专题7 一元一次不等式（组）-2025年精选中考数学真题分类汇编
一、选择题
1．（2025·长春）下列不等式组无解的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·广西）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·内蒙古自治区）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·宜宾）采采不学办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分．答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（ ）
A．14道 B．13道 C．12道 D．11道
5．（2025·眉山）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．8 B．14 C．18 D．38
6．（2025·泸州）对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③；④若，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
7．（2025·南充）不等式组 的解集是x＞2，则m的取值范围是 .
8．（2025·黑龙江）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 。
9．（2025·内江） 对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 ．
三、解答题
10．（2025·兰州）解不等式组：．
11．（2025·青岛）
（1）计算：；
（2）解不等式组：并写出它的整数解．
12．（2025·广州）解不等式组，并在数轴上表示解集．
13．（2025·凉山州）
（1）解不等式：；
（2）先化简，再求值：．求值时请在内取一个使原式有意义的为整数）．
14．（2025·天津市）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（I）解不等式①，得 ▲ ；
（II）解不等式②，得 ▲ ；
（III）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（IV）原不等式组的解集为 ▲ ．
15．（2025·辽宁） 小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元．
（1）求种文创产品每件的进价；
（2）小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？
16．（2025·青岛）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单．
（1）求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品；
（2）首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？
17．（2025·贵州）贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间．为满足市场需求，某抹茶车间准备安装A、B两种型号生产线.已知，同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共．
（1）求一条A型和一条B型生产线每月各生产抹茶多少吨？
（2）为扩大生产规模，若另一车间准备同时安装相同型号的A、B两种生产线共5条，该车间接到一个订单，要求4个月生产抹茶不少于，至少需要安装多少条A型生产线？
18．（2025·湖南）同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买A，B两种香料．已知A种材料的单价比B种材料的单价多3元，且购买4件A种材料与购买6件B种材料的费用相等．
（1）求A种材料和B种材料的单价；
（2）若需购买A种材料和B种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买A种材料多少件？
19．（2025·内蒙古自治区）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个．
（1）求的值；
（2）现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个
20．（2025·湖北） 某商店销售A，B两种水果．A水果标价14元／千克，B水果标价18元／千克．
（1）小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？
（2）妈妈让小明再到这家商店买两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元．设小明买A水果千克．
①若这两种水果按标价出售，求的取值范围；
②小明到这家商店后，发现两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的出售．）若小明合计付款48元，求的值．
21．（2025·深圳）某学校采购体育用品，需要购买三种球类，已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如表：
①篮球、足球、排球各买一个总价为140元
②购买2个足球的价钱比购买一个篮球多40元
③购买5个篮球和购买6个足球花费相同
（1） 上述3个条件选择两2个，请帮助小桃小李求出每个篮球、足球多少钱？
（2） 现在想要购买篮球、足球共10个，足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费的总费用最少，最少是多少？
22．（2025·遂宁）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A、B两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料：
材料一：已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元．
材料二：据统计该社区需购买A、B两种型号的新型垃圾桶共200个，但总费用不超过15300元，且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的．
请根据以上材料，完成下列任务：
任务一：求A、B两种型号的新型垃圾桶的单价？
任务二：有哪几种购买方案？
任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？
23．（2025·福建）阅读材料，回答问题.
主题 两个正数的积与商的位数探究
提 出 问 题 小明是一位爱思考的小学生.一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“46×2=92；35×21=735；663×11=7293；186×362=67332”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个（ 位的正整数.
分析 探究 问题1 小明的猜想是否正确 若正确，请给予证明；否则，请举出反例.
推广 延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情.为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为 则称这个数的位数是 n+1，数字是a. 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题. 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且A×B=C，则必有c≥a且c≥b，或c＜a且c＜b.并且，当c≥a且 c≥b时，p = m+n-1；当c＜a且c＜b时，p =m+n. 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为 其中a，b，c均为正数. 由A×B=C，得 即 （ * ） 当c≥a且c≥b时， 所以 又 所以 由（ *）知， 所以 当c≥a且c＜b时， ，所以 所以 与（*）矛盾，不合题意； 当c＜a且c≥b时，① ； 当c＜a且c＜b时，② 综上所述，命题成立.
拓展 迁移 问题2 若正数A，B的位数分别为m，n，那么 的位数是多少 证明你的结论.
（1）解决问题1；
（2）请把①②所缺的证明过程补充完整；
（3）解决问题2.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：A.∵判断不等式组解集的口诀：同大取大，∴不等式组的解集为： 故此选项不符合题意；
B.∵判断不等式组解集的口诀：大大小小无解，∴不等式组无解，故此选项符合题意；
C.判断不等式组解集的口诀：同小取小，∴不等式组的解集为： 故此选项不符合题意；
D.判断不等式组解集的口诀：大小小大中间找，∴不等式组的解集为 故此选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据判断不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”求出各个选项中的不等式组的解集，然后进行判断即可.
2．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a>b
∴
故答案为： A
【分析】根据不等式的性质即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： 不等式组，
解不等式①，得：x≥1，
解不等式②，得：x＜3，
∴不等式组的解集为：1≤x＜3，
在数轴轴上表示为：
故答案为：C.
【分析】首先解不等式组求出不等式组的解集为1≤x＜3，并在数轴上表示解集，即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】
解：设答对x道题，则答错或不答的题数为(20- x)道，
根据题意得： 10x- 5(20-x)≥80，
解得： x≥12，
∴x的最小值为12，
∴他至少要答对12道题.
故答案为：C.
【分析】设小明答对x道题，则答错或不答的题数为(20- x)道，根据得分规则建立不等式10x- 5(20-x)≥80，求解x的最小整数值，解答即可.
5．【答案】B
【知识点】已知分式方程的解求参数；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式组 可得，
∵不等式组 至少有两个正整数解，
∴，
解得，
解方程得，
∵方程的解x为正整数，
∴a>2且的偶数，
即a的值为6或8，
∴ 整数a的值之和为6+8=14，
故答案为：B.
【分析】根据不等式组的解集求出，再接分式方程求出a>2且的偶数，然后得到整数a的值，求和计算解题.
6．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：①∵，
∴，故①正确，
②∵，
当时，，
当时，，即，故②不正确；
③不成立，例如，则，故③不正确；
④当即时，
则：，
解得：，
∴；
当，即时，
则：，
解得：，
∴，
综上所述，，故④正确，
故正确的有①和④，共2个，
故答案为：B．
【分析】根据新定义运算法则可直接判断①；根据新定义运算法则分x≥3与x＜3两种情况求解可判断②；利用据特例的方法结合新定义运算法则可判断③；根据新定义运算法则分2x-4≥2与2x-4＜2两种情况，分别列出不等式组，求解得出两个不等式组的解集，即可判断④.
7．【答案】m≤3
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
不等式① 的解集为：x＞2，
不等式②的解集为：x＞m-1，
∵不等式组的解集为：x＞2，
∴m-1≤2，
解得：m≤3.
故答案为：m≤3.
【分析】由题意，先求出每一个不等式的解集，然后根据题意“不等式组的解集为x＞2”可得关于m的不等式，解之即可求解.
8．【答案】-2≤a＜-1
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解： 不等式组，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：x＞a，
∴不等式组的解集为：，
∵ 不等式组有3个整数解，
∴ 不等式组的3个整数解为：1，0，-1，
∴-2≤a＜-1。
故答案为：-2≤a＜-1.
【分析】首先解不等式组，求得不等式组的解集，然后根据不等式组整数解的情况，可得出不等式的整数解，进而得出A的取值范围。
9．【答案】-17≤p＜-7
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：由新定义运算法则可得
由①得a≤1，
由②得，
∵此不等式恰有3个整数解，
∴，且三个整数解为1、0、-1，
∴
解得-17≤p＜-7.
故答案为：-17≤p＜-7 .
【分析】首先根据新定义运算法则列出关于字母a的不等式组，根据解不等式的步骤分别求出不等式组中每一个不等式的解集，然后结合“此不等式恰有3个整数解”及“大小小大中间找”求出该不等式组的解集及三个整数解，进而即可得出关于字母p的不等式组，求解可得p的取值范围.
10．【答案】解：解第一个不等式得：x＜5，
解第二个不等式得：x＞3，
故原不等式组的解集为3＜x＜5．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先解每一个不等式分别得到x＜5，x＞3，再根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，即可解答．
11．【答案】（1）解：
；
（2）解：不等式组为，
则有，解得，
则有，解得，
∴不等式组的解集为，
则整数解为．
【知识点】零指数幂；二次根式的加减法；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】(1)先化简二次根式，在计算零指数幂，最后计算加减即可解答；
（2）先解各个不等式，再求出解集，再得到其中的整数解解答即可.
12．【答案】解：，
由①得：，
由②得：，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
则不等式组解集为．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示即可求出答案.
13．【答案】（1）解：原不等式去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：
（2）解：原式
；
，，，
，，
，
原式（答案不唯一）．
【知识点】解一元一次不等式；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】(1)解不等式的一般步骤是，去分母、去括号、称项并合并同类项，最后再系数化为1；
(2)分式的混合运算，没有乘方时先计算乘除，注意除以一个分式等于乘以它的倒数，并对分子分母分别分解因式，再约分化结果为最简分式，然后再进行整式与分式的减法运算，运算时先通分再进行同分母分式的减法运算，并观察分子与分母，若有公因式还要再进行约分，最后再在指定的字母的取值范围内选择合适的值代入计算即可.
14．【答案】解：解：（I）；
（II）；
（III）
（IV）．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，再将解集在数轴上表示出来，可得不等式组的解集.
15．【答案】（1）解：设B种文创产品每件的进价为x元，根据题意可得：
2（x+3）+3x=26，
解得：x=4，
答：B种文创产品每件的进价为4元；
（2）解：设小张购进m件A种文创产品，由（1）可知，A种文创产品每件的进价为4+3=7元，则：
7m+4（100-m）≤550，
解得：m≤50；
答：小张最多可以购进50件A种文创产品．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设B种文创产品每件的进价为x元，根据A种文创产品比B种文创产品每件进价多3元，购进2件A种文创产品和3件B种文创产品共需花费26元，列出一元一次方程进行求解即可；
（2）设小张购进m件A种文创产品，根据总费用不超过550元，列出不等式进行求解即可．
16．【答案】（1）解：设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
则（件），
答：乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品；
（2）解：设安排甲车间生产天，则乙车间生产天，
由题意得：，
解得：，
设生产总量为，由题意得：
，
∵，
∴随着的增大而增大，
∴当时，最大，即这30天的生产总量最大，
∴，
∴安排甲车间生产天，则乙车间生产天．
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式；一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品，列出方程，计算并检验即可解答；
（2）设安排甲车间生产天，则乙车间生产天，由题意表示出m的范围，再列出生产总量为的函数关系式，再利用一次函数的性质当时，可求得 最大值；解答即可.
17．【答案】（1）解：设一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶，
由题意得：，
解得：.
答：一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶.
（2）解：设需要安装条A型生产线，则安装B种生产线条，
由题意得：，
解得：，
∵为正整数，
∴最小取.
答：至少需要安装3条A型生产线．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1） 通过设未知数，根据两种生产线组合的产量条件，建立二元一次方程组，求解得每条生产线的月产量.
（2）设A型生产线数量，用总数表示B型数量，根据 “4 个月产量不少于2000吨” 列一元一次不等式，求解并结合正整数条件确定最小值.
18．【答案】（1）解：设A种材料的单价为x元，则B种材料的单价为（x﹣3）元，
由题意得：4x＝6（x﹣3），
解得：x＝9，
∴x﹣3＝6，
答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元
（2）解：设能购买A种材料m件，则能购买B种材料（50﹣m）件，
由题意得：9m+6（50﹣m）≤360，
解得：m≤20，
答：最多能购买A种材料20件
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种材料的单价为x元，则B种材料的单价为（x﹣3）元，由相等关系“ 购买4件A种材料与购买6件B种材料的费用相等 ”列方程并求解即可；
（2）设能购买A种材料m件，则能购买B种材料（50﹣m）件，由不等关系“ 总费用不超过360元 ”列不等式并求解即可.
19．【答案】（1）解：由题意得，，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
∴的值为8
（2）解：1小时，
设需要个这样的机器人，
由题意得：，
解得：，
∵为正整数，
∴最小值为6，
答：至少需要6个这样的机器人．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据 该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个 ，可列出分式方程，解方程并进行检验，即可得出答案；
（2）设需要个这样的机器人，并把1小时转化成，根据采摘的苹果个数不少于10000个，可列出不等式，解不等式并取其最小整数解即可得出答案。
20．【答案】（1）解：设购买A种水果x千克，B种水果y千克，
依题意得：，
解得：．
答：购买A种水果2千克，B种水果1千克．
（2）解：①设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，
∴，
解得：，
∴结合实际可得：；
②设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，
∴，
解得：.
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购买A种水果x千克，B种水果y千克，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）①设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
②设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
21．【答案】（1）解：设每个篮球x元，每个足球y元
（三个方程组任选一种即可）
解得：
答：每个篮球60元，每个足球50元.
（2）解：设篮球有m个，则足球有(10-m)个
解得：
设购买的总费用是W元
随着m的减小而减小
当m最小值为4时，W最小值为540元
答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少.
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设篮球和足球的价格，由条件可列3个方程组，解其中一个方程组即可得结果；
(2)设篮球有m个，则足球有10-m个，由题意列不等式可得m的范围，求出费用与m的函数关系，可得当m=4时，费用最少.
22．【答案】解：任务一：设A型号的新型垃圾桶的单价是x元，B型号的新型垃圾桶的单价是y元，
根据题意得：
解得：
答：A型号的新型垃圾桶的单价是60元，B型号的新型垃圾桶的单价是100元；
任务二：设购买m个A型号的新型垃圾桶，则购买 个B型号的新型垃圾桶，
根据题意得：
解得：
又∵m为正整数，
∴m可以为118， 119， 120，
∴共3种购买方案，
方案1：购买118个A型号的新型垃圾桶，82个B型号的新型垃圾桶；
方案2：购买119个A型号的新型垃圾桶，81个B型号的新型垃圾桶；
方案3：购买120个A型号的新型垃圾桶，80个B型号的新型垃圾桶；
任务三：选择方案1所需费用为
)(元)；
选择方案2所需费用为
(元)；
选择方案3所需费用为
(元)，
∴方案3更省钱，最低购买费用是15200元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】任务一：设A型号的新型垃圾桶的单价是x元，B型号的新型垃圾桶的单价是y元，根据“购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元”，可列出关于x， y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
任务二：设购买m个A型号的新型垃圾桶，则购买 个B型号的新型垃圾桶，根据“总费用不超过15300元，且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的 可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案；
任务三：利用总价=单价×数量，可求出选择各方案所需费用， 比较后， 即可得出结论.
23．【答案】（1）解：小明的猜想不正确.
反例：3×4=12.
（2）解： 所以 所以 与（*）矛盾，不合题意；
所以 又 所以
由（ *）知 所以p=m+n.
（3）解：当A的数字大于或等于B的数字时， 的位数是m-n+1；
当A的数字小于B的数字时， 的位数是m-n.
证明如下：
由已知，A，B的位数分别为m，n，
设 A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则B×C=A.
由小华的命题知，当a≥b时，必有a≥c，
此时，m=n+x- 1，所以x=m-n+ 1；
当a＜b时，必有a＜c，
此时，m=n+x，所以x=m-n.
综上所述，当A 的数字大于或等于B的数字时，的位数是m-n+1；
当A的数字小于B的数字时， 的位数是m-n.
【知识点】不等式的性质；证明的含义与一般步骤；举反例判断命题真假
【解析】【分析】 （1）举反例即可；
（2）①当c＜a且c≥b时，可得所以 与（*）矛盾，不合题意；
②当c＜a且c＜b时，可得又 所以 得 p=m+n；
（3）设=C， A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则B×C=A．当a≥b时，必有a≥c，m=n+x-1，即x=m-n+1；当a＜b时，必有a＜c，m=n+x，即x=m-n.
1 / 1专题7 一元一次不等式（组）-2025年精选中考数学真题分类汇编
一、选择题
1．（2025·长春）下列不等式组无解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：A.∵判断不等式组解集的口诀：同大取大，∴不等式组的解集为： 故此选项不符合题意；
B.∵判断不等式组解集的口诀：大大小小无解，∴不等式组无解，故此选项符合题意；
C.判断不等式组解集的口诀：同小取小，∴不等式组的解集为： 故此选项不符合题意；
D.判断不等式组解集的口诀：大小小大中间找，∴不等式组的解集为 故此选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据判断不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”求出各个选项中的不等式组的解集，然后进行判断即可.
2．（2025·广西）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a>b
∴
故答案为： A
【分析】根据不等式的性质即可求出答案.
3．（2025·内蒙古自治区）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： 不等式组，
解不等式①，得：x≥1，
解不等式②，得：x＜3，
∴不等式组的解集为：1≤x＜3，
在数轴轴上表示为：
故答案为：C.
【分析】首先解不等式组求出不等式组的解集为1≤x＜3，并在数轴上表示解集，即可得出答案。
4．（2025·宜宾）采采不学办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分．答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（ ）
A．14道 B．13道 C．12道 D．11道
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】
解：设答对x道题，则答错或不答的题数为(20- x)道，
根据题意得： 10x- 5(20-x)≥80，
解得： x≥12，
∴x的最小值为12，
∴他至少要答对12道题.
故答案为：C.
【分析】设小明答对x道题，则答错或不答的题数为(20- x)道，根据得分规则建立不等式10x- 5(20-x)≥80，求解x的最小整数值，解答即可.
5．（2025·眉山）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．8 B．14 C．18 D．38
【答案】B
【知识点】已知分式方程的解求参数；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式组 可得，
∵不等式组 至少有两个正整数解，
∴，
解得，
解方程得，
∵方程的解x为正整数，
∴a>2且的偶数，
即a的值为6或8，
∴ 整数a的值之和为6+8=14，
故答案为：B.
【分析】根据不等式组的解集求出，再接分式方程求出a>2且的偶数，然后得到整数a的值，求和计算解题.
6．（2025·泸州）对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③；④若，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：①∵，
∴，故①正确，
②∵，
当时，，
当时，，即，故②不正确；
③不成立，例如，则，故③不正确；
④当即时，
则：，
解得：，
∴；
当，即时，
则：，
解得：，
∴，
综上所述，，故④正确，
故正确的有①和④，共2个，
故答案为：B．
【分析】根据新定义运算法则可直接判断①；根据新定义运算法则分x≥3与x＜3两种情况求解可判断②；利用据特例的方法结合新定义运算法则可判断③；根据新定义运算法则分2x-4≥2与2x-4＜2两种情况，分别列出不等式组，求解得出两个不等式组的解集，即可判断④.
二、填空题
7．（2025·南充）不等式组 的解集是x＞2，则m的取值范围是 .
【答案】m≤3
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
不等式① 的解集为：x＞2，
不等式②的解集为：x＞m-1，
∵不等式组的解集为：x＞2，
∴m-1≤2，
解得：m≤3.
故答案为：m≤3.
【分析】由题意，先求出每一个不等式的解集，然后根据题意“不等式组的解集为x＞2”可得关于m的不等式，解之即可求解.
8．（2025·黑龙江）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 。
【答案】-2≤a＜-1
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解： 不等式组，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：x＞a，
∴不等式组的解集为：，
∵ 不等式组有3个整数解，
∴ 不等式组的3个整数解为：1，0，-1，
∴-2≤a＜-1。
故答案为：-2≤a＜-1.
【分析】首先解不等式组，求得不等式组的解集，然后根据不等式组整数解的情况，可得出不等式的整数解，进而得出A的取值范围。
9．（2025·内江） 对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 ．
【答案】-17≤p＜-7
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：由新定义运算法则可得
由①得a≤1，
由②得，
∵此不等式恰有3个整数解，
∴，且三个整数解为1、0、-1，
∴
解得-17≤p＜-7.
故答案为：-17≤p＜-7 .
【分析】首先根据新定义运算法则列出关于字母a的不等式组，根据解不等式的步骤分别求出不等式组中每一个不等式的解集，然后结合“此不等式恰有3个整数解”及“大小小大中间找”求出该不等式组的解集及三个整数解，进而即可得出关于字母p的不等式组，求解可得p的取值范围.
三、解答题
10．（2025·兰州）解不等式组：．
【答案】解：解第一个不等式得：x＜5，
解第二个不等式得：x＞3，
故原不等式组的解集为3＜x＜5．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先解每一个不等式分别得到x＜5，x＞3，再根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，即可解答．
11．（2025·青岛）
（1）计算：；
（2）解不等式组：并写出它的整数解．
【答案】（1）解：
；
（2）解：不等式组为，
则有，解得，
则有，解得，
∴不等式组的解集为，
则整数解为．
【知识点】零指数幂；二次根式的加减法；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】(1)先化简二次根式，在计算零指数幂，最后计算加减即可解答；
（2）先解各个不等式，再求出解集，再得到其中的整数解解答即可.
12．（2025·广州）解不等式组，并在数轴上表示解集．
【答案】解：，
由①得：，
由②得：，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
则不等式组解集为．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示即可求出答案.
13．（2025·凉山州）
（1）解不等式：；
（2）先化简，再求值：．求值时请在内取一个使原式有意义的为整数）．
【答案】（1）解：原不等式去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：
（2）解：原式
；
，，，
，，
，
原式（答案不唯一）．
【知识点】解一元一次不等式；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】(1)解不等式的一般步骤是，去分母、去括号、称项并合并同类项，最后再系数化为1；
(2)分式的混合运算，没有乘方时先计算乘除，注意除以一个分式等于乘以它的倒数，并对分子分母分别分解因式，再约分化结果为最简分式，然后再进行整式与分式的减法运算，运算时先通分再进行同分母分式的减法运算，并观察分子与分母，若有公因式还要再进行约分，最后再在指定的字母的取值范围内选择合适的值代入计算即可.
14．（2025·天津市）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（I）解不等式①，得 ▲ ；
（II）解不等式②，得 ▲ ；
（III）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（IV）原不等式组的解集为 ▲ ．
【答案】解：解：（I）；
（II）；
（III）
（IV）．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，再将解集在数轴上表示出来，可得不等式组的解集.
15．（2025·辽宁） 小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元．
（1）求种文创产品每件的进价；
（2）小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？
【答案】（1）解：设B种文创产品每件的进价为x元，根据题意可得：
2（x+3）+3x=26，
解得：x=4，
答：B种文创产品每件的进价为4元；
（2）解：设小张购进m件A种文创产品，由（1）可知，A种文创产品每件的进价为4+3=7元，则：
7m+4（100-m）≤550，
解得：m≤50；
答：小张最多可以购进50件A种文创产品．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设B种文创产品每件的进价为x元，根据A种文创产品比B种文创产品每件进价多3元，购进2件A种文创产品和3件B种文创产品共需花费26元，列出一元一次方程进行求解即可；
（2）设小张购进m件A种文创产品，根据总费用不超过550元，列出不等式进行求解即可．
16．（2025·青岛）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单．
（1）求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品；
（2）首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？
【答案】（1）解：设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
则（件），
答：乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品；
（2）解：设安排甲车间生产天，则乙车间生产天，
由题意得：，
解得：，
设生产总量为，由题意得：
，
∵，
∴随着的增大而增大，
∴当时，最大，即这30天的生产总量最大，
∴，
∴安排甲车间生产天，则乙车间生产天．
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式；一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品，列出方程，计算并检验即可解答；
（2）设安排甲车间生产天，则乙车间生产天，由题意表示出m的范围，再列出生产总量为的函数关系式，再利用一次函数的性质当时，可求得 最大值；解答即可.
17．（2025·贵州）贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间．为满足市场需求，某抹茶车间准备安装A、B两种型号生产线.已知，同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共．
（1）求一条A型和一条B型生产线每月各生产抹茶多少吨？
（2）为扩大生产规模，若另一车间准备同时安装相同型号的A、B两种生产线共5条，该车间接到一个订单，要求4个月生产抹茶不少于，至少需要安装多少条A型生产线？
【答案】（1）解：设一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶，
由题意得：，
解得：.
答：一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶.
（2）解：设需要安装条A型生产线，则安装B种生产线条，
由题意得：，
解得：，
∵为正整数，
∴最小取.
答：至少需要安装3条A型生产线．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1） 通过设未知数，根据两种生产线组合的产量条件，建立二元一次方程组，求解得每条生产线的月产量.
（2）设A型生产线数量，用总数表示B型数量，根据 “4 个月产量不少于2000吨” 列一元一次不等式，求解并结合正整数条件确定最小值.
18．（2025·湖南）同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买A，B两种香料．已知A种材料的单价比B种材料的单价多3元，且购买4件A种材料与购买6件B种材料的费用相等．
（1）求A种材料和B种材料的单价；
（2）若需购买A种材料和B种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买A种材料多少件？
【答案】（1）解：设A种材料的单价为x元，则B种材料的单价为（x﹣3）元，
由题意得：4x＝6（x﹣3），
解得：x＝9，
∴x﹣3＝6，
答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元
（2）解：设能购买A种材料m件，则能购买B种材料（50﹣m）件，
由题意得：9m+6（50﹣m）≤360，
解得：m≤20，
答：最多能购买A种材料20件
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种材料的单价为x元，则B种材料的单价为（x﹣3）元，由相等关系“ 购买4件A种材料与购买6件B种材料的费用相等 ”列方程并求解即可；
（2）设能购买A种材料m件，则能购买B种材料（50﹣m）件，由不等关系“ 总费用不超过360元 ”列不等式并求解即可.
19．（2025·内蒙古自治区）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个．
（1）求的值；
（2）现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个
【答案】（1）解：由题意得，，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
∴的值为8
（2）解：1小时，
设需要个这样的机器人，
由题意得：，
解得：，
∵为正整数，
∴最小值为6，
答：至少需要6个这样的机器人．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据 该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个 ，可列出分式方程，解方程并进行检验，即可得出答案；
（2）设需要个这样的机器人，并把1小时转化成，根据采摘的苹果个数不少于10000个，可列出不等式，解不等式并取其最小整数解即可得出答案。
20．（2025·湖北） 某商店销售A，B两种水果．A水果标价14元／千克，B水果标价18元／千克．
（1）小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？
（2）妈妈让小明再到这家商店买两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元．设小明买A水果千克．
①若这两种水果按标价出售，求的取值范围；
②小明到这家商店后，发现两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的出售．）若小明合计付款48元，求的值．
【答案】（1）解：设购买A种水果x千克，B种水果y千克，
依题意得：，
解得：．
答：购买A种水果2千克，B种水果1千克．
（2）解：①设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，
∴，
解得：，
∴结合实际可得：；
②设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，
∴，
解得：.
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购买A种水果x千克，B种水果y千克，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）①设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
②设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
21．（2025·深圳）某学校采购体育用品，需要购买三种球类，已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如表：
①篮球、足球、排球各买一个总价为140元
②购买2个足球的价钱比购买一个篮球多40元
③购买5个篮球和购买6个足球花费相同
（1） 上述3个条件选择两2个，请帮助小桃小李求出每个篮球、足球多少钱？
（2） 现在想要购买篮球、足球共10个，足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费的总费用最少，最少是多少？
【答案】（1）解：设每个篮球x元，每个足球y元
（三个方程组任选一种即可）
解得：
答：每个篮球60元，每个足球50元.
（2）解：设篮球有m个，则足球有(10-m)个
解得：
设购买的总费用是W元
随着m的减小而减小
当m最小值为4时，W最小值为540元
答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少.
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设篮球和足球的价格，由条件可列3个方程组，解其中一个方程组即可得结果；
(2)设篮球有m个，则足球有10-m个，由题意列不等式可得m的范围，求出费用与m的函数关系，可得当m=4时，费用最少.
22．（2025·遂宁）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A、B两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料：
材料一：已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元．
材料二：据统计该社区需购买A、B两种型号的新型垃圾桶共200个，但总费用不超过15300元，且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的．
请根据以上材料，完成下列任务：
任务一：求A、B两种型号的新型垃圾桶的单价？
任务二：有哪几种购买方案？
任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？
【答案】解：任务一：设A型号的新型垃圾桶的单价是x元，B型号的新型垃圾桶的单价是y元，
根据题意得：
解得：
答：A型号的新型垃圾桶的单价是60元，B型号的新型垃圾桶的单价是100元；
任务二：设购买m个A型号的新型垃圾桶，则购买 个B型号的新型垃圾桶，
根据题意得：
解得：
又∵m为正整数，
∴m可以为118， 119， 120，
∴共3种购买方案，
方案1：购买118个A型号的新型垃圾桶，82个B型号的新型垃圾桶；
方案2：购买119个A型号的新型垃圾桶，81个B型号的新型垃圾桶；
方案3：购买120个A型号的新型垃圾桶，80个B型号的新型垃圾桶；
任务三：选择方案1所需费用为
)(元)；
选择方案2所需费用为
(元)；
选择方案3所需费用为
(元)，
∴方案3更省钱，最低购买费用是15200元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】任务一：设A型号的新型垃圾桶的单价是x元，B型号的新型垃圾桶的单价是y元，根据“购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元”，可列出关于x， y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
任务二：设购买m个A型号的新型垃圾桶，则购买 个B型号的新型垃圾桶，根据“总费用不超过15300元，且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的 可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案；
任务三：利用总价=单价×数量，可求出选择各方案所需费用， 比较后， 即可得出结论.
23．（2025·福建）阅读材料，回答问题.
主题 两个正数的积与商的位数探究
提 出 问 题 小明是一位爱思考的小学生.一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“46×2=92；35×21=735；663×11=7293；186×362=67332”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个（ 位的正整数.
分析 探究 问题1 小明的猜想是否正确 若正确，请给予证明；否则，请举出反例.
推广 延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情.为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为 则称这个数的位数是 n+1，数字是a. 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题. 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且A×B=C，则必有c≥a且c≥b，或c＜a且c＜b.并且，当c≥a且 c≥b时，p = m+n-1；当c＜a且c＜b时，p =m+n. 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为 其中a，b，c均为正数. 由A×B=C，得 即 （ * ） 当c≥a且c≥b时， 所以 又 所以 由（ *）知， 所以 当c≥a且c＜b时， ，所以 所以 与（*）矛盾，不合题意； 当c＜a且c≥b时，① ； 当c＜a且c＜b时，② 综上所述，命题成立.
拓展 迁移 问题2 若正数A，B的位数分别为m，n，那么 的位数是多少 证明你的结论.
（1）解决问题1；
（2）请把①②所缺的证明过程补充完整；
（3）解决问题2.
【答案】（1）解：小明的猜想不正确.
反例：3×4=12.
（2）解： 所以 所以 与（*）矛盾，不合题意；
所以 又 所以
由（ *）知 所以p=m+n.
（3）解：当A的数字大于或等于B的数字时， 的位数是m-n+1；
当A的数字小于B的数字时， 的位数是m-n.
证明如下：
由已知，A，B的位数分别为m，n，
设 A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则B×C=A.
由小华的命题知，当a≥b时，必有a≥c，
此时，m=n+x- 1，所以x=m-n+ 1；
当a＜b时，必有a＜c，
此时，m=n+x，所以x=m-n.
综上所述，当A 的数字大于或等于B的数字时，的位数是m-n+1；
当A的数字小于B的数字时， 的位数是m-n.
【知识点】不等式的性质；证明的含义与一般步骤；举反例判断命题真假
【解析】【分析】 （1）举反例即可；
（2）①当c＜a且c≥b时，可得所以 与（*）矛盾，不合题意；
②当c＜a且c＜b时，可得又 所以 得 p=m+n；
（3）设=C， A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则B×C=A．当a≥b时，必有a≥c，m=n+x-1，即x=m-n+1；当a＜b时，必有a＜c，m=n+x，即x=m-n.
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