中小学教育资源及组卷应用平台
数列单元测试卷（培优卷）
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：150分
分值分布 客观题（占比） 63.0(42.0%)
主观题（占比） 87.0(58.0%)
题量分布 客观题（占比） 12(63.2%)
主观题（占比） 7(36.8%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 8(42.1%) 40.0(26.7%)
填空题 3(15.8%) 15.0(10.0%)
解答题 5(26.3%) 77.0(51.3%)
多项选择题 3(15.8%) 18.0(12.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (26.3%)
2 容易 (36.8%)
3 困难 (36.8%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 斐波那契数列 5.0(3.3%) 8
2 等比数列的前n项和 5.0(3.3%) 7
3 数列的通项公式 21.0(14.0%) 19
4 数列的递推公式 56.0(37.3%) 1,8,11,13,16,19
5 等差中项 19.0(12.7%) 2,16
6 等比数列的性质 10.0(6.7%) 5,7
7 等差数列的性质 10.0(6.7%) 2,4
8 等比数列的通项公式 34.0(22.7%) 9,16,18
9 数列的前n项和 27.0(18.0%) 11,19
10 等差数列与等比数列的综合 28.0(18.7%) 17,18
11 等差数列的通项公式 45.0(30.0%) 3,9,10,15,18
12 等比数列概念与表示 20.0(13.3%) 9,16
13 数列的求和 33.0(22.0%) 13,15,18
14 数列的概念及简单表示法 5.0(3.3%) 12
15 对数的性质与运算法则 11.0(7.3%) 5,9
16 数列的函数特性 6.0(4.0%) 10
17 等差数列概念与表示 22.0(14.7%) 6,9,11,14
18 等差数列的前n项和 40.0(26.7%) 3,4,6,10,14,15
19 等比中项 5.0(3.3%) 3
20 通项与前n项和的关系 5.0(3.3%) 12
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
数列单元测试卷（培优卷）
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：当时，，
当时，.
故答案为：D.
【分析】本题已知数列首项和前项和与的关系，要通过取特定值（、 ），利用的定义（是前项和，即 ）建立方程，逐步求出、的值.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：由是等差数列的前n项和，
则成等差数列，
因为，，
所以，，
所以，所以，
则.
故答案为：A.
【分析】由已知条件可得成等差数列，再结合等差中项公式得出的值.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：由已知得，又因为是公差为2的等差数列，
则，
所以，解得，
所以，
则.
故答案为：A.
【分析】利用等比中项的性质求出的值，再结合题意得到等差数列的通项公式，再利用等差数列前项和公式得出等差数列的前项和.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：B、，由等差数列的性质可得，
因为，所以，故B错误；
A、等差数列的公差，则数列为递减数列，故A错误；
C、由于时，，时，，则的最大值为，故C正确；
D、，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据等差数列的性质及前项和公式逐项分析判断即可.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得，
则.
故答案为：A.
【分析】由等比数列的性质结合对数的运算法则，从而得出的值.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意，得，，
令，
则是首项为，公差为的等差数列，
则
.
故答案为：D.
【分析】将变形为，再构造等差数列，通过等差数列求和公式计算得出的值.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：将数列分组，使每组第一项均为1，即：
第一组：
第二组：
第三组：
……
第组：
根据等比数列前项公式，得每组和分别为：，
每组含有的项数分别为.
所以
若，即，
若，则，即为前5组与第6组的第1个数的和，
此时，无解，故A错误，
同理若，则，此时，即，B符合题意；
同理若，则，此时，无解，故C错误，
同理若，则，此时，无解，故D错误，
综上可知，，
故选：
【分析】将数列分组，使每组第一项均为1，第一组：，第二组：，第三组：，……，第组：，根据等比数列前项和公式对选项逐一验证即可.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，这样的数列称为“斐波那契数列”得当时，，则，
所以，，……，，，
所以
，
所以，所以，
因为当时，，则，
所以，
所以，
所以
，
所以，
所以.
故选：A
【分析】由题意得当时，，变形的可证得，，再结合已知条件可求得结果.
9．【答案】A,C,D
【解析】【解答】解：对于A，设等差数列的公差为d，则，则
，
同理可得
所以，所以仍为等差数列，故A正确；
对于B，取数列为不能成等比数列，故 B错误；
对于C，设等差数列的公差为d，则，于是
所以为等差数列，故C项正确；
对于D，因为为正项等比数列 ，所以，
又，所以为等差数列，故D正确.
故答案为：A、C、D.
【分析】根据等差数列定义、等差数列通项公式及数列和的涵义，可判断A正确.取特例代入可判断B错误.根据根据等差数列定义判断C正确.利用等比数列定义、等差数列定义结合对数运算，可判断D正确.
10．【答案】A,B,C
【解析】【解答】根据题意，等差数列中，设其公差为d，
若，则，变形可得，
若，则，变形可得，
所以，且，所以B对；
当取最小值时，则n=1012，所以C对；
因为，则且
再结合二次函数的性质可得，要使的的最小值为，所以A对；
因为所以数列为等差数列，其公差为，
所以数列为单调递增的数列，所以D错。
故答案为：ABC.
【分析】根据题意，等差数列中，设其公差为d，由等差数列前n项和公式可得和，由此判断出选项B，C正确，再利用和的表达式，从而判断出选项A和选项D，进而找出正确的选项。
11．【答案】B,C,D
【解析】【解答】解：由题意可得，，
A、当时，，所以，数列是以4为公差的等差数列，故A错误；
B、当时，，所以数列前16项中奇数项有8项，其和为8，
偶数项有8项，其和为，故数列的前16项和为160，故B正确；
C、当时，，令，得①，
令，得②，令，得③，
①②，得，①③，得，所以，所以数列前16项和为，故C正确；
D、由选项C可知，当数列的项数为偶数时，令项数为2k（），
即偶数项和大于奇数项和，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由题意可得，进而得，根据等差数列的通项公式即可判断A；分别求出数列前16项和中奇数项和与偶数项和，即可判断B；由得、、，进而得，计算即可判断C；由选项C知，利用累加法求出数列前2k项和中偶数项和与奇数项和之差，即可判断D.
12．【答案】
【解析】【解答】解：由已知 数列中的前n项和（n 为正整数） ，S1=a1=-2
所以有
当n=1时代入an=-2=a1，所以
故答案为：.
【分析】(1)根据数列的函数性质写出，再利用，求出an.
(2)注意当n=1时，所求通项公式an是否满足题意.
13．【答案】
【解析】【解答】解：数列满足，化简可得，
则数列是以为首项，1为公差的等差数列，，即，
则，
故.
故答案为：.
【分析】根据已知数列的递推公式化简，结合等差数列的概念求出，再利用裂项相消法求和即可.
14．【答案】2
【解析】【解答】解：因为数列为调和数列，所以，为常数，
则数列为等差数列，
由，可得，
则，即，
，则，
．
当且仅当时等号成立，故的最大值为2．
故答案为：2.
【分析】由题意，根据调和数列，可得数列为等差数列，根据等差数列求和公式得，再利用不等式求解即可．
15．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，因为，所以，
又因为，所以，解得，
则，
；
（2）解：由（1）可得，
则．
【解析】【分析】（1）由题意，利用等差数列性质求出通项公式和前项和即可；
（2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可.
（1）设的公差为，因为，所以，
又，所以，解得，
所以，
．
（2），
所以
．
16．【答案】（1）解：因为数列满足，，所以，
因为是和的等差中项，所以，解得；
（2）解：由（1）知，所以，
又，所以（常数），
所以数列是以1为首项，以3为公比的等比数列．
则，所以．
【解析】【分析】（1）由题意可得，再根据是和的等差中项建立等式求解即可；
（2）构造数列，根据等比数列定义及通项公式求解即可.
（1）根据题意有，
因为是和的等差中项，
所以，解得．
（2）由（1）知，所以，
又，所以（常数），
所以数列是以1为首项，以3为公比的等比数列．
则，所以．
17．【答案】（1）解：数列的前项和为，，当时，，
两式相减得，即，由，得，
因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，；
由是与的等比中项，得，又，则，
整理得，又，解得，于是，
所以数列的通项公式分别为，.
（2）解：由（1）知，，
，
于是，
两式相减，
所以.
【解析】【分析】（1）先利用与的关系可得，再利用等比中项的定义求出=3，再利用通项公式即可求解；
（2）利用（1）的结论求出，再利用错位丰减法求和即可求解.
（1）数列的前项和为，，当时，，
两式相减得，即，由，得，
因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，；
由是与的等比中项，得，又，则，
整理得，又，解得，于是，
所以数列的通项公式分别为，.
（2）由（1）知，，
，
于是，
两式相减得，
所以.
18．【答案】（1）解：设等比数列的公比为，
则，
成等差数列，
，即，
化简整理得，
解得，或，
又因为等比数列为递增数列，且，即
所以故，
首项，
.
（2）解：由（1）可得
则数列的前项和为
【解析】【分析】（1）已知等比数列，利用等比数列的通项公式求出，再利用等差数列的定义即可求出q，根据为递增等比数列可得，代入已知即可求出即可求解.
（2）先由（1）可得再分组求和转化为等比数列求和即可求解.
（1）由题意，设等比数列的公比为，
则，
成等差数列，
，即，
化简整理，得，
解得（舍去），或，
首项，
.
（2）由（1）可得
则数列的前项和为
19．【答案】（1）解：由题意可知，，所以或，
当时，因为，所以，所以；
当时，因为，所以或，
所以或，
所以有序实数对的取值情况为，，．
（2）解：由题可得，，，
所以，
累加得，即，
因为，所以上述不等式中的等号同时成立，
所以，，
所以数列是以为首项，3为公差的等差数列，
所以（，）．
所以数列的通项公式（，）．
（3）证明：令，，所以，
因为，
所以，
又，所以
因为，且j为奇数，所以为偶数，
所以为偶数，
因为，所以为偶数，
又因为为奇数，所以k为偶数．
当为偶数时，．
【解析】【分析】（1）根据定义，即可得或，进而结合分类讨论求得a3的值，即可求得有序实数对的所有取值；
（2）根据题意可得，即可得，利用累加法，结合等号成立条件可得是以为首项，3为公差的等差数列，即可利用等差数列的通项公式即可求得；
（3）根据得，进而利用等差求和可得，根据为偶数，得为偶数，即可求证明.
（1）由题，，所以或，
当时，，得或，
因为，所以，
此时；
当时，，得或，符合，
此时或，
所以的取值情况为，，．
（2）由题，，，
所以，
累加得，即，
因为，所以上述不等式中的等号同时成立，
所以，，
故数列是以为首项，3为公差的等差数列，
故（，）．
所以数列的通项公式（，）．
（3）证明：令，，则，
因为，
所以，
又，所以
因为，且j为奇数，所以为偶数，
所以为偶数，
因为，所以为偶数，
又因为为奇数，所以k为偶数．得证．
当为偶数时，．符合条件
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
数列单元测试卷（培优卷）
一、选择题(共8题；共40分)
1．设数列的前项和为．若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．设是等差数列的前n项和，若，，则（ ）
A． B． C． D．
3．等差数列的公差是2，若成等比数列，则的前项和（ ）
A． B． C． D．
4．已知是等差数列的前项和，且，，则（ ）
A．数列为递增数列 B．
C．的最大值为 D．
5．等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．5 B．10 C．4 D．
6．已知函数，满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列：，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推.是数列的前项和，若，则的值可以等于（ ）
A． B． C． D．
8．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：.其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记为“斐波那契数列”的前项和，若，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题(共3题；共18分)
9．设数列的前n项和为，下列命题正确的是（ ）
A．若为等差数列，则，，仍为等差数列
B．若为等比数列，则，，仍为等比数列
C．若为等差数列，则为等差数列
D．若为正项等比数列，则为等差数列
10．已知为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．使的的最小值为 B．
C．当取最小值时， D．为单调递减的数列
11． 已知数列，则（ ）
A．当时，数列是公差为2的等差数列
B．当时，数列的前16项和为160
C．当时，数列前16项和等于72
D．当时，数列的项数为偶数时，偶数项的和大于奇数项的和
三、填空题(共3题；共15分)
12．若数列中的前n项和（n为正整数），则数列的通项公式 .
13．已知数列满足：．若，则数列的前项和 .
14．若数列满足，（，为常数，则称数列为调和数列．已知数列为调和数列，且，则的最大值为 ．
四、解答题(共5题；共77分)
15．记等差数列的前项和为，已知，且．
（1）求和；
（2）设，求数列的前项和．
16．已知数列中，，（，），且是和的等差中项．
（1）求实数的值；
（2）求证：数列是等比数列，并求出的通项公式．
17．已知数列的前项和为，且满足，公差不为0的等差数列中，，且是与的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18．已知递增的等比数列满足，且成等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）设求数列的前项和.
19．定义：若对，，都有（j为常数，且），则称数列为“绝对等差数列”，常数j为数列的“绝对公差”．已知“绝对公差”数列所有项的和为E．
（1）若，，，请写出有序实数对的所有取值；
（2）若数列共有259项，且，，，求数列的通项公式；
（3）若j为奇数，数列共有2k（，）项，且，．证明：k为偶数，并写出一个符合条件的数列．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
