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第十四章 全等三角形
14.1 全等三角形及其性质
1．理解全等形、全等三角形的概念，能举例说明生活中的全等形；
2．掌握全等三角形的表示方法，能准确识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角；
3．理解并应用全等三角形的性质解决简单计算问题．
铺设地面的方砖、钢架桥中的三角形结构、足球比赛的场地……，都能在其中找到形状、大小相同的图形的形象．形状、大小相同的图形是全等形．本章我们以全等三角形为例研究全等形，重点学习全等三角形的性质和判定三角形全等的方法．
对开的大门、邮票、设计的图案中都有形状、大小相同的图形的形象，你能再举出一些类似的例子吗？
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合．能够完全重合的两个图形叫作全等形．
能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.
思考1：在图(1)中，把△ABC 沿直线BC 平移，得到△DEF. 在图(2)中，把△ABC 沿直线BC 翻折180°，得到△DBC. 在图(3)中，把△ABC 绕点A 旋转，得到△ADE.各图中的两个三角形全等吗？
一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等．
记作：“△ABC ≌△DEF”，
读作：“△ABC 全等于△DEF”
重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．
全等用符号 “≌”表示，读作“全等于”．
例1：如图，将△ABC沿CB方向平移得到△DFE，则△ABC≌________，∠ABC的对应角是________，∠C的对应角是________，BC的对应边是________．
△DFE
∠DFE
∠DEF
FE
思考2：如图(1)，△ABC≌△DEF，对应边有什么关系？对应角呢？图(2)、(3)中的全等三角形呢？
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
∵△ABC ≌△DEF，
∴AB =DE，BC =EF，AC =DF
（全等三角形的对应边相等），
∠A =∠D，∠B =∠E，∠C =∠F
（全等三角形的对应角相等）．
符号语言：
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
例2：如图所示，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应顶点，∠BAC=65°，∠ABC=26°，AC，BD的延长线相交于点E. 求∠CBD，∠AEB的度数.
解：∵△ABC≌△BAD,
∴∠ABD=∠BAC=65°
∴∠CBD=∠ABD－∠ABC=65°－26°=39°
在△AEB中，∠AEB+∠BAE+∠ABE=180°，
∴∠AEB=180°－∠BAE－∠ABE=180°－65°－65°=50°
1．下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【知识技能类练习】必做题：
C
2．如图，，和，和是对应边，则的对应角是（ ）
A．
B．
C．
D．
【知识技能类练习】必做题：
B
【知识技能类练习】必做题：
3．如图，，点在边上，与相交于点，已知，，，求的度数．
解：，，
，
，
，，
，
，
，
．
【知识技能类练习】选做题：
4．如图，，请根据图中提供的信息，写出 ．
20
【综合拓展类练习】
5．如图，已知，，，，．
(1)求的度数及的长；
(2)与平行吗？说明理由．
【综合拓展类练习】
解：（1），
，，
在中，，
，
，
；
（2），
理由：，
，
．
全等形
全等三角形
全等形
能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形
对应边相等，对应角相等
能够完全重合的两个图形叫作全等形
1．下列图标中，不是由全等图形组合成的是（ ）
A． B． C． D．
【知识技能类作业】必做题：
C
【知识技能类作业】必做题：
2．如图，，点共线，和交于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
A
【知识技能类作业】必做题：
3．如图，已知，，，，求的度数和的长．
解：，，
，
，
，，
，即，
，
【知识技能类作业】选做题：
4．如图，与全等，可以确定与 是对应角，若与是对应边，则与 是对应边．
【综合拓展类作业】
5．如图，已知，是锐角，，，延长交于点F，交于点G．
(1)判断直线与是否垂直？请说明理由；
(2)若，求的度数．
【综合拓展类作业】
解：（1），理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【综合拓展类作业】
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴
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分课时教学设计
第一课时《14.1 全等三角形及其性质》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课教学内容是全等三角形的相关概念及其性质，是本章的基础。教材从生活实例引入全等形的概念，明确“形状、大小相同且能完全重合的图形”这一核心特征；进而定义全等三角形，通过平移、翻折、旋转三种图形变换实例，说明变换前后的三角形全等，强化“形状和大小不变”的本质。在此基础上，重点阐述全等三角形的对应元素：对应顶点、对应边、对应角，强调表示全等时“对应顶点字母写在对应位置”的规范；最后总结全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等，并通过例题展示性质在角度计算中的应用，配套练习和习题从识别对应元素、计算边长角度等方面巩固知识。本课是后续学习三角形全等判定、角平分线性质的前提，对应元素的识别和性质的应用直接影响学生对全等判定条件的理解，如“边角边”中“对应边”“对应角”的判断，同时为几何推理，如证明线段或角相等奠定基础．
学习者分析 学生在七年级已学习三角形的基本概念和图形的平移、翻折、旋转等变换，对“形状和大小相同”的图形有生活经验（如相同的课本、复制的图片），但尚未形成“全等”的严格数学定义，对“对应元素”的准确性识别存在困难。
教学目标 1．理解全等形、全等三角形的概念，能举例说明生活中的全等形； 2．掌握全等三角形的表示方法，能准确识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角； 3．理解并应用全等三角形的性质解决简单计算问题．
教学重点 理解全等三角形的概念，能由全等三角形的概念理解全等三角形的性质．
教学难点 能识别全等三角形中的对应边、对应角，同时体会图形的运动变化．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．理解全等形、全等三角形的概念，能举例说明生活中的全等形； 2．掌握全等三角形的表示方法，能准确识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角； 3．理解并应用全等三角形的性质解决简单计算问题．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 导言：铺设地面的方砖、钢架桥中的三角形结构、足球比赛的场地……，都能在其中找到形状、大小相同的图形的形象．形状、大小相同的图形是全等形．本章我们以全等三角形为例研究全等形，重点学习全等三角形的性质和判定三角形全等的方法． 学生活动2： 学生认真听老师讲解活动意图说明： 从学生熟悉的生活场景切入，引导学生观察、体会全等形的核心特征——“形状、大小相同且能完全重合”，降低抽象概念的理解难度，激发学习兴趣。环节三：新知讲解教师活动3： 讲解：对开的大门、邮票、设计的图案中都有形状、大小相同的图形的形象，你能再举出一些类似的例子吗？ 归纳：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合．能够完全重合的两个图形叫作全等形． 出示： 指出：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形. 思考1：在图(1)中，把△ABC沿直线BC平移，得到△DEF.在图(2)中，把△ABC沿直线BC翻折180°，得到△DBC.在图(3)中，把△ABC绕点A旋转，得到△ADE.各图中的两个三角形全等吗？ 归纳：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等． 指出：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”． 记作：“△ABC≌△DEF”， 读作：“△ABC全等于△DEF” 重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角. 注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 例1：如图，将△ABC沿CB方向平移得到△DFE，则△ABC≌________，∠ABC的对应角是________，∠C的对应角是________，BC的对应边是________． 答案：△DFE，∠DFE，∠DEF，FE 思考2：如图(1)，△ABC≌△DEF，对应边有什么关系？对应角呢？图(2)、(3)中的全等三角形呢？ 归纳：全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 符号语言： ∵△ABC≌△DEF， ∴AB=DE，BC=EF，AC=DF（全等三角形的对应边相等）， ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）． 例2：如图所示，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应顶点，∠BAC=65°，∠ABC=26°，AC，BD的延长线相交于点E.求∠CBD，∠AEB的度数. 解：∵△ABC≌△BAD, ∴∠ABD=∠BAC=65° ∴∠CBD=∠ABD－∠ABC=65°－26°=39° 在△AEB中，∠AEB+∠BAE+∠ABE=180°， ∴∠AEB=180°－∠BAE－∠ABE=180°－65°－65°=50°学生活动3： 每组发放两个全等三角形模型（标注顶点字母），通过平移、翻折、旋转等变换使两三角形重合，小组内讨论并记录对应顶点、对应边、对应角的位置关系；随后各组派代表展示操作过程，分享识别对应元素的方法，并归纳全等三角形的概念及性质。然后合作探究完成对应例题活动意图说明： 动手操作结合小组合作，让学生在直观体验中感受图形变换与对应元素的关联，突破“识别对应边、对应角”这一难点；鼓励学生自主总结识别规律，从“被动接受”转为“主动探究”，培养合作交流与语言表达能力；通过不同小组的方法分享，丰富学生对对应元素识别的多元认知，为后续规范使用“对应顶点字母写在对应位置”的表示方法奠定基础，同时强化“图形运动中形状和大小不变”的本质理解。并通过例题加强学生对全等三角形的概念及性质的应用。环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题： 14.1 全等三角形及其性质一、全等形 二、全等三角形 1．概念 2．性质教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 2．如图，，和，和是对应边，则的对应角是（ ） A． B． C． D． 答案：B 3．如图，，点在边上，与相交于点，已知，，，求的度数． 解：，， ， ， ，， ， ， ， ． 选做题： 4．如图，，请根据图中提供的信息，写出 ． 答案：20 【综合拓展类练习】 5．如图，已知，，，，． (1)求的度数及的长； (2)与平行吗？说明理由． 解：（1）， ，， 在中，， ， ， ； （2）， 理由：， ， ．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列图标中，不是由全等图形组合成的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 2．如图，，点共线，和交于点．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 答案：A 3．如图，已知，，，，求的度数和的长． 解：，， ， ， ，， ，即， ， 选做题： 4．如图，与全等，可以确定与 是对应角，若与是对应边，则与 是对应边． 答案：， 【综合拓展类作业】 5．如图，已知，是锐角，，，延长交于点F，交于点G． (1)判断直线与是否垂直？请说明理由； (2)若，求的度数． 解：（1），理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴．
教学反思 成功之处： 以生活实例引入全等形概念，有效激发了学生的参与热情，多数学生能快速理解“完全重合”的含义；通过平移、翻折、旋转的动态演示（结合学生动手操作），学生对“变换前后的三角形全等”有了直观认知，为对应元素的识别提供了具象支撑；课堂练习与作业设计分层（必做题与选做题），兼顾了不同层次学生的需求，基础题巩固了概念与性质，综合题则提升了推理应用能力。 不足与改进： 部分学生在复杂图形（如含重叠部分的全等三角形）中识别对应元素仍有困难，尤其对“旋转后对应角的位置”判断不准确；后续可增加多媒体动态展示复杂变换过程，标注对应元素的运动轨迹，强化视觉感知。几何语言表达的规范性训练不足，部分学生在描述“对应边相等”“对应角相等”时，未使用对应顶点字母（如误将“AB=DE”说成“AB=EF”）；需在例题讲解中刻意强调规范表述，并增加口头复述与书面书写练习。课堂时间分配略显紧张，选做题的当堂反馈不充分；可适当压缩概念引入时间，预留更多时间进行分层练习的针对性讲评，确保学生扎实掌握对应元素识别与性质应用。
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同步探究学案
课题 14.1 全等三角形及其性质 单元 第十四章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．理解全等形、全等三角形的概念，能举例说明生活中的全等形； 2．掌握全等三角形的表示方法，能准确识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角； 3．理解并应用全等三角形的性质解决简单计算问题．
重点 理解全等三角形的概念，能由全等三角形的概念理解全等三角形的性质．
难点 能识别全等三角形中的对应边、对应角，同时体会图形的运动变化．
探究过程
导入新课 【引入思考】 铺设地面的方砖、钢架桥中的三角形结构、足球比赛的场地……，都能在其中找到形状、大小相同的图形的形象．形状、大小相同的图形是全等形．本章我们以全等三角形为例研究全等形，重点学习全等三角形的性质和判定三角形全等的方法．
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助形状、大小相同的图形的形象，研究全等形及全等三角形。 问题：对开的大门、邮票、设计的图案中都有形状、大小相同的图形的形象，你能再举出一些类似的例子吗？ 归纳：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合．能够完全______的两个图形叫作全等形．能够完全重合的两个三角形叫作______三角形. 思考1：在图(1)中，把△ABC沿直线BC平移，得到△DEF.在图(2)中，把△ABC沿直线BC翻折180°，得到△DBC.在图(3)中，把△ABC绕点A旋转，得到△ADE.各图中的两个三角形全等吗？ 归纳：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但______、______都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形______． 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”．如△ABC与△DEF全等 记作：“△ABC≌△DEF”， 读作：“△ABC全等于△DEF” 重合的顶点叫作________，重合的边叫作______，重合的角叫作_____. 注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在_____的位置上． 例1：如图，将△ABC沿CB方向平移得到△DFE，则△ABC≌________，∠ABC的对应角是________，∠C的对应角是________，BC的对应边是________． 思考2：如图(1)，△ABC≌△DEF，对应边有什么关系？对应角呢？图(2)、(3)中的全等三角形呢？ 归纳：全等三角形的性质 全等三角形的对应边______，全等三角形的对应角______． 符号语言： ∵△ABC≌△______， ∴AB=____，_____=EF，AC=_____（全等三角形的对应边相等）， ∠A=∠____，∠____=∠E，∠C=∠_____（全等三角形的对应角相等）． 例2：如图所示，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应顶点，∠BAC=65°，∠ABC=26°，AC，BD的延长线相交于点E.求∠CBD，∠AEB的度数.
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，，和，和是对应边，则的对应角是（ ） A． B． C． D． 3．如图，，点在边上，与相交于点，已知，，，求的度数． 选做题： 4．如图，，请根据图中提供的信息，写出 ． 【综合拓展类练习】 5．如图，已知，，，，． (1)求的度数及的长； (2)与平行吗？说明理由．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列图标中，不是由全等图形组合成的是（ ） A．B．C．D． 2．如图，，点共线，和交于点．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 3．如图，已知，，，，求的度数和的长． 选做题： 4．如图，与全等，可以确定与 是对应角，若与是对应边，则与 是对应边． 【综合拓展类作业】 5．如图，已知，是锐角，，，延长交于点F，交于点G． (1)判断直线与是否垂直？请说明理由； (2)若，求的度数．
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