专题2 实数及其运算-2025年精选中考数学真题分类汇编
一、选择题
1．（2025·广州）下列四个选项中，负无理数的是（ ）
A． B． C．0 D．3
2．（2025·北京市）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a >-1 B．a+b=0 C．a-b > 0 D．|a|>|b|
3．（2025·天津市）估计的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
4．（2025·扬州）如图，数轴上点A表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·安徽） 下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·广东）计算 的结果是（ ）
A．3 B．6 C． D．
7．（2025·湖南）下列四个数中，最大的数是（ ）
A．3.5 B． C．0 D．﹣1
8．（2025·广安） 公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数.他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”.请估计的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
9．（2025·南充）如图，把直径为 1 个单位长度的圆从点 A 沿数轴向右滚动一周，圆上点A 到达点A'，点A'对应的数是2，则滚动前点A 对应的数是（ ）
A．2-2π B．π-2 C．5-2π D．2-π
10．（2025·眉山）在平面直角坐标系中，点的坐标为，则向量，已知，，若，则与互相垂直．下列选项中两向量互相垂直的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．（2025·烟台）实数的整数部分为 .
12．（2025·重庆市）若为正整数，且满足，则 ．
13．（2025·陕西） 满足的整数可以是 （写出一个符合题意的数即可）．
14．（2025·河南）请写出一个使在实数范围内有意义的的值： ．
15．（2025·凉山州）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
三、解答题
16．（2025·苏州）计算：
17．（2025·深圳） 计算：
18．（2025·福建）计算：
19．（2025·连云港）计算：
20．（2025·武威）计算：．
21．（2025·长沙）计算：
22．（2025·河北）
（1）一道习题及其错误的解答过程如下：
计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步
请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程．
（2）计算：．
23．（2025·浙江）【阅读理解】
同学们，我们来学习利用完全平方公式：
近似计算算术平方根的方法.
例如求 的近似值．
因为 ，
所以 ，则 可以设成以下两种形式：
① ，其中 ；
② ，其中 ．
小明以①的形式求 的近似值的过程如图．
（1）【尝试探究】请用②的形式求的近似值（结果保留 2 位小数）．
（2）【比较分析】你认为用哪一种形式得出的 的近似值的精确度更高，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：由题意可得：
A是无理数
B，C，D是有理数
故答案为：A
【分析】根据无理数的定义即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】实数的大小比较；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可得
a<-1<0∴A错误，不符合题意；
B：aC：a-b<0，错误，不符合题意；
D： |a|>|b| ，正确，符合题意.
故答案为： D
【分析】根据数轴上点的位置关系可得a<-1<03．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：C
【分析】估算的范围，结合不等式的性质即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，，，，
∴ 数轴上点A表示的数可能是，
故答案为：C.
【分析】根据无理数的估算解答即可.
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；二次根式的性质与化简；积的乘方运算；立方根的性质
【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、 ，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、
故答案为： B.
【分析】利用二次根式的性质，可对A作出判断；利用立方根的性质，可对B作出判断；再利用同底数幂相乘的法则，可对C作出判断；然后利用幂的乘方法则，可对D作出判断.
6．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：=
故答案为：B .
【分析】根据二次根式乘法法则来运算 即可。
7．【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：
3.5最大
故答案为：A.
【分析】正数都大于0，负数都小于0，正数比较大小，绝对大的数字大，反之，负数比较大小，绝对值大的反而小.
8．【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴.
故答案为：A.
【分析】利用估算无理数的大小的方法，可知，据此可得答案.
9．【答案】D
【知识点】实数在数轴上表示
【解析】【解答】解：由题意得：AA =π×1=π，
设滚动前点A对应的数为x，
∴=π，
解得：x=2-π，
∴滚动前点A 对应的数为：2-π.
故答案为：D.
【分析】根据题意求出AA 的值，设滚动前点A对应的数为x，根据数轴上两点间的距离等于两点对应值之差的绝对值可得关于x的方程，解方程即可求解.
10．【答案】D
【知识点】无理数的混合运算
【解析】【解答】解：A：由于，则 则与不垂直；
B：由于， 则与不垂直；
C：由于，则与不垂直；
D：由于，则与互相垂直；
故答案为：D.
【分析】根据互相垂直的运算法则逐项判断解答即可.
11．【答案】4
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：且
故答案为：4.
【分析】由于是18的算术平方根，因此应该介于16和25的算术平方根之间，即，故其整数部分为4.
12．【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵为正整数，且满足，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意先求出，再求出，最后根据计算求解即可.
13．【答案】3
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵
∴2≤a<5
∴a的值可以是3（答案不唯一）
故答案为：3（答案不唯一）
【分析】估算无理数的范围即可求出答案.
14．【答案】5
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：
故答案为：在取值范围内任意选择一个实数即可.
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数是非负数.
15．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意知
解不等式得
故答案为：.
【分析】分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.
16．【答案】解：原式=5+9-4
=10.
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据有理数的绝对值、乘方、算术平方根进行化简，然后进行加减运算即可.
17．【答案】解：原式=
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】分别化简二次根式，去绝对值、求出零次幂和2025次方，再计算加减法即可得结果.
18．【答案】解：
【知识点】实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】 根据零指数幂的性质、绝对值的性质和如何把二次根式化成最简二次根式进行计算即可.
19．【答案】解：原式=10-3-1=6
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先算乘方和开方运算，再算乘法运算，然后利用有理数的加减法法则进行计算.
20．【答案】解：原式
．
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法；开平方（求平方根）
【解析】【分析】根据开平方运算得，根据二次根式的乘法运算，再计算加减即可解答 ．
21．【答案】解：原式
【知识点】实数的绝对值；整数指数幂的运算
【解析】【分析】先运算绝对值、负整数指数次幂、乘方、零指数次幂，然后加减解答即可.
22．【答案】（1）解：原计算第一步开始出错；
；
（2）解：
【知识点】有理数的乘法运算律；去括号法则及应用；有理数的乘方法则；实数的绝对值
【解析】【分析】（1）根据去括号法则可判断原计算第一步开始出错，根据实数的混合运算即可求出答案.
（2）根据绝对值的性质，有理数的乘方化简，再计算加减即可求出答案.
23．【答案】（1）解：∵ ，
∴ ．
即 ．
∵ 比较小，
将 忽略不计，
∴ ，
即 。
得 ，
故 ．
（2）解：8.222=67.5684，
8.192=67.0761，
67.5684＞67.0761，
∴8.192更接近67，
故方法一得出的的近似值的精确度更高
【知识点】无理数的估值
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式，设这个近似数的小数部分为t，则t2可以忽略不计，解关于t的一元一次方程即可；
（2）对比方法一，试值法范围不好确定，故精确度不高.
1 / 1专题2 实数及其运算-2025年精选中考数学真题分类汇编
一、选择题
1．（2025·广州）下列四个选项中，负无理数的是（ ）
A． B． C．0 D．3
【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：由题意可得：
A是无理数
B，C，D是有理数
故答案为：A
【分析】根据无理数的定义即可求出答案.
2．（2025·北京市）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a >-1 B．a+b=0 C．a-b > 0 D．|a|>|b|
【答案】D
【知识点】实数的大小比较；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可得
a<-1<0∴A错误，不符合题意；
B：aC：a-b<0，错误，不符合题意；
D： |a|>|b| ，正确，符合题意.
故答案为： D
【分析】根据数轴上点的位置关系可得a<-1<03．（2025·天津市）估计的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：C
【分析】估算的范围，结合不等式的性质即可求出答案.
4．（2025·扬州）如图，数轴上点A表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，，，，
∴ 数轴上点A表示的数可能是，
故答案为：C.
【分析】根据无理数的估算解答即可.
5．（2025·安徽） 下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；二次根式的性质与化简；积的乘方运算；立方根的性质
【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、 ，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、
故答案为： B.
【分析】利用二次根式的性质，可对A作出判断；利用立方根的性质，可对B作出判断；再利用同底数幂相乘的法则，可对C作出判断；然后利用幂的乘方法则，可对D作出判断.
6．（2025·广东）计算 的结果是（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：=
故答案为：B .
【分析】根据二次根式乘法法则来运算 即可。
7．（2025·湖南）下列四个数中，最大的数是（ ）
A．3.5 B． C．0 D．﹣1
【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：
3.5最大
故答案为：A.
【分析】正数都大于0，负数都小于0，正数比较大小，绝对大的数字大，反之，负数比较大小，绝对值大的反而小.
8．（2025·广安） 公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数.他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”.请估计的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴.
故答案为：A.
【分析】利用估算无理数的大小的方法，可知，据此可得答案.
9．（2025·南充）如图，把直径为 1 个单位长度的圆从点 A 沿数轴向右滚动一周，圆上点A 到达点A'，点A'对应的数是2，则滚动前点A 对应的数是（ ）
A．2-2π B．π-2 C．5-2π D．2-π
【答案】D
【知识点】实数在数轴上表示
【解析】【解答】解：由题意得：AA =π×1=π，
设滚动前点A对应的数为x，
∴=π，
解得：x=2-π，
∴滚动前点A 对应的数为：2-π.
故答案为：D.
【分析】根据题意求出AA 的值，设滚动前点A对应的数为x，根据数轴上两点间的距离等于两点对应值之差的绝对值可得关于x的方程，解方程即可求解.
10．（2025·眉山）在平面直角坐标系中，点的坐标为，则向量，已知，，若，则与互相垂直．下列选项中两向量互相垂直的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】无理数的混合运算
【解析】【解答】解：A：由于，则 则与不垂直；
B：由于， 则与不垂直；
C：由于，则与不垂直；
D：由于，则与互相垂直；
故答案为：D.
【分析】根据互相垂直的运算法则逐项判断解答即可.
二、填空题
11．（2025·烟台）实数的整数部分为 .
【答案】4
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：且
故答案为：4.
【分析】由于是18的算术平方根，因此应该介于16和25的算术平方根之间，即，故其整数部分为4.
12．（2025·重庆市）若为正整数，且满足，则 ．
【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵为正整数，且满足，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意先求出，再求出，最后根据计算求解即可.
13．（2025·陕西） 满足的整数可以是 （写出一个符合题意的数即可）．
【答案】3
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵
∴2≤a<5
∴a的值可以是3（答案不唯一）
故答案为：3（答案不唯一）
【分析】估算无理数的范围即可求出答案.
14．（2025·河南）请写出一个使在实数范围内有意义的的值： ．
【答案】5
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：
故答案为：在取值范围内任意选择一个实数即可.
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数是非负数.
15．（2025·凉山州）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意知
解不等式得
故答案为：.
【分析】分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.
三、解答题
16．（2025·苏州）计算：
【答案】解：原式=5+9-4
=10.
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据有理数的绝对值、乘方、算术平方根进行化简，然后进行加减运算即可.
17．（2025·深圳） 计算：
【答案】解：原式=
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】分别化简二次根式，去绝对值、求出零次幂和2025次方，再计算加减法即可得结果.
18．（2025·福建）计算：
【答案】解：
【知识点】实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】 根据零指数幂的性质、绝对值的性质和如何把二次根式化成最简二次根式进行计算即可.
19．（2025·连云港）计算：
【答案】解：原式=10-3-1=6
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先算乘方和开方运算，再算乘法运算，然后利用有理数的加减法法则进行计算.
20．（2025·武威）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法；开平方（求平方根）
【解析】【分析】根据开平方运算得，根据二次根式的乘法运算，再计算加减即可解答 ．
21．（2025·长沙）计算：
【答案】解：原式
【知识点】实数的绝对值；整数指数幂的运算
【解析】【分析】先运算绝对值、负整数指数次幂、乘方、零指数次幂，然后加减解答即可.
22．（2025·河北）
（1）一道习题及其错误的解答过程如下：
计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步
请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程．
（2）计算：．
【答案】（1）解：原计算第一步开始出错；
；
（2）解：
【知识点】有理数的乘法运算律；去括号法则及应用；有理数的乘方法则；实数的绝对值
【解析】【分析】（1）根据去括号法则可判断原计算第一步开始出错，根据实数的混合运算即可求出答案.
（2）根据绝对值的性质，有理数的乘方化简，再计算加减即可求出答案.
23．（2025·浙江）【阅读理解】
同学们，我们来学习利用完全平方公式：
近似计算算术平方根的方法.
例如求 的近似值．
因为 ，
所以 ，则 可以设成以下两种形式：
① ，其中 ；
② ，其中 ．
小明以①的形式求 的近似值的过程如图．
（1）【尝试探究】请用②的形式求的近似值（结果保留 2 位小数）．
（2）【比较分析】你认为用哪一种形式得出的 的近似值的精确度更高，请说明理由．
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ．
即 ．
∵ 比较小，
将 忽略不计，
∴ ，
即 。
得 ，
故 ．
（2）解：8.222=67.5684，
8.192=67.0761，
67.5684＞67.0761，
∴8.192更接近67，
故方法一得出的的近似值的精确度更高
【知识点】无理数的估值
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式，设这个近似数的小数部分为t，则t2可以忽略不计，解关于t的一元一次方程即可；
（2）对比方法一，试值法范围不好确定，故精确度不高.
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