苏教版高中数学选择性必修第一册第二章圆与方程2.1圆的方程（第3课时）课件(共41张PPT)

(共41张PPT)
苏教版2019高一数学（选修一）第一章 直线与方程
2.1 圆的方程
第三课时 轨迹问题
学习目标
1.掌握定义法求轨迹方程.
2.掌握直接法求轨迹方程.
3.理解代入法求轨迹方程．
情景导入
已知圆C：x2＋y2＝5，过点M(2,0)的直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的中点的轨迹方程．
上节课我们学习了圆的一般式方程及其应用，你能用所学知识解出这道题吗？
本节课我们就来学习运用多种方法技巧快速求解轨迹方程
1.用定义法求轨迹方程
新知探究
例1　已知圆C：x2＋y2＝5，过点M(2,0)的直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的中点的轨迹方程．
当直线AB的斜率不存在及斜率为0时，P分别与M，C重合，亦有PD＝1.
故弦AB的中点P的轨迹是以D(1,0)为圆心，1为半径的圆，其方程为(x－1)2＋y2＝1.
运用定义法求解轨迹方程
(1)当动点满足到定点的距离等于定长时，直接求圆心、半径得圆的方程．
(2)注意轨迹与轨迹方程不同．
概念归纳
1.如图所示，长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为__________．
x2＋y2＝9
练一练
2.用直接法求轨迹方程
新知探究
课本例4　已知点M(x，y)到两个定点A(－3,0)，B(3,0)的距离之比为2，求x，y满足的关系式，并指出满足条件的点M所构成的曲线．
2.点B(1,1)是圆x2＋y2＝4内一点，P，Q为圆上的动点．若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．
解　设线段PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，PN＝BN.
设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，
∴OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2，
∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，
整理得x2＋y2－x－y－1＝0，
∴线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
练一练
直接法求轨迹方程的两种常见类型及解题策略
直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐标(x，y)，然后根据题目中的等量关系列出x，y之间的关系并化简．主要有以下两类常见题型．
(1)题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程．
(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．
提醒：求出曲线的方程后要注意验证方程的纯粹性和完备性．
概念归纳
x2＋y2＋2x－3＝0
练一练
3.用代入法求轨迹方程
新知探究
例2 已知动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求点P的轨迹方程．
概念归纳
4.设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON(O为坐标原点)为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程．
练一练
解　如图所示，连接OP，MN.
归纳总结
求与圆有关的轨迹问题的方法
(1)直接法:根据已知条件,先抽象出动点间的几何关系,再利用解析几何的有关公式(两点间的距离公式、点到直线的距离公式等)进行整理、化简,即把这种关系“翻译”成含x,y的等式.
(2)定义法:若动点轨迹满足已知曲线的定义,则可先设方程,再确定其中的基本量,进而求出动点的轨迹方程.
(3)相关点法:有些问题中,动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)的运动而运动的,如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点坐标所满足的条件即可求得动点的轨迹方程.
1.已知△ABC的顶点A(0,0),B(6,0).
(1)若CB=2CA,求顶点C的轨迹方程;
(2)若顶点C在曲线y=x2+3上运动,求△ABC的重心的轨迹方程.
分析：(1)设C(x,y),利用两点间的距离公式列方程并化简,即可得轨迹方程;
(2)设△ABC的重心为(m,n),则C(3m-6,3n),代入y=x2+3并化简,
即可得重心的轨迹方程.
灵活选用适合的方法解决动点问题
解析 (1)设C(x,y),由CB=2CA,得(x-6)2+y2=4(x2+y2),整理得x2+y2+4x-12=0,
又A,B,C三点不能共线,所以C的轨迹方程为x2+y2+4x-12=0(y≠0).
(2)设△ABC的重心为(m,n),则C(3m-6,3n),
由顶点C在曲线y=x2+3上运动,得3n=(3m-6)2+3,所以n=3(m-2)2+1,
则重心的轨迹方程为3(x-2)2-y+1=0.
方法技巧 若除了求轨迹方程的动点外,无其他动点,一般考虑直接法;若有多个动点,且其坐标之间存在一定关系,则考虑用相关点法,注意此时设要求轨迹的动点坐标.
1.建立平面直角坐标系的一般原则
(1)原点取在某一定点处,坐标轴为某定直线或定线段所在直线或图形的对称轴;
(2)尽量充分利用图形的对称性;
(3)设出各点的坐标,使未知参数尽量少.
归纳总结
求与圆的方程有关的实际问题
2.用坐标法解决与圆的方程有关的实际问题的步骤
审题
建系
求解
还原
认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确题中已知和待求的数据
建立适当的平面直角坐标系，通过点的坐标及已知条件，求出几何模型的方程
利用直线、圆的性质等有关知识求解
将运算结果还原为对实际问题的解释
1．若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为(－3,0)和(7,0)，则直角顶点C的轨迹方程为(　　)
A．x2＋y2＝25(y≠0)
B．x2＋y2＝25
C．(x－2)2＋y2＝25(y≠0)
D．(x－2)2＋y2＝25
C
随堂练
2．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
A
随堂练
3．已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍，则点M的轨迹方程是__________．
4．设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是____________________________．
x2＋y2＝16
x2＋y2－4x＋2y＋1＝0
随堂练
5.(2023湖南长沙市实验中学月考)当点P在圆x2+y2=1上运动时,连接点P与点Q(3,0),则线段PQ的中点M的轨迹方程为　　　　　　　　 .
6.(2023吉林长春期末)已知两定点A,B的距离为3,动点M满足MA=2MB,则点M的轨迹围成区域的面积为　　　　.
随堂练
7.已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半.
(1)求动点M的轨迹方程;
(2)若N为线段AM的中点,求点N的轨迹.
随堂练
7.已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半.
(1)求动点M的轨迹方程;
(2)若N为线段AM的中点,求点N的轨迹.
随堂练
分层练习-基础
1．已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且AB＝6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝9
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝9
C．(x＋1)2＋(y－1)2＝9
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝9
2．已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，则圆C的圆心的轨迹是(　　)
A．点 B．直线
C．线段 D．圆
B
D
分层练习-基础
3．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，若动点P满足PA＝2PB，则点P的轨迹为(　　)
A．直线 B．线段
C．圆 D．半圆
4．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是(　　)
A．x2＋y2＝4
B．x2－y2＝4
C．x2＋y2＝4(x≠±2)
D．x2－y2＝4(x≠±2)
C
C
分层练习-基础
5．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B的距离之比是常数λ(λ>0，λ≠1)的点M的轨迹是圆．若两定点A，B的距离为3，动点M满足MA＝2MB，则点M的轨迹围成区域的面积为(　　)
A．π B．2π C．3π D．4π
D
分层练习-基础
6．已知等腰三角形ABC的底边BC对应的顶点是A(4,2)，底边的一个端点是B(3,5)，则底边另一个端点C的轨迹方程是(　　)
A．(x－4)2＋(y－2)2＝10
B．(x＋4)2＋(y－2)2＝10
C．(x－4)2＋(y－2)2＝10(x≠3，x≠5)
D．(x＋4)2＋(y－2)2＝10(x≠3，x≠5)
7.已知圆O：x2＋y2＝4及一点P(－1,0)，Q在圆O上运动一周，PQ的中点M形成轨迹C，则轨迹C的方程为__________________________．
C
分层练习-基础
8．圆x2＋y2＝8内有一点P(2，－1)，AB为过点P的弦，则AB的中点Q的轨迹方程为______________________．
x2＋y2－2x＋y＝0
9．已知圆(x＋1)2＋y2＝2上一动点A，x轴上一定点B(2,0)，将BA延长到点M，使AM＝BA，求动点M的轨迹方程．
分层练习-基础
10．已知圆C：x2＋y2－8x＋12＝0，点O是坐标原点，点A是圆C上一动点．
(1)求线段OA的中点M的轨迹方程；
(2)设P(x，y)是(1)中轨迹上一点，求的最大值和最小值．
分层练习-巩固
11．在等腰三角形ABC中，若一腰的两个端点分别是A(4,2)，B(－2,0)，A为顶点，则另一腰的一个端点C的轨迹方程是(　　)
A．x2＋y2－8x－4y＝0
B．x2＋y2－8x－4y－20＝0(x≠－2，x≠10)
C．x2＋y2＋8x＋4y－20＝0(x≠－2，x≠10)
D．x2＋y2－8x－4y＋20＝0(x≠－2，x≠10)
12．已知△ABC的顶点A(0,0)，B(4,0)，且AC边上的中线BD的长为3，则顶点C的轨迹方程是_____________________
　(x－8)2＋y2＝36(y≠0)
B
分层练习-巩固
13．存在如下结论：平面内到两定点距离的之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．现已知在平面直角坐标系中A(－2,0)，B(2,0)，动点P满足PA＝λPB(λ>0)，若点P的轨迹为一条直线，则λ＝______；
若λ＝2，则点P的轨迹方程为________________________．
分层练习-巩固
14．在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2,4)，过点P的直线l与圆O：x2＋y2＝4交于不同的两点A，B.若线段AB的中点为M，则点M的轨迹方程为______________________________．
分层练习-拓展
15.树林的边界是直线l(如图CD所在的直线)，一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l的垂线AC上的点A和点B处，AB＝BC＝a(a为正常数)，若兔子沿AD方向以速度2μ(μ为正常数)向树林逃跑，同时狼沿线段BM(M∈AD)方向以速度μ进行追击，若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间，狼就会吃掉兔子，则兔子的所有不幸点(即可能被狼吃掉的点)的区域面积S(a)＝________.
分层练习-拓展
分层练习-拓展
16．平面上有一条长度为定值k(k>0)的线段AB，到线段AB两个端点距离的平方和为k的点的轨迹是什么图形？说明理由．
课堂小结
1．本节归纳：
(1)定义法求轨迹方程．
(2)直接法求轨迹方程．
(3)代入法求轨迹方程．
2．方法总结：数形结合．
3．易错误区：将求轨迹方程与求轨迹混淆．