专题4 一次方程-2025年精选中考数学真题分类汇编
一、选择题
1．（2025·贵州）已知是关于的方程的解，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2025·天津市）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，则可以列出的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·南充）我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三……，问物几何 ”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个…….问这些物体共有多少个 设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程（ ）
A．3x+2=5y+3 B．5x+2=3y+3 C．3x-2=5y-3 D．5x-2=3y-3
4．（2025·成都）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·青海）我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤.试问各位善算者，多少人分多少银 ”译文：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知道有多少人，多少银两.若每人分7两，则还多4两；若每人分9两，则还差8两.请问：有多少客人 分多少银两 ”设客人为x人，银两为y两.根据题意可列方程组为( )
A． B．
C． D．
6．（2025·浙江）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B ，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表．
材料类别 彩色纸（张） 细木条（捆）
手工艺品A 5 3
手工艺品B 2 1
如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A 有 个，手工艺品 有 个，则 和 满足的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025·凉山州）若，则的平方根是
A．8 B． C． D．
8．（2025·自贡）某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形．若大平行四边形短边长．则小地砖短边长（ ）
A．7cm B．8 C．9 D．
9．（2025·黑龙江）为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（ ）
A．6 B．7 C．4 D．5
10．（2025·泸州）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．（2025·成都）任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为 ．
12．（2025·吉林）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为 ．
13．（2025·河北）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ．
14．（2025·宜宾）已知、、、、是五个正整数去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则a1+a2+a3+a4+a5= ．
15．（2025·长沙）衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要.青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规.同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则.
例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的.
命题： 如果a， b， c为实数， 且满足a+b=-c. 那么2=1.
推理过程如下：
第一步：根据上述命题条件有 a+b=-c；①
第二步：根据七年级学过的整式运算法则有
a=2a-a，b=2b-b，c=2c-c； ②
第三步： 把②代入①， 可得(2a-a)+(2b-b)=-(2c-c)； ③
第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得2(a+b+c)=(a+b+c)； ④
第五步： 把④两边同时除以(a+b+c)， 得 2=1.⑤
请你判断上述推理过程中，第 步是错误的，它违背了数学的基本法则.
三、解答题
16．（2025·山西）
（1）计算：；
（2）解方程组：
17．（2025·吉林）吉林省长白山盛产人参、为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数．
18．（2025·北京市）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产.为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条(如图1)：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条.他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架(如图2)，其头部高、胸腹高与尾部高的比是1：1：2.已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中BC的长是门条长的 AB，CD的长均等于胸腹高.求这只风筝的骨架的总高.
19．（2025·长沙）为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变.根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入112元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入68元.(不考虑加工损耗)
（1）求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元
（2）若该食品企业以每千克 8 元购进 6000 千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于16000元，则至少需加工A等级农产品多少千克
20．（2025·广西）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下：
湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段
周一至周四 9.5折
周五至周日 9.5折 全免 5折
（1）周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？
（2）周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元．
21．（2025·河北）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为2.5m的铁棒从加热到伸长了．
（1）原长为0.6m的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）．
（2）求铁的线膨胀系数；若原长为1m的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量．
（3）将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量．
22．（2025·湖北） 幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空．
主题 探究月历与幻方的奥秘
活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则是 ，是 ； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则是 ，是 ； （注：用含的代数式表示和．）
活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是 ，是 ； （4）若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是 （用含的代数式表示）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：因为x = 2是方程x + m = 7的解，把x = 2代入方程，得到2 + m = 7，解得m = 5.
故答案为：C.
【分析】利用方程的解的定义，将已知的解代入方程，得到关于m的一元一次方程，求解得出m的值.
2．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设快马天可以追上慢马
由题意可得：
故答案为：A
【分析】设快马天可以追上慢马，根据题意建立方程即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：由题意得，
3x+2=5y+3 .
故答案为：A.
【分析】根据题中的相等关系“ 每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个”可列方程，结合各选项可求解.
4．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设良田为x亩，劣田为y亩， 列方程组为 ，
故答案为：A.
【分析】设良田为x亩，劣田为y亩，根据题意列方程解答即可.
5．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意，知总银两为7x+4和9x-8，故可列方程.
故选：D.
【分析】根据总银两不变，可直接列出二元一次方程组.
6．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设手工艺品A 有 个，手工艺品 有 个，则由题意列方程线得：
故选：C.
【分析】设手工艺品A 有 个，手工艺品 有 个，由相等关系“ 一共用了17张彩色纸和10捆细木条 ”列方程组即可.
7．【答案】C
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；加减消元法解二元一次方程组；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：且
、
即
得：
故答案为：C.
【分析】当几个非负数的和为0时，每一个非负数都等于0，则可联立方程组，利用等式的基本性质对两个方程作差可直接得到的值为8，则正数的平方根有两个，是一对相反数，最后再化简二次根式即可.
8．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设每块小平行四边形地砖的长为xcm，宽为ycm，
由题意得：
解得
则每块小平行四边形地砖的短边长为8cm，
故答案为：B.
【分析】设每块小平行四边形地砖的长为xcm，宽为ycm，由图示可得等量关系：①2个长=1个长+4个宽，②一个长+一个宽=40cm，列出方程组，解方程组即可.
9．【答案】C
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设购买足球x个，购买篮球y个，根据题意，可得：
80x + 120y=1200，化简可得x = 15-，
因为x，y均为正整数，所以y必须是2的倍数，且购买 购买足球和篮球 的总金额为1200元，所以y＜，即y＜10，
∴当y = 2时，x=15 - 3=12；
当y = 4时，x=15-6 = 9；
当y = 6时，x=15 - 9=6；
当y = 8时，x=15-12 = 3；
当y = 10时，x=15 - 15=0（舍去，因为要求购买足球和篮球，x不能为0）；
所以满足条件的购买方案有4种。
共有4种购买方案。
故答案为： C 。
【分析】设购买足球x个，购买篮球y个，根据总价 = 单价×数量，可得到关于x、y的方程，再结合x、y为正整数来确定购买方案。
10．【答案】C
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵
∴
正整数解为：，；，；，共3个，
故答案为：C．
【分析】先将方程变形成用含x的式子表示y的形式，然后根据x、y都是正整数，写出符合题意得正整数解即可.
11．【答案】3
【知识点】解一元一次方程；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：由题可得6x-3=15，
解得x=3，
故答案为：3.
【分析】根据程序得到方程6x-3=15，解方程求出x值即可.
12．【答案】3（x﹣2）＝2x+9
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：依题意，得：
故答案为：
【分析】根据人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解.
13．【答案】99
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得：
∴a+b=99
故答案为：99
【分析】根据题意建立方程组，解方程可得a，b值，再代入代数式即可求出答案.
14．【答案】58
【知识点】解一元一次方程；分类讨论
【解析】【解答】解：设a1+a2+a3+a4+a5=m，那么去掉a1后和为m-a1；去掉a2后和为m-a2；去掉a3
和为m-a3；去掉a4后和为m-a4；去掉a5后和为m-a5；
∵已知这五个和只有四个不同的值，
∴不妨设m-ai=m-aj(i≠j)，
那么这四个不同的值可以表示为m-a1， m-a2， m-a3， m-a4， (假设a5 与前面某一个数相等)，
∵这四个值分别是45、46、 47、48，
∴(m-a1)+(m-a2)+(m-a3)+(m-a4)=45+46+47+48=186，即4m-(a1+a2+a3+a4)= 186，
∵a1+a2+a3+a4+a5 =m
∴a1+a2+a3+a4 =m-a5，
∴4m-(m-a1)=186，即3m+a5= 186；
当m-a5=m-a1=45时，即a5=m-45 ；
∴3m+m-45= 186，解得： m=，不是整数，不符合题意；
当m-a5=m-a2=46时，即a5=m-46；
∴3m +m-46=186，解得： m=58，符合题意；
当m-a5=m-a3=47时，即a5=m-47 ；
∴3m+m-47=186，解得： m=，不是整数，不符合题意；
当 m-a5=m-a4= 48时，即a5=m-48；
∴3m +m-48=186，解得： m=，不是整数，不符合题意；
综上，m=58，即a1+a2+a3+a4+a5 =58.
故答案为：58.
【分析】 设a1+a2+a3+a4+a5=m， 由题意可知已知这五个和只有四个不同的值，不妨设 m-ai=m-aj(i≠j)， 那么这四个不同的值可以表示为m-a1， m-a2， m-a3，m-a4， (假设a5 与前面某一 个数相等) 且这四个值分别是45、46、47、 48； 再说明3m+a5= 186，然后分四种情况解答即可.
15．【答案】五
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】第五步出现错误，两边除以a+b+c时为考虑是否为零，
故答案为：五.
【分析】根据等式的基本性质“两边同时除以同一个不为零的数，结果仍相等”解答即可.
16．【答案】（1）解：原式= ×6-9+（-4）
=3-9+（-4）
=10
（2）解：①+②，得4x=12，
x=3.
将x=3代人②，得3+2y=1，
у=-1
所以原方程组的解是
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；加减消元法解二元一次方程组；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】(1)先计算； 在计算乘方得； 最后计算加减乘法即可解答；
（2）根据加减法解二元一次方程组由①+②得x=3；再将x=3代人②可求得y的值；计算即可解答.
17．【答案】解：设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒，
根据题意得：，
解得，
答：游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品6盒．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒，根据“ 甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元 ”列二元一次方程组解答即可.
18．【答案】解：设胸腹高为xcm，则单根膀条长为5xcm，门条AD的长度为（5x-10)cm，
，AB=CD=x，头部高为x，尾部高为2x，这只风筝的骨架的总高为4x，
由AD=AB+BC+CD，可得：，
解得：x=20：
∴这只风筝的骨架的总高4x=80cm
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】胸腹高为xcm，则单根膀条长为5xcm，门条AD的长度为（5x-10)cm，，AB=CD=x，头部高为x，尾部高为2x，这只风筝的骨架的总高为4x，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
19．【答案】（1）解：设A等级农产品每千克销售单价为x元，B等级农产品每千克销售单价为y元，
由题意得 解得
答：A等级农产品每千克销售单价为12元，B等级农产品每千克销售单价为10元.
（2）解：设需加工A等级农产品m千克，则需加工B等级农产品(6000-m)千克，由题意得(12-8)m+(10-8)(6000-m)≥16000.
解得m≥2000，
答：要求总利润不低于16000元，则至少需加工A等级农产品2000千克.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A等级农产品每千克销售单价为x元，B等级农产品每千克销售单价为y元，根据“ 销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入112元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入68元 ”列方程组解答即可；
（2）设需加工A等级农产品m千克，根据题意列不等式求m的最小解即可解答.
20．【答案】（1）解：此次行程高速费原价总共为：元
实际支付高速费用：元
（2）解：设特定路段和其他路段的单程高速费原价分别元和元
解得：
故此行程中市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是元和元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-计费
【解析】【分析】（1）根据题意列式计算即可求出答案.
（2）设特定路段和其他路段的单程高速费原价分别元和元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
21．【答案】（1）解：由题意可得：
（2）解：
∴ 该铁棒温度的增加量 40℃
（3）解：设铜棒增加的温度为x℃，则铁棒增加的温度为(x+20)℃，设它们的长度均为l
由题意可得：
解得：x=48
则x+20=68
∴ 该铁棒温度的增加量68℃.
【知识点】一元一次方程的其他应用；科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【分析】（1）根据题意列式计算即可求出答案.
（2）根据题意列式计算即可求出答案.
（3）设铜棒增加的温度为x℃，则铁棒增加的温度为(x+20)℃，设它们的长度均为l，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
22．【答案】5；11；n+1；n+7；11；3；n+8
【知识点】探索数与式的规律；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：（1）由图1可得，a=5，b=11
故答案为：5；11
（2）由图1可得，c=n+1，d=n+7
故答案为：n+1；n+7
（3）由题意可得：
17+2+e=2+10+18
17+10+f=2+10+18
解得：e=11，f=3
故答案为：11；3
（4）由题意可得：9g=n+n+1+n+2+n+7+n+8+n+9+n+14+n+15+n+16
解得：g=n+8
故答案为：n+8
【分析】（1）根据题意即可求出答案.
（2）根据题意即可求出答案.
（3）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（4）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
1 / 1专题4 一次方程-2025年精选中考数学真题分类汇编
一、选择题
1．（2025·贵州）已知是关于的方程的解，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：因为x = 2是方程x + m = 7的解，把x = 2代入方程，得到2 + m = 7，解得m = 5.
故答案为：C.
【分析】利用方程的解的定义，将已知的解代入方程，得到关于m的一元一次方程，求解得出m的值.
2．（2025·天津市）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，则可以列出的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设快马天可以追上慢马
由题意可得：
故答案为：A
【分析】设快马天可以追上慢马，根据题意建立方程即可求出答案.
3．（2025·南充）我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三……，问物几何 ”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个…….问这些物体共有多少个 设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程（ ）
A．3x+2=5y+3 B．5x+2=3y+3 C．3x-2=5y-3 D．5x-2=3y-3
【答案】A
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：由题意得，
3x+2=5y+3 .
故答案为：A.
【分析】根据题中的相等关系“ 每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个”可列方程，结合各选项可求解.
4．（2025·成都）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设良田为x亩，劣田为y亩， 列方程组为 ，
故答案为：A.
【分析】设良田为x亩，劣田为y亩，根据题意列方程解答即可.
5．（2025·青海）我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤.试问各位善算者，多少人分多少银 ”译文：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知道有多少人，多少银两.若每人分7两，则还多4两；若每人分9两，则还差8两.请问：有多少客人 分多少银两 ”设客人为x人，银两为y两.根据题意可列方程组为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意，知总银两为7x+4和9x-8，故可列方程.
故选：D.
【分析】根据总银两不变，可直接列出二元一次方程组.
6．（2025·浙江）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B ，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表．
材料类别 彩色纸（张） 细木条（捆）
手工艺品A 5 3
手工艺品B 2 1
如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A 有 个，手工艺品 有 个，则 和 满足的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设手工艺品A 有 个，手工艺品 有 个，则由题意列方程线得：
故选：C.
【分析】设手工艺品A 有 个，手工艺品 有 个，由相等关系“ 一共用了17张彩色纸和10捆细木条 ”列方程组即可.
7．（2025·凉山州）若，则的平方根是
A．8 B． C． D．
【答案】C
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；加减消元法解二元一次方程组；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：且
、
即
得：
故答案为：C.
【分析】当几个非负数的和为0时，每一个非负数都等于0，则可联立方程组，利用等式的基本性质对两个方程作差可直接得到的值为8，则正数的平方根有两个，是一对相反数，最后再化简二次根式即可.
8．（2025·自贡）某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形．若大平行四边形短边长．则小地砖短边长（ ）
A．7cm B．8 C．9 D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设每块小平行四边形地砖的长为xcm，宽为ycm，
由题意得：
解得
则每块小平行四边形地砖的短边长为8cm，
故答案为：B.
【分析】设每块小平行四边形地砖的长为xcm，宽为ycm，由图示可得等量关系：①2个长=1个长+4个宽，②一个长+一个宽=40cm，列出方程组，解方程组即可.
9．（2025·黑龙江）为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（ ）
A．6 B．7 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设购买足球x个，购买篮球y个，根据题意，可得：
80x + 120y=1200，化简可得x = 15-，
因为x，y均为正整数，所以y必须是2的倍数，且购买 购买足球和篮球 的总金额为1200元，所以y＜，即y＜10，
∴当y = 2时，x=15 - 3=12；
当y = 4时，x=15-6 = 9；
当y = 6时，x=15 - 9=6；
当y = 8时，x=15-12 = 3；
当y = 10时，x=15 - 15=0（舍去，因为要求购买足球和篮球，x不能为0）；
所以满足条件的购买方案有4种。
共有4种购买方案。
故答案为： C 。
【分析】设购买足球x个，购买篮球y个，根据总价 = 单价×数量，可得到关于x、y的方程，再结合x、y为正整数来确定购买方案。
10．（2025·泸州）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵
∴
正整数解为：，；，；，共3个，
故答案为：C．
【分析】先将方程变形成用含x的式子表示y的形式，然后根据x、y都是正整数，写出符合题意得正整数解即可.
二、填空题
11．（2025·成都）任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为 ．
【答案】3
【知识点】解一元一次方程；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：由题可得6x-3=15，
解得x=3，
故答案为：3.
【分析】根据程序得到方程6x-3=15，解方程求出x值即可.
12．（2025·吉林）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为 ．
【答案】3（x﹣2）＝2x+9
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：依题意，得：
故答案为：
【分析】根据人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解.
13．（2025·河北）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ．
【答案】99
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得：
∴a+b=99
故答案为：99
【分析】根据题意建立方程组，解方程可得a，b值，再代入代数式即可求出答案.
14．（2025·宜宾）已知、、、、是五个正整数去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则a1+a2+a3+a4+a5= ．
【答案】58
【知识点】解一元一次方程；分类讨论
【解析】【解答】解：设a1+a2+a3+a4+a5=m，那么去掉a1后和为m-a1；去掉a2后和为m-a2；去掉a3
和为m-a3；去掉a4后和为m-a4；去掉a5后和为m-a5；
∵已知这五个和只有四个不同的值，
∴不妨设m-ai=m-aj(i≠j)，
那么这四个不同的值可以表示为m-a1， m-a2， m-a3， m-a4， (假设a5 与前面某一个数相等)，
∵这四个值分别是45、46、 47、48，
∴(m-a1)+(m-a2)+(m-a3)+(m-a4)=45+46+47+48=186，即4m-(a1+a2+a3+a4)= 186，
∵a1+a2+a3+a4+a5 =m
∴a1+a2+a3+a4 =m-a5，
∴4m-(m-a1)=186，即3m+a5= 186；
当m-a5=m-a1=45时，即a5=m-45 ；
∴3m+m-45= 186，解得： m=，不是整数，不符合题意；
当m-a5=m-a2=46时，即a5=m-46；
∴3m +m-46=186，解得： m=58，符合题意；
当m-a5=m-a3=47时，即a5=m-47 ；
∴3m+m-47=186，解得： m=，不是整数，不符合题意；
当 m-a5=m-a4= 48时，即a5=m-48；
∴3m +m-48=186，解得： m=，不是整数，不符合题意；
综上，m=58，即a1+a2+a3+a4+a5 =58.
故答案为：58.
【分析】 设a1+a2+a3+a4+a5=m， 由题意可知已知这五个和只有四个不同的值，不妨设 m-ai=m-aj(i≠j)， 那么这四个不同的值可以表示为m-a1， m-a2， m-a3，m-a4， (假设a5 与前面某一 个数相等) 且这四个值分别是45、46、47、 48； 再说明3m+a5= 186，然后分四种情况解答即可.
15．（2025·长沙）衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要.青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规.同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则.
例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的.
命题： 如果a， b， c为实数， 且满足a+b=-c. 那么2=1.
推理过程如下：
第一步：根据上述命题条件有 a+b=-c；①
第二步：根据七年级学过的整式运算法则有
a=2a-a，b=2b-b，c=2c-c； ②
第三步： 把②代入①， 可得(2a-a)+(2b-b)=-(2c-c)； ③
第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得2(a+b+c)=(a+b+c)； ④
第五步： 把④两边同时除以(a+b+c)， 得 2=1.⑤
请你判断上述推理过程中，第 步是错误的，它违背了数学的基本法则.
【答案】五
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】第五步出现错误，两边除以a+b+c时为考虑是否为零，
故答案为：五.
【分析】根据等式的基本性质“两边同时除以同一个不为零的数，结果仍相等”解答即可.
三、解答题
16．（2025·山西）
（1）计算：；
（2）解方程组：
【答案】（1）解：原式= ×6-9+（-4）
=3-9+（-4）
=10
（2）解：①+②，得4x=12，
x=3.
将x=3代人②，得3+2y=1，
у=-1
所以原方程组的解是
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；加减消元法解二元一次方程组；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】(1)先计算； 在计算乘方得； 最后计算加减乘法即可解答；
（2）根据加减法解二元一次方程组由①+②得x=3；再将x=3代人②可求得y的值；计算即可解答.
17．（2025·吉林）吉林省长白山盛产人参、为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数．
【答案】解：设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒，
根据题意得：，
解得，
答：游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品6盒．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒，根据“ 甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元 ”列二元一次方程组解答即可.
18．（2025·北京市）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产.为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条(如图1)：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条.他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架(如图2)，其头部高、胸腹高与尾部高的比是1：1：2.已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中BC的长是门条长的 AB，CD的长均等于胸腹高.求这只风筝的骨架的总高.
【答案】解：设胸腹高为xcm，则单根膀条长为5xcm，门条AD的长度为（5x-10)cm，
，AB=CD=x，头部高为x，尾部高为2x，这只风筝的骨架的总高为4x，
由AD=AB+BC+CD，可得：，
解得：x=20：
∴这只风筝的骨架的总高4x=80cm
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】胸腹高为xcm，则单根膀条长为5xcm，门条AD的长度为（5x-10)cm，，AB=CD=x，头部高为x，尾部高为2x，这只风筝的骨架的总高为4x，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
19．（2025·长沙）为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变.根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入112元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入68元.(不考虑加工损耗)
（1）求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元
（2）若该食品企业以每千克 8 元购进 6000 千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于16000元，则至少需加工A等级农产品多少千克
【答案】（1）解：设A等级农产品每千克销售单价为x元，B等级农产品每千克销售单价为y元，
由题意得 解得
答：A等级农产品每千克销售单价为12元，B等级农产品每千克销售单价为10元.
（2）解：设需加工A等级农产品m千克，则需加工B等级农产品(6000-m)千克，由题意得(12-8)m+(10-8)(6000-m)≥16000.
解得m≥2000，
答：要求总利润不低于16000元，则至少需加工A等级农产品2000千克.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A等级农产品每千克销售单价为x元，B等级农产品每千克销售单价为y元，根据“ 销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入112元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入68元 ”列方程组解答即可；
（2）设需加工A等级农产品m千克，根据题意列不等式求m的最小解即可解答.
20．（2025·广西）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下：
湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段
周一至周四 9.5折
周五至周日 9.5折 全免 5折
（1）周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？
（2）周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元．
【答案】（1）解：此次行程高速费原价总共为：元
实际支付高速费用：元
（2）解：设特定路段和其他路段的单程高速费原价分别元和元
解得：
故此行程中市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是元和元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-计费
【解析】【分析】（1）根据题意列式计算即可求出答案.
（2）设特定路段和其他路段的单程高速费原价分别元和元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
21．（2025·河北）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为2.5m的铁棒从加热到伸长了．
（1）原长为0.6m的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）．
（2）求铁的线膨胀系数；若原长为1m的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量．
（3）将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量．
【答案】（1）解：由题意可得：
（2）解：
∴ 该铁棒温度的增加量 40℃
（3）解：设铜棒增加的温度为x℃，则铁棒增加的温度为(x+20)℃，设它们的长度均为l
由题意可得：
解得：x=48
则x+20=68
∴ 该铁棒温度的增加量68℃.
【知识点】一元一次方程的其他应用；科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【分析】（1）根据题意列式计算即可求出答案.
（2）根据题意列式计算即可求出答案.
（3）设铜棒增加的温度为x℃，则铁棒增加的温度为(x+20)℃，设它们的长度均为l，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
22．（2025·湖北） 幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空．
主题 探究月历与幻方的奥秘
活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则是 ，是 ； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则是 ，是 ； （注：用含的代数式表示和．）
活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是 ，是 ； （4）若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是 （用含的代数式表示）．
【答案】5；11；n+1；n+7；11；3；n+8
【知识点】探索数与式的规律；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：（1）由图1可得，a=5，b=11
故答案为：5；11
（2）由图1可得，c=n+1，d=n+7
故答案为：n+1；n+7
（3）由题意可得：
17+2+e=2+10+18
17+10+f=2+10+18
解得：e=11，f=3
故答案为：11；3
（4）由题意可得：9g=n+n+1+n+2+n+7+n+8+n+9+n+14+n+15+n+16
解得：g=n+8
故答案为：n+8
【分析】（1）根据题意即可求出答案.
（2）根据题意即可求出答案.
（3）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（4）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
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