第3章勾股定理 整合提升 同步练 （含答案） 2025-2026学年数学苏科版（2024）八年级上册

第3章勾股定理
整合提升
考点一　勾股定理及其证明
1. 　　　　
已知直角三角形一条直角边的长与斜边的长之比为3∶5,另一条直角边的长为24,则该直角三角形的周长为 (　　)
A. 68 B. 72 C. 80 D. 100
2. (2023·随州)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D为AC上一点.若BD是∠ABC的平分线,则AD的长为 (　　)
A. 4 B. C. 5 D.
　　　　　　　　　
3. (整体思想)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,分别以AC,BC为直径向外作半圆,半圆的面积分别记为S1,S2,则S1+S2的值为　　　　.
4. 在△ABC中,AB=AC,∠BAC的平分线AD交BC于点D,E为AB的中点.若BC=12,AD=8,则DE的长为　　　　.
5. (2023·天津)如图,在△ABC中,按照尺规作图痕迹作直线MN,分别与边BC,AC相交于点D,E,连接AD.若BD=DC,AE=4,AD=5,则AB的长为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　
6. 在如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点A,B,C均在格点上,则点C到AB的距离为　　　　.
7. (2025·昆山期末)如图,在Rt△ACB中,BC=3,AB=5,∠BCA=90°,在AC上取一点E,连接BE,将△ABE沿BE翻折得到△A'BE,使得点A'落在直线BC上,则AE的长为　　　　.
8. 如图,△ADE和△ACB是两直角边的长分别为a,b,斜边的长为c的全等的直角三角形,∠DAB=90°,连接CD.求证:a2+b2=c2.
第8题
考点二　勾股定理的逆定理与勾股数
9. (2024·昆山期中)以下列各选项中的三个数为三角形的三边长,其中,能构成直角三角形的是 (　　)
A. 2,3,4 B. 9,12,15 C. 32,42,52 D. ,,
10. 在△ABC中,AB=25cm,BC=48cm,边BC上的中线AD=7cm,那么∠ADC的度数为　　　　,AC=　　　　cm.
11. (新考法·阅读理解)(2024·张家港期中)若直角三角形的三边长都是正整数,则三边长为“勾股数”.当m为大于2的正整数时,m2+1,m2-1和2m就是勾股数,根据勾股数的这种关系式,就可以找出勾股数.
(1) 当m=4时,该组勾股数是　　　　;
(2) 若一组勾股数中最大的数与最小的数的和为16,求m的值;
(3) 若一组勾股数中最大的数是a2+6a+10(a是任意正整数),则另外两个数分别为　　　　,　　　　(分别用含a的代数式表示).
考点三　勾股定理的应用
12. (新考向·传统文化)(2023·南京)我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一个问题:“问沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.欲知为田几何 ”大意如下:如图,在△ABC中,AB=13里,BC=14里,AC=15里,则△ABC的面积是 (　　)
A. 80平方里 B. 82平方里 C. 84平方里 D. 86平方里
　　　　　　　　
13. 如图,某港口P位于东西方向的海岸线上,甲、乙两船同时离开港口,各自沿一固定方向航行.已知甲、乙两船每小时分别航行12海里和16海里,1小时后两船分别位于点A,B处,且相距20海里.若甲船沿北偏西40°方向航行,则乙船沿　　　　　　方向航行.
14. (新情境·现实生活)如图所示为一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为100cm,15cm,10cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,点A处有一只蚂蚁想到点B处去吃可口的食物(只在台阶表面上爬行),则它所爬行的最短路程为　　　　cm.
15. 已知直角三角形纸片的两条直角边的长分别为m和n(mA. m2+2mn+n2=0 B. m2-2mn+n2=0
C. m2+2mn-n2=0 D. m2-2mn-n2=0
16. (整体思想)如图,C是线段AB上的一点,分别以AC,BC为边向两侧作正方形.设AB=6,两个正方形的面积S1,S2之和为20,则△BCD的面积为　　　　.
　　　　　　　　　　
17. (2023·广州)如图,正方形ABCD的边长为4,点E在边BC上,且BE=1,F为对角线BD上一动点,连接CF,EF,则CF+EF的最小值为　　　　.
18. (2024·吴江区期中)如图,四边形ABCD为正方形,E是边AD上一点,连接BE,过点C作CF⊥BE于点F,连接AF.若AF=,BF=1,则CF的长为　　　　.
19. 如图,在△ABC中,AB=8,AC=17,AD是边BC上的中线,AD=,求△ABC的面积.
第19题
20. 如图,在一张长方形纸片ABCD中,AB=8,BC=6,P为AD上的一点,将△ABP沿BP折叠至△EBP处,PE与CD相交于点O,且OE=OD,求AP的长.
第20题
第3章 勾股定理 整合提升
1. B　2. C　3. 2π　4. 5　5. 6
6. 　解析:设点C到AB的距离为h.由勾股定理,得AB2=32+42=25,∴ AB=5.根据△ABC的面积公式,得×2×4=×5h,解得h=.∴ 点C到AB的距离为.
7. 2.5
8. 如图,连接DB,过点D作DF⊥BC,交BC的延长线于点F,则DF=EC=b-a.∵ S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab,又∵ S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a(b-a),∴ b2+ab=c2+a(b-a),∴ a2+b2=c2
9. B　10. 90°　25
11. (1) 17,15,8　(2) 当m>2时,m2+1>m2-1>2m,∴ 当这组勾股数中最大的数与最小的数的和为16时,m2+1+2m=16,∴ (m+1)2=16.∵ m为大于2的正整数,∴ m+1=4,解得m=3
(3) a2+6a+8　2a+6　解析:∵ a2+6a+10=(a+3)2+1,∴ 当一组勾股数中最大的数是a2+6a+10(a是任意正整数)时,另外两个数分别为(a+3)2-1=a2+6a+8与2(a+3)=2a+6.
12. C　解析:过点A作AD⊥BC于点D.设BD=x里,则CD=(14-x)里.在Rt△ABD中,AD2=(132-x2)里2;在Rt△ADC中,AD2=[152-(14-x)2]里2.∴ 132-x2=152-(14-x)2,解得x=5,∴ AD2=132-52=144(里2),∴ AD=12里,∴ △ABC的面积为BC·AD=×14×12=84(平方里).
13. 北偏东50°　14. 125
15. C　解析:如图,剪成一个腰长为m的等腰直角三角形和一个腰长为n-m的等腰三角形.由题意,得m2+m2=(n-m)2,即2m2=n2-2mn+m2,∴ m2+2mn-n2=0.
16. 4　解析:设AC=a,BC=b.由题意,得a+b=6,a2+b2=20.∵ a2+b2=(a+b)2-2ab,∴ 20=62-2ab,∴ ab=8,∴ △BCD的面积为ab=×8=4.
17. 　解析:连接AF,AE.∵ 对角线BD所在直线是正方形的对称轴,∴ AF=CF.根据“两点之间,线段最短”,可知当A,F,E三点共线时,AF+EF取得最小值,即CF+EF取得最小值,为AE的长.在Rt△ABE中,由勾股定理,得AE===,∴ CF+EF的最小值为.
18. 2　解析:在CF上截取CL=BF=1,连接BL,易证△BCL≌△ABF,得BL=AF=.在Rt△BFL中,由勾股定理,得FL==1,∴ CF =CL+FL=1+1=2.
19. 如图,延长AD至点E,使得ED=AD,连接CE.∵ AD是边BC上的中线,∴ BD=CD.在△ABD和△ECD中,∴ △ABD≌△ECD,∴ AB=EC=8,S△ABD=S△ECD.∵ S△ABC=S△ABD+S△ADC,S△AEC=S△ECD+S△ADC,∴ S△ABC=S△AEC.∵ AD=,∴ AE=AD+DE=15.又∵ AC=17,∴ AE2+EC2=AC2,∴ ∠E=90°,∴ S△ABC=S△AEC=AE·EC=×15×8=60
20. 设DC与BE相交于点G.∵ 四边形ABCD是长方形,∴ ∠D=∠A=∠C=90°,AD=BC=6,CD=AB=8.根据折叠的特征,得△EBP≌△ABP,∴ EP=AP,∠E=∠A=90°,BE=BA=8,∴ ∠D=∠E.在△ODP和△OEG中,∴ △ODP≌△OEG,∴ OP=OG,PD=GE,∴ OP+OE=OG+OD,即EP=DG.设AP=x,则PD=GE=6-x,EP=DG=x.∴ CG=8-x,BG=8-(6-x)=2+x.在Rt△BCG中,由勾股定理,得BC2+CG2=BG2,即62+(8-x)2=(2+x)2,解得x=4.8.∴ AP的长为4.8