苏教版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线与方程3.1.1椭圆的标准方程 课件(共50张PPT)
文档属性
| 名称 | 苏教版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线与方程3.1.1椭圆的标准方程 课件(共50张PPT) |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 4.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-17 17:49:13 | ||
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文档简介
(共50张PPT)
苏教版2019高二数学（选修一）第三章 圆锥曲线与方程
3.1.1 椭圆的标准方程
1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)
2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)
3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)
学习目标
用一个平面去截圆锥，当平面经过圆锥的顶点时，可得到两条相交直线；当平面与圆锥的轴垂直时，截线（平面与圆锥面的交线）是一个圆．
当改变平面与圆锥轴的夹角时，观察截线的变化情况，并思考：
● 用平面截圆锥还能得到哪些曲线？这些曲线具有哪些几何特征？
情景导入
椭圆
双曲线
抛物线
设椭圆C的两个焦点分别为 F1，F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点 P到F1，F2 的距离之和为2a（2a＞2c）．
如何求椭圆C的方程？
P
F1
F2
新知探究
以F1，F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，则F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0)．
步骤一：建立直角坐标系．
x
y
O
P
F1
F2
步骤二：设动点坐标．
设椭圆上任意一点P的坐标为（x，y），
步骤三：列等式．
根据椭圆定义知：PF1＋PF2＝2a，
步骤四：代入坐标．
即 ．
步骤五：化简方程
两边再平方，得
a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，
整理，得 (a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)．
移项，得 ．
两边平方，得
整理得
步骤五：化简方程
因为a2(a2－c2) ≠0，所以两边同除以a2(a2－c2) ，得
又因为a2－c2＞0，所以可设a2－c2＝b2（b＞0），得 （a＞b＞0）．
由上述过程可知,椭圆上的点的坐标(x，y)都满足上面这个方程.可以证明以上面这个方程的解为坐标的点(x，y)都在已知的椭圆上.
x
y
O
F1（0，－c），F2（0，c）；
PF1＋PF2＝2a；
(x，y)
怎样推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程？
如何根据标准方程，判断焦点在哪个坐标轴上？
（a＞b＞0）
（a＞b＞0）
P(x，y)
P(x，y)
椭圆的焦点位置可由方程中x2与y2的分母的大小来确定，焦点在分母大的项所对应的坐标轴上．
F1
F2
M
x
y
O
F1
F2
M
x
y
O
(x,y)
(焦点在x轴上)
(焦点在y轴上)
以上两种方程都叫作椭圆的标准方程(standard equation ofellipse),其中b =a -c
定义
焦点位置
图形
方程
特点 共同点
不同点
F1
F2
M
x
y
O
F1
F2
M
x
y
O
焦点在x轴上
焦点在y轴上
概念归纳
例1.已知椭圆的两个焦点分别是F1(-3，0)，F2(3，0)，椭圆上一点P到两个焦点的距离之和为10，求椭圆的标准方程．
课本例题
【变式1】已知椭圆的两个焦点的坐标分别是F1(-1，0)，F2(1，0)，椭圆上一点M 到F1，F2的距离之和为4，求该椭圆的标准方程．
课本例题
A
【解析】解：(1)根据题意，两个焦点的坐标分别为F1(0，-2)，F2(0，2)，即c=2，
例3.将圆x2+y2=4上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线．
课本例题
典例剖析
题型一:根据椭圆方程求参数的取值范围
例(1)若方程 表示椭圆,则实数m的取值范围是( )
A.(-9,25) B.(-9,8)∪(8,25)
C.(8,25) D.(8,+∞)
(2)若方程x2-3my2=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数m的取值范围是 .
归纳总结
根据椭圆方程求参数的取值范围
题型二：椭圆中的焦点三角形问题
典例剖析
思路分析(1)由|PF1|+|PF2|是定值,求|PF1|·|PF2|的最大值,可考虑用基本不等式;(2)求焦点三角形的面积,可考虑用定义|PF1|+|PF2|=2a及余弦定理先求|PF1|·|PF2|,再考虑用三角形面积公式求面积.
即122=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.
∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|,
∴122=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|·|PF2|,
∴122=202-3|PF1|·|PF2|,
归纳总结
1.焦点三角形的概念
如图,设M是椭圆上一点,F1,F2为椭圆的焦点,当点M,F1,F2不
在同一条直线上时,它们构成一个三角形——焦点三角形.
2.关于椭圆的焦点三角形问题,可结合椭圆的定义列出|PF1|+|PF2|=2a,利用这个关系式转化求解.因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法.在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等.
3.焦点三角形的常用公式
(1)焦点三角形的周长L=2a+2c.
(2)在△MF1F2中,由余弦定理可得|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|cos θ.
(3)焦点三角形的面积(选择题、填空题可直接应用此公式求解)
题型三：求与椭圆有关的轨迹问题
典例剖析
例.已知B,C是两个定点,|BC|=8,且△ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程.
解 以过B,C两点的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,如图所示.
由|BC|=8可知点B(-4,0),C(4,0).
由|AB|+|AC|+|BC|=18,
得|AB|+|AC|=10>8=|BC|,
因此,点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,这个椭圆上
的点与两焦点的距离之和2a=10,焦距2c=8,但点A不在x轴上.
由a=5,c=4,得b2=a2-c2=25-16=9.
所以点A的轨迹方程为 (y≠0).
归纳总结
求与椭圆有关的轨迹方程常用的方法
(1)定义法:若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义,则可用定义直接求解.
(2)直接法:将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化,列出等式后化简,得出动点的轨迹方程.
(3)相关点法:根据相关点所满足的方程,通过转换求出动点轨迹的方程.
1.在△ABC中，若BC的长为6，周长为16，则顶点A在怎样的曲线上运动？
课本练习
【解析】解：设P到右焦点的距离为x,
则根据题意可得x+7=2a=20，
∴x=13，
故点P到右焦点的距离为13．
分层练习-基础
D
C
B
4．椭圆9x2＋16y2＝144的焦点坐标为__________．
分层练习-巩固
分层练习-拓展
定义
焦点位置
图形
方程
特点 共同点
不同点
F1
F2
M
x
y
O
F1
F2
M
x
y
O
焦点在x轴上
焦点在y轴上
课堂小结
苏教版2019高二数学（选修一）第三章 圆锥曲线与方程
3.1.1 椭圆的标准方程
1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)
2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)
3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)
学习目标
用一个平面去截圆锥，当平面经过圆锥的顶点时，可得到两条相交直线；当平面与圆锥的轴垂直时，截线（平面与圆锥面的交线）是一个圆．
当改变平面与圆锥轴的夹角时，观察截线的变化情况，并思考：
● 用平面截圆锥还能得到哪些曲线？这些曲线具有哪些几何特征？
情景导入
椭圆
双曲线
抛物线
设椭圆C的两个焦点分别为 F1，F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点 P到F1，F2 的距离之和为2a（2a＞2c）．
如何求椭圆C的方程？
P
F1
F2
新知探究
以F1，F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，则F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0)．
步骤一：建立直角坐标系．
x
y
O
P
F1
F2
步骤二：设动点坐标．
设椭圆上任意一点P的坐标为（x，y），
步骤三：列等式．
根据椭圆定义知：PF1＋PF2＝2a，
步骤四：代入坐标．
即 ．
步骤五：化简方程
两边再平方，得
a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，
整理，得 (a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)．
移项，得 ．
两边平方，得
整理得
步骤五：化简方程
因为a2(a2－c2) ≠0，所以两边同除以a2(a2－c2) ，得
又因为a2－c2＞0，所以可设a2－c2＝b2（b＞0），得 （a＞b＞0）．
由上述过程可知,椭圆上的点的坐标(x，y)都满足上面这个方程.可以证明以上面这个方程的解为坐标的点(x，y)都在已知的椭圆上.
x
y
O
F1（0，－c），F2（0，c）；
PF1＋PF2＝2a；
(x，y)
怎样推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程？
如何根据标准方程，判断焦点在哪个坐标轴上？
（a＞b＞0）
（a＞b＞0）
P(x，y)
P(x，y)
椭圆的焦点位置可由方程中x2与y2的分母的大小来确定，焦点在分母大的项所对应的坐标轴上．
F1
F2
M
x
y
O
F1
F2
M
x
y
O
(x,y)
(焦点在x轴上)
(焦点在y轴上)
以上两种方程都叫作椭圆的标准方程(standard equation ofellipse),其中b =a -c
定义
焦点位置
图形
方程
特点 共同点
不同点
F1
F2
M
x
y
O
F1
F2
M
x
y
O
焦点在x轴上
焦点在y轴上
概念归纳
例1.已知椭圆的两个焦点分别是F1(-3，0)，F2(3，0)，椭圆上一点P到两个焦点的距离之和为10，求椭圆的标准方程．
课本例题
【变式1】已知椭圆的两个焦点的坐标分别是F1(-1，0)，F2(1，0)，椭圆上一点M 到F1，F2的距离之和为4，求该椭圆的标准方程．
课本例题
A
【解析】解：(1)根据题意，两个焦点的坐标分别为F1(0，-2)，F2(0，2)，即c=2，
例3.将圆x2+y2=4上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线．
课本例题
典例剖析
题型一:根据椭圆方程求参数的取值范围
例(1)若方程 表示椭圆,则实数m的取值范围是( )
A.(-9,25) B.(-9,8)∪(8,25)
C.(8,25) D.(8,+∞)
(2)若方程x2-3my2=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数m的取值范围是 .
归纳总结
根据椭圆方程求参数的取值范围
题型二：椭圆中的焦点三角形问题
典例剖析
思路分析(1)由|PF1|+|PF2|是定值,求|PF1|·|PF2|的最大值,可考虑用基本不等式;(2)求焦点三角形的面积,可考虑用定义|PF1|+|PF2|=2a及余弦定理先求|PF1|·|PF2|,再考虑用三角形面积公式求面积.
即122=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.
∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|,
∴122=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|·|PF2|,
∴122=202-3|PF1|·|PF2|,
归纳总结
1.焦点三角形的概念
如图,设M是椭圆上一点,F1,F2为椭圆的焦点,当点M,F1,F2不
在同一条直线上时,它们构成一个三角形——焦点三角形.
2.关于椭圆的焦点三角形问题,可结合椭圆的定义列出|PF1|+|PF2|=2a,利用这个关系式转化求解.因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法.在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等.
3.焦点三角形的常用公式
(1)焦点三角形的周长L=2a+2c.
(2)在△MF1F2中,由余弦定理可得|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|cos θ.
(3)焦点三角形的面积(选择题、填空题可直接应用此公式求解)
题型三：求与椭圆有关的轨迹问题
典例剖析
例.已知B,C是两个定点,|BC|=8,且△ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程.
解 以过B,C两点的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,如图所示.
由|BC|=8可知点B(-4,0),C(4,0).
由|AB|+|AC|+|BC|=18,
得|AB|+|AC|=10>8=|BC|,
因此,点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,这个椭圆上
的点与两焦点的距离之和2a=10,焦距2c=8,但点A不在x轴上.
由a=5,c=4,得b2=a2-c2=25-16=9.
所以点A的轨迹方程为 (y≠0).
归纳总结
求与椭圆有关的轨迹方程常用的方法
(1)定义法:若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义,则可用定义直接求解.
(2)直接法:将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化,列出等式后化简,得出动点的轨迹方程.
(3)相关点法:根据相关点所满足的方程,通过转换求出动点轨迹的方程.
1.在△ABC中，若BC的长为6，周长为16，则顶点A在怎样的曲线上运动？
课本练习
【解析】解：设P到右焦点的距离为x,
则根据题意可得x+7=2a=20，
∴x=13，
故点P到右焦点的距离为13．
分层练习-基础
D
C
B
4．椭圆9x2＋16y2＝144的焦点坐标为__________．
分层练习-巩固
分层练习-拓展
定义
焦点位置
图形
方程
特点 共同点
不同点
F1
F2
M
x
y
O
F1
F2
M
x
y
O
焦点在x轴上
焦点在y轴上
课堂小结