专题6 一元二次方程-2025年精选中考数学真题分类汇编
一、选择题
1．（2025·广州）关于x的方程根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴方程无实根
故答案为：C
【分析】根据二次方程判别式可得方程无实根.
2．（2025·兰州） 若关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根 ，
∴
∴
∴a的值可以是0
故答案为： D.
【分析】根据一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根得到，计算即可判断.
3．（2025·广西）已知是方程的两个实数根，则（ ）
A． B． C．20 D．25
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是方程的两个实数根
∴20
故答案为： C
【分析】根据二次方程根与系数的关系即可求出答案.
4．（2025·白银）关于x的一元二次方程3x2-6x+m=0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m<3 B．m≤3 C．m>3 D．m≥3
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：，
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程根的判别式：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根，据此得关于的不等式，解不等式即可得的取值范围.
5．（2025·湖北） 一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵的两个实数根为
∴
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求出答案.
6．（2025·河北）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：，即x2+2x-3=0
∴x1+x2=-2=m
x1x2=-3=n
∴点即为(-2，-3)，再第三象限
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得m，n，再根据各象限内点的坐标特征即可求出答案.
7．（2025·新疆维吾尔自治区）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24m长的围栏围成一个面积为40m2的矩形场地．设矩形的宽为xm，根据题意可列方程（ ）
A．x（24﹣2x）＝40 B．x（24﹣x）＝40
C．2x（24﹣2x）＝40 D．2x（24﹣x）＝40
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设矩形的宽为xm，则长为（24-x）m
∴x（24﹣2x）＝40
故答案为：A
【分析】设矩形的宽为xm，则长为（24-x）m，根据矩形面积即可求出答案.
8．（2025·辽宁）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．2
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设这个矩形的宽为步，则长为步，
根据题意可列方程为：
故答案为：A.
【分析】设这个矩形的宽为步，先表示出长，再根据“一块矩形田地的面积为864平方步”可列方程.
9．（2025·广东）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元.设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解： 设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x
代入平均增长率公式，可得2500(1 + x)2 = 9100。
故答案为： A.
【分析】：根据平均增长率的计算公式，结合题目中的已知条件已知该公司 5 月产值（即初始量a）为2500万元；月均增长率为x；从 5 月到 7 月经过了2个月，即增长次数n = 2；7 月产值（即增长后的量b）将增至9100万元。可以列出方程。
10．（2025·重庆市）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设年平均增长率为x，
由题意可得：，
解得或（舍去负值），
∴该景区这两年接待游客的年平均增长率为，
故答案为：B.
【分析】根据题意找出等量关系求出，再解方程求解即可.
二、填空题
11．（2025·广东）不解方程，判断一元二次方程 的根的情况是 .
【答案】有两个不相等的实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：对于一元二次方程2x2+x - 1 = 0，其中二次项系数a = 2，一次项系数b = 1，常数项c = - 1；
将a = 2，b = 1，c = - 1代入Δ =b2-4ac；
得Δ=12-4×2×（-1）=9＞0；
∴该方程有两个不相等的实数根。
故答案为：有两个不相等的实数根 .
【分析】：可根据一元二次方程根的判别式Δ =b2-4ac（其中a、b、c分别是一元二次方程ax2+bx + c = 0(a≠0)的二次项系数、一次项系数和常数项 ）来判断方程根的情况.
12．（2025·青海） 若 是一元二次方程 的一个根，则c的值为 .
【答案】3
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：将x=1代入方程得1-4+c=0，解得c=3.
故填 ：3.
【分析】将方程的根代入方程即可得c的值.
13．（2025·苏州）已知. 是关于 x 的一元二次方程 的两个实数根，其中 则 .
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是关于的一元二次方程 的两个实数根，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：-3.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得的值，将的值代入即可求出的值.
14．（2025·绥化）已知m，n是关于x的一元二次方程。x2-2025x+1=0的两个根，则（m+1）（n+1）= .
【答案】2027
【知识点】多项式乘多项式；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解： ∵m，n是关于x的一元二次方程x2-2025x+1=0的两个根，
∴
∴（m+1）（n+1）=
故答案为：2027.
【分析】根据一元二次方程根与系数公式，再化简（m+1）（n+1），代值计算即可解答.
15．（2025·东营）若关于的方程无实根，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；方程的定义及分类；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解： 因为方程无实根，所以分两种情况讨论：
①当k=-1时，原方程无实数根，
②当k2-10时，原方程为一元二次方程；
∵方程无实根，
∴△=(k+1)2-4×(k2-1)×<0，即△=2k+2<0，
解得：kく-1；
综上，k的取值范围是k≤-1，
故答案为：.
【分析】因为方程无实根，所以分两种情况讨论：①当k=-1时，原方程无实数；②根根据一元二次方程无实数根的定义得：，列式计算即可解答.
16．（2025·成都）从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；概率公式
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
当a=-1，b=1时，，方程有解；
当a=-1，b=2时，，方程有解；
当a=1，b=-1时，，方程无解；
当a=-1，b=2时，，方程有解；
当a=2，b=-1时，，方程无解；
当a=2，b=1时，，方程无解；
故方程有实数根的概率为
故答案为：.
【分析】列举所有a和b的值的情况，得到方程有实数根的结果数，然后利用概率公式计算解题.
17．（2025·广安） 已知方程的两根分别为a和b，则代数式的值为 .
【答案】29
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵ 方程的两根分别为a和b，
∴a+b=5，a2=24+5a，
∴原式=24+5a-4a+b=24+a+b=24+5=29.
故答案为：29 .
【分析】将x=a代入方程，可表示出a2的值，利用一元二次方程根与系数可求出a+b的值，然后代入代数式进行计算.
18．（2025·眉山）已知方程的两根分别为，，则的值为 ．
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是方程 的两个根，
∴，，
∴，
故答案为：-2.
【分析】根据根与系数的关系得到，，然后整体代入计算解题即可.
三、解答题
19．（2025·南充）设x1，x2是关于x的方程（x-1）（x-2）=m2的两根.
（1）当x1=-1时， 求x2及m的值.
（2）求证：
【答案】（1）解：把x1=-1代入方程 得 ：
解得：
∴ (x-1)(x-2)=6，
即：
解方程得， x1=-1， x2=4.
∴；
（2）证明：方程( 可化为：
∴原方程有两个不相同实数根.
由根与系数的关系得
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据方程的解的定义，将x1=-1代入关于x的方程，可得关于m的方程，解方程求出m的值，把m的值代入原方程，解这个方程即可求解；
（2）由题意，先将原方程化为一般形式，然后计算b2-4ac的值，结合偶次方的非负性可判断b2-4ac＞0，根据一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2、x1x2的值，根据多项式乘以多项式将代数式（x1-1）(x2-1)去括号，再整体代换并结合偶次方的非负性可求证.
20．（2025·威海）如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为24m2的9个矩形地块，请你求出小路的宽度．
【答案】解：设小路的宽度为x m，则9块矩形地块可合成长为（20﹣4x）m，宽为（14﹣4x）m的矩形，
根据题意得：（20﹣4x）（14﹣4x）＝24×9，
整理得：2x2﹣17x+8＝0，
解得：x1，x2＝8（不符合题意，舍去）．
答：小路的宽度为m．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设小路的宽度为xm，则9块矩形地块可合成长为 宽为 的矩形，根据小路把种植园分成面积均为 的9个矩形地块，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论.
21．（2025·泸州）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．
（1）求乙种商品每件进价的年平均下降率；
（2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．
【答案】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为；
（2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，
由题意得，，
∴，
解得，
∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件，
答：最少购进甲种商品40件．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程，利用直接开平方法求解并检验即可；
（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品(100-m)件，根据单价乘以数量等于总价及购买m件甲商品的费用+购买(100-m)件乙商品的费用不超过7800元列出不等式，求出m的最小整数解即可.
（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为；
（2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，
由题意得，，
∴，
解得，
∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件，
答：最少购进甲种商品40件．
1 / 1专题6 一元二次方程-2025年精选中考数学真题分类汇编
一、选择题
1．（2025·广州）关于x的方程根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
2．（2025·兰州） 若关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．（2025·广西）已知是方程的两个实数根，则（ ）
A． B． C．20 D．25
4．（2025·白银）关于x的一元二次方程3x2-6x+m=0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m<3 B．m≤3 C．m>3 D．m≥3
5．（2025·湖北） 一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·河北）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2025·新疆维吾尔自治区）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24m长的围栏围成一个面积为40m2的矩形场地．设矩形的宽为xm，根据题意可列方程（ ）
A．x（24﹣2x）＝40 B．x（24﹣x）＝40
C．2x（24﹣2x）＝40 D．2x（24﹣x）＝40
8．（2025·辽宁）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．2
9．（2025·广东）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元.设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025·重庆市）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2025·广东）不解方程，判断一元二次方程 的根的情况是 .
12．（2025·青海） 若 是一元二次方程 的一个根，则c的值为 .
13．（2025·苏州）已知. 是关于 x 的一元二次方程 的两个实数根，其中 则 .
14．（2025·绥化）已知m，n是关于x的一元二次方程。x2-2025x+1=0的两个根，则（m+1）（n+1）= .
15．（2025·东营）若关于的方程无实根，则的取值范围是 ．
16．（2025·成都）从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为 ．
17．（2025·广安） 已知方程的两根分别为a和b，则代数式的值为 .
18．（2025·眉山）已知方程的两根分别为，，则的值为 ．
三、解答题
19．（2025·南充）设x1，x2是关于x的方程（x-1）（x-2）=m2的两根.
（1）当x1=-1时， 求x2及m的值.
（2）求证：
20．（2025·威海）如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为24m2的9个矩形地块，请你求出小路的宽度．
21．（2025·泸州）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．
（1）求乙种商品每件进价的年平均下降率；
（2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴方程无实根
故答案为：C
【分析】根据二次方程判别式可得方程无实根.
2．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根 ，
∴
∴
∴a的值可以是0
故答案为： D.
【分析】根据一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根得到，计算即可判断.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是方程的两个实数根
∴20
故答案为： C
【分析】根据二次方程根与系数的关系即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：，
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程根的判别式：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根，据此得关于的不等式，解不等式即可得的取值范围.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵的两个实数根为
∴
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：，即x2+2x-3=0
∴x1+x2=-2=m
x1x2=-3=n
∴点即为(-2，-3)，再第三象限
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得m，n，再根据各象限内点的坐标特征即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设矩形的宽为xm，则长为（24-x）m
∴x（24﹣2x）＝40
故答案为：A
【分析】设矩形的宽为xm，则长为（24-x）m，根据矩形面积即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设这个矩形的宽为步，则长为步，
根据题意可列方程为：
故答案为：A.
【分析】设这个矩形的宽为步，先表示出长，再根据“一块矩形田地的面积为864平方步”可列方程.
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解： 设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x
代入平均增长率公式，可得2500(1 + x)2 = 9100。
故答案为： A.
【分析】：根据平均增长率的计算公式，结合题目中的已知条件已知该公司 5 月产值（即初始量a）为2500万元；月均增长率为x；从 5 月到 7 月经过了2个月，即增长次数n = 2；7 月产值（即增长后的量b）将增至9100万元。可以列出方程。
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设年平均增长率为x，
由题意可得：，
解得或（舍去负值），
∴该景区这两年接待游客的年平均增长率为，
故答案为：B.
【分析】根据题意找出等量关系求出，再解方程求解即可.
11．【答案】有两个不相等的实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：对于一元二次方程2x2+x - 1 = 0，其中二次项系数a = 2，一次项系数b = 1，常数项c = - 1；
将a = 2，b = 1，c = - 1代入Δ =b2-4ac；
得Δ=12-4×2×（-1）=9＞0；
∴该方程有两个不相等的实数根。
故答案为：有两个不相等的实数根 .
【分析】：可根据一元二次方程根的判别式Δ =b2-4ac（其中a、b、c分别是一元二次方程ax2+bx + c = 0(a≠0)的二次项系数、一次项系数和常数项 ）来判断方程根的情况.
12．【答案】3
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：将x=1代入方程得1-4+c=0，解得c=3.
故填 ：3.
【分析】将方程的根代入方程即可得c的值.
13．【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是关于的一元二次方程 的两个实数根，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：-3.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得的值，将的值代入即可求出的值.
14．【答案】2027
【知识点】多项式乘多项式；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解： ∵m，n是关于x的一元二次方程x2-2025x+1=0的两个根，
∴
∴（m+1）（n+1）=
故答案为：2027.
【分析】根据一元二次方程根与系数公式，再化简（m+1）（n+1），代值计算即可解答.
15．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；方程的定义及分类；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解： 因为方程无实根，所以分两种情况讨论：
①当k=-1时，原方程无实数根，
②当k2-10时，原方程为一元二次方程；
∵方程无实根，
∴△=(k+1)2-4×(k2-1)×<0，即△=2k+2<0，
解得：kく-1；
综上，k的取值范围是k≤-1，
故答案为：.
【分析】因为方程无实根，所以分两种情况讨论：①当k=-1时，原方程无实数；②根根据一元二次方程无实数根的定义得：，列式计算即可解答.
16．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；概率公式
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
当a=-1，b=1时，，方程有解；
当a=-1，b=2时，，方程有解；
当a=1，b=-1时，，方程无解；
当a=-1，b=2时，，方程有解；
当a=2，b=-1时，，方程无解；
当a=2，b=1时，，方程无解；
故方程有实数根的概率为
故答案为：.
【分析】列举所有a和b的值的情况，得到方程有实数根的结果数，然后利用概率公式计算解题.
17．【答案】29
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵ 方程的两根分别为a和b，
∴a+b=5，a2=24+5a，
∴原式=24+5a-4a+b=24+a+b=24+5=29.
故答案为：29 .
【分析】将x=a代入方程，可表示出a2的值，利用一元二次方程根与系数可求出a+b的值，然后代入代数式进行计算.
18．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是方程 的两个根，
∴，，
∴，
故答案为：-2.
【分析】根据根与系数的关系得到，，然后整体代入计算解题即可.
19．【答案】（1）解：把x1=-1代入方程 得 ：
解得：
∴ (x-1)(x-2)=6，
即：
解方程得， x1=-1， x2=4.
∴；
（2）证明：方程( 可化为：
∴原方程有两个不相同实数根.
由根与系数的关系得
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据方程的解的定义，将x1=-1代入关于x的方程，可得关于m的方程，解方程求出m的值，把m的值代入原方程，解这个方程即可求解；
（2）由题意，先将原方程化为一般形式，然后计算b2-4ac的值，结合偶次方的非负性可判断b2-4ac＞0，根据一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2、x1x2的值，根据多项式乘以多项式将代数式（x1-1）(x2-1)去括号，再整体代换并结合偶次方的非负性可求证.
20．【答案】解：设小路的宽度为x m，则9块矩形地块可合成长为（20﹣4x）m，宽为（14﹣4x）m的矩形，
根据题意得：（20﹣4x）（14﹣4x）＝24×9，
整理得：2x2﹣17x+8＝0，
解得：x1，x2＝8（不符合题意，舍去）．
答：小路的宽度为m．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设小路的宽度为xm，则9块矩形地块可合成长为 宽为 的矩形，根据小路把种植园分成面积均为 的9个矩形地块，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论.
21．【答案】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为；
（2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，
由题意得，，
∴，
解得，
∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件，
答：最少购进甲种商品40件．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程，利用直接开平方法求解并检验即可；
（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品(100-m)件，根据单价乘以数量等于总价及购买m件甲商品的费用+购买(100-m)件乙商品的费用不超过7800元列出不等式，求出m的最小整数解即可.
（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为；
（2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，
由题意得，，
∴，
解得，
∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件，
答：最少购进甲种商品40件．
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