第4章一元一次方程 整合提升 同步练（含答案） 2025-2026学年数学苏科版（2024）七年级上册

第4章　一元一次方程 整合提升
考点一　等式、一元一次方程的概念与它的解
1. 　　　　
下列运用等式的基本性质变形正确的是 (　　)
A. 由ac=bc,得a=b B. 由a=b,得ac=bc
C. 由a=b,得a+c=b-c D. 由a2=3a,得a=3
2. 已知x=1是关于x的方程=x-的解,则 2k+3的值为 (　　)
A. -2B. 2C. 0D. -1
3. 若关于x的方程(a+2)x|a|-1-2=1是一元一次方程,则a的值为　　　　.
4. 若关于x的方程2k-3x=4的解与方程x-3=0的解相同,则k的值为　　　　.
考点二　解一元一次方程
5. 已知一个数的与2的差等于这个数的一半,则这个数是 (　　)
A. 12 B. -12 C. 18 D. -18
6. 小张解关于x的方程5a-x=13时,误将“-x”看成“+x”,得到方程的解为x=-2,则原方程的解为　　　　.
7. 当k的值为　　　　时,化简多项式x2+(2k-1)xy-3y2-2xy-5的结果中不含xy的项.
8. 当k的值为　　　　时,关于x的方程8-k=2(x+1)的解与方程3(2x-1)=1-2x的解互为倒数.
9. 解方程:
(1) x+5=(x+3); (2) (2025·苏州期末)=1-;
(3) x-=1+; (4) -=1.
10. (教材P126练习第1题变式)已知梯形的面积公式为S=(a+b)h.
(1) 若S=30,a=6,h=4,求b的值; (2) 若S=50,a=6,b=a,求h的值.
考点三　用一元一次方程解决问题
11. (2024·泰安改变)我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题,其内容大致如下:“用九百九十九文钱,可买甜果苦果共一千个,若…,…,试问买甜果苦果各几个 ”若设买甜果x个,则买苦果(1000-x)个,可列出符合题意的方程x+(1000-x)=999.根据已有信息,题中用“…,…”表示缺失的条件可能为 (　　)
A. 甜果九个用十一文钱,苦果七个用四文钱
B. 甜果七个用四文钱,苦果九个用十一文钱
C. 甜果四个用七文钱,苦果十一个用九文钱
D. 甜果十一个用九文钱,苦果四个用七文钱
12. (2024·成都改编)我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题目:今有共买琎(一种像玉的石头),人出半,盈四;人出少半,不足三.问人数,琎价各几何 其大意是:今有人合伙买琎石,每人出钱,会多出4钱;每人出钱,又差了3钱.问:人数,琎价各是多少 设人数为x,则可列方程为　　　　　　.
13. 小明按标价的8折购买了一双鞋,比按标价购买节省了40元,则这双鞋的实际售价为　　　　元.
14. 已知有大、小两种纸杯与甲、乙两桶果汁,其中小纸杯与大纸杯的容量比为2∶3,甲桶果汁与乙桶果汁的体积比为4∶5.如果甲桶内的果汁刚好装满120个小纸杯,那么乙桶内的果汁刚好装满　　　　个大纸杯.
15. 一列火车匀速行驶经过一条300m长的隧道需要20s.隧道的顶上有一盏灯,垂直向下照射,灯光照在火车上的时间是10s.求这列火车的长度.
16. (2024·北京)为防治污染,保护和改善生态环境,自2023年7月1日起,我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段(以下简称“标准”).对某型号汽车,“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km,A,B两类物质排放量之和不超过50mg/km.已知该型号某汽车的A,B两类物质排放量之和原为92mg/km.经过一次技术改进,该汽车的A类物质排放量降低了50%,B类物质排放量降低了75%,A,B两类物质排放量之和为40mg/km.判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”,并说明理由.
17. 若关于x的方程5x-a=0的解比关于y的方程3y+a=0的解小2,则a的值是 (　　)
A. B. - C. D. -
18. (2024·广州)定义新运算:a b=例如:(-2) 4=(-2)2-4=0,2 3=-2+3=1.若x 1=-,则x的值为 (　　)
A. ± B. C. ±或 D. -或
19. (方程思想)任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式,应该怎样写呢 我们以无限循环小数0.7为例进行说明:设0.7=x.由0.7=0.7777…可知,10x=7.7777….所以10x-x=7,解得x=.于是,得0.7=.将0.36写成分数的形式为　　　　.
20. (2023·德阳)在初中数学文化节游园活动中,被称为“数学小王子”的小明参加了“智取九宫格”游戏比赛,活动规则是:在九宫格中,除了已经填写的三个数之外的每一个方格中,填入一个数,使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等,且均为m.小明抽取到的题目如图所示,他运用初中所学的数学知识,很快就完成了这个游戏,则m的值为　　　　.
　　　　　　　
21. (分类讨论思想)(2025·常熟期末)如图,在长方形ABCD中,AB=6,BC=14,动点P从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿A→B→C向终点C匀速运动,动点Q从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿CB向终点B匀速运动.若点P,Q同时出发,当一个动点到达终点时,另一个动点也同时停止运动.设两点运动的时间为t秒,当PB=2CQ时,t的值为　　　　.
22. (新考法·新定义题)定义:若两个一元一次方程的解的乘积为1,则称这两个方程互为“倒数方程”,如方程3x-1=0与x-3=0互为“倒数方程”.
(1) 关于x的方程4x-3=0与3x-m=0互为“倒数方程”,则m的值为　　　　;
(2) 关于x的方程3x-(n+3)=0与其“倒数方程”的解都是整数,求n的值;
(3) 关于x的方程3(x-1)+2=0与x+5=2x+k互为“倒数方程”,求关于y的一元一次方程(y+1)+4=2y+k+1的解.
23. (教材P135复习题第17题变式)有两根同样长度但粗细不同的蜡烛,粗蜡烛可燃4h,细蜡烛可燃3h.一次停电,同时点燃两根蜡烛,来电后同时吹灭,发现粗蜡烛的长度是细蜡烛的2倍.求停电的时间.
24. (2024·太仓期中)数轴上点A表示的数为-4,点B表示的数为8,点C表示的数为-1.
(1) 如图①,若将数轴沿点C折叠,点A落在数轴上的点A'处,则点A'表示的数为　　　　.
(2) 如图②,点P,Q在数轴上运动.点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度向左运动,点Q从点C出发,以每秒a个单位长度的速度向右运动,记P,Q两点之间的距离为d1,B,Q两点之间的距离为d2.若P,Q两点同时出发,3秒后,d1=2d2,试求a的值.
第4章整合提升
1. B　2. D　3. 2　4. 11　5. B　6. x=2　7. 　8. 2
9. (1) x=-7　(2) x=4　(3) x=2　(4) x=19.4
10. (1) 将S,a,h的值代入S=(a+b)h,得30=(6+b)×4,解得b=9　(2) 由a=6,b=a,得b=10.将S,a,b的值代入S=(a+b)h,得50=×(6+10)h,解得h=
11. A　12. x-4=x+3　13. 160
14. 100　解析:设乙桶内的果汁刚好装满x个大纸杯.根据题意,得120×2∶3x=4∶5.解这个方程,得x=100.所以乙桶内的果汁刚好装满100个大纸杯.
15. 设这列火车的长度为xm.根据题意,得=.解这个方程,得x=300.答:这列火车的长度为300m
16. 这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”
理由:设原来该汽车的A类物质排放量为xmg/km,则该汽车的B类物质排放量为(92-x)mg/km.根据题意,得(1-50%)x+(1-75%)(92-x)=40.解这个方程,得x=68,此时(1-50%)x=34,即这次技术改进后该汽车的A类物质排放量为34mg/km.因为34mg/km<35mg/km,所以这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”.
17. B
18. D　解析:因为x 1=-,所以当x≤0时,x2-1=-,即x2=,易得x=(不合题意,舍去)或x=-;当x>0时,-x+1=-,解得x=.综上所述,x的值为-或.
19.
20. 39　解析:设九宫格中最中间的数为x.根据第1列的中间的数与第2行的最左侧的数重合,得16+4=7+x,解得x=13.由于九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和等于最中间数的3倍,所以m=3x=39.
21. 或6　解析:当点P在AB上时,BP=6-3t,CQ=t.由PB=2CQ,得2t=6-3t,解得t=;当点P在BC上时,PB=3t-6,CQ=t.由PB=2CQ,得2t=3t-6,解得t=6.综上所述,t=或6.
22. (1) 4　(2) 解方程3x-(n+3)=0,得x=,所以其“倒数方程”的解为x=.根据题意,得,都是整数,所以n+3=±3,解得n=0或-6　(3) 解方程3(x-1)+2=0,得x=.所以它的“倒数方程”x+5=2x+k的解为x=3.因为(y+1)+4=2y+k+1可化为(y+1)+5=2(y+1)+k,所以y+1=3.所以y=2.所以关于y的一元一次方程(y+1)+4=2y+k+1 的解为y=2
23. 设停电的时间为xh.根据题意,得1-=2.解这个方程,得x=2.4.答:停电的时间为2.4h
24. (1) 2　(2) 由题可知点P表示的数为-4-3=-7,点Q表示的数为-1+3a.所以d1=-1+3a+7=3a+6,d2=|-1+3a-8|=|3a-9|.因为d1=2d2,所以3a+6=2|3a-9|,即3a+6=2(3a-9)或3a+6=-2(3a-9),解得a=8或.所以a的值为8或