小专题(一)~（二） 同步练 （含答案）2025-2026学年数学苏科版八年级上册

小专题(一)　一线三等角
类型一　一线三锐角
第1题
1. 如图,点B,C,E在同一条直线上,∠B=∠E=70°,∠ACF=70°,且AB=CE.图中与AC长度相等的线段是 (　　)
A. BC B. EF
C. CF D. AF
2. 如图,B,A,D三点共线,∠CAE=∠B=∠D<90°,AC=AE.求证:
(1) △ABC≌△EDA;
(2) BD=BC+DE.
第2题
类型二　一线三直角
3. (2023·重庆A卷)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为BC上一点,连接AD.过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD,交AD的延长线于点F.若BE=4,CF=1,则EF的长为　　　　.
　　　　　　　　　　
4. (2024·重庆A卷改编)如图,在正方形ABCD的边CD上有一点E,连接AE,把AE绕点E逆时针旋转90°,得到FE,连接CF并延长与AB的延长线交于点G,则∠G的度数为　　　　.
5. 如图,AC=AB=BD,∠ABD=90°,BC=8,则△BCD的面积为　　　　.
6. (2023·陕西)如图,在△ABC中,∠B=90°,作CD⊥AC,且使CD=AC,作DE⊥BC,交BC的延长线于点E.求证:AB=CE.
第6题
7. 如图,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB>CD,AD=AB+CD.
(1) 利用尺规作∠ADC的平分线DE,交BC于点E,连接AE(不写作法,保留作图痕迹);
(2) 在(1)的条件下,求证:AE⊥DE.
类型三　一线三钝角
8. (新考法·探究题)已知CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线,CA=CB,E,F分别是直线CD上的两点,且∠BEC=∠CFA=∠α.
(1) 如图①,若直线CD经过∠BCA的内部,且点E,F在射线CD上,0°<∠BCA<180°,∠α+∠BCA=180°,请写出线段EF,BE,AF之间的数量关系,并证明你的结论;
(2) 如图②,若直线CD不经过∠BCA的内部,∠α=∠BCA,请写出线段EF,BE,AF之间的数量关系,并证明你的结论.
第8题
小专题(二)　等腰三角形的性质与判定
第2题
类型一　等腰三角形的性质
1. (分类讨论思想)已知△ABC是等腰三角形.若∠A=40°,则△ABC的顶角度数为　　　　　.　
2. (2024·常熟期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以点A为圆心,AC长为半径作弧,交AB于点D.若∠A=40°,则∠DCB的度数为　　　　.
3. (2023·苏州)如图,在△ABC中,AB=AC,AD为△ABC的角平分线.以点A为圆心,AD长为半径作弧,与AB,AC分别交于点E,F,连接DE,DF.
(1) 求证:△ADE≌△ADF;
(2) 若∠BAC=80°,求∠BDE的度数.
第3题
类型二　等腰三角形的判定
4. 如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为D,交AC于点E,∠A=∠ABE.若AC=10,BC=6,则BD的长为 (　　)
A. 5 B. 3 C. 4 D. 2
　　　　　　　　
5. (分类讨论思想)如图,∠AOB=80°,C是边OB上的一个定点,点P在角的另一边OA上运动,当∠OCP的度数为　　　　　　时,△COP是等腰三角形.
6. 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,且AD为BC上的中线.求证:△ABC为等腰三角形.
第7题
类型三　等腰三角形的性质与判定的综合应用
7. (2024·高新区期中)如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,AD⊥AB,交BC于点D.若AD=1,则CD的长为　　　　.
8. (2024·吴江区期中)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,连接AD,BM平分∠ABC,交AC于点M,过点M作MN∥BC,交AB于点N.
(1) 若∠C=72°,求∠BAD的度数;
(2) 求证:NB=NM.
第8题
9. 如图①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为边AC上一点,DE⊥AB于点E,M为BD的中点,CM的延长线交AB于点F,连接EM.
(1) 求证:CM=EM;
(2) 若∠A=50°,则∠EMF的度数为　　　　;
(3) 如图②,连接CE,若△DAE≌△CEM,N为CM的中点,连接AN,求证:AN∥EM.
第9题
小专题(一)　一线三等角
1. C
2. (1) ∵ ∠EAD=180°-∠CAE-∠CAB,∠C=180°-∠B-∠CAB,∠CAE=∠B,∴ ∠EAD=∠C.在△ABC和△EDA中,∴ △ABC≌△EDA(AAS)
(2) 由(1),得△ABC≌△EDA,∴ BA=DE,BC=DA.∵ BD=DA+BA,∴ BD=BC+DE
3. 3
4. 45°　解析:如图,过点F作FH⊥DC,交DC的延长线于点H,则可证△ADE≌△EHF,∴ AD=EH,DE=HF,∴ 易得EH=DC,∴ DE=CH=HF,∴ ∠HCF=∠HFC=45°.∵ 在正方形ABCD中,DC∥AB,即DH∥AG,∴ ∠G=∠HCF=45°.　
5. 16　解析:过点A作AE⊥BC于点E,过点D作DF⊥CB,交CB的延长线于点F.先由“HL”证Rt△AEC≌Rt△AEB,得CE=BE=BC=4,再由“AAS”证△AEB≌△BFD,得BE=DF=4,因此S△BCD=BC·DF=×8×4=16.
6. ∵ DC⊥AC,∴ ∠ACD=90°,∴ ∠ACB+∠DCE=180°-∠ACD=90°.∵ ∠B=90°,∴ ∠ACB+∠A=90°,∴ ∠A=∠DCE.∵ DE⊥BC,∴ ∠E=90°,∴ ∠B=∠E.在△ABC和△CED中,∴ △ABC≌△CED(AAS),∴ AB=CE
7. (1) 如图所示　(2) 如图,在DA上截取GD=CD,连接GE.∵ DE是∠ADC的平分线,∴ ∠GDE=∠CDE.在△GDE和△CDE中,∴ △GDE≌△CDE(SAS),∴ ∠DGE=∠C=90°,∠DEG=∠DEC=∠CEG,∴ ∠AGE=180°-∠DGE=90°,∴ ∠AGE=∠B=90°,∴ △AGE和△ABE均是直角三角形.∵ AD=AG+GD=AB+CD,GD=CD,∴ AG=AB.在Rt△AEG和Rt△AEB中,∴ Rt△AEG≌Rt△AEB(HL),∴ ∠AEG=∠AEB=∠BEG,∴ ∠AED=∠DEG+∠AEG=(∠CEG+∠BEG)=×180°=90°,∴ AE⊥DE
8. (1) EF=BE-AF　∵ ∠α+∠BCA=180°,∴ ∠α+∠BCE+∠ACF=180°.∵ △ACF的内角和为180°,∴ ∠α+∠ACF+∠CAF=180°,∴ ∠BCE=∠CAF.在△BCE和△CAF中,∴ △BCE≌△CAF(AAS),∴ BE=CF,CE=AF.∵ CF=CE+EF,∴ EF=CF-CE=BE-AF　(2) EF=BE+AF　根据题意,得∠BEC=∠CFA=∠α=∠BCA.又∵ ∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°,∠BCE+∠FCA+∠BCA=180°,∴ ∠EBC=∠FCA.在△BEC和△CFA中,∴ △BEC≌△CFA(AAS),∴ CE=AF,BE=CF,∴ EF=CF+CE=BE+AF
小专题(二)　等腰三角形的
性质与判定
1. 40°或100°　2. 20°
3. (1) ∵ AD是△ABC的角平分线,∴ ∠EAD=∠FAD.由作图,得AE=AF.在△ADE和△ADF中,∴ △ADE≌△ADF(SAS)　(2) ∵ AD为△ABC的角平分线,∠BAC=80°,∴ ∠EAD=∠BAC=40°.由作图,得AE=AD.∴ ∠AED=∠ADE=×(180°-40°)=70°.∵ AB=AC,AD为△ABC的角平分线,∴ AD⊥BC,∴ ∠ADB=90°,∴ ∠BDE=90°-∠ADE=20°
4. D　5. 80°或20°或50°
6. 方法一:如图①,延长AD到点E,使DE=AD,连接CE.∵ AD为BC上的中线,∴ BD=CD.在△ABD和△ECD中,∴ △ABD≌△ECD(SAS),∴ ∠BAD=∠E,AB=EC.又∵ AD平分∠BAC,∴ ∠BAD=∠CAD,∴ ∠CAD=∠E,∴ AC=EC,∴ AB=AC,∴ △ABC为等腰三角形　方法二:如图②,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.∵ AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴ DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.∵ AD为BC上的中线,∴ BD=CD.在Rt△DEB和Rt△DFC中,∴ Rt△DEB≌Rt△DFC(HL),∴ ∠B=∠C,∴ AB=AC,∴ △ABC为等腰三角形
　　　　
7. 1
8. (1) ∵ AB=AC,D是BC边的中点,∴ AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,∴ ∠ADC=90°.∵ △ADC的内角和为180°,∠C=72°,∴ ∠CAD=180°-∠ADC-∠C=18°,∴ ∠BAD=18°　(2) ∵ MN∥BC,∴ ∠NMB=∠CBM.∵ BM平分∠ABC,∴ ∠NBM=∠CBM,∴ ∠NBM=∠NMB,∴ NB=NM
9. (1) ∵ DE⊥AB,∴ ∠DEB=90°.∵ M为BD的中点,∴ DM=MB,∴ 在Rt△DEB中,EM=DB.∵ ∠ACB=90°,∴ 在Rt△DCB中,CM=DB,∴ CM=EM　(2) 100°　解析:∵ DE⊥AB,∴ ∠AED=90°.∵ ∠A=50°,∴ 在Rt△AED中,∠ADE=40°,∴ ∠CDE=140°.∵ M为BD的中点,∴ DM=DB.由(1),得EM=DB,CM=DB,∴ EM=DM,CM=DM,∴ ∠MDE=∠MED,∠MCD=∠MDC,∴ ∠MED+∠MCD=∠MDE+∠MDC=∠CDE=140°.∵ 四边形DEMC的内角和为360°,∴ ∠CME=360°-2×140°=80°,∴ ∠EMF=180°-∠CME=100°.
(3) 连接AM.∵ △DAE≌△CEM,CM=EM,∴ AE=EM=CM=DE=DM,∠DEA=∠CME=90°,∴ △ADE是等腰直角三角形,△DEM是等边三角形,∴ ∠DEM=∠DME=60°,∴ ∠FEM=30°.∵ AE=EM,∴ ∠EAM=∠EMA=15°,∴ ∠AMC=∠CME-∠EMA=75°.∵ ∠CME=90°,∠DME=60°,∴ ∠DMC=30°. ∵ CM=DM,∴ ∠MCD=∠MDC=×(180°-30°)=75°,∴ ∠AMC=∠MCD,∴ AC=AM.∵ N为CM的中点,∴ AN⊥CM,∴ ∠ANM=90°,∴ ∠ANM+∠CME=180°,∴ AN∥EM