第4章 一元一次方程 小专题(五) 构造一元一次方程解题 同步练 （含答案） 2025-2026学年数学苏科版（2024）七年级上册
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| 名称 | 第4章 一元一次方程 小专题(五) 构造一元一次方程解题 同步练 （含答案） 2025-2026学年数学苏科版（2024）七年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 31.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-18 21:38:06 | ||
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文档简介
第4章 一元一次方程 小专题(五) 构造一元一次方程解题
类型一 根据一元一次方程及其解的概念构造方程
1. 小明对方程=-1去分母时,方程右边的-1没有乘3,因而求得的解为x=2,则原方程的解为 ( )
A. x=0 B. x=-1 C. x=2 D. x=-2
2. 已知(m-3)x|m|-2+6=0是关于x的一元一次方程,则m的值为 .
3. 若方程(3a+2)x2+ax-7=1是关于x的一元一次方程,则a的值为 ,该方程的解为 .
4. 某同学解关于x的方程-m=,去分母时,不小心把方程的左边m前面的“-”当成“+”进行求解,得到的结果为x=1,则m的值为 ,原方程正确的解为 .
5. 小明解关于y的一元一次方程3(y-a)=2y+4,去括号时,将a漏乘了3,得到方程的解是y=3.请你求出a的值及方程的正确的解.
类型二 根据同类项、相反数、倒数的概念构造方程
6. 如果单项式-xyb+1与x2+ay3是同类项,那么关于x的方程ax+b=0的解为 ( )
A. x=1 B. x=-1 C. x=2 D. x=-2
7. 数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等,则m的值为 ( )
A. -2 B. 2 C. 1 D. -1
8. (教材P134复习题第4题变式)当x的值为 时,代数式的值与-互为相反数.
9. 若关于x的方程x+=-3x的解与方程+=1-的解互为倒数,求(23-a)203的值.
类型三 根据新定义构造方程
10. (2023·怀化)定义新运算:(a,b)·(c,d)=ac+bd,其中a,b,c,d为有理数.例如:(1,2)·(3,4)=1×3+2×4=11.如果(2x,3)·(3,-1)=3,那么x的值为 .
11. 用“☆”定义一种新运算:对于任意有理数a和b,规定a☆b=ab2-2ab+b.如:2☆(-3)=2×(-3)2-2×2×(-3)+(-3)=27.
(1) 求(-4)☆7的值; (2) 若(1-3x)☆(-4)=32,求x的值.
12. (新考法·新定义题)阅读理解:a,b,c,d是有理数,我们把符号称为二阶行列式,并且规定:=ad-bc.例如=2×5-3×4=10-12=-2.请你按照这种规定,解答下列各题:
(1) 求的值;
(2) 求x的值,使得=-2;
(3) 求x的值,使得=.
利用一元一次方程进行方案决策
类型一 进货方案决策
1. (分类讨论思想)某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机,已知该厂有三种不同型号的电视机,出厂价分别为甲种每台1500元,乙种每台2100元,丙种每台2500元.
(1) 若商场同时购进两种不同型号的电视机50台,正好用去9万元,则该商场有几种进货方案
(2) 若该商场销售一台甲种、乙种、丙种电视机,分别可获利150元、200元、250元,为使获利最多,则应选择上述哪种进货方案
类型二 加工方案决策
2. (新情境·科技民生)某地生产一种蔬菜,若在市场上直接销售,则每吨利润为1000元;经粗加工后销售,每吨利润可达4500元;经精加工后销售,每吨利润涨至7500元.当地一家农工商公司收购这种蔬菜140吨,该公司加工厂的生产能力如下:如果对蔬菜进行粗加工,那么每天可加工16吨;如果对蔬菜进行精加工,那么每天可加工6吨,但两种加工方式不能同时进行.受季节条件的限制,公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕,为此公司研究了三种加工方案:
方案一,将蔬菜全部进行粗加工;
方案二,尽可能多地进行精加工,来不及加工的蔬菜在市场上直接销售;
方案三,将部分蔬菜进行粗加工,其余蔬菜进行精加工,并恰好在15天之内完成.
你认为哪种方案获利最多 为什么
类型三 上网计费方案决策
3. (新考法·综合与实践)某地上网有两种收费方式,用户可以任选其一.“计时制”:2.8元/时;“包月制”:60元/月.此外,每一种上网方式都加收通信费1.2元/时.
(1) 某用户上网20小时,选用哪种上网方式比较合算
(2) 某用户有120元用于上网,选用哪种上网方式比较合算
(3) 请你为用户设计一个方案,使用户能合理地选择上网方式.
类型四 运输方式方案决策
4. (新考法·探究题)B市水果批发部门欲将A市的一批水果运往本市销售,有火车和汽车两种运输方式,运输过程中的损耗均为200元/时.其他主要参考数据如下表:
运输方式 途中平均速度/(千米/时) 运费/(元/千米) 装卸费用/元
火车 100 15 2000
汽车 80 20 900
(1) 如果选择汽车的总费用比选择火车的总费用多1100元,那么A市与B市之间的路程是多少千米(不考虑路上耽误的时间) 请列方程解答.
(2) 已知A市与B市之间的路程为s千米,且火车与汽车在路上耽误的时间分别为2小时和3.1小时.若你是B市水果批发部门的经理,要想将这种水果运往B市销售,则选择哪种运输方式比较合算
小专题(五) 构造一元一次方程解题
1. A 2. -3 3. - x=-12 4. 1 x=-
5. 根据题意,得y=3是方程3y-a=2y+4的解,所以3×3-a=2×3+4,解得a=-1.此时原方程可化为3(y+1)=2y+4.去括号,得3y+3=2y+4.移项、合并同类项,得y=1.因此a的值为-1,方程的正确的解为y=1
6. C 7. D 8. 1
9. 解方程+=1-,得x=.解方程x+=-3x,得x=a.根据题意,得×a=1,解得a=24.所以(23-a)203=(23-24)203=(-1)203=-1
10. 1
11. (1) (-4)☆7=(-4)×72-2×(-4)×7+7=-133 (2) 根据题意,得(1-3x)×(-4)2-2×(1-3x)×(-4)+(-4)=32.整理,得16(1-3x)+8(1-3x)-4=32,解得x=-
12. (1) =(-1)×7-(-3)×2=-7-(-6)=-1 (2) 根据题意,得×1-×2=-2.去分母,得3x-4(x+1)=-12.去括号,得3x-4x-4=-12.移项、合并同类项,得-x=-8.系数化为1,得x=8
(3) 根据题意,得-5(x-1)-(-2)×3=7x-(-3)(4-2x),即-5(x-1)+6=7x+3(4-2x).去括号,得-5x+5+6=7x+12-6x.移项、合并同类项,得-6x=1.系数化为1,得x=-
利用一元一次方程进行方案决策
1. (1) 分三种情况讨论:① 设购进甲种电视机x台,购进乙种电视机(50-x)台.根据题意,得1500x+2100(50-x)=90000.解这个方程,得x=25,此时50-x=25.所以购进甲种电视机25台,乙种电视机25台.② 设购进甲种电视机y台,购进丙种电视机(50-y)台.根据题意,得1500y+2500(50-y)=90000.解这个方程,得y=35,此时50-y=15.所以购进甲种电视机35台,丙种电视机15台.③ 设购进乙种电视机m台,购进丙种电视机(50-m)台.根据题意,得2100m+2500(50-m)=90000.解这个方程,得m=87.5(不合题意,舍去).综上所述,该商场有2种进货方案,方案一:购进甲种电视机25台,乙种电视机25台;方案二:购进甲种电视机35台,丙种电视机15台
(2) 方案一的利润为25×150+25×200=8750(元),方案二的利润为35×150+15×250=9000(元).因为9000>8750,所以方案二获利多,即为使获利最多,应选择购进甲种电视机35台,丙种电视机15台
2. 方案三获利最多 方案一:因为16×15=240(吨),240>140,所以可以在15天内加工完,总利润为140×4500=630000(元).方案二:因为每天精加工6吨,6×15=90(吨),140-90=50(吨),所以15天可以精加工90吨,其余50吨直接销售,总利润为90×7500+50×1000=725000(元).方案三:设15天中粗加工x天,则精加工(15-x)天.根据题意,得16x+6(15-x)=140.解这个方程,得x=5.此时粗加工5天,共加工蔬菜16×5=80(吨),精加工10天,共加工蔬菜6×10=60(吨),总利润为60×7500+80×4500=810000(元).因为630000<725000<810000,所以方案三获利最多
3. 设用户的上网时间为t小时,则“计时制”上网方式的费用为2.8t+1.2t=4t(元),“包月制”上网方式的费用为(60+1.2t)元.(1) 当t=20时,4t=80,60+1.2t=84.因为80<84,所以选用“计时制”上网方式比较合算 (2) “计时制”:令4t=120,解得t=30.“包月制”:令60+1.2t=120,解得t=50.因为30<50,所以选用“包月制”上网方式比较合算 (3) 若两种上网方式的费用一样,则4t=60+1.2t,解得t=.所以当用户的上网时间大于小时时,选用“包月制”上网方式;当用户的上网时间等于小时时,选用“计时制”和“包月制”上网方式均可;当用户的上网时间小于小时时,选用“计时制”上网方式
4. (1) 设A市与B市之间的路程是x千米.根据题意,得+20x+900-+15x+2000=1100.解这个方程,得x=400.答:A市与B市之间的路程是400千米
(2) 选择汽车的总费用为×200+20s+900=(22.5s+1520)元,选择火车的总费用为×200+15s+2000=(17s+2400)元.当两种运输方式的总费用相等时,由22.5s+1520=17s+2400,得s=160.所以当s>160时,选择火车运输比较合算;当s=160时,两种运输方式的总费用相同;当s<160时,选择汽车运输比较合算
类型一 根据一元一次方程及其解的概念构造方程
1. 小明对方程=-1去分母时,方程右边的-1没有乘3,因而求得的解为x=2,则原方程的解为 ( )
A. x=0 B. x=-1 C. x=2 D. x=-2
2. 已知(m-3)x|m|-2+6=0是关于x的一元一次方程,则m的值为 .
3. 若方程(3a+2)x2+ax-7=1是关于x的一元一次方程,则a的值为 ,该方程的解为 .
4. 某同学解关于x的方程-m=,去分母时,不小心把方程的左边m前面的“-”当成“+”进行求解,得到的结果为x=1,则m的值为 ,原方程正确的解为 .
5. 小明解关于y的一元一次方程3(y-a)=2y+4,去括号时,将a漏乘了3,得到方程的解是y=3.请你求出a的值及方程的正确的解.
类型二 根据同类项、相反数、倒数的概念构造方程
6. 如果单项式-xyb+1与x2+ay3是同类项,那么关于x的方程ax+b=0的解为 ( )
A. x=1 B. x=-1 C. x=2 D. x=-2
7. 数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等,则m的值为 ( )
A. -2 B. 2 C. 1 D. -1
8. (教材P134复习题第4题变式)当x的值为 时,代数式的值与-互为相反数.
9. 若关于x的方程x+=-3x的解与方程+=1-的解互为倒数,求(23-a)203的值.
类型三 根据新定义构造方程
10. (2023·怀化)定义新运算:(a,b)·(c,d)=ac+bd,其中a,b,c,d为有理数.例如:(1,2)·(3,4)=1×3+2×4=11.如果(2x,3)·(3,-1)=3,那么x的值为 .
11. 用“☆”定义一种新运算:对于任意有理数a和b,规定a☆b=ab2-2ab+b.如:2☆(-3)=2×(-3)2-2×2×(-3)+(-3)=27.
(1) 求(-4)☆7的值; (2) 若(1-3x)☆(-4)=32,求x的值.
12. (新考法·新定义题)阅读理解:a,b,c,d是有理数,我们把符号称为二阶行列式,并且规定:=ad-bc.例如=2×5-3×4=10-12=-2.请你按照这种规定,解答下列各题:
(1) 求的值;
(2) 求x的值,使得=-2;
(3) 求x的值,使得=.
利用一元一次方程进行方案决策
类型一 进货方案决策
1. (分类讨论思想)某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机,已知该厂有三种不同型号的电视机,出厂价分别为甲种每台1500元,乙种每台2100元,丙种每台2500元.
(1) 若商场同时购进两种不同型号的电视机50台,正好用去9万元,则该商场有几种进货方案
(2) 若该商场销售一台甲种、乙种、丙种电视机,分别可获利150元、200元、250元,为使获利最多,则应选择上述哪种进货方案
类型二 加工方案决策
2. (新情境·科技民生)某地生产一种蔬菜,若在市场上直接销售,则每吨利润为1000元;经粗加工后销售,每吨利润可达4500元;经精加工后销售,每吨利润涨至7500元.当地一家农工商公司收购这种蔬菜140吨,该公司加工厂的生产能力如下:如果对蔬菜进行粗加工,那么每天可加工16吨;如果对蔬菜进行精加工,那么每天可加工6吨,但两种加工方式不能同时进行.受季节条件的限制,公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕,为此公司研究了三种加工方案:
方案一,将蔬菜全部进行粗加工;
方案二,尽可能多地进行精加工,来不及加工的蔬菜在市场上直接销售;
方案三,将部分蔬菜进行粗加工,其余蔬菜进行精加工,并恰好在15天之内完成.
你认为哪种方案获利最多 为什么
类型三 上网计费方案决策
3. (新考法·综合与实践)某地上网有两种收费方式,用户可以任选其一.“计时制”:2.8元/时;“包月制”:60元/月.此外,每一种上网方式都加收通信费1.2元/时.
(1) 某用户上网20小时,选用哪种上网方式比较合算
(2) 某用户有120元用于上网,选用哪种上网方式比较合算
(3) 请你为用户设计一个方案,使用户能合理地选择上网方式.
类型四 运输方式方案决策
4. (新考法·探究题)B市水果批发部门欲将A市的一批水果运往本市销售,有火车和汽车两种运输方式,运输过程中的损耗均为200元/时.其他主要参考数据如下表:
运输方式 途中平均速度/(千米/时) 运费/(元/千米) 装卸费用/元
火车 100 15 2000
汽车 80 20 900
(1) 如果选择汽车的总费用比选择火车的总费用多1100元,那么A市与B市之间的路程是多少千米(不考虑路上耽误的时间) 请列方程解答.
(2) 已知A市与B市之间的路程为s千米,且火车与汽车在路上耽误的时间分别为2小时和3.1小时.若你是B市水果批发部门的经理,要想将这种水果运往B市销售,则选择哪种运输方式比较合算
小专题(五) 构造一元一次方程解题
1. A 2. -3 3. - x=-12 4. 1 x=-
5. 根据题意,得y=3是方程3y-a=2y+4的解,所以3×3-a=2×3+4,解得a=-1.此时原方程可化为3(y+1)=2y+4.去括号,得3y+3=2y+4.移项、合并同类项,得y=1.因此a的值为-1,方程的正确的解为y=1
6. C 7. D 8. 1
9. 解方程+=1-,得x=.解方程x+=-3x,得x=a.根据题意,得×a=1,解得a=24.所以(23-a)203=(23-24)203=(-1)203=-1
10. 1
11. (1) (-4)☆7=(-4)×72-2×(-4)×7+7=-133 (2) 根据题意,得(1-3x)×(-4)2-2×(1-3x)×(-4)+(-4)=32.整理,得16(1-3x)+8(1-3x)-4=32,解得x=-
12. (1) =(-1)×7-(-3)×2=-7-(-6)=-1 (2) 根据题意,得×1-×2=-2.去分母,得3x-4(x+1)=-12.去括号,得3x-4x-4=-12.移项、合并同类项,得-x=-8.系数化为1,得x=8
(3) 根据题意,得-5(x-1)-(-2)×3=7x-(-3)(4-2x),即-5(x-1)+6=7x+3(4-2x).去括号,得-5x+5+6=7x+12-6x.移项、合并同类项,得-6x=1.系数化为1,得x=-
利用一元一次方程进行方案决策
1. (1) 分三种情况讨论:① 设购进甲种电视机x台,购进乙种电视机(50-x)台.根据题意,得1500x+2100(50-x)=90000.解这个方程,得x=25,此时50-x=25.所以购进甲种电视机25台,乙种电视机25台.② 设购进甲种电视机y台,购进丙种电视机(50-y)台.根据题意,得1500y+2500(50-y)=90000.解这个方程,得y=35,此时50-y=15.所以购进甲种电视机35台,丙种电视机15台.③ 设购进乙种电视机m台,购进丙种电视机(50-m)台.根据题意,得2100m+2500(50-m)=90000.解这个方程,得m=87.5(不合题意,舍去).综上所述,该商场有2种进货方案,方案一:购进甲种电视机25台,乙种电视机25台;方案二:购进甲种电视机35台,丙种电视机15台
(2) 方案一的利润为25×150+25×200=8750(元),方案二的利润为35×150+15×250=9000(元).因为9000>8750,所以方案二获利多,即为使获利最多,应选择购进甲种电视机35台,丙种电视机15台
2. 方案三获利最多 方案一:因为16×15=240(吨),240>140,所以可以在15天内加工完,总利润为140×4500=630000(元).方案二:因为每天精加工6吨,6×15=90(吨),140-90=50(吨),所以15天可以精加工90吨,其余50吨直接销售,总利润为90×7500+50×1000=725000(元).方案三:设15天中粗加工x天,则精加工(15-x)天.根据题意,得16x+6(15-x)=140.解这个方程,得x=5.此时粗加工5天,共加工蔬菜16×5=80(吨),精加工10天,共加工蔬菜6×10=60(吨),总利润为60×7500+80×4500=810000(元).因为630000<725000<810000,所以方案三获利最多
3. 设用户的上网时间为t小时,则“计时制”上网方式的费用为2.8t+1.2t=4t(元),“包月制”上网方式的费用为(60+1.2t)元.(1) 当t=20时,4t=80,60+1.2t=84.因为80<84,所以选用“计时制”上网方式比较合算 (2) “计时制”:令4t=120,解得t=30.“包月制”:令60+1.2t=120,解得t=50.因为30<50,所以选用“包月制”上网方式比较合算 (3) 若两种上网方式的费用一样,则4t=60+1.2t,解得t=.所以当用户的上网时间大于小时时,选用“包月制”上网方式;当用户的上网时间等于小时时,选用“计时制”和“包月制”上网方式均可;当用户的上网时间小于小时时,选用“计时制”上网方式
4. (1) 设A市与B市之间的路程是x千米.根据题意,得+20x+900-+15x+2000=1100.解这个方程,得x=400.答:A市与B市之间的路程是400千米
(2) 选择汽车的总费用为×200+20s+900=(22.5s+1520)元,选择火车的总费用为×200+15s+2000=(17s+2400)元.当两种运输方式的总费用相等时,由22.5s+1520=17s+2400,得s=160.所以当s>160时,选择火车运输比较合算;当s=160时,两种运输方式的总费用相同;当s<160时,选择汽车运输比较合算
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