2024-2025人教版（2019）高中数学选择性必修一2.4圆的方程 题型总结（含解析）
文档属性
| 名称 | 2024-2025人教版（2019）高中数学选择性必修一2.4圆的方程 题型总结（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 64.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-17 22:13:01 | ||
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文档简介
2.4圆的方程题型总结
【题型1 求圆的标准方程】
【例1】圆心为且过点的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1.1】 已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，则圆C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1.2】已知点和点，则以为直径的圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1.3】过三点的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【题型2 求圆的一般方程】
【例2】已知、，则以为直径的圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2.1】已知，，，则的外接圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2.2】 过三点的圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2.3】求以为圆心，且经过点的圆的一般方程（ ）
A． B．
C． D．
【题型3 由圆的方程确定圆心和半径】
【例3】已知圆，则其圆心和半径分别为（ ）
A． B． C． D．
【变式3.1】圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式3.2】圆的圆心坐标与半径分别为（ ）
A． B． C． D．
【变式3.3】若的三个顶点坐标分别为，，，则外接圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【题型4 二元二次方程表示圆的条件】
【例4】已知曲线表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4.1】已知方程表示圆，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式4.2】若方程表示圆，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4.3】若是一个圆的方程，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型5 圆过定点问题】
【例5】圆恒过的定点为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5.1】若圆过坐标原点，则实数m的值为（ ）
A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1
【变式5.2】点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【变式5.3】对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ．
【题型6 点与圆的位置关系】
【例6】已知点在圆外，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．∪
【变式6.1】若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6.2】已知坐标原点不在圆的内部，则的取值可能为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【变式6.3】已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【题型7 圆有关的轨迹问题】
【例7】已知点是圆上的动点，点，则的中点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7.1】已知为圆：上的动点，点满足，记的轨迹为，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式7.2】 若两定点，，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式7.3】已知定点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【题型8 与圆有关的对称问题】
【例8】已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式8.1】圆关于直线对称后的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式8.2】已知圆关于直线对称，则实数（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【变式8.3】圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2.4圆的方程题型总结答案
【题型1 求圆的标准方程】
【例1】圆心为且过点的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据各项给定圆的方程确定圆心，判断是否在圆上即可.
【解答过程】由的圆心为，A错；
由的圆心为，B错；
由的圆心为，显然点在圆上，C对；
由的圆心为，D错；
故选：C.
【变式1.1】 已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，则圆C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意，由求解.
【解答过程】解：设圆的标准方程为，
由题意得，
解得，
故圆的方程为，
故选：B.
【变式1.2】已知点和点，则以为直径的圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由中点坐标公式求得圆，两点间距离公式求得半径，即可求解
【解答过程】由线段的中点坐标公式，求得圆心.直径.
故以为直径的圆的标准方程为.
故选：C.
【变式1.3】过三点的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】得到三角形是直角三角形，故只需求出三角形外接圆圆心、半径即可.
【解答过程】因为，所以三角形是直角三角形，
其外接圆圆心为的中点，半径为，
故所求为.
故选：D.
【题型2 求圆的一般方程】
【例2】已知、，则以为直径的圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】求出的中点和可得以为直径的圆的圆心坐标和半径，进而得所求圆的标准方程，再将其转化为一般方程即可得解.
【解答过程】已知、，则中点坐标为即.
，
所以以为直径的圆的圆心为，半径为.
所以圆的标准方程为，展开可得，
整理得.
故选：B.
【变式2.1】已知，，，则的外接圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设的外接圆方程为，代入三点坐标求出系数即可.
【解答过程】设的外接圆方程为，
因为，，，
所以，解得，
所以的外接圆方程为.
故选：D.
【变式2.2】过三点的圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设出圆的一般方程，代入点坐标，计算得到答案.
【解答过程】设圆的方程为，将A，B，C三点的坐标代入方程，
整理可得，解得，
故所求的圆的一般方程为，
故选：D．
【变式2.3】求以为圆心，且经过点的圆的一般方程（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意，利用两点间的距离公式求得圆的半径，写出圆的标准方程，进而得到圆的一般方程，得到答案.
【解答过程】由题意得，圆的半径，
所以圆的方程为，
所以圆的一般方程为.
故选：C.
【题型3 由圆的方程确定圆心和半径】
【例3】已知圆，则其圆心和半径分别为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据圆的标准方程的特点确定圆心和半径.
【解答过程】圆的圆心的坐标为，半径为.
故选：C.
【变式3.1】圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】把圆的一般方程化为标准方程即可得到圆心坐标.
【解答过程】由得，故圆心坐标为.
故选：D.
【变式3.2】圆的圆心坐标与半径分别为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】配方后可得圆心坐标和半径．
【解答过程】由圆，可得圆，
所以圆心坐标为，半径为．
故选：D．
【变式3.3】若的三个顶点坐标分别为，，，则外接圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题得是直角三角形，且，即可得到答案。
【解答过程】由题得是直角三角形，且．
所以的外接圆的圆心就是线段的中点，
由中点坐标公式得，．
故选：A.
【题型4 二元二次方程表示圆的条件】
【例4】已知曲线表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据二元二次方程表示圆可得答案.
【解答过程】若曲线表示圆，
则由圆的一般方程可知，，解得或.
故选：B.
【变式4.1】已知方程表示圆，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据方程表示圆的条件列不等式，由此求得的取值范围.
【解答过程】依题意，，
，解得，
所以的取值范围是.
故选：B.
【变式4.2】若方程表示圆，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据圆的一般方程，由求解.
【解答过程】解：因为方程表示圆，
所以，
解得，
故选：B.
【变式4.3】若是一个圆的方程，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用圆的一般方程满足条件来求解即可.
【解答过程】因为是一个圆的方程，
所以，由得: ，
解得，
故选：C.
【题型5 圆过定点问题】
【例5】圆恒过的定点为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果.
【解答过程】圆的方程化为，
由得或，
故圆恒过定点．
故选：D．
【变式5.1】若圆过坐标原点，则实数m的值为（ ）
A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1
【解题思路】把坐标代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆．
【解答过程】将代入圆方程，得，解得或2，当时，，舍去，所以.
故选：A．
【变式5.2】点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【解题思路】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标.
【解答过程】设点，则线段的中点为，
圆的半径为，
所以，以为直径为圆的方程为，
即，即，
由，解得或，
因此，以为直径的圆经过定点坐标为、.
故选：D.
【变式5.3】对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 或 ．
【解题思路】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标．
【解答过程】解：，即，
令，解得，，或，，
所以定点的坐标是或．
故答案为：或.
【题型6 点与圆的位置关系】
【例6】已知点在圆外，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．∪
【解题思路】根据二元二次方程表示圆及点在圆外列不等式求参数范围即可.
【解答过程】圆的方程可化为，则，可得，
又点在圆外，则，可得，
所以.
故选：B.
【变式6.1】若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据点与圆的位置关系以及二元二次方程表示圆的条件可得不等式，解不等式即可．
【解答过程】由已知圆，则，
又点在圆的外部，
则，
即，解得，
故选：C．
【变式6.2】已知坐标原点不在圆的内部，则的取值可能为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【解题思路】根据方程表示圆得，根据原点不在圆内得，解得的取值范围，再逐项判断即可.
【解答过程】依题意，方程表示圆，则，解得.
因为坐标原点不在圆的内部，所以.
综上所述，，结合选项可知A符合题意.
故选：A.
【变式6.3】已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先将圆的一般化为标准方程，再结合点在圆外，得到关于的不等式组，解之即可得解.
【解答过程】由题意得，圆的标准方程为，
故，，
又点在圆外，所以，
，或，
所以m的取值范围为．
故选：D.
【题型7 圆有关的轨迹问题】
【例7】已知点是圆上的动点，点，则的中点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据中点坐标公式，结合相关点法即可求解.
【解答过程】设线段中点，则在圆上运动，
，即．
故选：A.
【变式7.1】已知为圆：上的动点，点满足，记的轨迹为，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设，根据得到，代入圆中，得到轨迹方程.
【解答过程】设，因为，所以，
又在圆：上，
故，即的方程为．
故选：C.
【变式7.2】 若两定点，，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据给定条件求出动点M的轨迹方程，再确定轨迹即可计算作答.
【解答过程】设，依题意，，化简整理得：，
因此，动点M的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，
所以动点M的轨迹围成区域的面积为.
故选：D.
【变式7.3】已知定点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据中点关系，即可将代入圆的方程求解.
【解答过程】设，则，由于在上运动，
故，化简得，
故选：A.
【题型8 与圆有关的对称问题】
【例8】已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据已知圆的方程确定圆心，进而得到线段的中点坐标及的斜率，应用点斜式写出直线方程.
【解答过程】圆的标准方程为：，圆心.
圆的标准方程为：，圆心.
所以线段的中点为，
由题意，为线段的垂直平分线，且，所以，
所以的方程为，则.
故选：D.
【变式8.1】圆关于直线对称后的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】依题意求得圆的圆心关于直线的对称点坐标，即可得出结果.
【解答过程】易知圆的圆心为，
设关于直线对称点为，
所以，解得，
因此对称后圆的圆心为，半径为，
即可得方程为.
故选：A.
【变式8.2】已知圆关于直线对称，则实数（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【解题思路】利用圆的对称性及一般式求出圆心坐标，代入直线方程求参数即可.
【解答过程】由，即，
由题意可知圆心在直线上，代入得.
故选：C.
【变式8.3】圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据对称性求得圆的圆心和半径，进而求得圆的方程.
【解答过程】圆的圆心为，半径为，
关于直线的对称点是，
所以圆的圆心是，半径是，
所以圆的方程为.
故选：D.
【题型1 求圆的标准方程】
【例1】圆心为且过点的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1.1】 已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，则圆C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1.2】已知点和点，则以为直径的圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1.3】过三点的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【题型2 求圆的一般方程】
【例2】已知、，则以为直径的圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2.1】已知，，，则的外接圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2.2】 过三点的圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2.3】求以为圆心，且经过点的圆的一般方程（ ）
A． B．
C． D．
【题型3 由圆的方程确定圆心和半径】
【例3】已知圆，则其圆心和半径分别为（ ）
A． B． C． D．
【变式3.1】圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式3.2】圆的圆心坐标与半径分别为（ ）
A． B． C． D．
【变式3.3】若的三个顶点坐标分别为，，，则外接圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【题型4 二元二次方程表示圆的条件】
【例4】已知曲线表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4.1】已知方程表示圆，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式4.2】若方程表示圆，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4.3】若是一个圆的方程，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型5 圆过定点问题】
【例5】圆恒过的定点为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5.1】若圆过坐标原点，则实数m的值为（ ）
A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1
【变式5.2】点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【变式5.3】对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ．
【题型6 点与圆的位置关系】
【例6】已知点在圆外，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．∪
【变式6.1】若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6.2】已知坐标原点不在圆的内部，则的取值可能为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【变式6.3】已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【题型7 圆有关的轨迹问题】
【例7】已知点是圆上的动点，点，则的中点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7.1】已知为圆：上的动点，点满足，记的轨迹为，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式7.2】 若两定点，，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式7.3】已知定点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【题型8 与圆有关的对称问题】
【例8】已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式8.1】圆关于直线对称后的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式8.2】已知圆关于直线对称，则实数（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【变式8.3】圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2.4圆的方程题型总结答案
【题型1 求圆的标准方程】
【例1】圆心为且过点的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据各项给定圆的方程确定圆心，判断是否在圆上即可.
【解答过程】由的圆心为，A错；
由的圆心为，B错；
由的圆心为，显然点在圆上，C对；
由的圆心为，D错；
故选：C.
【变式1.1】 已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，则圆C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意，由求解.
【解答过程】解：设圆的标准方程为，
由题意得，
解得，
故圆的方程为，
故选：B.
【变式1.2】已知点和点，则以为直径的圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由中点坐标公式求得圆，两点间距离公式求得半径，即可求解
【解答过程】由线段的中点坐标公式，求得圆心.直径.
故以为直径的圆的标准方程为.
故选：C.
【变式1.3】过三点的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】得到三角形是直角三角形，故只需求出三角形外接圆圆心、半径即可.
【解答过程】因为，所以三角形是直角三角形，
其外接圆圆心为的中点，半径为，
故所求为.
故选：D.
【题型2 求圆的一般方程】
【例2】已知、，则以为直径的圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】求出的中点和可得以为直径的圆的圆心坐标和半径，进而得所求圆的标准方程，再将其转化为一般方程即可得解.
【解答过程】已知、，则中点坐标为即.
，
所以以为直径的圆的圆心为，半径为.
所以圆的标准方程为，展开可得，
整理得.
故选：B.
【变式2.1】已知，，，则的外接圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设的外接圆方程为，代入三点坐标求出系数即可.
【解答过程】设的外接圆方程为，
因为，，，
所以，解得，
所以的外接圆方程为.
故选：D.
【变式2.2】过三点的圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设出圆的一般方程，代入点坐标，计算得到答案.
【解答过程】设圆的方程为，将A，B，C三点的坐标代入方程，
整理可得，解得，
故所求的圆的一般方程为，
故选：D．
【变式2.3】求以为圆心，且经过点的圆的一般方程（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意，利用两点间的距离公式求得圆的半径，写出圆的标准方程，进而得到圆的一般方程，得到答案.
【解答过程】由题意得，圆的半径，
所以圆的方程为，
所以圆的一般方程为.
故选：C.
【题型3 由圆的方程确定圆心和半径】
【例3】已知圆，则其圆心和半径分别为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据圆的标准方程的特点确定圆心和半径.
【解答过程】圆的圆心的坐标为，半径为.
故选：C.
【变式3.1】圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】把圆的一般方程化为标准方程即可得到圆心坐标.
【解答过程】由得，故圆心坐标为.
故选：D.
【变式3.2】圆的圆心坐标与半径分别为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】配方后可得圆心坐标和半径．
【解答过程】由圆，可得圆，
所以圆心坐标为，半径为．
故选：D．
【变式3.3】若的三个顶点坐标分别为，，，则外接圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题得是直角三角形，且，即可得到答案。
【解答过程】由题得是直角三角形，且．
所以的外接圆的圆心就是线段的中点，
由中点坐标公式得，．
故选：A.
【题型4 二元二次方程表示圆的条件】
【例4】已知曲线表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据二元二次方程表示圆可得答案.
【解答过程】若曲线表示圆，
则由圆的一般方程可知，，解得或.
故选：B.
【变式4.1】已知方程表示圆，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据方程表示圆的条件列不等式，由此求得的取值范围.
【解答过程】依题意，，
，解得，
所以的取值范围是.
故选：B.
【变式4.2】若方程表示圆，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据圆的一般方程，由求解.
【解答过程】解：因为方程表示圆，
所以，
解得，
故选：B.
【变式4.3】若是一个圆的方程，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用圆的一般方程满足条件来求解即可.
【解答过程】因为是一个圆的方程，
所以，由得: ，
解得，
故选：C.
【题型5 圆过定点问题】
【例5】圆恒过的定点为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果.
【解答过程】圆的方程化为，
由得或，
故圆恒过定点．
故选：D．
【变式5.1】若圆过坐标原点，则实数m的值为（ ）
A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1
【解题思路】把坐标代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆．
【解答过程】将代入圆方程，得，解得或2，当时，，舍去，所以.
故选：A．
【变式5.2】点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【解题思路】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标.
【解答过程】设点，则线段的中点为，
圆的半径为，
所以，以为直径为圆的方程为，
即，即，
由，解得或，
因此，以为直径的圆经过定点坐标为、.
故选：D.
【变式5.3】对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 或 ．
【解题思路】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标．
【解答过程】解：，即，
令，解得，，或，，
所以定点的坐标是或．
故答案为：或.
【题型6 点与圆的位置关系】
【例6】已知点在圆外，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．∪
【解题思路】根据二元二次方程表示圆及点在圆外列不等式求参数范围即可.
【解答过程】圆的方程可化为，则，可得，
又点在圆外，则，可得，
所以.
故选：B.
【变式6.1】若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据点与圆的位置关系以及二元二次方程表示圆的条件可得不等式，解不等式即可．
【解答过程】由已知圆，则，
又点在圆的外部，
则，
即，解得，
故选：C．
【变式6.2】已知坐标原点不在圆的内部，则的取值可能为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【解题思路】根据方程表示圆得，根据原点不在圆内得，解得的取值范围，再逐项判断即可.
【解答过程】依题意，方程表示圆，则，解得.
因为坐标原点不在圆的内部，所以.
综上所述，，结合选项可知A符合题意.
故选：A.
【变式6.3】已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先将圆的一般化为标准方程，再结合点在圆外，得到关于的不等式组，解之即可得解.
【解答过程】由题意得，圆的标准方程为，
故，，
又点在圆外，所以，
，或，
所以m的取值范围为．
故选：D.
【题型7 圆有关的轨迹问题】
【例7】已知点是圆上的动点，点，则的中点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据中点坐标公式，结合相关点法即可求解.
【解答过程】设线段中点，则在圆上运动，
，即．
故选：A.
【变式7.1】已知为圆：上的动点，点满足，记的轨迹为，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设，根据得到，代入圆中，得到轨迹方程.
【解答过程】设，因为，所以，
又在圆：上，
故，即的方程为．
故选：C.
【变式7.2】 若两定点，，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据给定条件求出动点M的轨迹方程，再确定轨迹即可计算作答.
【解答过程】设，依题意，，化简整理得：，
因此，动点M的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，
所以动点M的轨迹围成区域的面积为.
故选：D.
【变式7.3】已知定点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据中点关系，即可将代入圆的方程求解.
【解答过程】设，则，由于在上运动，
故，化简得，
故选：A.
【题型8 与圆有关的对称问题】
【例8】已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据已知圆的方程确定圆心，进而得到线段的中点坐标及的斜率，应用点斜式写出直线方程.
【解答过程】圆的标准方程为：，圆心.
圆的标准方程为：，圆心.
所以线段的中点为，
由题意，为线段的垂直平分线，且，所以，
所以的方程为，则.
故选：D.
【变式8.1】圆关于直线对称后的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】依题意求得圆的圆心关于直线的对称点坐标，即可得出结果.
【解答过程】易知圆的圆心为，
设关于直线对称点为，
所以，解得，
因此对称后圆的圆心为，半径为，
即可得方程为.
故选：A.
【变式8.2】已知圆关于直线对称，则实数（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【解题思路】利用圆的对称性及一般式求出圆心坐标，代入直线方程求参数即可.
【解答过程】由，即，
由题意可知圆心在直线上，代入得.
故选：C.
【变式8.3】圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据对称性求得圆的圆心和半径，进而求得圆的方程.
【解答过程】圆的圆心为，半径为，
关于直线的对称点是，
所以圆的圆心是，半径是，
所以圆的方程为.
故选：D.