1.4　线段垂直平分线与角平分线 同步练 （2课时，含答案） 2025-2026学年数学苏科版（2024）八年级上册

1.4　线段垂直平分线与角平分线
第1课时　线段垂直平分线的性质
1. 　　　　
如图,直线CD是线段AB的垂直平分线,P为直线CD上的一点.若线段PA的长为5,则线段PB的长为 (　　)
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
　　　　　　　　　　　　
2. (2024·凉山)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,DE垂直平分AB交BC于点D,连接AD.若△ACD的周长为50cm,则AC+BC的长为 (　　)
A. 25cm B. 45cm C. 50cm D. 55cm
3. 如图,点D在△ABC的边BC上.如果DB=DA,那么点D在线段　　　　的垂直平分线上;如果BC=BD+AD,那么点D在线段　　　　的垂直平分线上.
4. 如图,线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交点P恰好在AC上,且AC=10cm,则点B到点P的距离为　　　　cm.
5. (2024·南充)如图,在△ABC中,D为BC边的中点,过点B作BE∥AC,交AD的延长线于点E.
(1) 求证:△BDE≌△CDA;
(2) 若AD⊥BC,求证:BA=BE.
第5题
第6题
6. 如图,若AC=AD,BC=BD,则下列结论正确的是 (　　)
A. AB垂直平分CD
B. CD垂直平分AB
C. AB与CD互相垂直平分
D. CD平分∠ACB
7. (分类讨论思想)在△ABC中,BC=10,AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC所在的直线于点D,E,且DE=4,则AD+AE的长为 (　　)
A. 6 B. 10 C. 6或14 D. 6或10
第8题
8. (整体思想)如图,∠AOB内有一点P,分别作出点P关于OA,OB的对称点P1,P2,连接P1P2,交OA于点M,交OB于点N,连接PM,PN.当P1P2=12cm时,△PMN的周长为　　　　cm.
9. 在△ABC中,∠A=90°,若BD是△ABC的角平分线,且ED是BC的垂直平分线,垂足为E,则∠ABD的度数为　　　　.
10. (新情境·现实生活)为了推进农村新型合作医疗改革,某镇准备新建一个医疗点P,使点P到该镇所属A村、B村、C村的距离都相等(A村、B村、C村不在同一条直线上,地理位置如图所示).请你用尺规作图的方法确定点P的位置(不写作法,保留作图痕迹).
11. 如图,D是线段BC的中点,分别以点B,C为圆心,大于BC的长为半径画弧,两弧相交于点A,连接AB,AC,AD,E为AD上一点,连接BE,CE.求证:BE=CE.
第11题
12. 如图,AB=CD,AC,BD的垂直平分线EM,EN相交于点E,连接BE,DE,BC.求证:∠ABE=∠CDE.
第12题
第2课时　角平分线的性质
1. (2024·青海)如图,OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OB,PD=2,则点P到OA的距离是 (　　)
　　　　
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
　　　　　　　　
2. 　　　　
在△ABC中,AD为△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,F为AC上的一点,且∠DFA=100°,则下列结论正确的是(　　)
A. DE>DF B. DEC. DE=DF D. 无法确定DE,DF长度的大小关系
3. 如图,∠AOB=70°,QC⊥OA于点C,QD⊥OB于点D.若QC=QD,则∠AOQ的度数为　　　　.
4. 在△ABC中,AB=4,AC=3,AD是△ABC的角平分线,则△ABD与△ACD的面积之比为　　　　.
5. (2025·苏州期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,利用直尺和圆规在BC上找一点D,使点D到AB的距离等于DC的长(不写作法,保留作图痕迹).
6. 如图,CE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,CE,BF相交于点D,且BD=CD.求证:点D在∠BAC的平分线上.
第6题
7. 如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,根据尺规作图的痕迹作射线AE,交BD于点I,连接CI,则下列说法错误的是 (　　)
A. 点I到边AB,AC的距离相等 B. CI平分∠ACB
C. ∠DIE=90°+∠ACB D. 点I到A,B,C三点的距离相等
　　　　　　　　　　　　
8. 如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直.若AD=8,则点P到BC的距离为　　　　.
9. 如图,射线BG把△ABC分成两个三角形,AB=8,BC=12,S1∶S2=2∶3.若∠A+∠C=100°,则∠ABG的度数为　　　　.
10. 如图,OD平分∠AOB,OA=OB,PM⊥BD于点M,PN⊥AD于点N,求证:PM=PN.
第10题
11. 如图,AD∥BC,CD⊥AD,AE平分∠BAD,且E是DC的中点,EF⊥AB于点F.AD,BC与AB之间有什么数量关系 请说明理由.
第11题
1.4　线段垂直平分线与角平分线
第1课时　线段垂直平分线的性质
1. D　2. C　3. AB　AC　4. 5
5. (1) ∵ D为BC的中点,∴ BD=CD.∵ BE∥AC,∴ ∠EBD=∠C,∠E=∠CAD.在△BDE和△CDA中,∴ △BDE≌△CDA(AAS)　(2) ∵ D为BC的中点,AD⊥BC,∴ 直线AD为线段BC的垂直平分线,∴ BA=CA.由(1),得△BDE≌△CDA,∴ BE=CA,∴ BA=BE　
6. A　7. C　8. 12
9. 30°　解析:如图,∵ ED是BC的垂直平分线,∴ CE=BE,∠CED=∠BED=90°.在△CDE和△BDE中,∴ △CDE≌△BDE(SAS),∴ ∠C=∠DBE.∵ BD是△ABC的角平分线,∴ ∠DBE=∠ABD,∴ ∠C=∠DBE=∠ABD.∵ ∠A=90°,∴ ∠C+∠DBE+∠ABD=90°,∴ ∠ABD=30°.
10. 如图,点P即为所求　解析:线段AB与线段AC的垂直平分线的交点P即为所求作的医疗点的位置.
11. ∵ D是线段BC的中点,∴ BD=CD.根据画图过程,得AB=AC.在△ABD和△ACD中,∴ △ABD≌△ACD(SSS),∴ ∠ADB=∠ADC=×180°=90°,∴ AD⊥BC,∴ 直线AD是BC的垂直平分线.∵ 点E在AD上,∴ BE=CE
12. 如图,连接AE,CE.∵ AC,BD的垂直平分线EM,EN相交于点E,∴ AE=CE,BE=DE.在△ABE和△CDE中,∴ △ABE≌△CDE(SSS),∴ ∠ABE=∠CDE
第2课时　角平分线的性质
1. C　2. B　3. 35°　4. 4∶3
5. 如图,点D即为所求　解析:作∠CAB的平分线交BC于点D即可.
6. ∵ CE⊥AB,BF⊥AC,∴ ∠DEB=∠DFC=90°.在△DEB和△DFC中,∴ △DEB≌△DFC(AAS),∴ DE=DF.又∵ DE⊥AB,DF⊥AC,∴ 点D在∠BAC的平分线上
7. D　8. 4　9. 40°
10. ∵ OD平分∠AOB,∴ ∠BOD=∠AOD.在△BOD和△AOD中,∴ △BOD≌△AOD(SAS),∴ ∠BDO=∠ADO,即DP平分∠BDA.又∵ PM⊥BD,PN⊥AD,∴ PM=PN
11. AD+BC=AB　理由:连接BE.∵ AE平分∠BAD,CD⊥AD,EF⊥AB,∴ ∠D=∠AFE=∠BFE=90°,DE=FE.在Rt△ADE和Rt△AFE中,∴ Rt△ADE≌Rt△AFE(HL),∴ AD=AF.∵ AD∥BC,CD⊥AD,∴ CD⊥BC,∴ ∠C=∠BFE=90°.又∵ E是DC的中点,∴ CE=DE,∴ FE=CE.在Rt△BEF和Rt△BEC中,∴ Rt△BEF≌Rt△BEC(HL),∴ BF=BC,∴ AD+BC=AF+BF=AB.