第一章集合与常用逻辑 1.5.1全称量词与存在量词 课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
第一章 集合与常用逻辑
1.5.1 全称量词与存在量词
教学目标
1.理解全称量词与存在量词的定义及常见形式.
2.能运用全称量词与存在量词解决一些简单问题.
3.全称量词与存在量词命题
.0及其应用.（重点、难点)
通过具体命题真假的判断，培养逻辑推理的核心素养
学科素养
情境导入
在我们的生活和学习中，常遇到这样的命题：
（1）所有中国公民的合法权利都受到中华人民共和国宪法的保护；
（2）对任意实数x，都有x2≥0；
（3）存在有理数x，使x2－2＝0;
（4）有些人没有环境保护意识.
新知导入
下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)它们之间有什么关系？
(1)x>3；
(2)2x+1是整数；
(3)对所有的x∈R，x>3；
(4)对任意一个x∈Z，2x+1是整数．
对变量的范围进行限定的短语称为量词
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词(universal quantifier).并用符号“”表示.
含有全称量词的命题，叫做全称量词命题(universal proposition).
容易判断(1)(2)不是命题.语句(3)在语句(1)的基础上，用短语“所有的”对变量x的取值进行限定；语句(4)在语句(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量x的取值进行限定.从而(3)(4)成为可以判断真假的语句.因此语句(3)(4)是命题.
情境导入
在我们的生活和学习中，常遇到这样的命题：
（1）所有中国公民的合法权利都受到中华人民共和国宪法的保护；
（2）对任意实数x，都有x2≥0；
（3）存在有理数x，使x2－2＝0;
（4）有些人没有环境保护意识.
新知讲解
⑴平行四边形对角线互相平分；
⑵对任意的n∈Z，2n+1是奇数；
⑶正方形都是矩形；
⑷每一个素数都是奇数.
全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x)成立 ”可用符号简记为：
读作“对任意x属于M，有p(x)成立”.
常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.
通常，将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示.
新知讲解
【例1】 判断下列全称量词命题的真假：
（1）所有的素数都是奇数；
（2） x∈R,|x|+1≥1 ;
（3）对每一个无理数x，x2也是无理数.
分析：要判定全称量词命题“ x∈M,p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x,证明p(x)成立；如果集合M中找到一个x0,使得p(x0)不成立，那么这个全称量词命题是假命题.
解：
（1）2是素数，但2不是奇数，所以全称量词命题“所有的素数都是奇数”为假命题.
（2） x∈R,总有|x|≥0,因而|x|+1≥1.所以全称量词命题“ x∈R,|x|+1≥1”是真命题.
（3）是无理数，但=2是有理数.所以全称量词命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”为假命题.
这个方法就是“举反例”.
新知讲解
判断全称量词命题真假
要判定全称量词命题“ x∈M,p(x) ”是真命题，
需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立；
如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题.
新知讲解
下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)它们之间有什么关系？
(1)2x+1=3；
(2)x能被2和3整除；
(3)存在一个x∈R，使2x+1=3；
(4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除．
容易判断(1)(2)不是命题.语句(3)在语句(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句(4)在语句(2)的基础上，用短语“至少有一个”对变量x的取值进行限定.从而(3)(4)使变成可以判断真假的陈述句.因此(3)(4)是命题.
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词(existential quantifier).并用符号“”表示.
含有存在量词的命题，叫做存在量词命题(existential proposition).
新知讲解
1.存在1≤x<2，使不等式x2-4<0成立；
2.方程x2+2x+2=0有实数解.
3.三角形中至少有一个内角是锐角.
存在量词命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ”可用符号简记为：
读作“存在M中元素x0，使p(x0)成立”.
你能用符号语言来表示存在量词命题吗？
常见的全称量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”，等等.
新知讲解
【例2】 判断下列存在量词命题的真假：
(1)有一个实数x，使x2+2x+3=0；
(2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；
(3)有些平行四边形是菱形.
分析：要判定存在量词命题“”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题是假命题.
解：
(1)由于△=(2)2-4×1×3=-8<0,因此，一元二次方程x2+2x+3=0无实根.所以，存在量词命题“有一个实数x，使x2+2x+3=0”是假命题.
(2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线.所以，存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题.
(3)由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题.
新知讲解
要判定存在量词命题“ ”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可.
要判定一个存在量词命题“ ”是假命题，需对集合M中的任意x一个元素 ，证明p(x)都不成立.
判定存在量词命题的真假
新知讲解
解：
⑴由于命题p：“ x∈B,x∈A”是真命题，
所以B A且B≠ ,则
,
解得2≤m≤3,
所以m的取值范围为{m|2≤m≤3}.
【例3】已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且B≠ .
⑴若命题p：“ x∈B,x∈A”是真命题，求m的取值范围；
⑵若命题p：“x∈B,x∈A”是真命题，求m的取值范围.
新知讲解
解：
⑵由于命题q：“x∈A,x∈B”是真命题，
所以B A≠ ,则
,
解得-2≤m≤4,
所以m的取值范围为{m|-2≤m≤4}.
5
0
-2
【例3】已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且B≠ .
⑴若命题p：“ x∈B,x∈A”是真命题，求m的取值范围；
⑵若命题q：“x∈A,x∈B”是真命题，求m的取值范围.
初试身手
P28 练习1-2题.
完成下列各题：
(1)下列命题中是存在量词命题的是(　 　)
A. x∈R，x2≥0 B. x∈R，x2<0
C.平行四边形的对边不平行 D.矩形的任一组对边都不相等
⑵下列命题：
①至少有一个x,使x2＋2x＋1＝0成立； ②对任意的x,都有x2＋2x＋1＝0成立；
③对任意的x,都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x,使x2＋2x＋1＝0不成立．
其中是全称量词命题的个数为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
⑶下列命题中是真命题的是(　　)
A. x0∈R，x02＋1<0 B. x0∈Z,3x0＋1是整数
C. x∈R，|x|>3 D. x∈Q，x2∈Z
(4)用符号“ ”与“ ”表示下列命题，并判断真假．
①不论m取什么实数，方程x2＋x－m＝0必有实根；
②存在一个实数x，使x2＋x＋4≤0.
小结归纳
常见的全称量词有“所有的”“任意一个” “一切” “每一个” “任给”“所有的”等.
常见的存在量词有“存在一个”“至少一个” “有些” “有一个” “对某个” “有的”等.
判断全称命题和存在量词命题的真假
要判定全称命题“ x∈M, p(x) ”是真命题，需要对集合M中每个元素x, 证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题.
要判定存在量词命题 “ x∈M, p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可，如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，则特称命题是假命题.
作业布置
作业：P31-32 习题1.5 第1,2题
选做：
1.给出下列命题：
①有些自然数是偶数； ②正方形是菱形；
③能被6整除的数也能被3整除； ④对于任意x∈R,总有x2-x+1>0.
其中特称命题的个数是 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
2.判断下列命题的真假：
⑴有一些二次函数的图像过原点；
⑵ x∈R,2x2+x+1<0;
⑶ x∈R,|x+1|>0.
尽情享受学习数学的快乐！
我们下节课再见！
谢谢
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