倾斜程度用坡度来刻画。坡度越大道路越陡峭，坡度越小道路越平坦．
x
y
o
直线
类比思想
——直线的斜率
直线的倾斜程度
2、直线倾斜程度的刻画
新知探究
x
y
o
3、直线斜率的定义
新知探究
纵坐标的增量
横坐标的增量
形
数
请同学们任意给出两点的坐标，并求过这两点的直线的斜率
x
y
o
斜率不存在，这时直线PQ⊥x轴。
问题5：对于一条与x轴不垂直的定直线而言，直线的斜率是定值吗？
是定值，直线上任意两点确定的斜率总相等。
问题6：求一条直线的斜率需要什么条件？
只需知道直线上任意两点的坐标。
4、直线的倾斜方向和直线斜率之间的关系
新知探究
直线从左下方向右上方倾斜
直线从左上方向右下方倾斜
直线与x轴平行或重合
直线垂直于x轴
课本例1　如图所示，直线l1，l2，l3都经过点P(3,2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3,2)．
(1)试计算直线l1，l2，l3的斜率；
(2)若还存点Q4(a,3)，试求直线PQ4的斜率．
类型一 求过两点直线的斜率　
典例剖析
1.已知直线l经过点A(m，2)，B(1，m2+2)，试求直线l的斜率。
解：当m≠1时，
当m＝1时，直线AB垂直于x轴，所以斜率不存在。
练一练
2.求过点M(0，2)，N(2，3m2+12m+13)(m∈R)的求直线l的斜率k的取值范围。
练一练
例2、经过点A(3，2)画直线，使直线的斜率分别为
类型二 作过定点和已知斜率的直线　
典例剖析
分析，要画出直线,只需再确定直线上另一个点的位置
例2、经过点A(3，2)画直线，使直线的斜率分别为
类型二 作过定点和已知斜率的直线　
典例剖析
分析，要画出直线,只需再确定直线上另一个点的位置
例3、已知三点A(－3，－3)， B(－1，1)， C(2，7)，试求kAB和kBC 。
解：　
思考：如果kAB＝kBC，那么A、B、C三点有怎样的关系？有什么用处？
斜率可用来判定三点共线
类型三 利用斜率求解三点共线问题　
典例剖析
1.已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(－2，－9a)在一条直线上，求实数a的值。
练一练

斜率为2

问题9：平行直线的斜率之间有怎样的关系？
斜率相等或斜率都不存在
斜率为2
1、判断下列三点是否在同一直线上
(1) A(0，2)， B(2，5)，C(3，7)；
(2) A(－1，4)，B(2，1)，C(－2，5)。
练一练
2、若三点A(2，3)，B(a，4)，C(8，a)共线，则实数a的值
为________
3、已知点A(－1，1)，B(x，2)，C(－2 ，y)为直线l上的三
点，若直线l的斜率为2，则x＝ _____， y＝ _____
4、直线l的斜率为2，将直线l向左平移1个单位得到直线l1，
则l1的斜率为_________
0或5
-1
2
练一练
问题10：
既然垂直于x轴的直线，斜率不存在，我们用什么
来反映这类直线的倾斜程度呢？在平面直角坐标
系中，任何一条直线与x轴都有一个相对的倾斜程
度，可以用一个什么几何量来反映一条直线与x轴
的倾斜程度？
x
y
o
5.直线倾斜角的定义
新知探究
直线倾斜角的定义
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把 x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线l重合时所转过的最小正角称为直线l的倾斜角。
x
y
o
注意：
(1)直线向上方向；
(2)x轴的正方向。
概括：
倾斜角和斜率都是刻画直线倾斜程度的量，斜率侧重于数量关系，而倾斜角则更加直观形象。
倾斜角
下列四图中，表示直线的倾斜角的是( )
A
练一练
问题11：如果一条直线绕着一点旋转，则它的倾斜角有什么变化？取值范围是什么？
x
y
o
规定：
当直线l与x轴平行或
重合时，它的倾斜角
为0o。
6.直线倾斜角的取值范围
新知探究
问题12：任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？
2、直线倾斜角的取值范围
注意：倾斜角的范围包括0，但不包括π
你认为下列说法对吗？
(1)所有的直线都有唯一确定的倾斜角与它对应；
(2)每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。
思考：倾斜角与斜率有怎样的关系呢？
练一练
x
y
O
x
y
O

问题14：上述两条直线的倾斜角分别与x的系数有什么关系？
7.直线斜率的定义二
新知探究
3、直线斜率的定义二
我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率。
k
O
常用小写字母k表示，即
问题15：任何一条直线都有斜率吗？
结论：
任何一条直线都有倾斜角，但不是任何一条直线都存在斜率；如与x轴垂直的直线。

问题17：当直线的倾斜角α=120°，135°，150°时，则直线的斜率分别等于多少？
问题18：倾斜角为锐角、钝角或直角时，直线的斜率的取值范围分别是什么？
问题19：直线的斜率的取值范围是什么？
问题20：斜率相等的直线其倾斜角相等吗？斜率大的直线其倾斜角也大吗？
倾斜角为0° 时，k =0；
倾斜角为锐角时，k>0；
倾斜角为钝角时，k<0；
倾斜角为直角时，k不存在。
8.直线的倾斜角和斜率的关系
新知探究
例1.判断下列命题的真假：
(1)若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α；
(2)若直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角为α；
(3)若直线的倾斜角为α，则sinα≥0；
(4)直线的斜率的范围是(－∞，＋∞)；
(5)因为任一条直线都有倾斜角，所以任一条直线都有
斜率；
(6)直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大；
(7)两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；
(8)平行于x轴的直线的倾斜角是0或π。
典例剖析
类型一 直线的倾斜角和斜率的概念　
x
y
O
已知直线l1，l2，l3如图所示， 则l1，l2，l3的斜率k1，k2，k3
的大小关系为_______________ ，倾斜角α1，α2，α3的大小
关系为_______________
练一练
例2、 (1)经过两点A(2，3)，B(1，4) 的直线的斜率为_____，
倾斜角为________
(2)经过两点A(4，2y+1)，B(2，－3) 的直线的倾斜角
为120o，则y＝ ________
典例剖析
类型二 直线斜率的计算 　
已知M(2m+3，m)，N(m-2，1)，
(1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？
(2)当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？
(3)当m为何值时，直线MN的倾斜角为直角？
练一练
例3、已知直线l1的倾斜角α1＝15o，直线l1和l2的交点A，直
线l1绕点A按顺时针方向旋转到与直线l2重合时所转
的最小正角为60o，求直线l2的斜率k。
典例剖析
类型三 两直线倾斜角的关系 　
例4、若一条直线的倾斜角范围为 ，求这条直线斜率k的取值范围。
典例剖析
类型四 直线的倾斜角和斜率关系的综合应用
1、若一条直线的倾斜角范围为 ，则
这条直线斜率k的取值范围为_______________
练一练
2、若一条直线的斜率的范围为 ，则这条直线倾斜
角α的取值范围为_______________
练一练
例5、若过原点O的直线l与连结P(2，2)，Q(6， )的线段相交，求直线 l 的倾斜角和斜率的取值范围。
x
y
o
典例剖析
类型四 直线的倾斜角和斜率关系的综合应用
1．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°
B．若k是直线的斜率，则k∈R
C．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
答案　ABC
2．若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于(　　)
A．2 B．1 C．－1 D．－2
答案　A
随堂练
解析　由题意知tan 45°＝ ，解得m＝2.
随堂练

4．经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________．(其中m≥1)
答案　0°<α≤90°
随堂练
课本练习
1.分别求经过下列两点的直线的斜率：
（1）（2，3），（4，5）；
（2）（-2，3），（2，1）；
（3）（-3，-1），（2，-1）；
（4）（1，0），（0，-2）.
课本练习
课本练习
课本练习
课本练习
课本练习
（1）P（1，2），k=3；可得直线方程为：y-2=3（x-1），
课本练习
（3）P（-1，3），k= 0；可得直线方程为：y = 3.
（4）P（-2，0），斜率不存在.可得直线方程为：x=-2.
课本练习
5，分别判断下列三点是否在同一直线上：
（1）（0，2），（2，5），（3，7）；
（2）（-1，4），（2，1），（-2，5）；
（3）（1，2），（1，3），（1，-1）.
课本练习
易错点：倾斜角和斜率的关系及其应用
　　当直线l的倾斜角α∈ 时,k≥0,且α越大,斜率k越大;当直线l的倾斜角α∈ 时,
k<0,且α越大,斜率k越大;当直线l的倾斜角α= 时,它的斜率不存在.k=tan α 的
图象如图所示.
由斜率k的范围截取函数图象,可得到倾斜角α的范围;反过来,
由倾斜角α的范围截取函数图象,可得到斜率k的范围.
错因分析
已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.
(1)求直线l的斜率k的取值范围;
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.
思路点拨：作出图形并观察,可以发现当直线l的倾斜角α介于直线PB与PA的倾斜角之间 (包括直线PB与PA的倾斜角)时,直线l与线段AB有公共点.
错因分析
解析 如图,由题意可知kPA= =-1,kPB= =1.
(1)要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是k≤-1或k≥1.
(2)由图可知,直线l的倾斜角α应介于直线PB与PA的倾斜角之间(包括直线PB
与PA的倾斜角),
易知直线PB的倾斜角是 ,直线PA的倾斜角是 ,
∴直线l的倾斜角α的取值范围是 ≤α≤ .
错因分析
易错警示 本题易错误地认为斜率k的取值范围是-1≤k≤1,
结合图形考虑,l的倾斜角α应介于直线PB与直线PA的倾斜角之
间(包括直线PB与PA的倾斜角),即 ≤α≤ ,利用k=tan α
(0≤α<π)的图象(如图所示)得到k的取值范围是k≤-1或k≥1.
错因分析
分层练习-基础
A
A
分层练习-基础
C
B
分层练习-基础
6
-3
(1)已知三点A(a,2),B(5,1),C(-4,2a)在同一直线上,则a= (　 )
A.2或 　 B.2　
C. 　 D.-2
(2)已知正△ABC的顶点A(1,1),B(1,3),点C在第一象限,若点P(x,y)是△ABC内部及其边界上 一点,则 的最大值为 (　 )
A. 　 B. 　
C. 　 D.
A
B
分层练习-巩固
直线斜率的应用
解析 (1)由题意可得kBC=kAB,即 = ,解得a=2或a= .故选A.
(2)在平面直角坐标系中画出正△ABC,可知顶点C的坐标为(1+ ,2), 可看作△ABC内
部及其边界上一点P(x,y)与点(-1,0)连线的斜率,
当点P运动到点B时,直线的斜率最大,故 的最大值为 = .故选B.

分层练习-巩固
1.如下图，已知A（3,2），B（-4,1），
C（0，-1），求直线AB,BC,CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。
分层练习-巩固
评：已知直线上一个点和直线的斜率作直线的基本步骤:
（1）根据已知的斜率由斜率公式在直线上另外再找 一个点（不唯一）
（2）由两点确定唯一的直线把所求的直线作出来.
分层练习-巩固
-1
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-拓展
解析　作出函数f(x)＝log3(x＋2)的大致图象，如图所示．
分层练习-拓展
分层练习-拓展
2、直线斜率的两个定义
3、直线倾斜角和斜率的取值范围
1、直线倾斜角的定义
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把 x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线l重合时所转过的最小正角称为直线l的倾斜角。
注意：(1)直线向上方向； (2)x轴的正方向。
课堂小结
4、直线的倾斜方向和直线斜率之间的关系
课堂小结
直线从左下方向右上方倾斜
直线从左上方向右下方倾斜
直线与x轴平行或重合
直线垂直于x轴
5、直线倾斜角和斜率的关系
课堂小结