专题3 代数式-2025年精选中考数学真题分类汇编
一、选择题
1．（2025·青岛）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·湖北） 下列运算的结果为的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·广州）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·广西）因式分解：（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·新疆维吾尔自治区）计算：（ ）
A．1 B．x﹣2y C． D．
6．（2025·贵州）若分式的值为0，则实数的值为（ ）
A．2 B．0 C． D．-3
7．（2025·南充） 已知 则 的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
8．（2025·长沙）智慧农业广泛应用智能机器人.某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘 10个苹果.若该机器人搭载m个机械手(m＞1)，则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为( )
A．6m B．m+10 C．60m D．10m
9．（2025·重庆市）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（ ）
A．32 B．28 C．24 D．20
10．（2025·重庆市）已知整式，其中为自然数，，，，…，为正整数，且．下列说法：
①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式；
②当时，满足条件的所有整式M的和为；
③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．（2025·长春）写出的一个同类项： ．
12．（2019七下·南县期末）已知 ， ，则 .
13．（2025·绥化）计算： .
14．（2025·长春）已知，则代数式的值为 ．
15．（2024八上·洪雅期末）因式分解： ．
16．（2025·成都）多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 （填一个即可）．
17．（2025·山西）近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入.某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元.该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了 元（用含a的代数式表示）。
18．（2025·河南）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为 ．
19．（2025·陕西） 生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ．
20．（2025·青海）下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程.按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是 .
21．（2025·绥化）观察下图，图（1）有2个三角形，记作a1=2：图（2）有3个三角形，记作a2=3：图
（1）有6个三角形，记作a3=6：图（4）有11个三角形，记作a14=11：按此方法继续下去，则an= （结果用含π的代数式表示）。
22．（2025·白银）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衔之美。如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……则第5个图形中共有 个正方形.
23．（2025·新疆维吾尔自治区）对多项式A，B，定义新运算“ ”：A B＝2A+B；对正整数k和多项式A，定义新运算“ ”：k A（按从左到右的顺序依次做“ ”运算）．已知正整数m，n为常数，记M＝m （x2+31xy），N＝n （y2﹣14xy），若M N不含xy项，则mn＝ ．
24．（2025·浙江）【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方 腰开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ．
【应用体验】
已知 ，则 的值为 .
25．（2025·安徽） 对正整数 n，根据 n 除以 3 的余数，分以下三种情况得到另一个正整数 m；若余数为 0，则；若余数为 1，则；若余数为 2，则.这种得到 m 的过程称为对 n 进行一次“变换”.对所得的数 m 再进行一次变换称为对 n 进行二次变换，依此类推. 例如，正整数，根据 4 除以 3 的余数为 1，由知 5；对 n 进行四次变换得到的数为 6；根据 8 除以 3 的余数为 2，由知，对 4 进行四次变换得到的数为 9；根据 9 除以 3 的余数为 0，由知，对 4 进行三次变换得到的数为 3.
（1） 对正整数 15 进行三次变换，得到的数为 ；
（2） 若对正整数 n 进行二次变换得到的数为 1，则所有满足条件的 n 的值之和为 .
26．（2025·成都）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为 ；一般地，对于任意奇数k（），将拆分成两个不同单位分数相加的形式为 ．
27．（2025·重庆市）我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是 ：一个“十全数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的M的值是 ．
三、解答题
28．（2025·广州）求代数式的值，其中．
29．（2025·北京市） 已知a+b-3 =0，求代数式 的值.
30．（2025·青海） 先化简 再从-2，0，1中选一个合适的数代入求值.
31．（2025·眉山）先化简，再求值：．其中x、y满足．
32．（2025·重庆市）先化简，再求值：，其中．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】
解：A、不是同类项不可以合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、 ，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据同类项合并的法则可判断A；根据同底数幂的乘法法则计算可得，可判断B；根据积的乘方计算，可判断C；根据同底数幂的除法法则得，可判断D；逐一判断即可解答.
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，正确，符合题意；
D：，错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法，幂的乘方逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，不能合并，不符合题意；
D：，正确，符合题意.
故答案为：D
【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项法则逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：
故答案为： A
【分析】根据平方差公式进行因式分解即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
故答案为：1
【分析】根据分式的减法即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：对于分式，分子时，；此时分母，满足条件，所以的值为.
故答案为：A .
【分析】根据分式值为的条件（分子为且分母不为 ），先令分子等于求，再验证分母是否不为.
7．【答案】D
【知识点】比例的性质；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴a2=2abc，b2=2abc，c2=2abc，
∴===6.
故答案为：D.
【分析】由已知的等式和比例的性质可得a2=2abc，b2=2abc，c2=2abc，然后整体代换即可求解.
8．【答案】D
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】 该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为10×m=10m个，
故答案为：D.
【分析】根据每个机械手采摘数量×机械手数量解答即可.
9．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：第①个图案中有4个黑色圆点，
第②个图案中有8个黑色圆点，
第③个图案中有12个黑色圆点，
第④个图案中有16个黑色圆点，
则第个图案中有个黑色圆点，
所以第⑥个图中圆点的个数是（个），
故答案为：C．
【分析】先观察图形，再找出规律：第个图案中有个黑色圆点，最后计算求解即可.
10．【答案】C
【知识点】整式的混合运算；探索数与式的规律；配方法的应用；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：当时，，
当，时，整式M为，
当时，整式M不可能为单项式，
当时，
，，…，为正整数，
整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确；
当时，，
当时，，
则中有一个可能为，故会有三种情况，对应的整式M为，，，
当时，，
则故会有一种情况，对应的整式M为，
当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在，
满足条件的所有整式M的和为，故②错误；
多项式为二次三项式，
，
，
因为多项式为三项式，故，
当时，，
则有两种，
，，
两种都满足条件，
当时，，
则有一种，
，
满足条件，
当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在，
所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确，
其中正确的个数是个，
故答案为：C．
【分析】根据题意逐项分析，对进行分类讨论，找出规律计算求解即可.
11．【答案】（答案不唯一）
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：的一个同类项为2ab.
故答案为：2ab(答案不唯一)。
【分析】根据同类项的定义解答即可.
12．【答案】12
【知识点】代数式求值；同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：解： .
故答案为：12
【分析】根据同底数幂乘法的逆运算可知 ，由幂的乘方的逆运算可知 ，再将 ， 代入求解.
13．【答案】
【知识点】分式的混合运算；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：=
故答案为：.
【分析】根据分式的计算先因式分解，再进行分式的乘除约分计算得到，最后通分进行加减计算即可解答.
14．【答案】3
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
故答案为：3.
【分析】原式化为，整体代入计算解答即可.
15．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解．
16．【答案】
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：，
故答案为：4x.
【分析】根据完全平方公式的特征解答即可.
17．【答案】60a
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：售出一个布老虎增加的利润为80 - 20= 60
则售出a个布老虎增加的利润为60a.
故答案为： 60a.
【分析】先求售出一个布老虎增加的利润，即可求出售出a个布老虎增加的利润，计算即可解答.
18．【答案】
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：
第个式子为：
故答案为：.
【分析】先对前4个单项式进行变形，可发现单项式的系数是的2倍，字母的指数是，即
.
19．【答案】21
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：由题意可得
第1个图案用了3个矩形，即3=2×1+1
第2个图案用了5个矩形，即5=2×2+1
第3个图案用了7个矩形，即7=2×3+1
......
∴第n个图案用了(2n+1)个矩形
∴第10个图案需要矩形的个数为2×10+1=21个
故答案为：21
【分析】根据前3个图案所用矩形的个数总结规律，即可求出答案.
20．【答案】35或243
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：第①个图形黑色三角形有1个
第②个图形的黑色三角形有3=31个；
第③个图形的黑色三角形有9=32个；
....第n个图形的黑色三角形有个.
当n=6时，黑色三角形有243=35个.
故填：35或243.
【分析】由图①至图③的黑色三角形的个数增长特点可得其规律表达式，即可得结果.
21．【答案】（1）n2-2n+3
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第一个图形中有2=(1-1)2+2个三角形；
第二个图形中有3=(2-1)2+2个三角形；
第三个图形中有6=(3-1)2 +2个三角形；
第四个图形中有11=(4-1)2+2个三角形；
……
第n个图形中有(n-1)2+2=n2 -2n+3个三角形
故答案为：n2-2n+3.
【分析】根据图形的递变规律和个数的规律：发现第n个图形中有(n-1)2+2=n2 -2n+3个三角形，解答即可.
22．【答案】31
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第1个图形的正方形个数为1，
第2个图形的正方形个数为1+21=3，
第3个图形的正方形个数为1+21+22=7，
......
第n个图形的正方形个数为1+21+22+...+2n-1，
∴当n=5时，即第5个图形的正方形个数为1+21+22+23+24=31，
故答案为：31.
【分析】先分别求出前3个图形的正方形个数，从而得到规律：第n个图形的正方形个数为1+21+22+...+2n-1，进而将n=1代入进行计算即可.
23．【答案】15
【知识点】整式的混合运算；幂的乘方运算；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：∵k A
∴当k=1时，1 A=A=(21-1)4；
当k=2时，2 A=A A=2A+A=3A=(22-1)A
当k=3时，3 A=A A A=3A A=2×3A+A=7A=(23-1)A
当k=4时，3 A=A A A A=3A A A=7A A=15A=(24-1)A
∴当k=m时，m A=(2m-1)A，
当k=n时，n A=(2n-1)A，
∴M=m (x+31x)=(2m-1)(x2+31xy)，
N=(2n-1)(y2-14x)
∴M N=2M+N=2(2m-1)(x2+31xy)+(2n-1)(y2-14xy)
=(2m+1-2)x2+(2n-1)y2+[62×(2m-1)-14(2n-1)]xy
∵M N不含xy项
∴62(2m-1)-14(2n-1)=0
∴31×(2m-1)-7(2n-1)=0
设2m=a，2n=b，则3la-7b=24
∴
∵a，b均为2的整数幂，为偶数
∴
∴2m=8，2n=32
∴
∴mn=15
故答案为：15
【分析】根据k A，求出当k=1，2，3，4时的结果，总结规律，求出M N=(2m+1-2)x2+(2n-1)y2+[62×(2m-1)-14(2n-1)]xy，再根据M N不含xy项，可得xy项系数为0，即31×(2m-1)-7(2n-1)=0，设2m=a，2n=b，则3la-7b=24，根据a，b均为2的整数幂，为偶数，可得a，b值，根据有理数放入乘方可得m，n的值，再代入代数式即可求出答案.
24．【答案】8
【知识点】整式的混合运算；探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：
故填：8.
【分析】直接对照公式可得.
25．【答案】（1）2
（2）11
【知识点】探索数与式的规律
【解析】 【解答】解：（1）∵15÷3=5…0，
∴15进行一次变换后的数为；
，
15进行第二次变换后的数为：5+1=6；
∵6÷3=2…0，
∴15进行第三次变换后的数为2.
故答案为：2.
（2）当对正整数n进行第1次变换后，所得的余数为0时，则第1次变换后的数为1×3=3，此时符合题意；
当对正整数n进行第1次变换后，所得的余数为1时，则第1次变换后的数为，此时不符合题意；
当对正整数n进行第1次变换后，所得的余数为2时，则第1次变换后的数为1-1=0，此时不符合题意；
综上所述，第1次变换后的数为3，
当n÷3余数为0时，则n=3×3=9，符合题意；
当n÷3余数为1时，则2n=3，则，不符合题意；
当n÷3余数为2时，则n=3-1=2，符合题意；
∴符合题意的n的值为2和9，
∴2+9=11.
故答案为：11 .
【分析】（1）将15进行一次变换，可得到一次变换后的数，利用同样的方法求差第二次变换，即可得到第三次变换后的数.
（2）分情况讨论：当对正整数n分别进行第1次、第二次、第三次变换后，所得的余数分别为0、1、2时的数，可得到符合题意的数；再分别求出三种情况的n的值，可得到符合题意的n的值，然后求和即可.
26．【答案】；
【知识点】分式的化简求值-拆项变形法
【解析】【解答】解：解：设，
∴，
∴a>，
当a=4时，b=44，
∴，
设，
∴，
∴，
当m=时，，
∴，
故答案为：，.
【分析】根据新定义运算法则可设，整理得到，即可得到a>，然后令a=4求解即可；类比上面解答过程计算解题.
27．【答案】；
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：设四位数，
∵要求最小的“十全数”，
∴，
∴，
∴最小的“十全数”是；
∵一个“十全数”，
∴
∴，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵与均是整数
∴与均是整数
∴能被13整除，能被17整除
∵，
∴，
∴
∴的值可以为13，26，39，52，65
∴依次代入可得，当，时，，均是整数，符合题意
∴，
∴满足条件的M的值是．
故答案为：，．
【分析】根据“十全数”的定义求出a，b，c，d的值，再求出M和M'的值，最后计算求解即可.
28．【答案】解：
，
当时，
原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将x值代入即可求出答案.
29．【答案】解：∵a+b-3=0
∴a+b=4
∴原式=
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】由题意可得a+b=4，化简代数值再整体代入即可求出答案.
30．【答案】化简：解：
·
=a-2
求值：情况①：把a=0代入
原式=0-2
=-2
情况②：把a=1 代入
原式=1-2
=-1
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】括号内通分后计算加减法，括号外因式分解并颠倒，再运算分式乘法即可化简，代入合适的数据即可得结果.
31．【答案】解：
，
∵ ，
∴x+2=0，y-1=0，
解得x=-2，y=1，
∴原式.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先把括号内的分式通分，然后把除法化为乘法，约分化简，然后根据非负性求出x和y的值，代入计算解答即可.
32．【答案】解：原式
；
∵，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据题意先化简分式，再求出x的值，最后将x=4代入计算求解即可.
1 / 1专题3 代数式-2025年精选中考数学真题分类汇编
一、选择题
1．（2025·青岛）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】
解：A、不是同类项不可以合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、 ，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据同类项合并的法则可判断A；根据同底数幂的乘法法则计算可得，可判断B；根据积的乘方计算，可判断C；根据同底数幂的除法法则得，可判断D；逐一判断即可解答.
2．（2025·湖北） 下列运算的结果为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，正确，符合题意；
D：，错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法，幂的乘方逐项进行判断即可求出答案.
3．（2025·广州）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，不能合并，不符合题意；
D：，正确，符合题意.
故答案为：D
【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项法则逐项进行判断即可求出答案.
4．（2025·广西）因式分解：（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：
故答案为： A
【分析】根据平方差公式进行因式分解即可求出答案.
5．（2025·新疆维吾尔自治区）计算：（ ）
A．1 B．x﹣2y C． D．
【答案】A
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
故答案为：1
【分析】根据分式的减法即可求出答案.
6．（2025·贵州）若分式的值为0，则实数的值为（ ）
A．2 B．0 C． D．-3
【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：对于分式，分子时，；此时分母，满足条件，所以的值为.
故答案为：A .
【分析】根据分式值为的条件（分子为且分母不为 ），先令分子等于求，再验证分母是否不为.
7．（2025·南充） 已知 则 的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【知识点】比例的性质；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴a2=2abc，b2=2abc，c2=2abc，
∴===6.
故答案为：D.
【分析】由已知的等式和比例的性质可得a2=2abc，b2=2abc，c2=2abc，然后整体代换即可求解.
8．（2025·长沙）智慧农业广泛应用智能机器人.某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘 10个苹果.若该机器人搭载m个机械手(m＞1)，则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为( )
A．6m B．m+10 C．60m D．10m
【答案】D
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】 该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为10×m=10m个，
故答案为：D.
【分析】根据每个机械手采摘数量×机械手数量解答即可.
9．（2025·重庆市）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（ ）
A．32 B．28 C．24 D．20
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：第①个图案中有4个黑色圆点，
第②个图案中有8个黑色圆点，
第③个图案中有12个黑色圆点，
第④个图案中有16个黑色圆点，
则第个图案中有个黑色圆点，
所以第⑥个图中圆点的个数是（个），
故答案为：C．
【分析】先观察图形，再找出规律：第个图案中有个黑色圆点，最后计算求解即可.
10．（2025·重庆市）已知整式，其中为自然数，，，，…，为正整数，且．下列说法：
①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式；
②当时，满足条件的所有整式M的和为；
③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】整式的混合运算；探索数与式的规律；配方法的应用；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：当时，，
当，时，整式M为，
当时，整式M不可能为单项式，
当时，
，，…，为正整数，
整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确；
当时，，
当时，，
则中有一个可能为，故会有三种情况，对应的整式M为，，，
当时，，
则故会有一种情况，对应的整式M为，
当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在，
满足条件的所有整式M的和为，故②错误；
多项式为二次三项式，
，
，
因为多项式为三项式，故，
当时，，
则有两种，
，，
两种都满足条件，
当时，，
则有一种，
，
满足条件，
当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在，
所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确，
其中正确的个数是个，
故答案为：C．
【分析】根据题意逐项分析，对进行分类讨论，找出规律计算求解即可.
二、填空题
11．（2025·长春）写出的一个同类项： ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：的一个同类项为2ab.
故答案为：2ab(答案不唯一)。
【分析】根据同类项的定义解答即可.
12．（2019七下·南县期末）已知 ， ，则 .
【答案】12
【知识点】代数式求值；同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：解： .
故答案为：12
【分析】根据同底数幂乘法的逆运算可知 ，由幂的乘方的逆运算可知 ，再将 ， 代入求解.
13．（2025·绥化）计算： .
【答案】
【知识点】分式的混合运算；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：=
故答案为：.
【分析】根据分式的计算先因式分解，再进行分式的乘除约分计算得到，最后通分进行加减计算即可解答.
14．（2025·长春）已知，则代数式的值为 ．
【答案】3
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
故答案为：3.
【分析】原式化为，整体代入计算解答即可.
15．（2024八上·洪雅期末）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解．
16．（2025·成都）多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 （填一个即可）．
【答案】
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：，
故答案为：4x.
【分析】根据完全平方公式的特征解答即可.
17．（2025·山西）近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入.某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元.该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了 元（用含a的代数式表示）。
【答案】60a
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：售出一个布老虎增加的利润为80 - 20= 60
则售出a个布老虎增加的利润为60a.
故答案为： 60a.
【分析】先求售出一个布老虎增加的利润，即可求出售出a个布老虎增加的利润，计算即可解答.
18．（2025·河南）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为 ．
【答案】
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：
第个式子为：
故答案为：.
【分析】先对前4个单项式进行变形，可发现单项式的系数是的2倍，字母的指数是，即
.
19．（2025·陕西） 生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ．
【答案】21
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：由题意可得
第1个图案用了3个矩形，即3=2×1+1
第2个图案用了5个矩形，即5=2×2+1
第3个图案用了7个矩形，即7=2×3+1
......
∴第n个图案用了(2n+1)个矩形
∴第10个图案需要矩形的个数为2×10+1=21个
故答案为：21
【分析】根据前3个图案所用矩形的个数总结规律，即可求出答案.
20．（2025·青海）下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程.按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是 .
【答案】35或243
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：第①个图形黑色三角形有1个
第②个图形的黑色三角形有3=31个；
第③个图形的黑色三角形有9=32个；
....第n个图形的黑色三角形有个.
当n=6时，黑色三角形有243=35个.
故填：35或243.
【分析】由图①至图③的黑色三角形的个数增长特点可得其规律表达式，即可得结果.
21．（2025·绥化）观察下图，图（1）有2个三角形，记作a1=2：图（2）有3个三角形，记作a2=3：图
（1）有6个三角形，记作a3=6：图（4）有11个三角形，记作a14=11：按此方法继续下去，则an= （结果用含π的代数式表示）。
【答案】（1）n2-2n+3
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第一个图形中有2=(1-1)2+2个三角形；
第二个图形中有3=(2-1)2+2个三角形；
第三个图形中有6=(3-1)2 +2个三角形；
第四个图形中有11=(4-1)2+2个三角形；
……
第n个图形中有(n-1)2+2=n2 -2n+3个三角形
故答案为：n2-2n+3.
【分析】根据图形的递变规律和个数的规律：发现第n个图形中有(n-1)2+2=n2 -2n+3个三角形，解答即可.
22．（2025·白银）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衔之美。如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……则第5个图形中共有 个正方形.
【答案】31
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第1个图形的正方形个数为1，
第2个图形的正方形个数为1+21=3，
第3个图形的正方形个数为1+21+22=7，
......
第n个图形的正方形个数为1+21+22+...+2n-1，
∴当n=5时，即第5个图形的正方形个数为1+21+22+23+24=31，
故答案为：31.
【分析】先分别求出前3个图形的正方形个数，从而得到规律：第n个图形的正方形个数为1+21+22+...+2n-1，进而将n=1代入进行计算即可.
23．（2025·新疆维吾尔自治区）对多项式A，B，定义新运算“ ”：A B＝2A+B；对正整数k和多项式A，定义新运算“ ”：k A（按从左到右的顺序依次做“ ”运算）．已知正整数m，n为常数，记M＝m （x2+31xy），N＝n （y2﹣14xy），若M N不含xy项，则mn＝ ．
【答案】15
【知识点】整式的混合运算；幂的乘方运算；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：∵k A
∴当k=1时，1 A=A=(21-1)4；
当k=2时，2 A=A A=2A+A=3A=(22-1)A
当k=3时，3 A=A A A=3A A=2×3A+A=7A=(23-1)A
当k=4时，3 A=A A A A=3A A A=7A A=15A=(24-1)A
∴当k=m时，m A=(2m-1)A，
当k=n时，n A=(2n-1)A，
∴M=m (x+31x)=(2m-1)(x2+31xy)，
N=(2n-1)(y2-14x)
∴M N=2M+N=2(2m-1)(x2+31xy)+(2n-1)(y2-14xy)
=(2m+1-2)x2+(2n-1)y2+[62×(2m-1)-14(2n-1)]xy
∵M N不含xy项
∴62(2m-1)-14(2n-1)=0
∴31×(2m-1)-7(2n-1)=0
设2m=a，2n=b，则3la-7b=24
∴
∵a，b均为2的整数幂，为偶数
∴
∴2m=8，2n=32
∴
∴mn=15
故答案为：15
【分析】根据k A，求出当k=1，2，3，4时的结果，总结规律，求出M N=(2m+1-2)x2+(2n-1)y2+[62×(2m-1)-14(2n-1)]xy，再根据M N不含xy项，可得xy项系数为0，即31×(2m-1)-7(2n-1)=0，设2m=a，2n=b，则3la-7b=24，根据a，b均为2的整数幂，为偶数，可得a，b值，根据有理数放入乘方可得m，n的值，再代入代数式即可求出答案.
24．（2025·浙江）【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方 腰开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ．
【应用体验】
已知 ，则 的值为 .
【答案】8
【知识点】整式的混合运算；探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：
故填：8.
【分析】直接对照公式可得.
25．（2025·安徽） 对正整数 n，根据 n 除以 3 的余数，分以下三种情况得到另一个正整数 m；若余数为 0，则；若余数为 1，则；若余数为 2，则.这种得到 m 的过程称为对 n 进行一次“变换”.对所得的数 m 再进行一次变换称为对 n 进行二次变换，依此类推. 例如，正整数，根据 4 除以 3 的余数为 1，由知 5；对 n 进行四次变换得到的数为 6；根据 8 除以 3 的余数为 2，由知，对 4 进行四次变换得到的数为 9；根据 9 除以 3 的余数为 0，由知，对 4 进行三次变换得到的数为 3.
（1） 对正整数 15 进行三次变换，得到的数为 ；
（2） 若对正整数 n 进行二次变换得到的数为 1，则所有满足条件的 n 的值之和为 .
【答案】（1）2
（2）11
【知识点】探索数与式的规律
【解析】 【解答】解：（1）∵15÷3=5…0，
∴15进行一次变换后的数为；
，
15进行第二次变换后的数为：5+1=6；
∵6÷3=2…0，
∴15进行第三次变换后的数为2.
故答案为：2.
（2）当对正整数n进行第1次变换后，所得的余数为0时，则第1次变换后的数为1×3=3，此时符合题意；
当对正整数n进行第1次变换后，所得的余数为1时，则第1次变换后的数为，此时不符合题意；
当对正整数n进行第1次变换后，所得的余数为2时，则第1次变换后的数为1-1=0，此时不符合题意；
综上所述，第1次变换后的数为3，
当n÷3余数为0时，则n=3×3=9，符合题意；
当n÷3余数为1时，则2n=3，则，不符合题意；
当n÷3余数为2时，则n=3-1=2，符合题意；
∴符合题意的n的值为2和9，
∴2+9=11.
故答案为：11 .
【分析】（1）将15进行一次变换，可得到一次变换后的数，利用同样的方法求差第二次变换，即可得到第三次变换后的数.
（2）分情况讨论：当对正整数n分别进行第1次、第二次、第三次变换后，所得的余数分别为0、1、2时的数，可得到符合题意的数；再分别求出三种情况的n的值，可得到符合题意的n的值，然后求和即可.
26．（2025·成都）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为 ；一般地，对于任意奇数k（），将拆分成两个不同单位分数相加的形式为 ．
【答案】；
【知识点】分式的化简求值-拆项变形法
【解析】【解答】解：解：设，
∴，
∴a>，
当a=4时，b=44，
∴，
设，
∴，
∴，
当m=时，，
∴，
故答案为：，.
【分析】根据新定义运算法则可设，整理得到，即可得到a>，然后令a=4求解即可；类比上面解答过程计算解题.
27．（2025·重庆市）我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是 ：一个“十全数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的M的值是 ．
【答案】；
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：设四位数，
∵要求最小的“十全数”，
∴，
∴，
∴最小的“十全数”是；
∵一个“十全数”，
∴
∴，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵与均是整数
∴与均是整数
∴能被13整除，能被17整除
∵，
∴，
∴
∴的值可以为13，26，39，52，65
∴依次代入可得，当，时，，均是整数，符合题意
∴，
∴满足条件的M的值是．
故答案为：，．
【分析】根据“十全数”的定义求出a，b，c，d的值，再求出M和M'的值，最后计算求解即可.
三、解答题
28．（2025·广州）求代数式的值，其中．
【答案】解：
，
当时，
原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将x值代入即可求出答案.
29．（2025·北京市） 已知a+b-3 =0，求代数式 的值.
【答案】解：∵a+b-3=0
∴a+b=4
∴原式=
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】由题意可得a+b=4，化简代数值再整体代入即可求出答案.
30．（2025·青海） 先化简 再从-2，0，1中选一个合适的数代入求值.
【答案】化简：解：
·
=a-2
求值：情况①：把a=0代入
原式=0-2
=-2
情况②：把a=1 代入
原式=1-2
=-1
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】括号内通分后计算加减法，括号外因式分解并颠倒，再运算分式乘法即可化简，代入合适的数据即可得结果.
31．（2025·眉山）先化简，再求值：．其中x、y满足．
【答案】解：
，
∵ ，
∴x+2=0，y-1=0，
解得x=-2，y=1，
∴原式.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先把括号内的分式通分，然后把除法化为乘法，约分化简，然后根据非负性求出x和y的值，代入计算解答即可.
32．（2025·重庆市）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
；
∵，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据题意先化简分式，再求出x的值，最后将x=4代入计算求解即可.
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