2024-2025学年重庆外国语学校高二（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年重庆外国语学校高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数f（x）=x2 sinx,则的值为（　　）
A. 0 B. π C. D.
2.函数y=在（0，2）上的最小值是（　　）
A. B. C. D. e
3.已知随机变量X满足E（3X+1）=10，D，则（　　）
A. E（X）=31，D（X）=4 B. E（X）=3，
C. E（X）=3，D（X）=1 D. E（X）=31，D（X）=1
4.已知P（A）=，P（B）=，P（B|A）=，则P（A|B）=（　　）
A. B. C. D.
5.某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、莲花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒.若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为（　　）
A. B. C. D.
6.已知某曲剧社团有9名演员，其中会唱京剧的有5名演员，会唱豫剧的有6名演员，现有一地方请该曲剧社团做一台演出，需要3名京剧演员和3名豫剧演员，则不同的选择方法有（　　）
A. 36种 B. 52种 C. 88种 D. 92种
7.拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数f（x）在[a,b]上连续，且在（a,b）上可导，则必有一ξ∈（a,b），使得f（ξ）（b-a）=f（b）-f（a）.已知函数f（x）=， a,b∈[0，2]，λ=，那么实数λ的最大值为（　　）
A. 1 B. e C. D. 0
8.设函数f（x）在R上存在导函数f′（x），对于任意实数x,都有f（x）=6x2-f（-x），当x∈（-∞，0）时，f′（x）-6x+1＜0.若f（m+2）≤f（-m）+10m+10，则m的取值范围为（　　）
A. [-1，+∞） B. C. D. [-2，+∞）
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有5个红球和5个绿球；乙袋中装有4个红球和6个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记A1表示事件”从甲袋摸出的是红球”，A2表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记B1表示事件“从乙袋摸出的是红球”，B2表示事件“从乙袋摸出的是绿球”.下列说法正确的是（　　）
A. A1，A2是对立事件 B.
C. D.
10.已知（1-2x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，展开式中的所有项的二项式系数和为64，下列说法正确的是（　　）
A. n=8 B. a0=1
C. a3=-160 D. |a1|+|a2|+…+|an|=36-1
11.已知函数f（x）=（ex+a）x,g（x）=（x+a）lnx,则下列说法正确的是（　　）
A. 当a=1时，函数y=g（x）在（0，+∞）上单调递增
B. 当a=1时，若存在x≥1，使不等式f（mx）≥f（（x2+x）lnx）成立，则实数m的最小值为0
C. 若函数y=f（x）存在两个极值，则实数a的最大值为
D. 当a=1时，若f（x1）=g（x2）=t（t＞0），则x1（x2+1） lnt的最小值为
三、填空题：本题共3小题，共20分。
12.的展开式中x2y6的系数为______（用数字作答）.
13.为了做好社区新疫情防控工作，需要将5名志愿者分配到甲、乙、丙、丁4个小区开展工作，若每个小区至少分配一名志愿者，则有______种分配方法（用数字作答）.
14.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人.设第n次传球后球在甲、乙、丙手中的概率依次为An，Bn，Cn，n∈N*，则第3次传球后球在甲手里的概率A3= ______，第n次传球后球在丙手里的概率Cn= ______.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
计算下列各小题，结果用数字作答，写出必要过程.
（1）求值：；
（2）解方程：；
（3）已知，求n.
16.(本小题12分)
已知函数f（x）=3x3+ax+b在x=1处取得极值-1.
（1）求实数a,b的值；
（2）求f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值.
（3）若方程3x3+ax+b-k=0（k∈R）有三个不同的实数根，求实数k的取值范围.
17.(本小题12分)
甲，乙两名射击运动员进行射击训练，无论之前射击命中情况如何，甲每次射击命中目标的概率都为，乙每次射击命中目标的概率都为.
（1）甲先射击，若未命中目标则甲继续射击，若命中目标则换乙射击，直至乙命中目标就结束训练.求第三次射击就结束训练的概率；
（2）如果甲，乙两名射击运动员轮流射击，有人命中目标或总共射击6次就结束训练.若甲先射击，求：
①结束训练时甲只射击了1次的概率；
②结束训练时甲射击的次数记为随机变量X，求X的分布列与数学期望.
18.(本小题12分)
已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）.
（1）若a=1，求f（x）在（e,f（e））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若函数f（x）在x=1处取得极值，且对 x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求实数b的取值范围.
19.(本小题12分)
英国数学家泰勒发现了如下公式：
其中n!=1×2×3×4× ×n,e为自然对数的底数，e=2.71828 .以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
（1）证明：ex 1+x；
（2）设x∈（0，+∞），证明：；
（3）设，若x=0是F（x）的极小值点，求实数a的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】ACD
10.【答案】BCD
11.【答案】AB
12.【答案】-28
13.【答案】240
14.【答案】
15.【答案】165；
x=3或x=4；
n=6．
16.【答案】a=-9，b=5；
最大值为11，最小值-1；
（-1，11）．
17.【答案】第三次射击就结束训练的概率为；
18.【答案】（e-1）x-ey-e=0．
当a≤0时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，函数f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增．
．
19.【答案】证明：（1）设h（x）=ex-x-1，则h′（x）=ex-1＞0 x＞0，
所以h（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．
因此h（x） h（0）=0，即ex 1+x.
证明：（2），①
于是，②
由①②得，
，
，
所以
=g（x）．
即．
解：（3），
则．
①当a 1时，F″（x） =1-a 0，
所以F′（x）在R上单调递增，且F′（0）=0，
所以当x＞0时，F′（x）＞0；当x＜0时，F′（x）＜0．
所以F（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．
因此x=0是F（x）的极小值点．
②当a＞1时，当x＞0时，，
F″（x）在（0，+∞）上单调递增，
，
又F″（x）是R上的偶函数，
所以当x∈（-lna,lna）时，F″（x）＜0．
因此，F′（x）在（-lna,lna）上单调递减．
又因为F′（x）是奇函数，且F′（0）=0，
所以当-lna＜x＜0时，F′（x）＞0；当0＜x＜lna时，F′（x）＜0．
所以F（x）在（-lna,0）上单调递增，在（0，lna）上单调递减．
因此，x=0是F（x）的极大值点，不是F（x）的极小值点．
综上，实数a的取值范围是（-∞，1]．
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