四川省绵阳南山中学2024-2025学年高二下学期末教学质量检测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高二下·绵阳期末）通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到列联表如表所示：
跳绳 性别 合计
男 女
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
合计 60 50 110
附：，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
则以下结论正确的是（ ）
A．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关
B．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001
C．根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关
D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关
2．（2025高二下·绵阳期末）如图，直线与曲线相切于两点，则函数在上的极大值点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2025高二下·绵阳期末）已知数列中，，若，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2025高二下·绵阳期末）函数，若存在，使得对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高二下·绵阳期末）已知的面积为1，取各边的中点作，然后再取各边的中点作依此方法一直继续下去.记的面积为，数列的前项和为，则（ ）
A．数列为常数列 B．数列为递增数列
C．数列为递减数列 D．数列为递增数列
6．（2025高二下·绵阳期末）对于，恒成立，则正数的范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高二下·绵阳期末）某商场在有奖销售的抽奖环节，采用人工智能(AI)技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码.并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖.已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高二下·绵阳期末）已知数列满足递推关系，且，若存在等比数列满足，则公比为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高二下·绵阳期末）某母牛养殖基地有品种牛126头、品种牛84头、品种牛42头，根据发展需要，拟用分层抽样的方法，从这252头牛中抽取12头向外出售，则下列说法正确的是（ ）
A．12头牛中品种牛、品种牛、品种牛的数量分别为6头、4头、2头
B．客户甲从向外出售的12头牛中的品种牛、品种牛中随机挑选4头，则这4头中至少含有3头品种牛的概率为
C．客户乙从向外出售的12头牛中的品种牛、品种牛中依次不放回地随机挑选3头，已知第1次挑选出的是品种牛，则第3次挑选出的是品种牛的概率为
D．客户丙从向外出售的12头牛中的品种牛、品种牛中随机挑选品种牛头、品种牛1头的概率为，则
10．（2025高二下·绵阳期末）已知函数，则（ ）
A．曲线的图象与轴有交点
B．当时，在处有极大值
C．存在，使得是曲线的对称中心
D．当时，若曲线与曲线在上有两个交点，则
11．（2025高二下·绵阳期末）设，，…，、，，…，为两组正实数，，，…，是，，…，的任一排列，我们称为这两组正实数的乱序和，为这两组正实数的反序和，为这两组正实数的顺序和.根据排序原理有，即反序和≤乱序和≤顺序和.则下列说法正确的是（ ）
A．数组和的反序和为30
B．若，，其中，，…，都是正实数，则
C．设正实数，，的任一排列为，，，则的最小值为3
D．已知正实数，，…，满足，P为定值，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高二下·绵阳期末）若随机变量，且，，则的最小值为
13．（2025高二下·绵阳期末）等差数列中，，前n项和为，若，则 .
14．（2025高二下·绵阳期末）已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值为 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高二下·绵阳期末）某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入．该公司第i年的年广告费（单位：百万元）满足递推关系，且，年销售量（单位：百万辆）与年广告费相关．令，经过数据处理得到如下统计量的值：
44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06
现有模型作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中均为常数．
（1）求；
（2）求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？
（3）该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）．该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍．电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率．（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）
附：①回归直线
②参考数据：，．
16．（2025高二下·绵阳期末）已知数列满足，且对任意的，都有.
（1）设，求数列的通项公式；
（2）数列表示不超过的最大整数，求的前350项和.
17．（2025高二下·绵阳期末）已知函数，其中，.
（1）曲线在处的切线方程为，求，的值；
（2）当时，求的极值点；
（3）当时，若函数在区间上的最大值为，求的取值范围.
18．（2025高二下·绵阳期末）已知函数及其导数的定义域均为，且对一切恒成立.
（1）若，，，求的值；
（2）若是二次函数，求的取值范围；
（3）若同时满足对一切恒成立且，证明：函数没有最大值，但是有最小值.[提示：一个在闭区间上的连续函数，函数的最大值与最小值一定存在.］
19．（2025高二下·绵阳期末）飞行棋是大家熟悉的棋类游戏，玩家通过投掷骰子来决定飞机起飞与飞行的步数.当且仅当玩家投掷出点时，飞机才能起飞.并且掷得点的游戏者可以连续投掷骰子，直至显示点数不是点.飞机起飞后，飞行步数即骰子向上的点数.
（1）求甲玩家第一轮投掷中，投郑次数的均值）
（2）对于两个离散型随机变量、，我们将其可能出现的结果作为一个有序数对，类似于离散型随机变量的分布列，我们可以用如下表格来表示这个有序数对的概率分布：
（记，）
若已知，则事件的条件概率为.可以发现依然是一个随机变量，可以对其求期望.
（ⅰ）上述期望依旧是一个随机变量（取值不同时，期望也不同），不妨记为，求；
（ⅱ）若修改游戏规则，需连续掷出两次点飞机才能起飞，记表示“甲第一次未能掷出6点”，表示“甲第一次掷出点且第二次未能掷出点”，表示“甲第一次第二次均掷出点”，为甲首次使得飞机起飞时抛掷骰子的次数，求.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】独立性检验的应用
【解析】【解答】解：零假设：我们认为爱好跳绳与性别无关，
，，
根据小概率值α＝0.001的独立性检验，零假设成立，即我们认为爱好跳绳与性别无关.
故答案为：A.
【分析】先进行零假设，再计算，与临界值比较判断即可.
2．【答案】D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：由题意，可得，
则，
作出与直线平行的函数的所有切线，如图，
因为各切线与函数的切点的横坐标依次为，
所以在，处的导数都等于，
所以，在上，单调递增，
在上，单调递减，
因此，函数有三个极大值点，有两个极小值点.
故答案为：D.
【分析】先作出与直线平行的函数的所有的切线，则观察得到与的大小关系的不同区间，从而得出的正负区间，再利用导数的正负判断出函数的单调性，从而得到的极值情况，进而逐项判断找出函数在上的极大值点个数.
3．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式
【解析】【解答】在数列中，由，得数列是首项为2，公比为2的等比数列，，
则，即， 因此数列是以为首项，为公差的等差数列.
则，即，由，得，
所以.
故选：B
【分析】
根据给定条件，利用等比数列定义求出，利用构造法求出，再列式求解即得.
4．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由，又，
因为任意，都有，
所以是函数的最小值，也是极小值，
故有两实根，即有两实根，则，
记二次函数的零点为，
且，则在，上单调递增，在上单调递减，
当时，，因为是最小值，
所以，即，
解得，故，
故选：B．
【分析】因为任意，都有，根据最小值的定义可得是函数的最小值，也是极小值，由有两实根可得实数的取值范围，又当时，，故只需即可.
5．【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列与函数的综合；二项展开式
【解析】【解答】解：由题意可知：每次所得三角形都相似，且相邻两次作得的三角形相似比为，
且，，
则数列是首项、公比都为的等比数列，，，
AB、由分析可得：，则数列是递减的等比数列，故A、B错误；
CD、，，
，
即，，因此，
数列为递减数列，故C正确，D错误.
故答案为：C.
【分析】由题意可知：每次所得三角形都相似，且相邻两次作得的三角形相似比为，且，，利用等比数列求得及，再利用数列单调性定义逐项分析判断即可.
6．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：变形可得，
因为，所以恒成立，
令，，
由，，则函数单调递增，即恒成立，
则恒成立，即恒成立，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，
则只需，即.
故答案为：B
【分析】问题转化为恒成立，由于，不等式两边同乘以，构造函数，求导，利用导数判断其单调性，将问题化为恒成立，再令，求导，利用导数判断的单调性，并求最大值，即可得正数的范围 .
7．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式；分类加法计数原理；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：由题意可知：顾客连续点击5次，共有种不同的结果，
若获二等奖，则奖券码为3的正整数倍，即生成的5个数字之和可以为3，6，9；
当数字之和为3时，其组成方式为三个1和两个0；或者一个2，一个1，三个0；
若为三个1和两个0，共有种，
若为一个2，一个1，三个0，共有种，即数字之和为3时共有种；
当数字之和为6时，其组成方式为三个2和两个0；或者两个2，两个1，一个0；或者一个2，四个1；
若为三个2和两个0，共有种，
若为两个2，两个1，一个0，共有种，
若为一个2，四个1，共有种，即数字之和为6时共有种；
当数字之和为9时，其组成方式为四个2和一个1，此时共有种，
综上：符合条件的组合数共有种，
则顾客甲参加了一次抽奖，他获二等奖的概率为.
故答案为：A.
【分析】由题意可得：顾客连续点击5次，共有种不同的结果，若获二等奖，则奖券码为3的正整数倍，即生成的5个数字之和可以为3，6，9，利用分类分步计数原理计算出符合题意的组合数，再根据古典概型计算公式求解即可.
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；等比数列的性质；数学归纳法的应用
【解析】【解答】解：设，，，
因为，所以，所以，
所以，所以，因为，
所以，
下面用归纳法证明．当时，，
假设当时，，那么对，，
所以，
因为，所以，所以，
因此，，
，
所以，，
综上，，
再设，
所以，所以函数在单调递增，
所以，所以，所以，所以，
所以，所以，
而，
所以取足够大，易知，即，
设，，
，所以在单调递减，
所以，所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，
即，
而，所以，所以，
所以，当足够大时，易知须满足，即．综上，．
故答案为：A.
【分析】设，，，，分析，可得，所以，又分析得，再用数学归纳法证明得，，再设函数，分析得函数在单调递增，所以，得到，即，再利用条件得，分析得，设函数，，分析得在单调递减，所以，得到，即，
即，再结合条件得到，分析得，求解即可.
9．【答案】A,C
【知识点】分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：A、分层抽取的抽样比为，
则A品种牛抽取（头），B品种牛抽取（头），C品种牛抽取（头），故A正确；
B、由A选项可知：、品共6头牛，从6头中挑选4头的选法有种，
其中至少含有B品种牛3头的选法有种，
则这4头中至少含有3头品种牛的概率为，故B错误；
C、设事件为“第1次挑选出的是B品种牛”，事件为“第3次挑选出的是A品种牛”，
则在发生的条件下，发生的概率，故C正确；
D、从A品种牛、C品种牛中随机挑选头牛的选法有种，
其中A品种牛头、C品种牛1头的选法有种，根据题意得，
则，所以，
整理得，解得或，故D错误．
故答案为：AC．
【分析】先计算分层抽样的抽样比，再计算各层抽取的头数即可判断A；分别求出从6头牛中挑选4头的选法及挑选出的4头牛中含有B品种牛3头或4头的选法，利用古典概型的概率计算公式求解即可判断B；根据条件概率的计算公式求解即可判断C；利用古典概型的概率计算公式，结合组合数公式求解即可判断D．
10．【答案】A,B,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、函数，易知，则曲线的图象与轴有交点，
故A正确；
B、当时，函数定义域为，，令，解得或，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
则在处有极大值，故B正确；
C、若是曲线的对称中心，则，
由B选项可得：，，
令，解得，当时，，
则不存在，使得是曲线的对称中心，故C错误；
D、当时，，
由，得，
设，则，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，即，且，
如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图像有两个不同的交点，
此时曲线与曲线在上有两个交点，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】易知，即可判断A；求函数的定义域，求导，利用导数判断函数的单调性以及函数的极值点即可判断B； 若是曲线的对称中心，则，求得a的值，再检验是否等于-1，即可判断C；由，得，设，利用导数分析该函数的单调性与极值，数形结合即可判断D.
11．【答案】A,C
【知识点】排序不等式
【解析】【解答】解：对于选项A，根据反序和的定义可知，
数组和的反序和为，故A正确；
对于选项B，设两组正实数均为，，…，，
则A为两组正实数的顺序和，B为两组正实数的乱序和，
由排序原理知，故B错误；
对于选项C，不妨设两组正实数为，，和，，，其中，
则，
所以是两组正实数的乱序和，是两组正实数的反序和，
所以，故C正确；
对于选项D：设两组正实数为，，…，和，，…，，
其中，
所以，
则是两组正实数的乱序和，
是两组正实数的反序和，
所以，，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】由反序和的定义代入计算，则可判断选项A；由排序原理可判断选项B；由乱序和与反序和的定义可判断选项C和选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】
【知识点】基本不等式；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解： 因为随机变量，且，，
所以，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值为.
故答案为：.
【分析】由题意，利用正态分布曲线特征求得，再利用基本不等式求最小值即可.
13．【答案】2025
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
则，，
由，
可得数列为等差数列，首项为，公差为，
因为，所以，
则，
所以，
则.
故答案为：2025.
【分析】设数列的公差为，利用等差数列的定义和等差数列求和公式，从而判断出数列为等差数列，再根据题中条件得出公差的值，结合等差数列的通项公式得出，最后代入得出的值.
14．【答案】
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：设定义域为，
且满足，
则函数为奇函数，
，且仅在时，则为增函数，
不等式转化为，即，
即，
因为是增函数，所以，即，
当时，，即为对任意成立；
取，即可得到，从而一定有；
当时，我们证明对任意的，都有，
代入，然后两边同乘正数，可知该不等式等价于，
设，则，故对有，
对，有，
从而在上递减，在上递增，所以对均有.
这就意味着，所以
，
从而由，即可得到，
即当时，不等式对恒成立，
综合①②两方面，可知的最大值为.
故答案为：.
【分析】由题意，构造函数求定义域，判断奇偶性，再哦渠道，利用导数判断的单调性，利用奇偶性原不等式变形为，由单调性可得，分离参数得，然后分两方面讨论求的最大值即可.
15．【答案】（1）解：由，
得，
则，
所以，
则，
所以为等差数列，
又因为，
所以公差为1，
所以.
（2）解：令，则，
由公式，
又由，，
得，
所以，
则y关于x的回归方程为，
当时，，
因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）.
（3）解：因为净利润为，，
令，
所以，
可得在上为增函数，在上为减函数，
所以，
由题意得：，则，
所以，
则该公司年净利润大于1000（百万元）的概率为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；线性回归方程；回归分析的初步应用；正态密度曲线的特点
【解析】【分析】（1）由已知条件和数列递推公式，从而得到，利用等差数列的定义判断出数列为等差数列，再利用等差数列的通项公式得出.
（2）利用已知条件和最小二乘法得出y关于x的回归方程，再利用代入法预测出年广告费为6（百万元）时的产品的年销售量.
（3）由净利润为，，令，利用导数判断函数单调性的方法，从而得出函数的最大值，再结合得出的取值范围，利用正态分布求概率公式，从而得出该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率．
（1）由得：
，
即，
所以，
即，
所以为等差数列，又，
所以公差为1，
所以，
（2）令，则，
由公式，
又由，，
得，
所以，即回归方程为.
当时，，
因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）.
（3）净利润为，，
令，
所以.
可得在上为增函数，在上为减函数.
所以，
由题意得：，即，
，
即该公司年净利润大于1000（百万元）的概率为.
16．【答案】（1）解：由，可得，
因为，所以，即数列是以3为公差的等差数列，
又因为，所以，，
所以，解得，即，
则；
（2）解：由（1），可得，
因为数列，所以，
则.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）将递推公式变形，可得数列是以3为公差的等差数列，再根据，求数列的首项，即可得数列的通项公式；
（2）由（1）求数列的某些项，再求的整数部分， 再分区间求和即可.
（1）由可得，
又，所以，即是以3为公差的等差数列，
又，得，，
所以，解得，故，
所以.
（2）由（1）可得，
又
所以，
所以.
17．【答案】（1）解：函数定义域为，，
由题意可得，即，解得，；
（2）解：当时，，，
当，即时，恒成立，函数在区间上单调递增，无极值点；
当，即时，恒成立，当且仅当时取等号，函数在区间上单调递增，
无极值点；
当，即时，因为的对称轴为，
令，解得，
当时，，当时，，
则为的极大值点，无极小值点，
综上，当时，无极值点；
当时，极大值点为，无极小值点；
（3）解：当时，函数，，
令，解得，；
因为，所以，
当或时，，当时，，
若，即时，此时在区间上单调递增，
所以的最大值为，解得，
若，即时，此时在区间上单调递增；在上单调递减，
所以的最大值为，满足题意，
若时，即时，此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又，，
因为，，所以满足题意，
综上所述，在区间上的最大值为1，则的取值范围为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，由题意列方程组求解即可；
（2）将代入，求导可得，对进行讨论，利用导数判断函数的单调性，求极值点即可；
（3）根据条件得，令，得到，，再对进行讨论，求出在区间上的单调性，再结合条件求解即可.
（1）因为，由题可得，
即，解得，.
（2）因为，，
①当，即时，恒成立，此时在区间上单调递增，无极值点；
②当，即时，恒成立，当且仅当时取等号，
此时在区间上单调递增，无极值点；
③当，即时，因为的对称轴为，
令，得到或（舍），
当时，，当时，，
所以为的极大值点，无极小值点，
综上，当时，无极值点，当时，极大值点为，无极小值点.
（3）因为，则，所以，
令，解得，；
，，
当或时，，当时，，
①若，即时，此时在区间上单调递增，
所以的最大值为，解得，
②若，即时，此时在区间上单调递增；在上单调递减，
所以的最大值为，满足题意，
③若时，即时，此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，，
因为，，所以满足题意
综上所述，在区间上的最大值为1，则的取值范围为.
18．【答案】（1）解：函数定义域为，，
则恒成立，即 对一切恒成立 ，
则，且；
（2）解：设二次函数且，，
则恒成立，即恒成立，
则，即，
则且，
所以，又，故的范围是；
（3）解：令，则，故，
对于，则，即当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，且时，，时，；
对于，则，即时，时，
所以在上单调递减，在上单调递增，且时，时；
当时，、均趋向于，此时，
当时，、均趋向于，此时随函数值的增大，
取相同函数值对应自变量值接近相等，
所以的图象与、中的一个函数的图象趋同，又，
由在上连续，即在上存在最大、最小值，
在上的值域是在、在该区间上值域并集的子集，
综上，在上，在上值域存在上下限但符号不定，在上，
当时，当时，注意、在R上均连续，
故在上单调递减，在上单调递增，在上存在最小值，
在时，
所以在R上无最大值，有最小值，则无最大值，有最小值，得证.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域以及导函数，由题意可得 对一切恒成立 ，据此求解即可；
（2）设二次函数且，由题意可得恒成立，结合二次函数的性质列不等式得且，即可；
（3）令，结合已知有，利用导数研究、的性质，结合已知分析得与的图象近似，即可确定最值情况，进而判断的最值，即可证.
（1）由题设恒成立，即，
所以，无论为何值不等式恒成立，则，且；
（2）令且，则恒成立，
所以恒成立，则，
所以，则且，
所以，又，故的范围是；
（3）令，则，故，
对于，则，即时，时，
所以在上单调递减，在上单调递增，且时，时；
对于，则，即时，时，
所以在上单调递减，在上单调递增，且时，时；
当时，、均趋向于，此时，
当时，、均趋向于，此时随函数值的增大，取相同函数值对应自变量值接近相等，
所以的图象与、中的一个函数的图象趋同，又，
由在上连续，即在上存在最大、最小值，
在上的值域是在、在该区间上值域并集的子集，
综上，在上，在上值域存在上下限但符号不定，在上，
当时，当时，注意、在R上均连续，
故在上单调递减，在上单调递增，在上存在最小值，
在时，
所以在R上无最大值，有最小值，则无最大值，有最小值，得证.
19．【答案】（1）解：因为，，
所以，，
则
记，
则.
作差得：
所以，
则.
所以
（2）解：（ⅰ）因为所有可能的取值为：，、、、
且对应的概率，、、、，
所以
又因为
所以.
（ⅱ）因为，；
，；
，，
所以
则.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件计算得出，，令，再利用错位相减法求出，再结合数学期望公式，从而可得的值.
（2）（i）利用已知条件分析可知所有可能的取值，从而求出对应的概率，再利用数学期望公式和数学期望的性质，从而可得的值.
（ii）先求出和对应的概率，再结合数学期望公式可得关于的等式，再利用数学期望的性质，从而得出的值.
（1），，
所以，，
记，则.
作差得：，
所以，.
故.
（2）（ⅰ）所有可能的取值为：，、、、，
且对应的概率，、、、，
所以，
又，
所以.
（ⅱ），；，；，，
，故.
1 / 1四川省绵阳南山中学2024-2025学年高二下学期末教学质量检测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高二下·绵阳期末）通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到列联表如表所示：
跳绳 性别 合计
男 女
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
合计 60 50 110
附：，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
则以下结论正确的是（ ）
A．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关
B．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001
C．根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关
D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关
【答案】A
【知识点】独立性检验的应用
【解析】【解答】解：零假设：我们认为爱好跳绳与性别无关，
，，
根据小概率值α＝0.001的独立性检验，零假设成立，即我们认为爱好跳绳与性别无关.
故答案为：A.
【分析】先进行零假设，再计算，与临界值比较判断即可.
2．（2025高二下·绵阳期末）如图，直线与曲线相切于两点，则函数在上的极大值点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：由题意，可得，
则，
作出与直线平行的函数的所有切线，如图，
因为各切线与函数的切点的横坐标依次为，
所以在，处的导数都等于，
所以，在上，单调递增，
在上，单调递减，
因此，函数有三个极大值点，有两个极小值点.
故答案为：D.
【分析】先作出与直线平行的函数的所有的切线，则观察得到与的大小关系的不同区间，从而得出的正负区间，再利用导数的正负判断出函数的单调性，从而得到的极值情况，进而逐项判断找出函数在上的极大值点个数.
3．（2025高二下·绵阳期末）已知数列中，，若，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式
【解析】【解答】在数列中，由，得数列是首项为2，公比为2的等比数列，，
则，即， 因此数列是以为首项，为公差的等差数列.
则，即，由，得，
所以.
故选：B
【分析】
根据给定条件，利用等比数列定义求出，利用构造法求出，再列式求解即得.
4．（2025高二下·绵阳期末）函数，若存在，使得对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由，又，
因为任意，都有，
所以是函数的最小值，也是极小值，
故有两实根，即有两实根，则，
记二次函数的零点为，
且，则在，上单调递增，在上单调递减，
当时，，因为是最小值，
所以，即，
解得，故，
故选：B．
【分析】因为任意，都有，根据最小值的定义可得是函数的最小值，也是极小值，由有两实根可得实数的取值范围，又当时，，故只需即可.
5．（2025高二下·绵阳期末）已知的面积为1，取各边的中点作，然后再取各边的中点作依此方法一直继续下去.记的面积为，数列的前项和为，则（ ）
A．数列为常数列 B．数列为递增数列
C．数列为递减数列 D．数列为递增数列
【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列与函数的综合；二项展开式
【解析】【解答】解：由题意可知：每次所得三角形都相似，且相邻两次作得的三角形相似比为，
且，，
则数列是首项、公比都为的等比数列，，，
AB、由分析可得：，则数列是递减的等比数列，故A、B错误；
CD、，，
，
即，，因此，
数列为递减数列，故C正确，D错误.
故答案为：C.
【分析】由题意可知：每次所得三角形都相似，且相邻两次作得的三角形相似比为，且，，利用等比数列求得及，再利用数列单调性定义逐项分析判断即可.
6．（2025高二下·绵阳期末）对于，恒成立，则正数的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：变形可得，
因为，所以恒成立，
令，，
由，，则函数单调递增，即恒成立，
则恒成立，即恒成立，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，
则只需，即.
故答案为：B
【分析】问题转化为恒成立，由于，不等式两边同乘以，构造函数，求导，利用导数判断其单调性，将问题化为恒成立，再令，求导，利用导数判断的单调性，并求最大值，即可得正数的范围 .
7．（2025高二下·绵阳期末）某商场在有奖销售的抽奖环节，采用人工智能(AI)技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码.并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖.已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式；分类加法计数原理；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：由题意可知：顾客连续点击5次，共有种不同的结果，
若获二等奖，则奖券码为3的正整数倍，即生成的5个数字之和可以为3，6，9；
当数字之和为3时，其组成方式为三个1和两个0；或者一个2，一个1，三个0；
若为三个1和两个0，共有种，
若为一个2，一个1，三个0，共有种，即数字之和为3时共有种；
当数字之和为6时，其组成方式为三个2和两个0；或者两个2，两个1，一个0；或者一个2，四个1；
若为三个2和两个0，共有种，
若为两个2，两个1，一个0，共有种，
若为一个2，四个1，共有种，即数字之和为6时共有种；
当数字之和为9时，其组成方式为四个2和一个1，此时共有种，
综上：符合条件的组合数共有种，
则顾客甲参加了一次抽奖，他获二等奖的概率为.
故答案为：A.
【分析】由题意可得：顾客连续点击5次，共有种不同的结果，若获二等奖，则奖券码为3的正整数倍，即生成的5个数字之和可以为3，6，9，利用分类分步计数原理计算出符合题意的组合数，再根据古典概型计算公式求解即可.
8．（2025高二下·绵阳期末）已知数列满足递推关系，且，若存在等比数列满足，则公比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；等比数列的性质；数学归纳法的应用
【解析】【解答】解：设，，，
因为，所以，所以，
所以，所以，因为，
所以，
下面用归纳法证明．当时，，
假设当时，，那么对，，
所以，
因为，所以，所以，
因此，，
，
所以，，
综上，，
再设，
所以，所以函数在单调递增，
所以，所以，所以，所以，
所以，所以，
而，
所以取足够大，易知，即，
设，，
，所以在单调递减，
所以，所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，
即，
而，所以，所以，
所以，当足够大时，易知须满足，即．综上，．
故答案为：A.
【分析】设，，，，分析，可得，所以，又分析得，再用数学归纳法证明得，，再设函数，分析得函数在单调递增，所以，得到，即，再利用条件得，分析得，设函数，，分析得在单调递减，所以，得到，即，
即，再结合条件得到，分析得，求解即可.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高二下·绵阳期末）某母牛养殖基地有品种牛126头、品种牛84头、品种牛42头，根据发展需要，拟用分层抽样的方法，从这252头牛中抽取12头向外出售，则下列说法正确的是（ ）
A．12头牛中品种牛、品种牛、品种牛的数量分别为6头、4头、2头
B．客户甲从向外出售的12头牛中的品种牛、品种牛中随机挑选4头，则这4头中至少含有3头品种牛的概率为
C．客户乙从向外出售的12头牛中的品种牛、品种牛中依次不放回地随机挑选3头，已知第1次挑选出的是品种牛，则第3次挑选出的是品种牛的概率为
D．客户丙从向外出售的12头牛中的品种牛、品种牛中随机挑选品种牛头、品种牛1头的概率为，则
【答案】A,C
【知识点】分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：A、分层抽取的抽样比为，
则A品种牛抽取（头），B品种牛抽取（头），C品种牛抽取（头），故A正确；
B、由A选项可知：、品共6头牛，从6头中挑选4头的选法有种，
其中至少含有B品种牛3头的选法有种，
则这4头中至少含有3头品种牛的概率为，故B错误；
C、设事件为“第1次挑选出的是B品种牛”，事件为“第3次挑选出的是A品种牛”，
则在发生的条件下，发生的概率，故C正确；
D、从A品种牛、C品种牛中随机挑选头牛的选法有种，
其中A品种牛头、C品种牛1头的选法有种，根据题意得，
则，所以，
整理得，解得或，故D错误．
故答案为：AC．
【分析】先计算分层抽样的抽样比，再计算各层抽取的头数即可判断A；分别求出从6头牛中挑选4头的选法及挑选出的4头牛中含有B品种牛3头或4头的选法，利用古典概型的概率计算公式求解即可判断B；根据条件概率的计算公式求解即可判断C；利用古典概型的概率计算公式，结合组合数公式求解即可判断D．
10．（2025高二下·绵阳期末）已知函数，则（ ）
A．曲线的图象与轴有交点
B．当时，在处有极大值
C．存在，使得是曲线的对称中心
D．当时，若曲线与曲线在上有两个交点，则
【答案】A,B,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、函数，易知，则曲线的图象与轴有交点，
故A正确；
B、当时，函数定义域为，，令，解得或，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
则在处有极大值，故B正确；
C、若是曲线的对称中心，则，
由B选项可得：，，
令，解得，当时，，
则不存在，使得是曲线的对称中心，故C错误；
D、当时，，
由，得，
设，则，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，即，且，
如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图像有两个不同的交点，
此时曲线与曲线在上有两个交点，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】易知，即可判断A；求函数的定义域，求导，利用导数判断函数的单调性以及函数的极值点即可判断B； 若是曲线的对称中心，则，求得a的值，再检验是否等于-1，即可判断C；由，得，设，利用导数分析该函数的单调性与极值，数形结合即可判断D.
11．（2025高二下·绵阳期末）设，，…，、，，…，为两组正实数，，，…，是，，…，的任一排列，我们称为这两组正实数的乱序和，为这两组正实数的反序和，为这两组正实数的顺序和.根据排序原理有，即反序和≤乱序和≤顺序和.则下列说法正确的是（ ）
A．数组和的反序和为30
B．若，，其中，，…，都是正实数，则
C．设正实数，，的任一排列为，，，则的最小值为3
D．已知正实数，，…，满足，P为定值，则的最小值为
【答案】A,C
【知识点】排序不等式
【解析】【解答】解：对于选项A，根据反序和的定义可知，
数组和的反序和为，故A正确；
对于选项B，设两组正实数均为，，…，，
则A为两组正实数的顺序和，B为两组正实数的乱序和，
由排序原理知，故B错误；
对于选项C，不妨设两组正实数为，，和，，，其中，
则，
所以是两组正实数的乱序和，是两组正实数的反序和，
所以，故C正确；
对于选项D：设两组正实数为，，…，和，，…，，
其中，
所以，
则是两组正实数的乱序和，
是两组正实数的反序和，
所以，，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】由反序和的定义代入计算，则可判断选项A；由排序原理可判断选项B；由乱序和与反序和的定义可判断选项C和选项D，从而找出说法正确的选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高二下·绵阳期末）若随机变量，且，，则的最小值为
【答案】
【知识点】基本不等式；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解： 因为随机变量，且，，
所以，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值为.
故答案为：.
【分析】由题意，利用正态分布曲线特征求得，再利用基本不等式求最小值即可.
13．（2025高二下·绵阳期末）等差数列中，，前n项和为，若，则 .
【答案】2025
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
则，，
由，
可得数列为等差数列，首项为，公差为，
因为，所以，
则，
所以，
则.
故答案为：2025.
【分析】设数列的公差为，利用等差数列的定义和等差数列求和公式，从而判断出数列为等差数列，再根据题中条件得出公差的值，结合等差数列的通项公式得出，最后代入得出的值.
14．（2025高二下·绵阳期末）已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值为 ．
【答案】
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：设定义域为，
且满足，
则函数为奇函数，
，且仅在时，则为增函数，
不等式转化为，即，
即，
因为是增函数，所以，即，
当时，，即为对任意成立；
取，即可得到，从而一定有；
当时，我们证明对任意的，都有，
代入，然后两边同乘正数，可知该不等式等价于，
设，则，故对有，
对，有，
从而在上递减，在上递增，所以对均有.
这就意味着，所以
，
从而由，即可得到，
即当时，不等式对恒成立，
综合①②两方面，可知的最大值为.
故答案为：.
【分析】由题意，构造函数求定义域，判断奇偶性，再哦渠道，利用导数判断的单调性，利用奇偶性原不等式变形为，由单调性可得，分离参数得，然后分两方面讨论求的最大值即可.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高二下·绵阳期末）某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入．该公司第i年的年广告费（单位：百万元）满足递推关系，且，年销售量（单位：百万辆）与年广告费相关．令，经过数据处理得到如下统计量的值：
44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06
现有模型作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中均为常数．
（1）求；
（2）求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？
（3）该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）．该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍．电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率．（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）
附：①回归直线
②参考数据：，．
【答案】（1）解：由，
得，
则，
所以，
则，
所以为等差数列，
又因为，
所以公差为1，
所以.
（2）解：令，则，
由公式，
又由，，
得，
所以，
则y关于x的回归方程为，
当时，，
因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）.
（3）解：因为净利润为，，
令，
所以，
可得在上为增函数，在上为减函数，
所以，
由题意得：，则，
所以，
则该公司年净利润大于1000（百万元）的概率为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；线性回归方程；回归分析的初步应用；正态密度曲线的特点
【解析】【分析】（1）由已知条件和数列递推公式，从而得到，利用等差数列的定义判断出数列为等差数列，再利用等差数列的通项公式得出.
（2）利用已知条件和最小二乘法得出y关于x的回归方程，再利用代入法预测出年广告费为6（百万元）时的产品的年销售量.
（3）由净利润为，，令，利用导数判断函数单调性的方法，从而得出函数的最大值，再结合得出的取值范围，利用正态分布求概率公式，从而得出该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率．
（1）由得：
，
即，
所以，
即，
所以为等差数列，又，
所以公差为1，
所以，
（2）令，则，
由公式，
又由，，
得，
所以，即回归方程为.
当时，，
因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）.
（3）净利润为，，
令，
所以.
可得在上为增函数，在上为减函数.
所以，
由题意得：，即，
，
即该公司年净利润大于1000（百万元）的概率为.
16．（2025高二下·绵阳期末）已知数列满足，且对任意的，都有.
（1）设，求数列的通项公式；
（2）数列表示不超过的最大整数，求的前350项和.
【答案】（1）解：由，可得，
因为，所以，即数列是以3为公差的等差数列，
又因为，所以，，
所以，解得，即，
则；
（2）解：由（1），可得，
因为数列，所以，
则.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）将递推公式变形，可得数列是以3为公差的等差数列，再根据，求数列的首项，即可得数列的通项公式；
（2）由（1）求数列的某些项，再求的整数部分， 再分区间求和即可.
（1）由可得，
又，所以，即是以3为公差的等差数列，
又，得，，
所以，解得，故，
所以.
（2）由（1）可得，
又
所以，
所以.
17．（2025高二下·绵阳期末）已知函数，其中，.
（1）曲线在处的切线方程为，求，的值；
（2）当时，求的极值点；
（3）当时，若函数在区间上的最大值为，求的取值范围.
【答案】（1）解：函数定义域为，，
由题意可得，即，解得，；
（2）解：当时，，，
当，即时，恒成立，函数在区间上单调递增，无极值点；
当，即时，恒成立，当且仅当时取等号，函数在区间上单调递增，
无极值点；
当，即时，因为的对称轴为，
令，解得，
当时，，当时，，
则为的极大值点，无极小值点，
综上，当时，无极值点；
当时，极大值点为，无极小值点；
（3）解：当时，函数，，
令，解得，；
因为，所以，
当或时，，当时，，
若，即时，此时在区间上单调递增，
所以的最大值为，解得，
若，即时，此时在区间上单调递增；在上单调递减，
所以的最大值为，满足题意，
若时，即时，此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又，，
因为，，所以满足题意，
综上所述，在区间上的最大值为1，则的取值范围为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，由题意列方程组求解即可；
（2）将代入，求导可得，对进行讨论，利用导数判断函数的单调性，求极值点即可；
（3）根据条件得，令，得到，，再对进行讨论，求出在区间上的单调性，再结合条件求解即可.
（1）因为，由题可得，
即，解得，.
（2）因为，，
①当，即时，恒成立，此时在区间上单调递增，无极值点；
②当，即时，恒成立，当且仅当时取等号，
此时在区间上单调递增，无极值点；
③当，即时，因为的对称轴为，
令，得到或（舍），
当时，，当时，，
所以为的极大值点，无极小值点，
综上，当时，无极值点，当时，极大值点为，无极小值点.
（3）因为，则，所以，
令，解得，；
，，
当或时，，当时，，
①若，即时，此时在区间上单调递增，
所以的最大值为，解得，
②若，即时，此时在区间上单调递增；在上单调递减，
所以的最大值为，满足题意，
③若时，即时，此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，，
因为，，所以满足题意
综上所述，在区间上的最大值为1，则的取值范围为.
18．（2025高二下·绵阳期末）已知函数及其导数的定义域均为，且对一切恒成立.
（1）若，，，求的值；
（2）若是二次函数，求的取值范围；
（3）若同时满足对一切恒成立且，证明：函数没有最大值，但是有最小值.[提示：一个在闭区间上的连续函数，函数的最大值与最小值一定存在.］
【答案】（1）解：函数定义域为，，
则恒成立，即 对一切恒成立 ，
则，且；
（2）解：设二次函数且，，
则恒成立，即恒成立，
则，即，
则且，
所以，又，故的范围是；
（3）解：令，则，故，
对于，则，即当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，且时，，时，；
对于，则，即时，时，
所以在上单调递减，在上单调递增，且时，时；
当时，、均趋向于，此时，
当时，、均趋向于，此时随函数值的增大，
取相同函数值对应自变量值接近相等，
所以的图象与、中的一个函数的图象趋同，又，
由在上连续，即在上存在最大、最小值，
在上的值域是在、在该区间上值域并集的子集，
综上，在上，在上值域存在上下限但符号不定，在上，
当时，当时，注意、在R上均连续，
故在上单调递减，在上单调递增，在上存在最小值，
在时，
所以在R上无最大值，有最小值，则无最大值，有最小值，得证.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域以及导函数，由题意可得 对一切恒成立 ，据此求解即可；
（2）设二次函数且，由题意可得恒成立，结合二次函数的性质列不等式得且，即可；
（3）令，结合已知有，利用导数研究、的性质，结合已知分析得与的图象近似，即可确定最值情况，进而判断的最值，即可证.
（1）由题设恒成立，即，
所以，无论为何值不等式恒成立，则，且；
（2）令且，则恒成立，
所以恒成立，则，
所以，则且，
所以，又，故的范围是；
（3）令，则，故，
对于，则，即时，时，
所以在上单调递减，在上单调递增，且时，时；
对于，则，即时，时，
所以在上单调递减，在上单调递增，且时，时；
当时，、均趋向于，此时，
当时，、均趋向于，此时随函数值的增大，取相同函数值对应自变量值接近相等，
所以的图象与、中的一个函数的图象趋同，又，
由在上连续，即在上存在最大、最小值，
在上的值域是在、在该区间上值域并集的子集，
综上，在上，在上值域存在上下限但符号不定，在上，
当时，当时，注意、在R上均连续，
故在上单调递减，在上单调递增，在上存在最小值，
在时，
所以在R上无最大值，有最小值，则无最大值，有最小值，得证.
19．（2025高二下·绵阳期末）飞行棋是大家熟悉的棋类游戏，玩家通过投掷骰子来决定飞机起飞与飞行的步数.当且仅当玩家投掷出点时，飞机才能起飞.并且掷得点的游戏者可以连续投掷骰子，直至显示点数不是点.飞机起飞后，飞行步数即骰子向上的点数.
（1）求甲玩家第一轮投掷中，投郑次数的均值）
（2）对于两个离散型随机变量、，我们将其可能出现的结果作为一个有序数对，类似于离散型随机变量的分布列，我们可以用如下表格来表示这个有序数对的概率分布：
（记，）
若已知，则事件的条件概率为.可以发现依然是一个随机变量，可以对其求期望.
（ⅰ）上述期望依旧是一个随机变量（取值不同时，期望也不同），不妨记为，求；
（ⅱ）若修改游戏规则，需连续掷出两次点飞机才能起飞，记表示“甲第一次未能掷出6点”，表示“甲第一次掷出点且第二次未能掷出点”，表示“甲第一次第二次均掷出点”，为甲首次使得飞机起飞时抛掷骰子的次数，求.
【答案】（1）解：因为，，
所以，，
则
记，
则.
作差得：
所以，
则.
所以
（2）解：（ⅰ）因为所有可能的取值为：，、、、
且对应的概率，、、、，
所以
又因为
所以.
（ⅱ）因为，；
，；
，，
所以
则.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件计算得出，，令，再利用错位相减法求出，再结合数学期望公式，从而可得的值.
（2）（i）利用已知条件分析可知所有可能的取值，从而求出对应的概率，再利用数学期望公式和数学期望的性质，从而可得的值.
（ii）先求出和对应的概率，再结合数学期望公式可得关于的等式，再利用数学期望的性质，从而得出的值.
（1），，
所以，，
记，则.
作差得：，
所以，.
故.
（2）（ⅰ）所有可能的取值为：，、、、，
且对应的概率，、、、，
所以，
又，
所以.
（ⅱ），；，；，，
，故.
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