广东省广州市真光中学汾水校区2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题
一、单选题
1．（2024高三上·广州月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：解不等式，可得，
即集合，
解不等式，可得或，且，即集合，
则.
故答案为：B.
【分析】解一元二次不等式和绝对值不等式求得集合，，再根据集合的交集运算求解即可.
2．（2024高三上·广州月考）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】解：复数，，
则.
故答案为：C.
【分析】利用复数代数形式乘法加法运算求得复数，再利用复数的模长公式求解即可.
3．（2024高三上·广州月考）在的展开式中，若各项系数的和为，则的系数为（ ）
A．20 B． C．30 D．
【答案】B
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：，
令，则，因为各项系数的和为，所以，解得，
则原式为，
展开式的通项为，
则中的系数为.
故答案为：B.
【分析】根据各项系数和为0，令，求得，写出展开式的通项，求解即可.
4．（2024高三上·广州月考）已知函数的图象关于点对称，则下列函数是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：将图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，
可得函数关于点对称，即函数为奇函数，则为奇函数.
故答案为：D.
【分析】通过函数平移变换，结合奇函数图象关于对称求解即可.
5．（2024高三上·广州月考）由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为，即，若，则（ ）
A．34 B．33 C．32 D．30
【答案】B
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】解：由题意可知：一位自然数有2个（即为2，4）；
两位自然数有个；
三位自然数有个；
四位自然数由小到大排列为；
可知2024为四位自然数中的第6个，所以.
故答案为：B.
【分析】根据分别求一位、两位、三位的个数，并对4位排序，即可得结果.
6．（2024高三上·广州月考）命题“”为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用；函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意可得：“”为真命题，
即，即，
设，易知函数在上单增，则，
则，解得，故实数的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】问题转化为“”恒成立，分离参数转化为求，设判断其单调性，求最小值即可得实数a的取值范围.
7．（2024高三上·广州月考）已知体积为 的球与正四棱锥的底面和4个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为 . 则该正四棱锥体积值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：设正四棱锥的内切球的半径为，为底面中心，
由内切球的体积为，可得，解得，
连接，平面，球心在上，，
取的中点，连接，如图所示：
设点在侧面上的投影为点，球心到四棱锥顶点的距离为，
则点在上，且，因为 ，
所以，所以，解得，
则.
故答案为：A.
【分析】设正四棱锥的内切球的半径为，为底面中心，由内切球的体积，求得内切球的半径，取的中点，连接，设点在侧面上的投影为点，则点在上，利用三角形相似求出球心到四棱锥顶点的距离，再根据棱锥的体积公式计算即可.
8．（2024高三上·广州月考）在平面直角坐标系中，点，向量，且.若为椭圆上一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】向量在几何中的应用；平面内点到直线的距离公式；椭圆的简单性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：点，设点，
由，，可得，
即，消去得：，
设点，
则点到直线的距离，
当时，，而，则的最小值为.
故答案为：A.
【分析】设点，根据已知条件，求出点的轨迹，设，利用点到直线的距离公式结合三角函数的性质求最小值即可.
二、多选题
9．（2024高三上·广州月考）已知向量，则（ ）
A．
B．当时，
C．当时，
D．在上的投影向量的坐标为
【答案】A,B,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的投影向量；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，
A、易知，则，故A正确；
B、易知，因为，
所以，解得，故B正确；
C、因为，所以，即，故C错误；
D、在上的投影向量为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用平面向量的坐标运算结合向量的求模公式即可判断A；利用两向量垂直的坐标表示求解即可判断B；利用向量平行的坐标表示求解即可判断C；利用投影向量公式求解即可判断D.
10．（2024高三上·广州月考）设函数，则（ ）．
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在，使得点为曲线的对称中心
【答案】A,D
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数定义域为，
A、当时，令，解得，令，解得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
则函数在处取得极大值，在处取得极小值，且，，
则，根据零点存在定理可知：函数在上有一个零点，
又因为，，则，
则在上各存在一个零点，故当时，函数有三个零点，故A正确；
B、当时，令，解得，函数单调递减；
令，解得，函数单调递增，
故是函数的极小值点，故B错误；
C、假设存在，使得为的对称轴，即存在使得，
即，
根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，
易知等式左右两边的系数都不相等，即原等式不可能恒成立，故不存在，使得为的对称轴，故C错误；
D、易知，若存在，使得为的对称中心，则，
，即，
即，解得，即存在，使得是的对称中心，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】先求函数的定义域和导函数，利用导数判断函数的单调性，分析函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点从而判断A；根据极值和导函数符号的关系分析判断B；假设存在，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断C；若存在，使得为的对称中心，则，据此计算判断D.
11．（2024高三上·广州月考）在一个有限样本空间中，假设，且A与B相互独立，A与C互斥，则（ ）
A． B．
C． D．若，则B与C互斥
【答案】B,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率
【解析】【解答】解：A、因为事件与相互独立，且，
则，
，故A错误；
B、因为事件与互斥，所以，
则，，
，故B正确；
C、，因为与互斥，所以，
则，故C正确；
D、易知，即，
由，
得，解得，
则事件与互斥，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】事件与相互独立，则，计算即可判断A；由计算即可判断B；由事件与互斥，可得即可判断C；由，判断事件与互斥即可判断D.
三、填空题
12．（2024高三上·广州月考）抛物线的准线方程是 ．
【答案】
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线的标准方程为，则准线方程为.
故答案为：．
【分析】化抛物线方程为标准方程再求准线方程即可.
13．（2024高三上·广州月考）一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，4．现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜（若所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为 ．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；条件概率
【解析】【解答】解：设事件“甲获胜”为事件，事件“乙摸到2号球”为事件，
由题意可得：，，
则.
故答案为：．
【分析】先设事件“甲获胜”为事件，事件“乙摸到2号球”为事件，利用古典概率公式求出，再根据条件概率计算公式求解即可.
14．（2024高三上·广州月考）已知，定义运算@：，其中是函数的导数.若，设实数，若对任意恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C．e D．2e
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意可得：，
对任意恒成立， 即，
即，即任意，恒成立，
设，，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
当时，，
当时，单调递增，
因为对任意，恒成立，所以对任意，恒成立，
所以对任意，恒成立，即恒成立，
设，，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，则当时，，
对任意，恒成立，只需即可，故的最小值为.
故答案为：B.
【分析】由题意可得：，原问题转化为对任意 恒成立，构造函数，求导，利用导数判断其单调性，得到，再分离参数得到恒成立，只需即可，求导，利用导数判断其单调性，求最大值，即可得的最小值.
四、解答题
15．（2024高三上·广州月考）已知三个内角所对的边分别为，且.
（1）求的值；
（2）若的面积，且，求的周长.
【答案】（1）解：由题意，，得：，
所以，
又，且，所以，
由，故.
（2）解：，所以，
由余弦定理，，
又，
联立得：，
，
所以的周长为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式计算即可；
（2）根据题意，利用三角形的面积公式，结合余弦定理计算即可.
16．（2024高三上·广州月考）已知函数在点处的切线方程为
（1）求函数的解析式；
（2）若，且过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：函数，，
由题意可得，即，解得，则；
（2）解：设切点为，由（1）可得，
则，，即切线方程为，
因为切线过，所以代入上式，整理得，
又因为过点可作曲线的三条切线，所以方程有三个不同实数根，
记，，
令，解得或1，
则，，的变化情况如下表：
0 1
+ 0 - 0 +
极大 极小
当，有极大值；，有极小值，
由题意有，当且仅当，即，解得时函数有三个不同零点，
此时过点可作曲线的三条不同切线.故的取值范围是.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求导，利用导数的几何意义和切点在曲线上建立方程组求解即可；
（2）设切点为，利用导数的几何意义先求切线方程，问题转化为在切点处的切线方程有三个不同的实数根，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性、极值即可.
（1）由题意得，
故，
（2）过点向曲线作切线，设切点为，
则，，
则切线方程为，
将代入上式，整理得.
过点可作曲线的三条切线，
方程有三个不同实数根.
记，，
令，得或1，则，，的变化情况如下表：
0 1
+ 0 - 0 +
极大 极小
当，有极大值；，有极小值，
由题意有，当且仅当即解得时函数有三个不同零点.此时过点可作曲线的三条不同切线.故的取值范围是.
17．（2024高三上·广州月考）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，点P是棱的中点，点Q在棱BC上．
（1）若，证明：平面；
（2）若二面角的正弦值为，求BQ的长．
【答案】（1）证明：取的中点M，连接MP，MB，如图所示：
在四棱台中，四边形是梯形，，，
因为点M，P分别是棱，的中点，所以，且，
在正方形ABCD中，，，又因为，所以，
所以且，所以四边形BMPQ是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：在平面中，作于O，
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，在正方形ABCD中，过O作AB的平行线交BC于点N，则，
以为正交基底，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为四边形是等腰梯形，，，所以，
又因为，所以，
易得，，，，，
，，，
设，则，
设平面PDQ的法向量为，由，得，取，
另取平面DCQ的一个法向量为，
设二面角的平面角为θ，由题意得，
，则，解得（舍负），
因此，，
故当二面角的正弦值为时，BQ的长为1．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取的中点M，连接MP，MB，由题意先证明四边形BMPQ是平行四边形，从而得到线线平行，再根据线面平行性质定理证明即可；
（2）利用面面垂直性质定理得到线面垂直，再以为正交基底，建立空间直角坐标系，由三点共线，设 ，再利用向量加减法几何意义表示所需向量的坐标，求平面的法向量，由题意，利用空间向量法建立二面角余弦的方程求解即可.
（1）证明：取的中点M，连接MP，MB．
在四棱台中，四边形是梯形，，，
又点M，P分别是棱，的中点，所以，且．
在正方形ABCD中，，，又，所以．
从而且，所以四边形BMPQ是平行四边形，所以．
又因为平面，平面，所以平面；
（2）在平面中，作于O．
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面．
在正方形ABCD中，过O作AB的平行线交BC于点N，则．
以为正交基底，建立空间直角坐标系．
因为四边形是等腰梯形，，，所以，又，所以．
易得，，，，，所以，，．
法1：设，所以．
设平面PDQ的法向量为，由，得，取，
另取平面DCQ的一个法向量为．
设二面角的平面角为θ，由题意得．
又，所以，
解得（舍负），因此，．
所以当二面角的正弦值为时，BQ的长为1．
法2：设，所以．
设平面PDQ的法向量为，由，得，取，
另取平面DCQ的一个法向量为．
设二面角的平面角为θ，由题意得．
又，所以，
解得或6（舍），因此．
所以当二面角的正弦值为时，BQ的长为1．
法3：在平面中，作，垂足为H．
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，又平面，所以．
在平面ABCD中，作，垂足为G，连接PG．
因为，，，PH，平面，
所以平面，又平面，所以．
因为，，所以是二面角的平面角．
在四棱台中，四边形是梯形，
，，，点P是棱的中点，
所以，．
设，则，，
在中，，从而．
因为二面角的平面角与二面角的平面角互补，
且二面角的正弦值为，所以，从而．
所以在中，，解得或（舍）．
所以当二面角的正弦值为时，BQ的长为1．
18．（2024高三上·广州月考）已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若点为双曲线右支上一动点，过点与双曲线相切的直线，直线与双曲线的渐近线分别交于M，N两点，求的面积的最小值．
【答案】（1）解： 易知双曲线 的渐近线方程为，右焦点，
因为右焦点到渐近线的距离为 ，所以，
又因为，所以，解得，
又因为离心率，解得，，
则双曲线的标准方程为；
（2）解：的渐近线方程为，
当直线的斜率不存在时，此时，直线方程为，代入渐近线方程，得到，故，
又，
故的面积；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
联立，消元整理可得，
因为直线与双曲线相切，所以，解得，
另设，，
联立，
由韦达定理可得：，，
，
，
在中，，，
则，
，
，
因为，所以，
综上所述，，其最小值为.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）易知双曲线的渐近线方程，利用点到直线距离公式得到，再由离心率求出，，即可得双曲线方程；
（2）由（1）可得：的渐近线方程为，，当直线的斜率不存在时，；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立直线与双曲线方程，由得到，再联立直线方程和双曲线渐近线方程，设，，利用韦达定理，结合表达出，据此求的面积的最小值即可.
（1）由已知得渐近线方程为，右焦点，
∴，
又∵，所以，解得，
又因为离心率，解得，，
∴双曲线的标准方程为；
（2）解法1：的渐近线方程为，
当直线的斜率不存在时，此时，直线方程为，代入渐近线方程，
得到，故，又，
故的面积；
当直线的斜率存在时，设其方程为，直线与双曲线联立得
，
因为相切，所以，解得，
另设，，
联立，
∴，，
，
，
在中，，，
∴，
所以，
所以，
因为，所以，
综上所述，，其最小值为；
解法2：由条件知，若直线的斜率存在，则斜率不为零，
故可设，直线与双曲线联立得，
，
因为相切，所以，即，
又因为直线与双曲线的渐近线交于两点，设为，，
联立，
由于，所以，
则，
由直线的方程得，直线与轴的交点坐标为，
∴
，
∵，
∴即，且，
∴时，的最小值为，
综上所述，，其最小值为.
19．（2024高三上·广州月考）已知常数，在成功的概率为的伯努利试验中，记为首次成功时所需的试验次数，的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布.
（1）对于正整数，求，并根据求；
（2）对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为.
（i）求；
（ii）记首次出现连续次成功时所需的试验次数的期望为，求.
【答案】（1）解：，
，
记，
则，
相减得：，
由题意：.
（2）解：（i），解得：；
（ii）期待在次试验后，首次出现连续次成功，若下一次试验成功，则试验停止，此时试验次数为；若下一次试验失败，相当于重新试验，后续期望仍是，此时总的试验次数为，
即，
整理得：，即，
所以，
由（1）知，代入得：.
【知识点】极限及其运算；数列的求和；数列的递推公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）先求出，得到期望的表达式，结合错位相减法求和再利用极限求即可；
（2）（i）根据可能发生的三种情况求解即可；
（ii）根据题意得到，利用递推关系求即可.
1 / 1广东省广州市真光中学汾水校区2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题
一、单选题
1．（2024高三上·广州月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三上·广州月考）若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三上·广州月考）在的展开式中，若各项系数的和为，则的系数为（ ）
A．20 B． C．30 D．
4．（2024高三上·广州月考）已知函数的图象关于点对称，则下列函数是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高三上·广州月考）由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为，即，若，则（ ）
A．34 B．33 C．32 D．30
6．（2024高三上·广州月考）命题“”为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高三上·广州月考）已知体积为 的球与正四棱锥的底面和4个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为 . 则该正四棱锥体积值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三上·广州月考）在平面直角坐标系中，点，向量，且.若为椭圆上一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024高三上·广州月考）已知向量，则（ ）
A．
B．当时，
C．当时，
D．在上的投影向量的坐标为
10．（2024高三上·广州月考）设函数，则（ ）．
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在，使得点为曲线的对称中心
11．（2024高三上·广州月考）在一个有限样本空间中，假设，且A与B相互独立，A与C互斥，则（ ）
A． B．
C． D．若，则B与C互斥
三、填空题
12．（2024高三上·广州月考）抛物线的准线方程是 ．
13．（2024高三上·广州月考）一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，4．现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜（若所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为 ．
14．（2024高三上·广州月考）已知，定义运算@：，其中是函数的导数.若，设实数，若对任意恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C．e D．2e
四、解答题
15．（2024高三上·广州月考）已知三个内角所对的边分别为，且.
（1）求的值；
（2）若的面积，且，求的周长.
16．（2024高三上·广州月考）已知函数在点处的切线方程为
（1）求函数的解析式；
（2）若，且过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.
17．（2024高三上·广州月考）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，点P是棱的中点，点Q在棱BC上．
（1）若，证明：平面；
（2）若二面角的正弦值为，求BQ的长．
18．（2024高三上·广州月考）已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若点为双曲线右支上一动点，过点与双曲线相切的直线，直线与双曲线的渐近线分别交于M，N两点，求的面积的最小值．
19．（2024高三上·广州月考）已知常数，在成功的概率为的伯努利试验中，记为首次成功时所需的试验次数，的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布.
（1）对于正整数，求，并根据求；
（2）对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为.
（i）求；
（ii）记首次出现连续次成功时所需的试验次数的期望为，求.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：解不等式，可得，
即集合，
解不等式，可得或，且，即集合，
则.
故答案为：B.
【分析】解一元二次不等式和绝对值不等式求得集合，，再根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】解：复数，，
则.
故答案为：C.
【分析】利用复数代数形式乘法加法运算求得复数，再利用复数的模长公式求解即可.
3．【答案】B
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：，
令，则，因为各项系数的和为，所以，解得，
则原式为，
展开式的通项为，
则中的系数为.
故答案为：B.
【分析】根据各项系数和为0，令，求得，写出展开式的通项，求解即可.
4．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：将图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，
可得函数关于点对称，即函数为奇函数，则为奇函数.
故答案为：D.
【分析】通过函数平移变换，结合奇函数图象关于对称求解即可.
5．【答案】B
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】解：由题意可知：一位自然数有2个（即为2，4）；
两位自然数有个；
三位自然数有个；
四位自然数由小到大排列为；
可知2024为四位自然数中的第6个，所以.
故答案为：B.
【分析】根据分别求一位、两位、三位的个数，并对4位排序，即可得结果.
6．【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用；函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意可得：“”为真命题，
即，即，
设，易知函数在上单增，则，
则，解得，故实数的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】问题转化为“”恒成立，分离参数转化为求，设判断其单调性，求最小值即可得实数a的取值范围.
7．【答案】A
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：设正四棱锥的内切球的半径为，为底面中心，
由内切球的体积为，可得，解得，
连接，平面，球心在上，，
取的中点，连接，如图所示：
设点在侧面上的投影为点，球心到四棱锥顶点的距离为，
则点在上，且，因为 ，
所以，所以，解得，
则.
故答案为：A.
【分析】设正四棱锥的内切球的半径为，为底面中心，由内切球的体积，求得内切球的半径，取的中点，连接，设点在侧面上的投影为点，则点在上，利用三角形相似求出球心到四棱锥顶点的距离，再根据棱锥的体积公式计算即可.
8．【答案】A
【知识点】向量在几何中的应用；平面内点到直线的距离公式；椭圆的简单性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：点，设点，
由，，可得，
即，消去得：，
设点，
则点到直线的距离，
当时，，而，则的最小值为.
故答案为：A.
【分析】设点，根据已知条件，求出点的轨迹，设，利用点到直线的距离公式结合三角函数的性质求最小值即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的投影向量；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，
A、易知，则，故A正确；
B、易知，因为，
所以，解得，故B正确；
C、因为，所以，即，故C错误；
D、在上的投影向量为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用平面向量的坐标运算结合向量的求模公式即可判断A；利用两向量垂直的坐标表示求解即可判断B；利用向量平行的坐标表示求解即可判断C；利用投影向量公式求解即可判断D.
10．【答案】A,D
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数定义域为，
A、当时，令，解得，令，解得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
则函数在处取得极大值，在处取得极小值，且，，
则，根据零点存在定理可知：函数在上有一个零点，
又因为，，则，
则在上各存在一个零点，故当时，函数有三个零点，故A正确；
B、当时，令，解得，函数单调递减；
令，解得，函数单调递增，
故是函数的极小值点，故B错误；
C、假设存在，使得为的对称轴，即存在使得，
即，
根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，
易知等式左右两边的系数都不相等，即原等式不可能恒成立，故不存在，使得为的对称轴，故C错误；
D、易知，若存在，使得为的对称中心，则，
，即，
即，解得，即存在，使得是的对称中心，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】先求函数的定义域和导函数，利用导数判断函数的单调性，分析函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点从而判断A；根据极值和导函数符号的关系分析判断B；假设存在，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断C；若存在，使得为的对称中心，则，据此计算判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率
【解析】【解答】解：A、因为事件与相互独立，且，
则，
，故A错误；
B、因为事件与互斥，所以，
则，，
，故B正确；
C、，因为与互斥，所以，
则，故C正确；
D、易知，即，
由，
得，解得，
则事件与互斥，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】事件与相互独立，则，计算即可判断A；由计算即可判断B；由事件与互斥，可得即可判断C；由，判断事件与互斥即可判断D.
12．【答案】
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线的标准方程为，则准线方程为.
故答案为：．
【分析】化抛物线方程为标准方程再求准线方程即可.
13．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；条件概率
【解析】【解答】解：设事件“甲获胜”为事件，事件“乙摸到2号球”为事件，
由题意可得：，，
则.
故答案为：．
【分析】先设事件“甲获胜”为事件，事件“乙摸到2号球”为事件，利用古典概率公式求出，再根据条件概率计算公式求解即可.
14．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意可得：，
对任意恒成立， 即，
即，即任意，恒成立，
设，，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
当时，，
当时，单调递增，
因为对任意，恒成立，所以对任意，恒成立，
所以对任意，恒成立，即恒成立，
设，，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，则当时，，
对任意，恒成立，只需即可，故的最小值为.
故答案为：B.
【分析】由题意可得：，原问题转化为对任意 恒成立，构造函数，求导，利用导数判断其单调性，得到，再分离参数得到恒成立，只需即可，求导，利用导数判断其单调性，求最大值，即可得的最小值.
15．【答案】（1）解：由题意，，得：，
所以，
又，且，所以，
由，故.
（2）解：，所以，
由余弦定理，，
又，
联立得：，
，
所以的周长为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式计算即可；
（2）根据题意，利用三角形的面积公式，结合余弦定理计算即可.
16．【答案】（1）解：函数，，
由题意可得，即，解得，则；
（2）解：设切点为，由（1）可得，
则，，即切线方程为，
因为切线过，所以代入上式，整理得，
又因为过点可作曲线的三条切线，所以方程有三个不同实数根，
记，，
令，解得或1，
则，，的变化情况如下表：
0 1
+ 0 - 0 +
极大 极小
当，有极大值；，有极小值，
由题意有，当且仅当，即，解得时函数有三个不同零点，
此时过点可作曲线的三条不同切线.故的取值范围是.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求导，利用导数的几何意义和切点在曲线上建立方程组求解即可；
（2）设切点为，利用导数的几何意义先求切线方程，问题转化为在切点处的切线方程有三个不同的实数根，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性、极值即可.
（1）由题意得，
故，
（2）过点向曲线作切线，设切点为，
则，，
则切线方程为，
将代入上式，整理得.
过点可作曲线的三条切线，
方程有三个不同实数根.
记，，
令，得或1，则，，的变化情况如下表：
0 1
+ 0 - 0 +
极大 极小
当，有极大值；，有极小值，
由题意有，当且仅当即解得时函数有三个不同零点.此时过点可作曲线的三条不同切线.故的取值范围是.
17．【答案】（1）证明：取的中点M，连接MP，MB，如图所示：
在四棱台中，四边形是梯形，，，
因为点M，P分别是棱，的中点，所以，且，
在正方形ABCD中，，，又因为，所以，
所以且，所以四边形BMPQ是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：在平面中，作于O，
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，在正方形ABCD中，过O作AB的平行线交BC于点N，则，
以为正交基底，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为四边形是等腰梯形，，，所以，
又因为，所以，
易得，，，，，
，，，
设，则，
设平面PDQ的法向量为，由，得，取，
另取平面DCQ的一个法向量为，
设二面角的平面角为θ，由题意得，
，则，解得（舍负），
因此，，
故当二面角的正弦值为时，BQ的长为1．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取的中点M，连接MP，MB，由题意先证明四边形BMPQ是平行四边形，从而得到线线平行，再根据线面平行性质定理证明即可；
（2）利用面面垂直性质定理得到线面垂直，再以为正交基底，建立空间直角坐标系，由三点共线，设 ，再利用向量加减法几何意义表示所需向量的坐标，求平面的法向量，由题意，利用空间向量法建立二面角余弦的方程求解即可.
（1）证明：取的中点M，连接MP，MB．
在四棱台中，四边形是梯形，，，
又点M，P分别是棱，的中点，所以，且．
在正方形ABCD中，，，又，所以．
从而且，所以四边形BMPQ是平行四边形，所以．
又因为平面，平面，所以平面；
（2）在平面中，作于O．
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面．
在正方形ABCD中，过O作AB的平行线交BC于点N，则．
以为正交基底，建立空间直角坐标系．
因为四边形是等腰梯形，，，所以，又，所以．
易得，，，，，所以，，．
法1：设，所以．
设平面PDQ的法向量为，由，得，取，
另取平面DCQ的一个法向量为．
设二面角的平面角为θ，由题意得．
又，所以，
解得（舍负），因此，．
所以当二面角的正弦值为时，BQ的长为1．
法2：设，所以．
设平面PDQ的法向量为，由，得，取，
另取平面DCQ的一个法向量为．
设二面角的平面角为θ，由题意得．
又，所以，
解得或6（舍），因此．
所以当二面角的正弦值为时，BQ的长为1．
法3：在平面中，作，垂足为H．
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，又平面，所以．
在平面ABCD中，作，垂足为G，连接PG．
因为，，，PH，平面，
所以平面，又平面，所以．
因为，，所以是二面角的平面角．
在四棱台中，四边形是梯形，
，，，点P是棱的中点，
所以，．
设，则，，
在中，，从而．
因为二面角的平面角与二面角的平面角互补，
且二面角的正弦值为，所以，从而．
所以在中，，解得或（舍）．
所以当二面角的正弦值为时，BQ的长为1．
18．【答案】（1）解： 易知双曲线 的渐近线方程为，右焦点，
因为右焦点到渐近线的距离为 ，所以，
又因为，所以，解得，
又因为离心率，解得，，
则双曲线的标准方程为；
（2）解：的渐近线方程为，
当直线的斜率不存在时，此时，直线方程为，代入渐近线方程，得到，故，
又，
故的面积；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
联立，消元整理可得，
因为直线与双曲线相切，所以，解得，
另设，，
联立，
由韦达定理可得：，，
，
，
在中，，，
则，
，
，
因为，所以，
综上所述，，其最小值为.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）易知双曲线的渐近线方程，利用点到直线距离公式得到，再由离心率求出，，即可得双曲线方程；
（2）由（1）可得：的渐近线方程为，，当直线的斜率不存在时，；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立直线与双曲线方程，由得到，再联立直线方程和双曲线渐近线方程，设，，利用韦达定理，结合表达出，据此求的面积的最小值即可.
（1）由已知得渐近线方程为，右焦点，
∴，
又∵，所以，解得，
又因为离心率，解得，，
∴双曲线的标准方程为；
（2）解法1：的渐近线方程为，
当直线的斜率不存在时，此时，直线方程为，代入渐近线方程，
得到，故，又，
故的面积；
当直线的斜率存在时，设其方程为，直线与双曲线联立得
，
因为相切，所以，解得，
另设，，
联立，
∴，，
，
，
在中，，，
∴，
所以，
所以，
因为，所以，
综上所述，，其最小值为；
解法2：由条件知，若直线的斜率存在，则斜率不为零，
故可设，直线与双曲线联立得，
，
因为相切，所以，即，
又因为直线与双曲线的渐近线交于两点，设为，，
联立，
由于，所以，
则，
由直线的方程得，直线与轴的交点坐标为，
∴
，
∵，
∴即，且，
∴时，的最小值为，
综上所述，，其最小值为.
19．【答案】（1）解：，
，
记，
则，
相减得：，
由题意：.
（2）解：（i），解得：；
（ii）期待在次试验后，首次出现连续次成功，若下一次试验成功，则试验停止，此时试验次数为；若下一次试验失败，相当于重新试验，后续期望仍是，此时总的试验次数为，
即，
整理得：，即，
所以，
由（1）知，代入得：.
【知识点】极限及其运算；数列的求和；数列的递推公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）先求出，得到期望的表达式，结合错位相减法求和再利用极限求即可；
（2）（i）根据可能发生的三种情况求解即可；
（ii）根据题意得到，利用递推关系求即可.
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