苏教版高中数学选择性必修第一册第二章圆与方程2.3圆与圆的位置关系 课件(共48张PPT)

(共48张PPT)
苏教版2019高一数学（选修一）第一章 直线与方程
2.3 圆与圆的位置关系
学习目标
1.了解圆与圆的位置关系.
2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.
3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题．
情景导入
日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日．
日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生．
日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食．
我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？
前面我们运用直线的方程、圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系．
1.圆与圆之间的位置关系
新知探究
观察与思考：
你认为圆与圆之间存在几种的位置关系呢？
通过观察我们可以发现，圆与圆之间存在五种位置关系：外离 、 外切 、 相交 、 内切和内含.
思考与探究：
我们知道在平面直角坐标系中，圆可以用方程来表示，那么该如何通过圆的方程去判断这两个圆之间的位置关系呢？
第一步：计算两圆的半径r ，r ；
第二步：计算两圆的圆心距 d；
第三步：根据d与r ，r 之间的关系，判断两圆的位置关系.
位置关系 图形
d
r1
r2
d
r1
r2
d
r1
r2
d
r1
r2
d>r1+r2
d=r1+r2
|r1-r2|d=|r1-r2|
d<|r1-r2|
外离
外切
相交
内切
内含
d与r1,r2的关系
d
r1
r2
根据上节课所学内容你是否还有第二种方法呢？
概念归纳
我们还可以使用代数法求解圆与圆之间的位置关系
我们由此可以发现两圆不同的位置关系，它们的公共点的个数各不相同
因此我们设两圆的一般方程为
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)，
联立方程得
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
概念归纳
方程组解的个数 2组 1组 0组
两圆的公共点个数 2个 1个 0个
两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含
注意：
(1)利用代数法判断两圆的位置关系时，当方程无解或有一解时，无法判断两圆的位置关系．
(2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法．
例1.判断下列两个圆的位置关系：
(1)(x＋2)2＋(y－2)2＝1与(x－2)2＋(y－5)2＝16；
(2)x2＋y2－2x－3＝0与x2＋y2－4x＋2y＋3＝0.
课本例题
例1.判断下列两个圆的位置关系：
(2)x2＋y2－2x－3＝0与x2＋y2－4x＋2y＋3＝0.
课本例题
判断两圆的位置关系，比较圆心距与两圆半径的和与差的绝对值的大小关系.
例1.判断下列两个圆的位置关系：
(2)x2＋y2－2x－3＝0与x2＋y2－4x＋2y＋3＝0.
课本例题
例2.求过点 A（0，6）且与圆 C:x +y +10x+10y=0 相切于原点的圆的方程.
分析：所求圆经过原点和 A（0，6），且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上.根据这三个条件可确定圆的方程.
课本例题
解：将圆 C的方程化为标准方程，得
（x+5） +（y+5） = 50，
例2.求过点 A（0，6）且与圆 C:x +y +10x+10y=0 相切于原点的圆的方程.
由题意知，O（0，0），A（0，6）在所求圆上，且圆心 M（a，b）在直线x-y= 0 上，则有
因此，所求圆的方程是（x—3） +（у—3） = 18.
课本例题
典例剖析
例3.当实数k为何值时，两圆
C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0
相交、相切、外离？
典例剖析
判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤
(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径．
(2)计算两圆圆心的距离d.
(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．
概念归纳
1.已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，
圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0.
(1)当m为何值时，圆C1与圆C2外切？
(2)当圆C1与圆C2内含时，求m的取值范围？
练一练
判断两圆位置关系
几何方法
两圆心坐标及半径（配方法）
圆心距d
（两点间距离公式）
比较d和r1，r2的大小，下结论
代数方法
消去y（或x）
概念归纳
2.两圆相切问题
新知探究
问题1　圆与圆相切包含哪几种情况？
问题2　如何判断两圆是否相切？
答：　内切和外切两种情况
答：(1)几何法．利用圆心距d与两半径r1，r2之间的关系求得，d＝r1＋r2为外切，d＝|r1－r2|为内切．
(2)代数法．将两圆联立消去x或y得到关于y或x的一元二次方程，利用Δ来判断，当Δ＝0时相切．
处理两圆相切问题的两个步骤
(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论．
(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)．
概念归纳
例4.已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20a－20＝0.
(1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点；
典例剖析
例5.已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20a－20＝0.
(2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值．
典例剖析
通过圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题．
练一练
3.两圆相交问题
新知探究
问题3　当两圆相交时，如何求出公共弦所在的直线方程？
问题4　两圆公共弦长如何求得？
答：将两个方程化成一般式，然后作差即可求得．
例6.已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
典例剖析
例7.已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
典例剖析
(1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线的方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数．
(2)求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解．
(3)已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．
概念归纳
3.圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为________________．
练一练
(x－3)2＋(y＋1)2＝16
(或x2＋y2－6x＋2y－6＝0)
练一练
练一练
随堂练
1．圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0与圆C2：x2＋y2－4x－4y－1＝0的位置关系是(　　)
A．外离 B．外切 C．相交 D．内含
2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是(　　)
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
C
C
3．已知点P在圆O：x2＋y2＝1上运动，点Q在圆C：(x－3)2＋y2＝1上运动，则PQ的最小值为______．
4．已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆C2：x2＋y2＝1，则过圆C1与圆C2的两个交点且过原点O的圆的方程为______________．
随堂练
1
x2＋y2－x－2y＝0
分层练习-基础
1．圆O1：x2＋y2＝2与圆O2：x2＋y2＋2x－2y＝0的位置关系是(　　)
A．相交 B．内切
C．外切 D．外离
2．(多选)若圆C1：(x－1)2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－8x＋8y＋m＝0相切，则m等于(　　)
A．16 B．7 C．－4 D．9
A
AC
分层练习-基础
3．已知直线3x＋4y＋4＝0与圆M：x2＋y2－2ax＝0(a>0)相切，则圆M和圆N：(x－1)2＋ (y－1)2＝1的位置关系是(　　)
A．外离 B．外切
C．相交 D．内切
C
A
分层练习-基础
6．(多选)下列圆中与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相切的是(　 　)
A．(x＋2)2＋(y＋2)2＝9
B．(x－2)2＋(y＋2)2＝9
C．(x－2)2＋(y－2)2＝25
D．(x－2)2＋(y＋2)2＝49
D
BCD
分层练习-基础
7．经过直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为______________________．
8．过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是________________．
x2＋y2－3x＋y－1＝0
分层练习-基础
分层练习-基础
10．已知两圆C1：x2＋y2＝4，C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，直线l：x＋2y＝0.
(1)当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时，求r的值；
(2)当r＝1时，求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程．
解　(1)由圆C1：x2＋y2＝4，知圆心C1(0,0)，半径r1＝2，
又由圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，
可得x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0，
两式相减,可得公共弦所在的直线方程为2x＋4y－9＋r2＝0.
因为圆C1与圆C2相交且公共弦长为4，
所以此时相交弦过圆心C1(0,0)，即r2＝9(r>0)，解得r＝3.
分层练习-基础
10．已知两圆C1：x2＋y2＝4，C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，直线l：x＋2y＝0.
(1)当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时，求r的值；
(2)当r＝1时，求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程．
分层练习-巩固
11．过点P(2,3)向圆C：x2＋y2＝1上作两条切线PA，PB，则弦AB所在的直线方程为(　　)
A．2x－3y－1＝0 B．2x＋3y－1＝0
C．3x＋2y－1＝0 D．3x－2y－1＝0
B
ABD
分层练习-基础
13．已知两圆C1，C2和x轴正半轴、y轴正半轴及直线x＋y＝2都相切，则两圆圆心的距离C1C2＝________.
4
14．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1 : x2 ＋y2＝8与圆C2 : x2＋y2＋2x＋y－a＝0相交于A，B两点．若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为__________________．
[7,13]
分层练习-拓展
16．已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0.
(1)若直线l1过定点A(1,1)，且与圆C相切，求直线l1的方程；
(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x－y＋2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程．
分层练习-拓展
16．已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0.
(1)若直线l1过定点A(1,1)，且与圆C相切，求直线l1的方程；
(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x－y＋2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程．
分层练习-拓展
1、两圆的位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
2、两圆位置关系的判断方法
几何法
代数法
3、两圆位置关系性质的应用
4、充分利用圆的性质来优化算法，简化运算
课堂小结