1.5　等腰三角形 同步练 （4课时，含答案） 2025-2026学年数学苏科版（2024）八年级上册

1.5　等腰三角形
第1课时　等腰三角形及其性质
1. (2025·苏州期末)若等腰三角形的顶角为80°,则这个等腰三角形的底角为 (　　)
A. 80°或50° B. 80° C. 50° D. 20°
2. (新情境·现实生活)(2024·绥化改编)某城市几条道路的位置关系如图所示,道路AB∥CD,道路AB与AE交于点A,其夹角∠BAE=50°,道路CD与AE交于点F.城市规划部门想新修一条道路CE,要求CF=EF,则∠E的度数为 (　　)
A. 23° B. 25° C. 27° D. 30°
　　　　　　　　　　　　
3. (2023·吉林改编)如图,在△ABC中,AC=BC,∠A=40°,观察图中尺规作图的痕迹,可知∠BCG的度数为 (　　)
A. 40° B. 45° C. 50° D. 60°
4. (2024·张家港期中)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=3∠B,则∠B的度数为　　　　°.
5. 如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,ED是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E,∠BAE=10°,则∠C的度数为　　　　.
6. (2025·苏州期末)如图,在五边形ABCDE中,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,连接AC,AD.求证:∠ACD=∠ADC.
第6题
7. 如图,△ABC≌△AED,点D在边BC上.若∠EAB=50°,则∠ADE的度数为 (　　)
第7题
A. 50°
B. 55°
C. 60°
D. 65°
8. (2023·凉山)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,根据尺规作图的痕迹作直线MN与AC交于点D,连接BD,则∠DBC的度数为 (　　)
A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
　　　　　　　　
9. (2024·云南)已知AF是等腰三角形ABC底边BC上的高,若点F到直线AB的距离为3,则点F到直线AC的距离为 (　　)
A. B. 2 C. 3 D.
10. (2024·内江)如图,在△ABC中,∠DCE=40°,AE=AC,BC=BD,则∠ACB的度数为　　　　.
11. 如图,在四边形ABCD中,AB=BC=BD.若∠ABC=α,则∠ADC=　　　　(用含α的代数式表示).
12. (2023·烟台)如图,C为线段AB上一点,分别以AC,BC为等腰三角形的底边,在AB的同侧作等腰三角形ACD和等腰三角形BCE,且∠A=∠CBE.在线段EC上取一点F,使EF=AD,连接BF,DE.求证:DE=BF.
第12题
13. 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,E为边BC上的点,且AB=AE,D为线段BE的中点,过点E作EF⊥AE,过点A作AF∥BC,且AF,EF相交于点F.求证:
(1) ∠C=∠BAD;
(2) AC=EF.
第13题
第2课时　等腰三角形的判定
1. (2023·贵州)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BC=5,CD=3.按照图中的尺规作图痕迹作射线DP交BC于点G,则BG的长为 (　　)
　　　　
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
　　　　　　　　　
2. 如图,AC,BD相交于点O,∠A=∠D,若再补充一个条件,使得△BOC为等腰三角形,则该条件不能是 (　　)
A. OA=OD B. AB=CD C. ∠ABO=∠DCO D. ∠ABC=∠DCB
3. (新情境·现实生活)如图,一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60°方向上,轮船沿正东方向前进30海里后到达B处,测得灯塔P位于其北偏东30°方向上,此时轮船与灯塔P的距离为　　　　海里.
4. (2024·重庆B卷)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.若BC=2,则AD的长为　　　　.
5. 如图,在△ABC中,AB=AC,过点A作BC的平行线交∠ABC的平分线于点D,连接CD.求证:△ACD为等腰三角形.
第5题
6. (教材P45练习第1题变式)如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC,连接DE,则图中的等腰三角形共有 (　　)
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
7. (新考法·探究题)如图,M,N为4×4的方格纸中格点上的两点,若以MN为边,在方格纸中取一点P(点P在格点上),使得△MNP为等腰三角形,则点P的个数为 (　　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
　　　　　　　　　　　　
8. (2024·广州)如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=6,D为边BC的中点,点E,F分别在边AB,AC上,AE=CF,则四边形AEDF的面积为　　　　.
9. (2023·丽水)如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,∠B=∠ADB.若AB=4,则DC的长为　　　　.
10. 如图,在△ABC中,AB=AC=5,D是BC上的点,DE∥AB,交AC于点E,DF∥AC,交AB于点F,那么四边形AEDF的周长为　　　　.
11. 如图,在四边形ABCD中,AD=AB,∠ADC=∠ABC.求证:CD=CB.
第11题
12. 如图,在锐角三角形ABC中,E是AB边上一点,BE=CE,AD⊥BC于点D,AD与EC交于点G.求证:
(1) ∠BEC=2∠AGE;
(2) △AEG是等腰三角形.
第12题
第3课时　等边三角形
1. (2024·泰安)如图,直线l∥m,等边三角形ABC的两个顶点B,C分别落在直线l,m上,若∠ABE=21°,则∠ACD的度数是 (　　)
　　　　
A. 45° B. 39° C. 29° D. 21°
　　　　　　　　
2. 如图,在等边三角形ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,点F在BC上,连接DF,BD=BF,则∠BFD的度数是 (　　)
A. 60° B. 65° C. 75° D. 80°
3. 如图,△ABC是等边三角形,点B,C,D,E在同一条直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E的度数为　　　　.
4. (新情境·现实生活)如图,等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC上的三等分点.分别过点E,F沿着平行于BA,CA的方向各剪一刀,则剪下的△DEF的周长是　　　　.
5. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在线段BC上,且∠B=30°,∠ADC=60°,DC=3,则BD的长度为　　　　.
6. (2023·荆州)如图,BD是等边三角形ABC的中线,以点D为圆心,DB长为半径画弧,交BC的延长线于点E,连接DE.求证:CD=CE.
第6题
7. 如图,P是等边三角形ABC的边AB上的一点(点P不与点A,B重合),则在以线段CP,BP,AP为边的三角形中,最大的内角的度数为 (　　)
第7题
A. 90°
B. 100°
C. 110°
D. 120°
8. (教材P47练习第3题变式)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是边AB上的高,∠A=30°.若BC=2,则AD的长为　　　　.
　　　　　　　　
9. (2024·湖北)如图,三个全等的三角形(△ABE,△BCF,△CAD)与中间的小等边三角形DEF拼成一个大等边三角形ABC,连接BD.若AE=ED,则∠FDB的度数为　　　　.
10. 如图,在△ABC中,AB=AC,D为AC的中点,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E,F,且DE=DF.求证:△ABC是等边三角形.
第10题
11. 如图,△ABC,△CDE均为等边三角形,连接BD,AE交于点O,BC与AE交于点P.
(1) 求证:AE=BD;
(2) 求∠AOB的度数.
第11题
12. 如图,在等边三角形ABC中,M为边AB上任意一点,延长BC至点N,使CN=AM,连接MN交AC于点P.求证:MP=NP.
第12题
第4课时　直角三角形的性质定理
1. 　　　　
(2024·苏州工业园区期中)如图,一技术人员用刻度尺测量某三角形部件的尺寸.已知∠ACB=90°,D为边AB的中点,点A,B对应的刻度为1cm,7cm,则CD的长为 (　　)
A. 3.5cm B. 3cm C. 4.5cm D. 6cm
　　　　　　　　　
2. 如图,在△ABC中,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,M为BC的中点,连接EF,EM,FM.若EF=5,BC=8,则△EFM的周长是 (　　)
A. 21 B. 18 C. 15 D. 13
3. (2024·陕西改编)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC边上的高,E是BC的中点,连接AE,则图中有　　　　个直角三角形,有　　　　个等腰三角形.
4. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=60°,BD⊥AC于点D,DG∥AB,交BC于点G,点E在BC的延长线上,且CE=CD,连接DE.
(1) ∠E的度数为　　　　,∠BDE的度数为　　　　;
(2) 图中的等边三角形共有　　　　个,分别是　　　　　　　　　　.
5. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是边AB的中点,连接CD,将△ACD沿CD折叠,点A落在点E处,此时恰好有CE⊥AB,求∠E的度数.
第5题
第6题
6. 如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=8,AD平分∠BAC,交BC于点D,E为AC的中点,连接DE,则△CDE的周长为 (　　)
A. 20 B. 13
C. 14 D. 12
7. (2025·苏州期末)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是边AB的中点,以点C为圆心,CD的长为半径画弧,与线段BD相交于另一点E,连接CE.若∠A=∠DCE,则∠A的度数为 (　　)
A. 20° B. 30° C. 36° D. 40°
　　　　　　　　　
8. (2023·赤峰改编)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8cm,D是AB的中点.现将△BCD沿BA方向平移1cm,得到△EFG,FG交AC于点H,则GH的长为　　　　cm.
9. 如图,在△ABC中,∠B=50°,CD⊥AB于点D,∠BCD和∠BDC的平分线相交于点E,F为边AC的中点,CD=CF,则∠ACD+∠CED的度数为　　　　.
10. 如图,在△ABC中,CD是边AB上的高,BE是边AC上的中线,且BD=CE.求证:
(1) 点D在BE的垂直平分线上;
(2) ∠BEC=3∠ABE.
第10题
11. (2025·常熟期末改编)如图,以线段AC为斜边作Rt△ABC和Rt△ADC,连接BD,M,N分别是线段AC,BD的中点,连接MN,MB.
(1) 求证:MN⊥BD;
(2) 若∠BAC=45°,∠DAC=28°,求∠BMN的度数.
第11题
1.5　等腰三角形
第1课时　等腰三角形及其性质
1. C　2. B　3. C　4. 36　5. 40°
6. 在△ABC和△AED中,∴ △ABC≌△AED(SAS),∴ AC=AD,∴ ∠ACD=∠ADC
7. D　8. B　9. C　10. 100°　11. 180°-
12. ∵ △ACD,△BCE分别是以AC,BC为底边的等腰三角形,∴ AD=CD,CE=EB,∴ ∠A=∠DCA.∵ ∠A=∠CBE,∴ ∠CBE=∠DCA,∴ CD∥BE,∴ ∠DCE=∠FEB.∵ EF=AD,∴ CD=EF.在△DCE和△FEB中,∴ △DCE≌△FEB(SAS),∴ DE=BF
13. (1) ∵ AB=AE,D为线段BE的中点,∴ AD⊥BC,∴ 在△ADC中,∠C+∠DAC=90°.∵ ∠BAC=90°,∴ ∠BAD+∠DAC=90°,∴ ∠C=∠BAD　(2) ∵ AF∥BC,∴ ∠FAE=∠AEB.∵ AB=AE,∴ ∠B=∠AEB,∴ ∠B=∠FAE.∵ EF⊥AE,∴ ∠AEF=90°,∴ ∠AEF=∠BAC.在△ABC和△EAF中, ∴ △ABC≌△EAF(ASA),∴ AC=EF
第2课时　等腰三角形的判定
1. A　2. C　3. 30　4. 2
5. ∵ AD∥BC,∴ ∠ADB=∠DBC.∵ BD平分∠ABC,∴ ∠ABD=∠DBC,∴ ∠ABD=∠ADB,∴ AB=AD.∵ AB=AC,∴ AD=AC,∴ △ACD是等腰三角形
6. D　解析:∵ AB=AC,∠A=36°,∴ △ABC是等腰三角形,∠ABC=∠C=×(180°-36°)=72°.∵ BD是△ABC的角平分线,∴ ∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°,∴ ∠A=∠ABD,∴ AD=BD,∴ △ABD是等腰三角形.∵ 在△BCD中,∠BDC=180°-∠CBD-∠C=180°-36°-72°=72°,∴ ∠BDC=∠C,∴ BD=BC,∴ △BCD是等腰三角形.又∵ BE=BC,∴ BD=BE,∴ △BDE是等腰三角形,∴ ∠BDE=∠BED=×(180°-36°)=72°.∵ ∠BED是△AED的外角,∠A=36°,∴ ∠ADE=∠BED-∠A=72°-36°=36°,∴ ∠A=∠ADE,∴ AE=DE,∴ △ADE是等腰三角形.综上所述,等腰三角形共有5个.
7. C　8. 9　9. 4　10. 10
11. 连接BD.∵ AD=AB,∴ ∠ADB=∠ABD.∵ ∠ADC=∠ABC,∴ ∠ADC-∠ADB=∠ABC-∠ABD,即∠BDC=∠DBC,∴ CD=CB
12. (1) 如图,过点E作EF⊥BC于点F.∵ BE=CE,EF⊥BC,∴ ∠CEF=∠BEF=∠BEC.∵ EF⊥BC,AD⊥BC,∴ EF∥AD,∴ ∠CEF=∠AGE,∴ ∠AGE=∠BEC,即∠BEC=2∠AGE　(2) 由(1),得EF∥AD,∴ ∠BEF=∠BAD,∠CEF=∠AGE.∵ ∠CEF=∠BEF,∴ ∠AGE=∠BAD,∴ EA=EG,∴ △AEG是等腰三角形
第3课时　等边三角形
1. B　2. C　3. 15°　4. 6　5. 6
6. ∵ △ABC是等边三角形,∴ AB=CB,∠ACB=60°.∵ BD是△ABC的中线,∴ BD⊥AC,∴ 在Rt△BDC中,∠DBC=30°.根据画图痕迹,得BD=DE,∴ ∠E=∠DBC=30°.∵ ∠ACB是△DCE的外角,∴ ∠ACB=∠CDE+∠E,∴ ∠CDE=30°,∴ ∠E=∠CDE,∴ CD=CE
7. D　解析:过点P作PE∥BC交AC于点E,可证△AEP是等边三角形,则△CEP就是以线段CP,BP,AP为边的三角形,其中最大的内角∠CEP的度数为120°.
8. 3　9. 30°
10. ∵ DE⊥AB,DF⊥BC,∴ ∠AED=∠CFD=90°.∵ D为AC的中点,∴ AD=CD.在Rt△AED和Rt△CFD中,∴ Rt△AED≌Rt△CFD(HL),∴ ∠A=∠C,∴ AB=BC.∵ AB=AC,∴ AB=BC=AC,∴ △ABC是等边三角形
11. (1) ∵ △ABC,△CDE均为等边三角形,∴ AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,∴ ∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE,即∠ACE=∠BCD.在△ACE和△BCD中,∴ △ACE≌△BCD(SAS),∴ AE=BD　(2) ∵ △ACE≌△BCD,∴ ∠CAE=∠CBD.又∵ △APC与△BPO的内角和均为180°,∠APC=∠BPO,∴ ∠BOP=∠ACP=60°,即∠AOB=60°
12. 如图,过点M作MQ∥BC,交AC于点Q.∵ △ABC是等边三角形,∴ ∠A=∠B=∠ACB=60°.∵ MQ∥BC,∴ ∠AMQ=∠B=60°,∠AQM=∠ACB=60°,∠QMP=∠N,∴ ∠AMQ=∠AQM=∠A,∴ △AMQ是等边三角形,∴ AM=QM.∵ AM=CN,∴ QM=CN.在△QMP和△CNP中,∴ △QMP≌△CNP(AAS),∴ MP=NP
第4课时　直角三角形的性质定理
1. B　2. D　3. 4　2　4. (1) 30°　120°　(2) 2　△ABC,△DGC
5. ∵ ∠ACB=90°,D是边AB的中点,∴ ∠A+∠B=90°,CD=AD,∴ ∠A=∠ACD.∵ CD是折痕,∴ ∠ACD=∠DCE,∠A=∠E.∵ CE⊥AB,∴ ∠BCE+∠B=90°,∴ ∠BCE=∠A,∴ ∠BCE=∠ACD=∠DCE=∠ACB=30°,∴ ∠E=∠A=30°
6. C　7. C　8. 3
9. 175°　解析:连接DF.∵ CD⊥AB,∴ ∠ADC=∠BDC=90°.∵ F为边AC的中点,∴ AF=CF,DF是Rt△ADC斜边上的中线,∴ DF=AF=CF.∵ CD=CF,∴ DF=CD=CF,∴ △CDF是等边三角形,∴ ∠ACD=60°.∵ 在△CDB中,∠B=50°,∴ ∠BCD+∠BDC=180°-∠B=180°-50°=130°.∵ ∠BCD和∠BDC的平分线相交于点E,∴ ∠ECD=∠BCD,∠EDC=∠BDC,∴ ∠ECD+∠EDC=(∠BCD+∠BDC)=65°,∴ 在△CDE中,∠CED=180°-(∠ECD+∠EDC)=180°-65°=115°,∴ ∠ACD+∠CED=60°+115°=175°.
10. (1) 如图,连接DE.∵ CD是边AB上的高,∴ ∠ADC=∠BDC=90°.∵ BE是边AC上的中线,∴ AE=CE,∴ DE是Rt△ADC斜边上的中线,∴ DE=CE=AE.∵ BD=CE,∴ BD=DE,∴ 点D在BE的垂直平分线上
(2) ∵ DE=AE,∴ ∠A=∠ADE.∵ BD=DE,∴ ∠DBE=∠DEB. ∵ ∠ADE是△DBE的外角,∴ ∠ADE=∠DBE+∠DEB=2∠DBE,∴ ∠A=2∠ABE.∵ ∠BEC是△ABE的外角,∴ ∠BEC=∠A+∠ABE,∴ ∠BEC=3∠ABE
11. (1) 如图,连接MD.∵ 在Rt△ABC和Rt△ADC中,M是线段AC的中点,∴ BM=AC,DM=AC,∴ BM=DM.∵ N是BD的中点,∴ MN⊥BD(三线合一)　(2) ∵ M是线段AC的中点,BM=AC,∴ BM=AM,∴ ∠BAC=∠MBA=45°,∴ ∠BMC=∠BAC+∠MBA=2∠BAC=90°.同理,可求∠DMC=2∠DAC=56°.∴ ∠BMD=∠BMC-∠DMC=34°.∵ BM=DM,N是BD的中点,∴ ∠BMN=∠BMD=17°