第1章 　三 角 形 整合提升 同步练 （含答案） 2025-2026学年数学苏科版（2024）八年级上册

第1章　三 角 形
整合提升
考点一　三角形中的线段和角
1. (2023·福建)若某三角形的三边长分别为3,4,m,则m的值可以是 (　　)
　　　　
A. 1 B. 5 C. 7 D. 9
2. 已知等腰三角形的一边长为4,一边长为9,则它的周长为　　　　.
3. (整体思想)如图,在△ABC中,AB=AC=2,P是BC上任意一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F.若S△ABC=1,则PE+PF的值为　　　　.
　　　　　　　　　　
4. 如图,AD为△ABC的中线,BE为△ABD的中线.若△ABC的面积为40,BD=5,则△BDE的边BD上的高为　　　　.
5. 如图,BG平分∠ABD,CG平分∠ACD,∠BDC=140°,∠BGC=110°,则∠A的度数为　　　　.
6. 如图,AD是△ABC的中线,求证:AB+AC>2AD.
第6题
考点二　全等三角形的判定与性质
7. 如图,点A,D,C,F在同一条直线上,BC∥EF,AD=CF,添加下列一个条件:① BC=EF;② AB=DE;③ ∠A=∠F;④ AB∥DE.其中,能使△ABC≌△DEF的有 (　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
　　　　　　　　　　
8. (2024·吴中区期中)如图,点C在∠AOB的边OB上,尺规作图痕迹显示的是 (　　)
A. 作线段CE的垂直平分线 B. 作∠AOB的平分线
C. 连接EN,则△CEN不是等腰三角形 D. 作CN∥OA
9. (新考法·条件开放题)如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD,CE交于点H,请你添加一个适当的条件:　　　　　,使△AEH≌△CEB.
10. 如图,AB=AC,AB⊥AC,AD⊥AE,且∠ABD=∠ACE.求证:BD=CE.
第10题
11. 如图,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB,交AB的延长线于点E,DF⊥AC,交AC的延长线于点F.求证:DE=DF.
第11题
考点三　线段垂直平分线与角平分线
12. 如图,在△ABC中,l1是AB的垂直平分线,l2是AC的垂直平分线,l1与l2交于点O,则点O在 (　　)
A. ∠A的平分线上 B. BC的垂直平分线上 C. 边BC的中线上 D. 边BC的高上
　　　　　　　　　　　　
13. 如图,依据尺规作图的痕迹,可得∠α的度数为　　　　.
14. 如图,∠AOE=15°,OE平分∠AOB,DE∥OB交OA于点D,EC⊥OB,垂足为C.若EC=2,则OD的长为　　　　.
15. (2024·张家港期中)如图,在△ABC中,∠B=105°,∠C=35°,M是AB边的中点,N是AC边上任意一点,将△AMN沿直线MN翻折,使点A关于直线MN的对称点D落在直线BC上,则∠DNC的度数为　　　　.
16. (分类讨论思想)在△ABC中,AB=AC,O为平面上一点,且OB=OC.点A到BC的距离为8,点O到BC的距离为3,求AO的长.
考点四　等腰三角形的性质与判定
17. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,CE平分∠ACD交AB于点E,则下列结论一定成立的是 (　　)
A. BC=EC B. EC=BE C. BC=BE D. AE=EC
　　　　　　　　　　　　
18. 如图,∠ACB=∠ADB=90°,E为AB的中点,连接CD,CE,DE.若∠CDE=56°,则∠DCE的度数是 (　　)
A. 56° B. 62° C. 63° D. 72°
19. 如图,在△ABC中,点D在BC上,且BD,CD的垂直平分线分别与AB,AC相交于点E,F.若△ABC的三个内角都不相等,则在∠1,∠2,∠3,∠4中,相等的角为　　　　　(用“=”连接).　
20. (2024·新疆)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8.若点D在直线AB上(不与点A,B重合),且∠BCD=30°,则AD的长为　　　　　.
21. 如图,在△ABC中,D为AB上一点,E为BC上一点,且AC=CD=BD=BE,∠A=50°,求∠CDE的度数.
第21题
22. (2024·新疆)已知△ABC和△ADE都是等边三角形.
(1) 如图①,当点D在BC上时,连接CE.请探究CA,CE和CD之间的数量关系,并说明理由.
(2) 如图②,当点D在线段BC的延长线上时,连接CE,则CA,CE和CD之间的数量关系是　　　　　　.
23. (2024·安徽)在凸五边形ABCDE中,AB=AE,BC=DE,F是CD的中点.补充下列条件后,不能得到AF与CD一定垂直的是 (　　)
A. ∠ABC=∠AED B. ∠BAF=∠EAF C. ∠BCF=∠EDF D. ∠ABD=∠AEC
24. 如图,P为△ABC内一点,过点P的线段MN分别交AB,BC于点M,N,且点M,N分别在PA,PC的垂直平分线上.若∠ABC=80°,则∠APC的度数为 (　　)
A. 120° B. 125° C. 130° D. 135°
　　　　　　　　　
25. (2024·临夏改编)如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,将△ABC沿其底边上的中线AD向下平移,使点A的对应点A'满足AA'=AD,A'B'与BD的交点为M,则B'M的长为　　　　.
26. 如图,在四边形ABCD中,AB=AD,AC=5,∠DAB=∠DCB=90°,则四边形ABCD的面积为　　　　.　
27. (2024·苏州工业园区期末)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=6cm,BD=10cm,BC>8cm.动点P以1cm/s的速度从点A出发沿边AD向点D匀速移动,动点Q以2cm/s的速度从点B出发沿边BC向点C匀速移动,动点M从点B出发沿对角线BD向点D匀速移动,三点同时出发.连接PM,QM,当动点M的速度为　　　　cm/s时,存在某个时刻,使得以P,D,M为顶点的三角形与△QBM全等.
28. (2023·滨州)已知P是等边三角形ABC的边BC上的一点.若∠APC=104°,则在以线段AP,BP,CP为边的三角形中,最小内角的度数为　　　　.
29. 如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=40°,点D在线段BC上运动(不与点B,C重合),连接AD,作∠ADE=40°,DE交线段AC于点E.
(1) 当DC=2时,求证:△ABD≌△DCE.
(2) (分类讨论思想)在点D的运动过程中,△ADE的形状也在改变,当∠BAD的度数为多少时,△ADE是等腰三角形 请说明理由.
第29题
第1章整合提升
1. B　2. 22　3. 1　4. 4　5. 80°
6. 如图,延长AD至点E,使DE=AD,连接CE. ∵ AD是△ABC的中线,∴ BD=DC.在△ABD和△ECD中,∴ △ABD≌△ECD(SAS),∴ AB=EC. ∵ 在△ACE中,EC+AC>AE,∴ AB+AC>AD+DE,即AB+AC>2AD
7. B　8. D　9. 答案不唯一,如AH=CB
10. ∵ AD⊥AE,AB⊥AC,∴ ∠DAE=∠BAC=90°,∴ ∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE,∴ ∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE中,∴ △ABD≌△ACE(ASA),∴ BD=CE
11. 如图,连接AD.在△ABD和△ACD中,∴ △ABD≌△ACD(SSS),∴ ∠BAD=∠CAD.∵ DE⊥AE,DF⊥AF,∴ ∠E=∠F=90°.在△AED和△AFD中,∴ △AED≌△AFD(AAS),∴ DE=DF
12. B　13. 60°　14. 4　15. 80°或110°
16. ∵ AB=AC,∴ 点A在线段BC的垂直平分线上.∵ OB=OC,∴ 点O也在线段BC的垂直平分线上,∴ AO所在的直线即为线段BC的垂直平分线.设直线AO与线段BC交于点M.由题意,得AM=8,OM=3.如图①,当点A,O在BC的同侧时,AO=AM-OM=8-3=5;如图②,当点A,O在BC的异侧时,AO=AM+OM=8+3=11.综上所述,AO的长为5或11
17. C　18. A　19. ∠2=∠4　20. 6或12
21. ∵ AC=CD=BD=BE,∠A=50°,∴ ∠A=∠CDA=50°,∠B=∠DCB,∠EDB=∠DEB.∵ ∠CDA是△BDC的外角,∴ ∠CDA=∠B+∠DCB,∴ ∠B=25°.∵ 在△BDE中,∠B+∠EDB+∠DEB=180°,∴ ∠EDB=×(180°-25°)=77.5°,∴ ∠CDE=180°-∠CDA-∠EDB=180°-50°-77.5°=52.5°
22. (1) CE+CD=CA　理由:∵ △ABC和△ADE都是等边三角形,∴ AB=AC=BC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,∴ ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,∴ ∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE中, ∴ △ABD≌△ACE(SAS),∴ BD=CE.∵ BD+CD=BC,∴ CE+CD=CA.　(2) CA+CD=CE
23. D　24. C　25.
26. 12.5　解析:如图,过点A作AE⊥AC,交CB的延长线于点E,则∠CAE=∠DAB=90°.∴ ∠CAE-∠CAB=∠DAB-∠CAB,即∠BAE=∠DAC.∵ ∠CAE=90°,∴ ∠ACB+∠E=90°.∵ ∠DCB=90°,∴ ∠ACD+∠ACB=90°,∴ ∠E=∠ACD.在△ABE和△ADC中, ∴ △ABE≌△ADC(AAS),∴ AE=AC=5,S△ABE=S△ADC,∴ S四边形ABCD=S△ADC+S△ABC=S△ABE+S△ABC=S△ACE=AC·AE=×5×5=12.5.
27. 0.5或2.5　解析:设动点M的速度为vcm/s.当△DPM≌△BMQ时,v=0.5;当△DPM≌△BQM时,v=2.5.
28. 16°　解析:如图,过点P作PD∥AB交AC于点D,过点P作PE∥AC交AB于点E,则△BPE,△CPD均为等边三角形,∴ BP=PE,CP=PD,∠PDC=∠DPC=60°.证△AEP≌△PDA,得PE=AD,∴ BP=AD,∴ △ADP就是以线段AP,BP,CP为边的三角形.∵ ∠APD=∠APC-60°=44°,∠ADP=180°-∠PDC=120°,∴ ∠PAD=180°-∠APD-∠ADP=16°,∴ 在满足题意的三角形中,最小内角的度数为16°.
29. (1) ∵ AB=AC,∴ ∠B=∠C.∵ ∠ADC是△ABD的外角,∴ ∠ADC=∠B+∠BAD,即∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD.∵ ∠B=40°,∠ADE=40°,∴ ∠CDE=∠BAD.∵ AB=2,DC=2,∴ AB=DC.在△ABD和△DCE中,∴ △ABD≌△DCE(ASA)
(2) 当∠BAD的度数为30°或60°时,△ADE是等腰三角形　理由:∵ 在△ABC中,AB=AC,∴ ∠B=∠C=40°.① 若AD=AE,则∠AED=∠ADE=40°.∵ ∠AED是△DEC的外角,∴ ∠AED=∠EDC+∠C,∴ ∠EDC=0°,此时点D,B重合,不符合题意,舍去.② 若AD=ED,则∠DAE=∠DEA=(180°-∠ADE)=×(180°-40°)=70°.∵ ∠AED=∠EDC+∠C,∴ ∠EDC=30°,∴ ∠BAD=∠EDC=30°.③ 若AE=DE,则∠DAE=∠ADE=40°.∵ △ABC的内角和为180°,∴ ∠BAC=180°-2×40°=100°,∴ ∠BAD=100°-40°=60°.综上所述,当∠BAD的度数为30°或60°时,△ADE是等腰三角形.