3.3　勾股定理的简单应用 同步练 （2课时，含答案） 2025-2026学年数学苏科版（2024）八年级上册

3.3　勾股定理的简单应用
第1课时　勾股定理的简单应用(1)
1. 要从电线杆上离地面6m处向地面拉一根长10m的电缆,则地面上电缆的固定点与电线杆底部之间的距离应为 (　　)
A. 7mB. 8mC. 9mD. 10m
2. 小明要用铁杆制作一个直角三角形天线,要求最短边的长为8cm,最长边的长为17cm,则小明需要铁杆的总长度为 (　　)
A. 42cm B. 40cm C. 35cm D. 25cm
3. 如图,一个长、宽、高分别为4cm,3cm,12cm的长方体盒子能容下的木棒最长为 (　　)
A. 11cm B. 12cm C. 13cm D. 14cm
　　　　　　　　　　　　　　　
4. (新考向·数学文化)(2024·吉林)有一首古算诗:波平如镜一湖面,半尺高处生红莲.亭亭多姿湖中立,突遭狂风吹一边.离开原处两尺远,花贴湖面像睡莲.根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度,其示意图如图所示,其中AB=AB',AB⊥B'C于点C,BC=0.5尺,B'C=2尺.设AC的长度为x尺,可列方程为　　　　　　　　.
5. 如图,一棵树在离地面3m处被折断,树的顶端落在离树干底部4m处,那么这棵树折断之前的高度是　　　　m.
6. 如图,学校内有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角而走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”,其实他们仅仅少走了　　　　步(假设2步为1m),却踩伤了花草.
7. (新情境·现实生活)如图,小明从点A出发,先向东走1m,然后向南走4m,再向西走2m,接着向南走4m,最后向东走7m,到达点B,求出发点A到终点B的距离.
第7题
8. (教材P106复习题第9题变式)(2023·东营改编)如图,一艘轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,同时,另一艘轮船以12海里/时的速度从港口A出发向东南方向航行.离开港口3小时后,两船相距 (　　)
A. 36海里　 B. 48海里　 C. 60海里　 D. 84海里
　　　　　　　　
9. 如图所示为无盖圆柱形杯子的展开图,将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内,木筷露在杯子外面的部分至少有　　　　cm.
10. 如图,网格中每个小正方形的边长均为1,网格中有AB,CD,EF,GH四条线段(端点均在格点上).其中,能构成一个直角三角形的三条线段是　　　　　　　.
11. (2025·常熟期末)某兴趣小组进行旗杆高度测量活动,如图,旗杆与地面垂直,将升旗的绳索自然下垂,测得绳索比旗杆长1m,拉直绳索,使绳索下端点A落在地面上,测得点A与旗杆底端点B的距离为6m.请根据测量数据计算旗杆BC的高度.
第11题
12. 如图,圆柱形玻璃杯的高为16cm,底面周长为24cm.一只蚂蚁在杯外壁、离杯上沿5.5cm的点A处.蚂蚁发现,在与它相对的杯壁点B处有一滴蜂蜜,已知点B距离杯底5.5cm.
(1) 若蜂蜜在杯外壁,则蚂蚁最少应爬行多远就能吃到蜂蜜
(2) (2023·广安改编)若蜂蜜在杯内壁,蚂蚁要吃到蜂蜜,则最少应爬行多远(杯壁厚度不计)
第12题
第2课时　勾股定理的简单应用(2)
1. (2023·辽宁)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,根据尺规作图的痕迹作射线AG,交BC于点D,则BD的长为 (　　)
　　　　
A. B. C. D.
　　　　　　　　　　　　
2. 如图,在每个小正方形的边长均为1的网格中,点A,B,C均在格点上,则AB的长为　　　　,BC的长为　　　　,AC的长为　　　　.
3. 如图,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=3.若P为边BC的三等分点,连接AP,则AP的长为　　　　.
4. (2023·扬州)如图所示为由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成的“赵爽弦图”,直角三角形的两条直角边的长分别为a,b,斜边的长为c.若b-a=4,c=20,则每个直角三角形的面积为　　　　.
5. 用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示-的点.
6. 如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为边AB上一点.求证:
(1) △ACE≌△BCD;
(2) AD2+DB2=2CD2.
第6题
7. (2024·苏州工业园区期中改编)勾股定理在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图①,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两个正方形按如图②所示的方式放置在最大的正方形内.若知道图②中涂色部分的面积,则一定能求出 (　　)
A. 直角三角形的面积 B. 最大的正方形的面积
C. 图②中较小的两个正方形重叠部分的面积 D. 最大的正方形与直角三角形的面积之和
　　　　　　　　
8. (2024·浙江)如图,正方形ABCD由四个全等的直角三角形(△ABE,△BCF,△CDG,△DAH)和中间一个小正方形EFGH组成,连接DE.若AE=4,BE=3,则DE的长为　　　　.　
9. 如图,CD是Rt△ABC的斜边AB上的高,教材第100页例3通过勾股定理与完全平方公式证明出了结论:CD2=AD·DB.请你利用上述结论与学过的数学知识,求证:
(1) AC2=AD·AB;
(2) BC2=DB·AB.
第9题
10. (2024·陕西)如图,在△ABC中,AB=AC,E是边AB上一点,连接CE,在BC的右侧作BF∥AC,且BF=AE,连接CF.若AC=13,BC=10,求四边形EBFC的面积.
第10题
3.3　勾股定理的简单应用
第1课时　勾股定理的简单应用(1)
1. B　2. B　3. C　4. x2+22=(x+0.5)2　5. 8　6. 4
7. 如图,过点A作AC⊥BC,垂足为C.根据题意,得AC=4+4=8(m),BC=7-2+1=6(m).在Rt△ACB中,由勾股定理,得AC2+BC2=AB2,∴ AB=10m,∴ 出发点A到终点B的距离为10m
8. C　9. 5　10. AB,EF,GH
11. 设旗杆BC的高度为xm,则绳索AC的长为(x+1)m.∵ CB⊥AB,∴ ∠CBA=90°,∴ 在Rt△CBA中,AB2+BC2=AC2,即(x+1)2=x2+62,解得x=17.5.答:旗杆BC的高度为17.5m
12. (1) 如图①,过点A作AH⊥MN于点H,连接AB.由题意,得AH=12cm,BH=16-2×5.5=5(cm).∵ AB2=BH2+AH2,∴ AB=13cm,∴ 若蜂蜜在杯外壁,则蚂蚁最少应爬行13cm就能吃到蜂蜜　(2) 如图②,作点A关于PM的对称点A',过点A'作直线MN的垂线,垂足为D,连接A'B,易得MD=PA'=PA=5.5cm,BD=16-5.5+5.5=16(cm),A'D=12cm.∵ A'B2=A'D2+BD2,∴ A'B=20cm,∴ 若蜂蜜在杯内壁,蚂蚁要吃到蜂蜜,则最少应爬行20cm
第2课时　勾股定理的简单应用(2)
1. D　2. 　　
3. 或　解析:∵ △ABC为等腰直角三角形,∠C=90°,AC=3,∴ BC=AC=3.在Rt△ACP中,AP2=AC2+PC2,∵ P为边BC的三等分点,∴ ① 当PC=BC=1时,AP=;② 当PC=BC=2时,AP=.综上所述,AP的长为或.
4. 96　解析:将b-a=4两边平方后展开,得b2-2ab+a2=16.由勾股定理,得a2+b2=c2=400,∴ ab=192,∴ 每个直角三角形的面积为ab=96.
5. 作法不唯一,如图,点A即为所求
6. (1) ∵ △ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∴ AC=BC,CD=CE.∵ ∠ACB=∠ECD=90°,∴ ∠BCD+∠ACD=∠ACE+∠ACD,∴ ∠BCD=∠ACE.在△ACE和△BCD中,∴ △ACE≌△BCD
(2) ∵ △ACB是等腰直角三角形,∴ ∠B=∠BAC=45°.∵ △ACE≌△BCD,∴ EA=DB,∠CAE=∠B=45°,∴ ∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°,∴ AD2+EA2=DE2,∴ AD2+DB2=DE2.又∵ △ECD是等腰直角三角形,∴ CD2+CE2=2CD2=DE2,∴ AD2+DB2=2CD2
7. C　解析:设直角三角形的斜边长为c,较长直角边长为b,较短直角边长为a.由勾股定理,得c2=a2+b2,∴ 题图②中涂色部分的面积为c2-b2-a(c-b)=a2-ac+ab=a(a+b-c).∵ 题图②中较小的两个正方形重叠部分的长为a,宽为a-(c-b)=a+b-c,∴ 题图②中较小的两个正方形重叠部分的面积为a(a+b-c).
8. 　解析:∵ Rt△DAH≌Rt△ABE,∴ DH=AE=4,AH=BE=3,∴ EH=AE-AH=4-3=1.∵ 四边形EFGH是正方形,∴ ∠DHE=90°,∴ DE2=DH2+EH2,∴ DE=.　
9. (1) ∵ CD是AB边上的高,∴ 在Rt△ADC中,AC2=CD2+AD2.∵ CD2=AD·DB,∴ AC2=AD·DB +AD2=AD·(DB+AD).∵ AB=DB+AD,∴ AC2=AD·AB　(2) ∵ CD是AB边上的高,∴ 在Rt△BDC中,BC2=CD2+DB2.∵ CD2=AD·DB,∴ BC2=AD·DB +DB2=DB·(AD+DB).∵ AB=AD+DB,∴ BC2=DB·AB
10. 如图,过点A作AH⊥BC,垂足为H,过点C分别作CM⊥AB,CN⊥BF,垂足分别为M,N.∵ AB=AC,AH⊥BC,∴ CH=BC=5,∴ 在Rt△AHC中,AH2=AC2-CH2,∴ AH=12,∴ S△ABC=BC·AH=×10×12=60.∵ AB=AC,∴ ∠ABC=∠ACB.∵ BF∥AC,∴ ∠ACB=∠CBF,∴ ∠ABC=∠CBF.∵ CM⊥AB,CN⊥BF,∴ CM=CN.∵ S△ACE=AE·CM,S△CBF=BF·CN,AE=BF,∴ S△ACE=S△CBF,∴ S四边形EBFC=S△CBF+S△CBE=S△ACE+S△CBE=S△ABC=60