3.1　勾股定理的探究 同步练（2课时，含答案） 2025-2026学年数学苏科版（2024）八年级上册

3.1　勾股定理的探究
第1课时　勾股定理的发现
第1题
1. 如图所示为由边长是1个单位长度的小正方形组成的网格,线段AB的端点在格点(网格中小正方形的顶点)上,则AB2的值为 (　　)
A. 6B. 18
C. 20D. 22
2. 　　　　
已知一个直角三角形的两直角边的长分别为7和24,则下列说法正确的是 (　　)
A. 斜边长为625 B. 三角形的周长为84
C. 斜边长为25 D. 三角形的面积为168
3. 在下列横线上填上正确的数值:
(1)
x=　　　　;(2)
y=　　　　;(3)
z=　　　　.
4. (2024·攀枝花改编)已知一个直角三角形两直角边的长分别为1和,则其斜边的长为　　　　.　
5. 如图,阴影部分是半圆,这个半圆的面积为　　　　cm2(结果保留π).
　　　　　　
6. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AB,AC为边的正方形的面积分别为S1,S2.若S1=21,S2=12,则BC的长为　　　　.
7. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,BC=12,CO⊥AB于点O.求:
(1) AB的长;
(2) AO的长.
8. 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则斜边上中线的长等于 (　　)
A. 3 B. 6 C. D.
9. (整体思想)在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边长.若a+b=14cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积为 (　　)
A. 24cm2 B. 36cm2 C. 48cm2 D. 60cm2
10. 如图,点O在数轴原点处,A,B两点分别对应-3,3,作腰长为4的等腰三角形ABC,连接OC,以点O为圆心,OC长为半径画弧,交数轴的正半轴于点M,则点M对应的实数为　　　　.
　　　　　　　
11. (2025·苏州期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3.若∠ABC的平分线交AC于点D,则CD的长为　　　　.
12. (2024·陕西)如图,在6×7的网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC和△DFE的顶点都在格点上.求证:∠ABC=∠EFD.
第12题
13. 如图,将长方形纸片ABCD沿CE折叠,使点B落在边AD上的点F处.若点E在边AB上,AB=3,BC=5,求AE的长.
第13题
第2课时　勾股定理的证明
1. (2024·眉山)如图,图①是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”,由四个全等的直角三角形拼成.若图①中大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现将这四个直角三角形拼成图②,则图②中大正方形的面积为 (　　)
　　　　
A. 24 B. 36 C. 40 D. 44
　　　　　　　　　　
2. (2024·大庆改编)如图所示为一棵美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的面积分别为2,5,1,2,则最大的正方形E的面积为　　　　.　
3. (2023·乐山改编)如图所示为“赵爽弦图”,其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形,△ABF,△BCG,△CDH,△DAE是四个全等的直角三角形.若EF=2,DE=8,则AB的长为　　　　.
4. (1) 如图①所示的图形是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积为13,每个直角三角形两直角边的长之和是5,求中间小正方形的面积.
(2) 现有一张长为6.5、宽为2的长方形纸片,如图②,请你将它分割成6块,再拼合成一个正方形(要求:先在图②中画出分割线,再画出拼成的正方形并标明相应数据).
第5题
5. (新考向·传统文化)我国古代伟大的数学家刘徽将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图所示的长方形由两个这样的图形拼成.若a=3,b=4,则该长方形的面积为 (　　)
A. 20 B. 24 C. D.
6. 设a,b是直角三角形的两条直角边的长.若该三角形的周长为6,斜边长为2.5,则ab的值为　　　　.　
第7题
7. (2025·苏州期末)勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠.被誉为清代“历算第一名家”的著名数学家梅文鼎先生在《梅氏丛书辑要》的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法.其中一种是在右图的基础上,运用“出入相补”原理完成的.在△ABC中,∠ACB=90°,四边形ABDE,ACFG,BCHI均为正方形,HI与AE相交于点J,可以证明点D在直线HI上.若△AHJ,△DEJ的面积分别为2和6,则AC的长为　　　　.
8. (新考法·综合与实践)如图①所示为用硬纸板做成的两个全等的直角三角形,两直角边的长分别为a和b,斜边长为c,如图②所示为以c为直角边长的等腰直角三角形.请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形(不添加其他辅助线).
(1) 画出拼成的这个图形的示意图,写出它是什么图形.
(2) 用这个图形证明勾股定理.
(3) 假设图①中的直角三角形有若干个,你能运用图①中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗 请画出拼成的示意图(不要求证明).
9. “面积法”是证明勾股定理的常用方法.将两个全等的直角三角形按如图所示的方式摆放,其中∠DAB=90°.求证:a2+b2=c2.
请补全下面的证明过程.
第9题
证明:如图,连接BD,过点B作△BDE的边DE上的高,交DE的延长线于点F,易得BF=b-a.
∵ S五边形ACBED=　　　　　　　　　　　　　　　　,
又∵ S五边形ACBED=　　　　　　　　　　　　　　　　,
∴ 　　　　　　　　　　　　　　　　,
∴ a2+b2=c2.
3.1　勾股定理的探究
第1课时　勾股定理的发现
1. C　2. C　3. (1) 15　(2) 16　(3) 　4. 　5. 8π　6. 3
7. (1) ∵ 在△ABC中,∠ACB=90°,∴ AC2+BC2=AB2.∵ AC=5,BC=12,∴ AB2=52+122=169,∴ AB=13　(2) ∵ ∠ACB=90°,CO⊥AB,∴ S△ABC=AC·BC=AB·CO,即AC·BC=AB·CO,∴ 5×12=13CO,∴ CO=.∵ 在Rt△AOC中,AO2+CO2=AC2,∴ AO2=AC2-CO2=52-=,∴ AO=
8. D　9. A　10.
11. 　 解析:设CD=x.过点D作DE⊥AB,垂足为E.∵ BD平分∠ABC,∴ DE=CD=x.∵ ∠C=90°,AC=4,BC=3,∴ AB==5.∵ S△ABC=S△BCD+S△ABD,∴ ×4×3=×3x+×5x,解得x=,∴ CD的长为.
12. 由题意,易得AB2=EF2=12+22=5,AC2=ED2=12+32=10,BC2=FD2=12+42=17.∴ AB=EF,AC=ED,BC=FD.在△ABC和△EFD中,∴ △ABC≌△EFD(SSS),∴ ∠ABC=∠EFD
13. ∵ 四边形ABCD是长方形,∴ ∠A=∠D=90°,CD=AB=3,AD=BC=5.∵ CE是折痕,∴ FC=BC=5,EF=BE.∵ 在Rt△CDF中,DF2+CD2=FC2,∴ DF2=FC2-CD2=52-32=16,∴ DF=4,∴ AF=AD-DF=1.设AE=x,则BE=EF=3-x.∵ 在Rt△AEF中,EF2=AE2+AF2,∴ (3-x)2=x2+12,解得x=,∴ AE=
第2课时　勾股定理的证明
1. D　解析:设题图中的直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c.∵ 题图①中大正方形的面积是24,∴ a2+b2=c2=24.∵ 题图①中小正方形的面积是4,∴ (a-b)2=a2+b2-2ab=4,∴ ab=10.∴ 题图②中大正方形的面积为c2+4×ab=24+2×10=44.
2. 10　3. 10
4. (1) 设直角三角形的两条直角边的长分别为a,b(a>b).由题意,得∴ (a+b)2=25=a2+b2+2ab,∴ ab=6,∴ (a-b)2=(a+b)2-4ab=1,∴ 中间小正方形的面积为(a-b)2=1　(2) 如图所示(画分割线不唯一)
5. B
6. 3　解析:根据题意,得a+b+2.5=6,即a+b=3.5,a2+b2=2.52①.将a+b=3.5两边平方,得a2+2ab+b2=12.25②.由②-①,得 2ab=6,即ab=3.
7. 2　解析:S正方形ACFG=S△DEJ-S△AHJ.
8. (1) 如图①,是直角梯形　(2) ∵ S梯形=(a+b)(a+b)=(a+b)2,又∵ S梯形=2×ab+c2=ab+c2,∴ (a+b)2=ab+c2,即a2+b2=c2　(3) 能　答案不唯一,如图②所示
9. 答案不唯一,如 S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab　S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a(b-a)　ab+b2+ab=ab+c2+a(b-a)