苏教版高中数学选择性必修第一册第四章数列4.1数列课件(共52张PPT)

(共52张PPT)
苏教版2019高二数学（选修一）第四章 数列
4.1数列
学习目标
1.理解数列的有关概念和几种简单的表示方法（重点）
2.发现数列的规律，找出数列可能的通项公式（难点）
3.掌握数列通项公式概念及其应用（重点、难点）
4.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.
大自然这本书是用数学语言写成的。
——伽利略（意大利科学家）
情景导入
树木生长过程中枝丫的数目
果实的个数与排列方式
观察某树木的枝丫数，第一年为1，第二年为1，第三年为2，第四年为3，第五年为5，第六年为8，第七年为13，第八年为21，第九年为34，第十年为55，第十一年为89，第十二年为144……
情景导入
将它们按年份排列起来，就是下面的一列数：
１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，８９，１４４，… 可以发现，这列数有许多规律．例如，从第三个数开始，每一个数 都等于前两个数的和；再如，相邻两个数的比值（前一个数与后一个数之比）越来越接近于某个确定的常数……
上面的研究过程，大致思路是：
（１）首先，用“数”刻画现象中的状态；
（２）将这些数按一定的顺序排成一列（与正整数建立对应关系）；
（３）研究这列数的规律，用这些规律刻画并认识变化的状态和过程．
仿照这个过程，我们可以进一步去研究自然界、社会生活中的类 似现象，探索这些现象背后的规律，以解决具体的实际问题．在研究 过程中，我们
● 应该建立怎样的数学模型来刻画这类现象？
● 用这些数学模型能够解决哪些问题？
某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位，那么各排的座位数依次为
人类在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为
某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为
20,22,24,26,28,…,78. ①
1740,1823,1906,1989,2072，…. ②
1,2,4,8,16，…. ③
新知探究
20,22,24,26,28,…,78. ①
1740,1823,1906,1989,2072，…. ②
1,2,4,8,16，…. ③
都是按照一定次序排列的一列数。
数列的定义：
按照一定次序排列的一列数称为数列。
7, 7, 7, 7,…
-1, 1,-1, 1, -1,…
这两组数也是数列吗？
1.数列的定义：
按照一定次序排列的一列数称为数列。
数列中的每个数叫做这个数列的项。
数列中的第一个数叫做这个数列的第1项或首项。
各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，···，第n项 。
2.数列的项：
3.数列的首项：
4.数列的表示形式：
a1，a2，a3，··· an，···，简记为{an}，
其中a1称为数列{an} 的第1项或首项，a2称为第2项，··· an称为第n项。
概念归纳
问题1：数列{an}与an的区别是什么？
符号{an}和an是不同的概念，{an}表示一个数列，而an表示数列中的第n项。
问题2：
数列{an}的书写形式与数集相类似.两者之间的区别与联系什么？
(1)数列与数集都是具有某种共同属性的数的全体；
点睛：数列是按一定的“顺序”排列的一列数，有序性是数列的基本属性；
数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列，
如：1，2，3，···与3，2，1，···就是不同的数列。
(2)数列中的数是有顺序、可重复的
(3)数集中的数是无序、不可重复的
数列的分类1(按项数)：
(1)有穷数列：项数有限的数列；
(2)无穷数列：项数无限的数列。
20,22,24,26,28,…,78. ①
1740,1823,1906,1989,2072，…. ②
1,2,4,8,16，…. ③
问题3：在以上数列中，数列①和数列②、③有什么区别？
例1　已知数列的第n项an为2n－1，写出这个数列的首项、第2项和第3项．
解： 首项为a1＝2×1－1＝1；
第2项为a2＝2×2－1＝3；
第3项为a3＝2×3－1＝5.
课本例题
如果数列{an} 的第n项an与序号n之间可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，通常记为an＝f(n)(n∈N*)。
数列的通项公式：
问题4：通项公式的本质是什么？
概念归纳
在一个数列中，知道了项数就能确定项：
你发现了什么？
一一对应
数列是一种特殊的函数
定义域：
值域：
对应法则：
函数图象：
N+
离散的点
通项公式的本质是函数
例2　已知数列{an}的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象．
课本例题
你能说说本例中的数列有何性质？
(1)数列的每一项逐渐变大
(2)数列的每一项逐渐变小
(3)数列的每一项来回摆动
数列的分类2(按变化趋势)：
(1)递增数列：数列中的每一项都逐渐变大的数列；
(2)递减数列：数列中的每一项都逐渐变小的数列。
(3)摆动数列：数列中的每一项都来回摆动的数列。
数列递推公式的定义：
一般地，如果已知一个数列{an}的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的递推公式，递推公式也是给定数列的一种方法。
解： (1) 因为a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1＋2an，其中n∈N*，
所以a3＝a2＋2a1＝2＋2×1＝4，
a4＝a3＋2a2＝4＋2×2＝8，
a5＝a4＋2a3＝8＋2×4＝16，
所以数列{an} 的前5项依次为1,2,4,8,16.
课本例题
所以

课本例题
例4.你能根据数列的前4项，写出数列的一个通项公式吗？
分析：（1）绝对值：


课本例题
例4.你能根据数列的前4项，写出数列的一个通项公式吗？
（2）这个数列的奇数项是0，偶数项是2，所以它的一个通项公式是：
解：（1）这个数列前4项的绝对值都是分数，分子都为1，分母都等于序号与序号加1的积，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式是：
课本例题
2.根据数列{an}的通项公式，写出它的前5项：
(1)an=1-3n；
(2)an=(-1)n2n.
【解析】解：∵(1)an=1-3n,
故前5项分别为：-2，-5，-8，-11，-14；
(2)an=(-1)n2n.
故前5项分别为：-2，4，-6，8，-10．
课本练习
3.根据数列{an}的通项公式，写出它的第6项和第10项：
(1)an=n2+n；
(2)an=5-2n-1．
【解析】解：(1)∵an=n2+n,
∴a6=42，a10=110，
(2)∵an=5-2n-1．
∴a6=-27，a10=5-512=-507．
4.37是否为数列{3n+1}中的项？如果是，是第几项？
【解析】解：由3n+1=37可得n=12，
故37是{3n+1}的递12项．

【解析】解：(1)-1，2，-3，4，则an=(-1)nn；
(2)2，4，6，8，则an=2n；(3)1，4，9，16，则an=n2，
错因分析
易错辨析　忽视数列中n∈N＋致错
已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，则an的最小值为________．
-2
错因分析
出错原因 纠错心得
数列的定义域是正整数集合时，是特殊的函数，所以解题时一定不要忘记n∈N＋这一条件．
【易错警示】
错因分析
1.已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋tn，若数列{an}为递增数列，则t的取值范围是____________．
(－3，＋∞)
易错辨析　用函数思想解题时忽略数列的特征而致错
解析：方法一　由数列{an}为递增数列，知
an＋1－an＝(n＋1)2＋t(n＋1)－(n2＋tn)＝2n＋1＋t>0恒成立，
即t>－(2n＋1)恒成立．
而n∈N＋，所以t>－3，
故t的取值范围是(－3，＋∞)．
错因分析
【易错警示】
纠错心得：用函数思想解决数列的问题时，特别是研究数列的单调性时，应注意数列的特征．要能够恰当利用函数的性质，通过数形结合来求解
典例剖析
题型1　数列的概念
例1　下列说法正确的是(　　)
A．数列4，7，3，4的首项是4
B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3
C．数列3，6，8可以表示为{3，6，8}
D．a，－3，－1，1，b，5，7，9，11一定能构成数列
A
解析：
(1)根据数列的相关概念，可知数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确；
同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误；
数列和数的顺序有关，集合中元素具有无序性，故C错误；
当a，b都代表数时，能构成数列，当a，b中至少有一个不代表数时，不能构成数列，因为数列是按确定的顺序排列的一列数，故D错误．
数列的判断技巧
①集合中的数是无序的，元素又是互异的；而数列中的数是严格按照顺序排列的，项与项可以是相同的；
②组成数列的数相同，而且排列次序也相同，满足这两个条件才是相同的数列．
概念归纳
典例剖析
题型2　观察法写出数列的通项公式
观察法写出数列的通项公式的策略
概念归纳
典例剖析
题型3　数列通项公式的简单应用
归纳总结
1．利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．
2．判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．
典例剖析
题型4　根据递推公式求数列的项
A
(2)[2022·湖南雅礼中学高二期中]如图①至图④，作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的每一个小三角形中又挖去一个“中心三角形”，以此类推，如果我们用着色三角形代表挖去的部分，那么剩下的白三角形则称为谢尔宾斯基三角形，该概念由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出．下列4个图形中，若着色三角形的个数依次构成数列{an}的前4项，则a6＝________．
364
解析： 依题意可知a1＝1，a2＝4，a3＝13，a4＝40，且an＋1＝3an＋1，
所以a5＝3a4＋1＝3×40＋1＝121，a6＝3a5＋1＝3×121＋1＝364.
例5　(1)对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N＋)都成立．试根据这一结论，完成问题：
已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，求通项an；
解析：n≥2时，
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋2＋2＋…＋2(n－1)个2＝2(n－1)＋1＝2n－1.
a1＝1也适合上式，
所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1.
典例剖析
题型5　数列递推公式与通项公式的关系
由数列的递推公式求通项公式的两种方法
归纳总结

典例剖析
题型6　数列单调性的判断

判断数列单调性的四种方法
归纳总结

典例剖析
题型7　求数列的最大(最小)项
归纳总结
【答案】 A
随堂检测
【答案】 B
【答案】 ABC
3. (多选)(2023清镇博雅国际实验学校月考)数列2,0,2,0，…的通项公式可以是(　　)
【解析】 对于A，a1＝2，a2＝0，a3＝2，a4＝0，符合题意，故A正确；对于B，a1＝2，a2＝0，a3＝2，a4＝0，符合题意，故B正确；对于C，a1＝2，a2＝0，a3＝2，a4＝0，符合题意，故C正确；对于D，a1＝0，a2＝2，a3＝0，a4＝2，不符合题意，故D错误．故选ABC.
【答案】 ACD
4.(多选)(2023湖南百校大联考)甲同学通过数列3,5,9,17,33，…的前5项，得到该数列的一个通项公式为an＝2n＋m，根据甲同学得到的通项公式，下列结论中正确的是(　　)
A. m＝1 B. m＝2
C. 该数列为递增数列 D. a6＝65
【解析】 由a1＝21＋m＝3，得m＝1，则an＝2n＋1，经检验，符合题意，故A正确，B错误；因为 an－an－1＝2n－2n－1＝2n－1>0，所以该数列为递增数列，故C正确；a6＝26＋1＝65，故D正确. 故选ACD.
【答案】 2
6. 数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.
(1) 这个数列的第4项是多少？
(2) 150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
【解析】 (1) 因为数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6，
所以这个数列的第4项是a4＝42－7×4＋6＝－6.
(2) 令an＝n2－7n＋6＝150，即n2－7n－144＝0，
解得n＝16或n＝－9(舍去)，
所以150是这个数列的项，是第16项．