苏教版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线与方程3.2.1双曲线的标准方程课件
文档属性
| 名称 | 苏教版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线与方程3.2.1双曲线的标准方程课件 |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 4.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-17 17:53:29 | ||
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文档简介
(共44张PPT)
苏教版2019高二数学（选修一）第三章 圆锥曲线与方程
3.2.1 双曲线及其标准方程
学习目标
1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点)
2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点)
3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点)
1. 椭圆的定义
和
等于常数
2a （ 2a＞|F1F2|＞0）
的点的轨迹.
平面内与两定点F1、F2的距离的
2．引入问题
差
等于常数
的点的轨迹是什么呢？
平面内与两定点F1、F2的距离的
|MF1|＋|MF2|＝2a（ 2a＞|F1F2|＞0）
y
x
情景导入
如图①所示,取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点F1,F2上,把笔尖放在点M处,随着拉链逐渐拉开或者闭拢,笔尖所经过的点就画出一条曲线,这就是双曲线的一支.把两个固定点的位置交换,如图②所示,类似可以画出双曲线的另一支.这两条曲线合起来叫做双曲线.
双曲线上的点到两定点F1,F2的距离有何特点
情景导入
①如图（A），
|MF1|－|MF2|＝|F2F|＝2a，
②如图（B），
上面两条合起来叫作双曲线．
由①②可得：
| |MF1|－|MF2| | ＝2a，
（差的绝对值）
|MF2|－|MF1|＝|F1F|＝2a，
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点；
② |F1F2|=2c ——焦距．
（1）2a＜2c ；
O
F
2
F
1
M
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱ ）的点的轨迹叫作双曲线．
（2）2a＞0 ；
双曲线定义
思考：
（1）若2a＝2c，则轨迹是什么？
（2）若2a＞2c，则轨迹是什么？
说明
（3）若2a＝0，则轨迹是什么？
｜ |MF1|－|MF2| ｜＝2a
（1）两条射线．
（2）不表示任何轨迹．
（3）线段F1F2的垂直平分线．
新知探究
求曲线方程的步骤：
双曲线的标准方程
1. 建系.
以F1，F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系．
2.设点．
设M（x ， y），则F1（－c，0），F2（c，0）．
3.列式
|MF1| －|MF2|＝±2a．
4.化简
O
F
2
F
1
M
此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程
思考 类比椭圆，请思考焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？
O
M
这个方程也是双曲线的标准方程，它表示焦点在y轴上，焦点坐标分别是F1(0, -c), F2(0, c)的双曲线，这里c2=a2+b2.
例1.已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点到F1，F2的距离之差的绝对值等于8，求该双曲线的标准方程．
课本例题
课本例题
例3.已知A，B两地相距800m,一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处迟2s,设声速为340m/s.
(1)爆炸点在什么曲线上？
(2)求这条曲线的方程．
【解析】解(1)根据题意，设M为爆炸点，
在A处听到爆炸声的时间比在B处迟2s,则有
|MA|-|MB|=340×2=680＜|AB|；
因为爆炸点离A点比离B点距离更远，
所以爆炸点在以A，B为焦点且距B较近的双曲线的一支上；
课本例题
例3.已知A，B两地相距800m,一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处迟2s,设声速为340m/s.
(1)爆炸点在什么曲线上？
(2)求这条曲线的方程．
x
y
o
M
B
A
确定爆炸点或出事地点的位置，在军事上或抢险救灾时都有重要意义.从例3看出,利用两个不同的观测点,可以确定爆炸点所在的曲线，但不能完全确定爆炸点的位置,要有几个观测点才能确定爆炸点的位置呢
答 再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置．这是双曲线的一个重要应用．
课本例题
∴所求公共点的坐标为(-2，0)，(4，3)．
1.在△ABC中，BC的长为2，|AB-AC|=1，试确定点A在怎样的曲线上运动．
【解析】解：因为在△ABC中，BC的长为2，
又|AB-AC|=1＜2，
所以点A在以B，C位焦点，到两个焦点距离之差的绝对值为1的双曲线上运动．
课本练习
2.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)c=5．b=3，焦点在x轴上；
(2)焦点为F1(0，-6)，F2(0，6)，且a=3；
(3)a=4，b=3．
【解析】解：因为双曲线的一个焦点坐标为(0，3)，
所以双曲线的焦点在y轴上，
B
故选：B．
易错警示 双曲线定义的应用
错解分析：出错的根本原因是忽略了双曲线中的一个隐含条件．双曲线上的点到任一焦点的距离都大于等于c－a，从而两解中要舍掉一个．
防范措施：关注隐含条件的应用
在求解双曲线上的点到焦点的距离时，一定要注意隐含的条件，实际上就是定义中的点需要满足的条件．如本例中|PF2|≥2.
典例剖析
题型一：双曲线定义的应用
解 (1)设|MF1|=16,根据双曲线的定义知||MF2|-16|=6,即|MF2|-16=±6.
解得|MF2|=10或|MF2|=22.
归纳总结
题型二：求双曲线的标准方程
典例剖析
思路分析(1)结合a的值设出标准方程的两种形式,将点A的坐标代入求解.
(2)因为焦点相同,所以所求双曲线的焦点也在x轴上,且c2=16+4=20,利用待定系数法求解,或设出统一方程求解.
(3)双曲线焦点的位置不确定,可设出一般方程求解.
归纳总结
(1)若该方程表示双曲线,求实数k的取值范围;
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线,求实数k的取值范围.
思路分析根据双曲线方程的特征建立不等式(组)求解.
题型三：双曲线标准方程的应用
典例剖析
归纳总结
随堂检测
1．已知平面上定点F1，F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，
命题乙：M点的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，则甲是乙的 ( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【答案】D
3．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程的曲线是 ( )
A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线
【答案】D
【答案】A
课堂小结
苏教版2019高二数学（选修一）第三章 圆锥曲线与方程
3.2.1 双曲线及其标准方程
学习目标
1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点)
2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点)
3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点)
1. 椭圆的定义
和
等于常数
2a （ 2a＞|F1F2|＞0）
的点的轨迹.
平面内与两定点F1、F2的距离的
2．引入问题
差
等于常数
的点的轨迹是什么呢？
平面内与两定点F1、F2的距离的
|MF1|＋|MF2|＝2a（ 2a＞|F1F2|＞0）
y
x
情景导入
如图①所示,取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点F1,F2上,把笔尖放在点M处,随着拉链逐渐拉开或者闭拢,笔尖所经过的点就画出一条曲线,这就是双曲线的一支.把两个固定点的位置交换,如图②所示,类似可以画出双曲线的另一支.这两条曲线合起来叫做双曲线.
双曲线上的点到两定点F1,F2的距离有何特点
情景导入
①如图（A），
|MF1|－|MF2|＝|F2F|＝2a，
②如图（B），
上面两条合起来叫作双曲线．
由①②可得：
| |MF1|－|MF2| | ＝2a，
（差的绝对值）
|MF2|－|MF1|＝|F1F|＝2a，
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点；
② |F1F2|=2c ——焦距．
（1）2a＜2c ；
O
F
2
F
1
M
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱ ）的点的轨迹叫作双曲线．
（2）2a＞0 ；
双曲线定义
思考：
（1）若2a＝2c，则轨迹是什么？
（2）若2a＞2c，则轨迹是什么？
说明
（3）若2a＝0，则轨迹是什么？
｜ |MF1|－|MF2| ｜＝2a
（1）两条射线．
（2）不表示任何轨迹．
（3）线段F1F2的垂直平分线．
新知探究
求曲线方程的步骤：
双曲线的标准方程
1. 建系.
以F1，F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系．
2.设点．
设M（x ， y），则F1（－c，0），F2（c，0）．
3.列式
|MF1| －|MF2|＝±2a．
4.化简
O
F
2
F
1
M
此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程
思考 类比椭圆，请思考焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？
O
M
这个方程也是双曲线的标准方程，它表示焦点在y轴上，焦点坐标分别是F1(0, -c), F2(0, c)的双曲线，这里c2=a2+b2.
例1.已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点到F1，F2的距离之差的绝对值等于8，求该双曲线的标准方程．
课本例题
课本例题
例3.已知A，B两地相距800m,一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处迟2s,设声速为340m/s.
(1)爆炸点在什么曲线上？
(2)求这条曲线的方程．
【解析】解(1)根据题意，设M为爆炸点，
在A处听到爆炸声的时间比在B处迟2s,则有
|MA|-|MB|=340×2=680＜|AB|；
因为爆炸点离A点比离B点距离更远，
所以爆炸点在以A，B为焦点且距B较近的双曲线的一支上；
课本例题
例3.已知A，B两地相距800m,一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处迟2s,设声速为340m/s.
(1)爆炸点在什么曲线上？
(2)求这条曲线的方程．
x
y
o
M
B
A
确定爆炸点或出事地点的位置，在军事上或抢险救灾时都有重要意义.从例3看出,利用两个不同的观测点,可以确定爆炸点所在的曲线，但不能完全确定爆炸点的位置,要有几个观测点才能确定爆炸点的位置呢
答 再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置．这是双曲线的一个重要应用．
课本例题
∴所求公共点的坐标为(-2，0)，(4，3)．
1.在△ABC中，BC的长为2，|AB-AC|=1，试确定点A在怎样的曲线上运动．
【解析】解：因为在△ABC中，BC的长为2，
又|AB-AC|=1＜2，
所以点A在以B，C位焦点，到两个焦点距离之差的绝对值为1的双曲线上运动．
课本练习
2.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)c=5．b=3，焦点在x轴上；
(2)焦点为F1(0，-6)，F2(0，6)，且a=3；
(3)a=4，b=3．
【解析】解：因为双曲线的一个焦点坐标为(0，3)，
所以双曲线的焦点在y轴上，
B
故选：B．
易错警示 双曲线定义的应用
错解分析：出错的根本原因是忽略了双曲线中的一个隐含条件．双曲线上的点到任一焦点的距离都大于等于c－a，从而两解中要舍掉一个．
防范措施：关注隐含条件的应用
在求解双曲线上的点到焦点的距离时，一定要注意隐含的条件，实际上就是定义中的点需要满足的条件．如本例中|PF2|≥2.
典例剖析
题型一：双曲线定义的应用
解 (1)设|MF1|=16,根据双曲线的定义知||MF2|-16|=6,即|MF2|-16=±6.
解得|MF2|=10或|MF2|=22.
归纳总结
题型二：求双曲线的标准方程
典例剖析
思路分析(1)结合a的值设出标准方程的两种形式,将点A的坐标代入求解.
(2)因为焦点相同,所以所求双曲线的焦点也在x轴上,且c2=16+4=20,利用待定系数法求解,或设出统一方程求解.
(3)双曲线焦点的位置不确定,可设出一般方程求解.
归纳总结
(1)若该方程表示双曲线,求实数k的取值范围;
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线,求实数k的取值范围.
思路分析根据双曲线方程的特征建立不等式(组)求解.
题型三：双曲线标准方程的应用
典例剖析
归纳总结
随堂检测
1．已知平面上定点F1，F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，
命题乙：M点的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，则甲是乙的 ( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【答案】D
3．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程的曲线是 ( )
A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线
【答案】D
【答案】A
课堂小结