专题8 一次函数-2025年精选中考数学真题分类汇编
一、选择题
1．（2025·武汉）“漏壶”是中国古代一种全天候计时仪器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度.人们根据壶中水面的位置计算时间.壶中水面高度y(单位：cm)随漏水时间t(单位：h)的变化规律如图所示(不考虑水量变化对压力的影响).水面高度从48cm变化到42cm所用的时间是( )
A．3h B．4h C．6h D．12h
2．（2025·广州）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·苏州）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度v（m/s）与温度t（℃）部分对应数值如下表：
温度 0 10 30
声音传播的速度· 324 330 336 348
研究发现v，t满足公式v= at+b（a，b.为常数，且a≠0）.当温度t为15℃时，声音传播的速度 v为（ ）
A．333 m/s B．339 m/s C．341 m/s D．342 m/s
4．（2025·内蒙古自治区）在闭合电路中，通过定值电阻的电流（单位：A）是它两端的电压（单位：）的正比例函数，其图象如图所示，当该电阻两端的电压为时，通过它的电流为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·陕西） 在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·广东） 如图， 在矩形ABCD中， E， F是BC边上的三等分点， 连接DE， AF相交于点G， 连接CG. 若AB=8， BC=12， 则tan∠GCF的值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·广东）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量y(W. h)与骑行里程x(km)之间的关系如图.当电池剩余能量小于100W. h时，摩托车将自动报警.根据图象，下列结论正确的是（ ）
A．电池能量最多可充400W·h
B．摩托车每行驶10km消耗能量300W h
C．一次性充满电后，摩托车最多行驶25km
D．摩托车充满电后，行驶18km将自动报警
8．（2025·扬州）已知m2025+2025m＝2025，则一次函数y＝（1﹣m）x+m的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（2025·安徽） 已知一次函数 的图像经过点 ，且 y 随 x 的增大而增大. 若点 N 在该函数的图象上，则点 N 的坐标可以是（ ）
A．(-2，2) B．(2，1) C．(-1，3) D．(3，4)
10．（2025·河北）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2025·苏州）过A，B两点画一次函数y=-x+2的图像，已知点A的坐标为（0，2），则点B的坐标可以为 .（填一个符合要求的点的坐标即可）
12．（2025·天津市）将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是 （写出一个即可）．
13．（2025·福建）弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的.胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力 F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即F=kx，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为mg，其中g为常数.如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米.在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 千克.
14．（2025·南充） 已知直线y=m（x+1）（m≠0）与直线y=n（x-2）（n≠0）的交点在y轴上，则 的值是 .
15．（2025·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B．四边形，，，，都是正方形，顶点。，，，，都在x轴上，顶点，，，，都在直线上，连接，，，，分别交，，，，于点，，，，．设，，，，…的面积分别为，，，，，则 ．
三、解答题
16．（2025·上海市）某品牌储水机的容量是200升，当加水加满时，储水机会自动停止加水，已知加冷水量y（升）和时间x（分钟）的图象如图所示，加水过程中，水的温度t（摄氏度）和x（分钟）的关系：
（1）求y与x的函数关系式，并写出定义域；
（2）求储水机中的水加满时，储水机内水的温度．
17．（2025·齐齐哈尔）2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合，为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，Al热情瞬间燃爆，校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个五动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区，机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
（1）A，C两区相距 米，a= .
（2）求线段EF所在直线的函数解析式；
（3）机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可）
18．（2025·绥化）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国制造”正引领世界湖流、某科技公司计划投入一笔资金用来购买A、B两种型号的芯片.已知购买1颗A型芯片和2颗B型芯片共需要750元，购买2颗A型芯片和3颗B型芯片共要1300元.
（1）求购买1颗A型芯片和1颗B型芯片各需要多少元.
（2）若该公司计划购买A、B两种型号的芯片共8000题，其中购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍.当购买A型芯片多少颗时、所需资金最少，最少资金是多少元.
（3）该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从M地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地N，两车到达N地后均停止行驶.如图，yp（km）、yz（km）分别是甲、乙两车离M地的距离与甲车行驶的时间x（h）之间的函数关系，请根据图象信息解答下列问题：
①甲车的速度是 km/h.
②当甲、乙两车相距30km时，直接写出x的值 .
19．（2025·北京市） 在平面直角坐标系xOy中，函数y= kx+b(k≠0) 的图象经过点(1，3) 和(2，5).
（1）求k，b的值；
（2） 当x＜1时，对于x的每一个值，函数y= mx(m≠0)的值既小于函数y= kx+b的值，也小于函数y=x+k的值，直接写出m的取值范围.
20．（2025·黑龙江） 2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相。第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生。已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元。
（1）购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？
（2）若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？
（3）设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
21．（2025·连云港）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等
（1）现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个？
（2）如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片？
22．（2025·陕西） 研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积与气体温度成一次函数关系．某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如下表：
气体温度 … 25 30 35 …
气体体积 … 596 606 616 …
（1）求与的函数关系式；
（2）为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到时停止加热．求停止加热时的气体温度．
23．（2025·云南）请你根据下列素材，完成有关任务.
背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质.
素材一 购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等；
素材二 购买2个篮球和5个排球共需800元；
素材三 该校计划购买篮球和排球共60个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍.
请完成下列任务：
任务一 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元
任务二 给出最节省费用的购买方案.
24．（2025·吉林）【知识链接】
实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关
实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A、B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计）
实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大．
总结公式：当小铝块位于液面上方时，F拉力＝G重力；当小铝块浸入液面后，F拉力＝G重力﹣F浮力．
【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数F拉力（N）与小铝块各自下降的高度x（cm）之间的关系如图②所示．
【解决问题】
（1）当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数．
（2）当6≤x≤10时，求弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式．
（3）当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为m（N），若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为m（N），则乙液体中小铝块浸入的深度为n（cm），直接写出m，n的值．
25．（2025·长春）某校综合实践活动中，数学活动小组要研究九年级男生臂展（两臂左右平伸时两手中指指尖之间的距离）与身高的关系．小组成员在本校九年级男生中随机抽取20名男生，测量他们的臂展与身高，并对得到的数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分的信息：
a.20名男生的臂展与身高数据如下表：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高 166 169 169 171 172 173 173 173 174 174
臂展 161 162 164 166 164 165 167 169 169 170
编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
身高 175 176 177 177 178 179 180 180 181 183
臂展 169 167 173 172 173 170 177 174 176 185
b.20名男生臂展与身高数据的平均数、中位数、众数如下表：
平均数 中位数 众数
身高 175 m 173
臂展 170 169
c.20名男生臂展的频数分布直方图如图①：（将臂展数据分成5组：，）
d.20名男生臂展与身高的散点图如图②，活动小组发现图中大部分点落在一条直线附近的狭长带形区域内．他们利用计算机和简单统计软件得到了描述臂展与身高之间关联关系的直线．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中、的值： ， ；
（2）该校九年级有男生240人，估计其中臂展大于或等于的男生人数；
（3）图②中直线近似的函数关系式为，根据直线反映的趋势，估计身高为男生的臂展长度．
26．（2025·兰州）在平面直角坐标系xOy中，对于图W上或内部有一点N（不与原点O重合），及平面内一点P，给出如下定义：若点P关于直线ON的对称点P'在图W上或内部，则称点P是图W的“映射点”．
（1）如图1，已知图W1：线段AB，A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1）．在P1（﹣1，0），P2（1，2）中， 是图W1的“映射点”；
（2）如图2，已知图W2：正方形ABCD，A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）．若直线l：y＝x+b上存在点P是图W2的“映射点”，求b的最大值；
（3）如图3，已知图W3：⊙T，圆心为T（0，t），半径为1．若x轴上存在点P是图W3的“映射点”，请直接写出t的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一次函数的图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由题意可得：
“漏壶”的漏水速度为cm/h
∴水面高度从48cm变化到42cm所用的时间是h
故答案为：A
【分析】根据图象求出漏壶的漏水速度，再求出时间即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意可得：
将直线向上平移d个单位长度后得到y=x+d
若过点A，则-3+d=1，解得：d=4
若过点B，则-1+d=1，解得：d=2
∴将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则
故答案为：D
【分析】根据函数图象的平移性质可得将直线向上平移d个单位长度后得到y=x+d，分别代入A，B的坐标，即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：将，代入，得，
解得：，
∴，
当时，有，
故答案为：B.
【分析】先利用待定系数法求出满足的公式，然后求出当时的值，即可求解.
4．【答案】A
【知识点】正比例函数的图象；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：设I=KU，
∵图象经过点（5，4），
∴4=5K，
∴K=，
∴I=U，
把U=15代入I=U中：I= ×15=12
故答案为：A.
【分析】首先根据待定系数法求出I=U，然后再把U=15代入I=U中，即可求得答案。
5．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：设直线解析式为y=kx+b
将点，代入可得
解得：
∴直线解析式为y=-2x+2
将直线向上平移3个单位后的直线解析式为y=-2x+2+3=-2x+5
当x=1时，y=-2×1+5=3，经过(1，3)，A错误，B正确
当x=-3时，y=-2×(-3)+5=11，经过(-3，11)，C错误
当x=3时，y=-2×3+5=-1，经过(3，-1)，D错误
故答案为：B
【分析】设直线解析式为y=kx+b，根据待定系数法将点，代入解析式可得直线解析式为y=-2x+2，则将直线向上平移3个单位后的直线解析式为y=-2x+5，再将各点坐标代入解析式逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建系，得各点坐标：B(0，0)，C(12，0)，A(0，8)，D(12，8)，E(4，0)，F(8，0)
直线AF：代入A(0，8)、F(8，0)，得y = -x + 8
直线DE：代入D(12，8)、E(4，0)，得y = x - 4
联立两方程式得G（6，2）
过G作GH⊥BC于H，GH = 2，CH = 6，由tan∠GCF = ，得tan∠GCF=.
故答案为：B.
【分析】通过建立平面直角坐标系，利用坐标求出直线解析式，进而得到点G坐标，最后根据三角函数的定义求解tan∠GCF的值。
7．【答案】C
【知识点】函数的图象；一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、由图象可知，当x = 0时，y = 500，所以电池能量最多可充500 W. h 所以A不正确；
B、由题意知：行驶25km消耗能量500 W. h 。那么每行驶10km消耗能量为×10 = 200W.h，所以B不正确；
C、当电池剩余能量y = 0时，对应的x值就是摩托车充满电后最多行驶的里程。由图象可知，当y = 0时，x = 25，即一次性充满电后，摩托车最多行驶25km，所以C正确；
D、设y与x的函数关系式为y = kx + b（k≠0 ），把(0， 500)，(25， 0)代入可得b = 500 ，k = - 20，所以y = - 20x + 500。当y = 100时，100 = - 20x + 500， 20x = 400，x = 20，即行驶20km时将自动报警，行驶18km时不会报警，所以D不正确。
故答案为：C .
【分析】：通过函数图象联系实际意义（横坐标x为骑行里程，纵坐标y为电池剩余能量 )进行分析，获取相关信息，分别对各选项进行判断，即可得出正确答案。
8．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；一次函数的图象；估计方程的解；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：，
且
∴一次函数 的图象经过第一、二、三象限， 不经过第四象限，
故答案为：D.
【分析】先根据 判断m的取值范围，再根据一次函数的性质判断其图象经过的象限.
9．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：∵ 一次函数 的图像经过点 ，且 y 随 x 的增大而增大，
∴k＞0；
A、∵点M（1，2），点N（-2，2）在一次函数图象上，
∴
解之：k=0，故A不符合题意；
B、∵点M（1，2），点N（2，1）在一次函数图象上，
∴
解之：k=-1＜0，故B不符合题意；
C、∵点M（1，2），点N（-1，3）在一次函数图象上，
∴
解之：，故C不符合题意；
D、∵点M（1，2），点N（3，4）在一次函数图象上，
∴
解之：k=1＞0，故D符合题意；
故答案为：D .
【分析】利用一次函数的增减性，可知k＞0，分别将点M的坐标和各选项中点N的坐标代入函数解析式，可求出对应的k的值，即可作出判断.
10．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：设直线FG的解析式为y= kx+b，代入(-1，1)，(0，-1)
，解得：
∴直线FG的解析式为y=-2x-1，
∵点E(1，2)，
A：当E为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位
∴直线FG平移后的解析式为
此时经过原点，对应的EH经过整点(2，1)，符合题意
B：当E为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位
∴直线FG平移后的解析式为
此时原点在FG下方，对应的EH在整点(2，1)上方，不符合题意
C：当E为时，平移方式为向右平移个单位，
∴直线FG平移后的解析式为
此时点E在正方形内部，不符合题意，
D.当E为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，
∴直线FG平移后的解析式为
此时点E在正方形内部，不符合颗题意
故答案为：A
【分析】设直线FG的解析式为y= kx+b，根据待定系数法将点(-1，1)，(0，-1)代入解析式可得直线FG的解析式为y=-2x-1，求出点E坐标，再根据函数图象的平移性质逐项进行判断即可求出答案.
11．【答案】（1，1）（答案不唯一）
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵过两点画一次函数的图像，已知点的坐标为（0，2），
∴当时，有，
∴点的坐标可以为（1，1），
故答案为：（1，1）（答案不唯一）.
【分析】任取时的一个值，代入一次函数解析式中，即可求出点坐标.
12．【答案】2
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将直线向上平移个单位长度可得：y=3x-1+m
∵平移后的直线经过第三、第二、第一象限
∴-1+m>0，解得m>1
故答案为：2（答案不唯一，满足即可）
【分析】根据函数图象的平移规律可得平移后的直线为y=3x-1+m，再根据一次函数图象与系数的关系建立不等式，解不等式即可求出答案.
13．【答案】0.8
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解： 将F=0.5g，x=6.5-6=0.5代入F=kx，
得0.5g=0.5k，
解得k=g，
∴F与x的函数关系式为F=gx，
将x=6.8-6=0.8，F=mg代入F=gx，
得mg=0.8g，
解得m=0.8，
故答案为：0.8.
【分析】
利用待定系数法求出F与x的函数关系式，将x=6.8-6=0.8，F=mg代入求出m的值即可.
14．【答案】
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由题意，把y=m(x+1)代入y=n(x-2）得，
m(x+1)=n(x-2）
解得：x=，
∵两条直线的交点在y轴上，
∴=0，
∴n=-2m，
∴==-2+=.
故答案为：.
【分析】由题意，把y=m(x+1)代入y=n(x-2）可得关于x的方程，根据两条直线的交点在y轴上可得x=0，由此可将n用含m的代数式表示出来，然后把n代入所求代数式计算即可求解.
15．【答案】
【知识点】正方形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；坐标系中的两点距离公式；探索规律-函数上点的规律；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：当x=0时，=3，
∴点B的坐标为（0，3）
∵点B1在直线y =-x +3上，
设点B1的坐标是(x1，-x1+3)，则点A1的坐标是(x1，0)，点C1的坐标是(0，-12x1+3)，
∵四边形OA1B1C1是正方形，
∴ OA1 = A1B1， OA1∥ C1B1，
∴x1=-x1+3，
解得： x1=2，
∴B1的坐标是(2，2)，
∴正方形OA1B1C1的边长为2，
∴0C1=0A1 = A1B1 =B1C1=2
∴BC1=BC -0C1=3-2=1，
∵OA1∥C1B1，
∴△BC1D1∽△BOA1，
∴，
∴
解得：C1D1=
∴BD1 =B1C1-C1D1=2-=
∴S△BB1D1=BD1×BC1=；
设点B2的坐标为(x2，+3)，
则点A2的坐标是(x2，0)，点C2的坐标是(2，)，
∴A1A2=x2-x1 =x2 -2，
∵四边形A1 A2B2C2是正方形，
∴A1 A2 = B2A2， A1 A2 ∥ C2B2 ∴x2-2=-，
解得： x2=
∴A1A2=x2-x1=-2=
∴B2的坐标是（)，
∴A1A2=A2B2= B2C2 = A1C2 =，
∴B1C2=2-=，
∵ A1A2∥ C2B2，
∴△B1 C2D2∽△B1 A1 A2 ，
，
解得：C2D2=，
∴B2D2 = B2C2 - C2D2 =
∴S△B1B2D2=×B1C2 =，
∵B1的坐标是(2，2)，B2的坐标是()，
∴B1B2=，
∵ B1的坐标是(2，2)，点B2的坐标是(0，3)，
∴BB1 =
∵C
又∵四边形OA1B1C1和A1 A2B2C2均为正方形，
∴B1C1∥ x轴，B2C2∥ x轴
∴B1C1∥B2C2，
∴∠BB1C1 = ∠B1B2C2，
∴△BB1D1∽△B1B2D2，且相似比为，
∴，
∴当S△BB1D1=时，
S△B2B2D2==
同理可证△B1 B2D2∽△B2B3D3，且相似比为，
则S△B2B3D3=，
......
∴ S2025 = S△B2024B2025 D2025 =（
故答案为：
【分析】首先求出直线与坐标轴的交点坐标，再根据正方形的性质找出各点坐标的规律，进而得到相关线段的长度关系，利用相似三角形的性质求出各个三角形的面积表达式，找出面积的规律从而求解。
16．【答案】（1）解：每分钟加水量为(160-80)÷2=40(升)，
则y=40x+80，
当40x+80=200时，解得x=3，
∴y与x的函数关系式及定义域为y=40x+80(0≤x≤3)．
（2）解：当时，，
∴储水机中的水加满时，储水机内水的温度为32摄氏度.
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出函数值为200时自变量的值，即可求出定义域；
(2)根据(1)所求可得加满水时，x的值，据此代值计算即可.
17．【答案】（1）240；7.5
（2）解：由题意知乙机器人从C区到B区所用时间为（分）
设线段EF所在直线解析式为
将E(9，0)，F(15，90)代入得
解得
线段EF所在直线解析式为
（3）7分或11分或13分.
【知识点】解一元一次方程；待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题；分类讨论
【解析】【解答】
（1）解：由题意可得：A，C两区相距为150+90=240（米)，
由题意可知，a表示甲到达B区的时间，则a==7.5，
故答案为：240，7.5；
（3）机器人乙行进的时间为x分时，甲和乙都未到达B区，相距30米，
则150-20x+90-10x=30，
解得x=7，
即机器人乙行进的时间为7分时，机器人甲、乙相距30米；
机器人乙行进的时间为t分时，从B点返回，且甲仍在B区停留期间，相距30米，
则15t-135=30，
解得t=11，
即机器人乙行进的时间为11分时，机器人甲、乙相距30米；
机器人乙行进的时间为n分时，从B点返回途中，且甲离开B区向C区前进时，相距30米，
当12≤x≤15时，甲机器人距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系为
y=kx+b(k0)，把(12，0)，F(15，90)代入得到，
解得：
∴线段所在直线的函数解析式为：y=30x-360；
则(15n-135)-(30n-360)=30，
解得n=13，
即机器人乙行进的时间为13分时，机器人甲、乙相距30米；
综上可知，机器人乙行进的时间7分或11分或13分时，机器人甲、乙相距30米，
故答案为：7分或11分或13分.
【分析】
(1)观察图像A，C两区相距为150+90=240，利用时间等于路程除以速度即可解答；
（2）由题意得出，利用待定系数法求出线段EF所在直线解析式为，解答即可；
（3）分类讨论：机器人乙行进的时间为x分时，甲和乙都未到达B区，相距30米，列方程150-20x+90-10x=30，计算即可解答；机器人乙行进的时间为t分时，从B点返回，且甲仍在B区停留期间，相距30米，列方程15t-135=30，计算即可解答；当12≤x≤15时，利用待定系数法求解y=30x-360；建立方程(15n-135)-(30n-360)=30，计算即可解答.
18．【答案】（1）解：设购买1颗A型芯片和1颗B型芯片分别需要a元和b元，由题意得
解得
答：购买1颗A型芯片和1颗B型芯片分别需要350元和200元.
（2）解：设购买B型芯片m颗、则购买A型芯片(8000-m)颗，所需资金为w元
由意得：w=350(8000-m)+200m=-150m+2800000
∵k=-150<0
∴w随m的增大而减小
∵购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍，
∴8000-m≥3m解得m≤2000
∴m取正整数
∴当m=2000时，w取最小值，w最少=-150×2000+2800000=2500000(元)
此时8000-m=6000
答：当该公司购买型芯片6000颗，所需资金最少，最少资金是2500000元.
（3）80；1.5或4.5或6.5
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】
解：（3）①设y乙的解析式为y=kx+b .
将点(0，60)，(7，480)代入y=kx+b 中，
得解得
∴解析式为y= 60x +60，
当x=3时，y= 60x+ 60= 60x3+ 60= 240
∴甲车的速度为240 +3 = 80km/h；
②y甲的解析式为y= kx ，
将点(3，240)代入y=kx得240=3k，解得k=80
∴y甲的解析式为y = 80x
当函数y乙的图象在函数y甲的上方时：
可列方程60x+ 60- 80x = 30解得x=1.5
当函数y乙的图象在函数y甲的下方时：
可列方程80x- 60x- 60= 30 解得x=4.5
当甲车到达N地，乙离目的地30km时，
可列方程60x+ 60 = 480-30 解得x=6.5
综上所述，x的值为： 1.5或4.5或6.5.
故答案为：80；1.5或4.5或6.5
【分析】（1）设购买1颗A型芯片和1颗B型芯片分别需要a元和b元，根据题意列出方程，计算即可解答；
（2）设购买B型芯片m颗、则购买A型芯片(8000-m)颗，所需资金为w元，根据题意列出函数关系式w=-150m+2800000，结合由已知条件购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍，得到m的取值范围m≤2000，再利用一次函数的性质w随m的增大而减小，当m=2000时，w取最小值，计算即可解答；
（3）设y乙的解析式为y=kx+b 将点(0，60)，(7，480)代入y=kx+b 中，计算可得函数解析式为y= 60x +60，即可求得甲的路程，再利用路程公式计算即可解答；利用待定系数法求得y甲的解析式为y = 80x
再根据函数图象，分情况讨论，计算即可解答.
19．【答案】（1）解：∵在平面直角坐标系xOy中，函数y= kx+b(k≠0)的图象经过点(1，3)和(2，5)，
解得
（2）2≤m≤3
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：（2）解：由(1) 可得函数y= kx+b(k≠0)的解析式为y=2x+1， 函数y=x+k的解析式为y=x+2，
当 mx＜2x+1时， 则(m-2)x＜1，
当 mx＜x+2时， 则(m-1)x＜2，
∵当x＜1时， 对于x的每一个值，函数y= mx(m≠0)的值既小于函数y= kx+b的值， 也小于函数y=x+k的值，
∴m-2≥0， 且m-1≥0，
∴m≥2，
当m=2， x＜1时， 2x＜2x+1和x＜2恒成立， 故m=2符合题意；
当m＞2时， 则 且
当 时， 则
解不等式 得m≤3， 解不等式m≤3，
∴2＜m≤3；
当 时， 则
解不等式 得m＞3， 解不等式 得m≤3，此时不符合题意；
综上所述， 2≤m≤3.
【分析】（1）根据待定系数法将点(1，3)和(2，5)代入函数解析式即可求出答案.
（2）由(1) 可得函数y= kx+b(k≠0)的解析式为y=2x+1， 函数y=x+k的解析式为y=x+2，当 mx＜2x+1时， 则(m-2)x＜1，当 mx＜x+2时， 则(m-1)x＜2，当x＜1时，根据题意建立不等式，解不等式可得m≥2，当m=2， x＜1时， 2x＜2x+1和x＜2恒成立， 故m=2符合题意，当m＞2时， 则 且 当 时， 则 解不等式可得2＜m≤3，当 时， 则 解不等式即可求出答案.
20．【答案】（1）解：设购买一个“蜀宝”需要x元，购买一个“锦仔”需要y元，由题意得：
解得：
答： 购买一个“蜀宝”需要88元，购买一个“锦仔”68元
（2）解：设购买“蜀宝” a个， 则购买“锦仔”(30-a) 个.由题意得：
1880+688(30-2)≥22000
解得： 6≤a≤8
∵a和(30-a)均为正整数
∴a=6，7，8
30-a=24，23，22
共有3种购买方案：
方案一：购买“蜀宝”6个，购买“锦仔”24个；
方案二：购买“蜀宝”7个，购买“锦仔”23个；
方案三：购买“蜀宝”8个，购买“锦仔”22个.
（3）解：由题意可得：
W=88a+68(30-a)=20a+2040∵k=20＞0
∴W随a的增大而增大∴当a=6时， 元
答：学校购买“蜀宝”6个，购买“锦仔”24个，投入资金最少，最少资金是2160元.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设购买一个“蜀宝”需要x元，购买一个“锦仔”需要y元，根据购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元，可得方程组，解方程组求得方程组的解，即可得出答案；
（2）设购买“蜀宝” a个， 则购买“锦仔”(30-a) 个，根据 投入资金不少于2160元又不多于2200元， 可得出不等式1880+688(30-2)≥22000，解不等式求得不等式的解集，进一步即可得出不等式的整数解，即可得出购买方案；
（3） 设学校投入资金W元，购买“蜀宝” a个， 则购买“锦仔”(30-a) 个，由（1）可知购买一个“蜀宝”需要88元，购买一个“锦仔”68元，可得出W=88a+68(30-a)=20a+2040，然后根据一次函数的增减性，结合（2）的方案，即可得出当a取最小值6时， 需要的资金最少 ，并可进一步求出最小值。
21．【答案】（1）解：设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个.
根据题意，得解这个方程组，得
答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个.解答
（2）解：设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片.
则w=2m+(100-m)=100+m.
由k=1>0，知w随m的增大而增大，所以当m最小时，w有最小值
根据题意，得m≥(100-m)，解得m≥，其中最小整数解为34.
即当m=34时，w=100+34=134.
答：至少需要134张正方形硬纸片
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个，观察甲乙两种无盖长方体，可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值即可.
（2）设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸，根据题意可得到W关于m的函数解析式，同时求出m的取值范围，利用一次函数的性质，可求出结果.
22．【答案】（1）解：设与的函数关系式为，
则，解得，
故与的函数关系式为
（2）解：令，
则，解得：，
答：停止加热时的气体温度为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设与的函数关系式为，根据待定系数法将x=25，y=596，x=30，y=606代入解析式即可求出答案.
（2）将y=700代入解析式即可求出答案.
23．【答案】解：任务一： 设每个篮球x元，每个排球y元
根据题意得
解得：
答：每个篮球150元，每个排球100元.
任务二： 设购买篮球m个，则购买排球(60-m)个，总费用为w元
根据题意得：
∴w随m的增大而增大，
又∵60-m≤2m，
解得：m≥20，
∴当m=20时，w取得最小值，此时60-m=60-20=40(个)
∴最节省的购买方案为篮球20个，排球40个，总费用为7000元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(任务一)设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元，根据“购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等，购买2个篮球和5个排球共需800元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(任务二)设购买m个篮球，该校购买篮球和排球共花费w元，则购买(60-m)个排球，利用总价=单价×数量，可找出w关于m的函数关系式，由购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题.
24．【答案】（1）解：当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为2.8N，弹簧测力计B的示数为2.5N．
（2）解：当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将坐标（6，4）和（10，2.8）分别代入F拉力＝kx+b，
得，
解得，
∴当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝﹣0.3x+5.8（6≤x≤10）．
（3）m＝0.6，n＝1.6．
解：（3）根据图象，圆柱体小铝块所受重力为4N，当x＝8时，F拉力＝﹣0.3×8+5.8＝3.4，
4﹣3.4＝0.6（N），
∴m＝0.6，
当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0），
将坐标（6，4）和（10，2.5）分别代入为F拉力＝k1x+b1，
得，
解得，
∴当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝﹣0.375x+6.25（6≤x≤10），
当﹣0.375x+6.25＝3.4时，
解得x＝7.6，
7.6﹣6＝1.6（cm），
∴n＝1.6．
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据图象所给数据可得结论；
（2）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）把x=8代入求出拉力，然后求出弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式，然后代入F拉力=3.4，求出铝块下降的高度，然后减去铝块的高度解答即可.
25．【答案】（1）；
（2）解：该校九年级有男生240人，估计臂展大于或等于170cm的男生人数为：
（人）；
（3）解：∵，
当时，，
∴身高为男生的臂展长度约为.
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；一次函数的其他应用；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由表格信息可得：；
；
故答案为：，；
【分析】(1)根据中位数与众数的含义可得答案；
(2)由表格信息可得臂展大于或等于170cm的男生人数的占比为 再乘以总人数即可；
(3) 把 代入 即可得到答案.
26．【答案】（1）P1（﹣1，0）
（2）解：依题意，正方形的顶点到O的距离为，
∴当l：y＝x+b上存在点P是图W2的“映射点”，则点O到y＝x+b的距离为，
∴当y＝x+b经过点D时，b的值最大，
将D（﹣1，1）代入y＝x+b得，1＝﹣1+b，
解得b＝2，
∴b的最大值2；
（3）﹣2≤t≤2．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；角的运算；切线的性质；坐标系中的两点距离公式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】
解：（1）当A，N重合时，P关于ON(即OA)的对称点为(0，-1)，在线段AB上
∴P1(-1，0)是图W1的“映射点”：
而P2(1，2)关于ON的对称点不在AB上，则P2(1，2)不是图W的“映射点”；
故答案为： P1(-1，0).
（3）如图，ON，OP'分别为⊙T的切线，
当P为W3的“映射点”，
∴∠P'ON＝∠PON，
又∵∠P'ON＝∠TON＝90°﹣∠PON，
设∠PON＝α，则∠TON＝90°﹣α，
∴∠P'ON＝∠PON＝2∠TON＝180°﹣2α，
∴180°﹣2α＝α，
解得α＝60°，
∴∠PON＝60°，∠TON＝30°，
∵TN＝1，
∴OT＝2，
当t减小时，P关于W3的“映射点”，在W3即⊙T的内部，符合题意，
∴t≤2，
当t＜0时，根据对称性可得t≥﹣2，
综上所述，﹣2≤t≤2．
故答案为：﹣2≤t≤2．
【分析】(1)根据定义，观察 P1（﹣1，0），P2（1，2） ， 经过ON对称后，判断对称点是否在AB上，即可求解：
(2)根据正方形的顶点到O的距离为，则对称之前的点到原点的距离为，进而求得b的最大值，将D(-1，1)代入y=x+b得，1=-1+b，计算即可求解；
(3)根据新定义，找到临界值，ON，OP'分别为⊙T的切线情形，求得OT＝2，再根据当t减小时，P关于W3的“映射点”在W3即⊙T的内部，再根据对称性求得t的另一个范围，解答即可.
1 / 1专题8 一次函数-2025年精选中考数学真题分类汇编
一、选择题
1．（2025·武汉）“漏壶”是中国古代一种全天候计时仪器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度.人们根据壶中水面的位置计算时间.壶中水面高度y(单位：cm)随漏水时间t(单位：h)的变化规律如图所示(不考虑水量变化对压力的影响).水面高度从48cm变化到42cm所用的时间是( )
A．3h B．4h C．6h D．12h
【答案】A
【知识点】一次函数的图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由题意可得：
“漏壶”的漏水速度为cm/h
∴水面高度从48cm变化到42cm所用的时间是h
故答案为：A
【分析】根据图象求出漏壶的漏水速度，再求出时间即可求出答案.
2．（2025·广州）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意可得：
将直线向上平移d个单位长度后得到y=x+d
若过点A，则-3+d=1，解得：d=4
若过点B，则-1+d=1，解得：d=2
∴将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则
故答案为：D
【分析】根据函数图象的平移性质可得将直线向上平移d个单位长度后得到y=x+d，分别代入A，B的坐标，即可求出答案.
3．（2025·苏州）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度v（m/s）与温度t（℃）部分对应数值如下表：
温度 0 10 30
声音传播的速度· 324 330 336 348
研究发现v，t满足公式v= at+b（a，b.为常数，且a≠0）.当温度t为15℃时，声音传播的速度 v为（ ）
A．333 m/s B．339 m/s C．341 m/s D．342 m/s
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：将，代入，得，
解得：，
∴，
当时，有，
故答案为：B.
【分析】先利用待定系数法求出满足的公式，然后求出当时的值，即可求解.
4．（2025·内蒙古自治区）在闭合电路中，通过定值电阻的电流（单位：A）是它两端的电压（单位：）的正比例函数，其图象如图所示，当该电阻两端的电压为时，通过它的电流为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正比例函数的图象；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：设I=KU，
∵图象经过点（5，4），
∴4=5K，
∴K=，
∴I=U，
把U=15代入I=U中：I= ×15=12
故答案为：A.
【分析】首先根据待定系数法求出I=U，然后再把U=15代入I=U中，即可求得答案。
5．（2025·陕西） 在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：设直线解析式为y=kx+b
将点，代入可得
解得：
∴直线解析式为y=-2x+2
将直线向上平移3个单位后的直线解析式为y=-2x+2+3=-2x+5
当x=1时，y=-2×1+5=3，经过(1，3)，A错误，B正确
当x=-3时，y=-2×(-3)+5=11，经过(-3，11)，C错误
当x=3时，y=-2×3+5=-1，经过(3，-1)，D错误
故答案为：B
【分析】设直线解析式为y=kx+b，根据待定系数法将点，代入解析式可得直线解析式为y=-2x+2，则将直线向上平移3个单位后的直线解析式为y=-2x+5，再将各点坐标代入解析式逐项进行判断即可求出答案.
6．（2025·广东） 如图， 在矩形ABCD中， E， F是BC边上的三等分点， 连接DE， AF相交于点G， 连接CG. 若AB=8， BC=12， 则tan∠GCF的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建系，得各点坐标：B(0，0)，C(12，0)，A(0，8)，D(12，8)，E(4，0)，F(8，0)
直线AF：代入A(0，8)、F(8，0)，得y = -x + 8
直线DE：代入D(12，8)、E(4，0)，得y = x - 4
联立两方程式得G（6，2）
过G作GH⊥BC于H，GH = 2，CH = 6，由tan∠GCF = ，得tan∠GCF=.
故答案为：B.
【分析】通过建立平面直角坐标系，利用坐标求出直线解析式，进而得到点G坐标，最后根据三角函数的定义求解tan∠GCF的值。
7．（2025·广东）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量y(W. h)与骑行里程x(km)之间的关系如图.当电池剩余能量小于100W. h时，摩托车将自动报警.根据图象，下列结论正确的是（ ）
A．电池能量最多可充400W·h
B．摩托车每行驶10km消耗能量300W h
C．一次性充满电后，摩托车最多行驶25km
D．摩托车充满电后，行驶18km将自动报警
【答案】C
【知识点】函数的图象；一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、由图象可知，当x = 0时，y = 500，所以电池能量最多可充500 W. h 所以A不正确；
B、由题意知：行驶25km消耗能量500 W. h 。那么每行驶10km消耗能量为×10 = 200W.h，所以B不正确；
C、当电池剩余能量y = 0时，对应的x值就是摩托车充满电后最多行驶的里程。由图象可知，当y = 0时，x = 25，即一次性充满电后，摩托车最多行驶25km，所以C正确；
D、设y与x的函数关系式为y = kx + b（k≠0 ），把(0， 500)，(25， 0)代入可得b = 500 ，k = - 20，所以y = - 20x + 500。当y = 100时，100 = - 20x + 500， 20x = 400，x = 20，即行驶20km时将自动报警，行驶18km时不会报警，所以D不正确。
故答案为：C .
【分析】：通过函数图象联系实际意义（横坐标x为骑行里程，纵坐标y为电池剩余能量 )进行分析，获取相关信息，分别对各选项进行判断，即可得出正确答案。
8．（2025·扬州）已知m2025+2025m＝2025，则一次函数y＝（1﹣m）x+m的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；一次函数的图象；估计方程的解；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：，
且
∴一次函数 的图象经过第一、二、三象限， 不经过第四象限，
故答案为：D.
【分析】先根据 判断m的取值范围，再根据一次函数的性质判断其图象经过的象限.
9．（2025·安徽） 已知一次函数 的图像经过点 ，且 y 随 x 的增大而增大. 若点 N 在该函数的图象上，则点 N 的坐标可以是（ ）
A．(-2，2) B．(2，1) C．(-1，3) D．(3，4)
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：∵ 一次函数 的图像经过点 ，且 y 随 x 的增大而增大，
∴k＞0；
A、∵点M（1，2），点N（-2，2）在一次函数图象上，
∴
解之：k=0，故A不符合题意；
B、∵点M（1，2），点N（2，1）在一次函数图象上，
∴
解之：k=-1＜0，故B不符合题意；
C、∵点M（1，2），点N（-1，3）在一次函数图象上，
∴
解之：，故C不符合题意；
D、∵点M（1，2），点N（3，4）在一次函数图象上，
∴
解之：k=1＞0，故D符合题意；
故答案为：D .
【分析】利用一次函数的增减性，可知k＞0，分别将点M的坐标和各选项中点N的坐标代入函数解析式，可求出对应的k的值，即可作出判断.
10．（2025·河北）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：设直线FG的解析式为y= kx+b，代入(-1，1)，(0，-1)
，解得：
∴直线FG的解析式为y=-2x-1，
∵点E(1，2)，
A：当E为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位
∴直线FG平移后的解析式为
此时经过原点，对应的EH经过整点(2，1)，符合题意
B：当E为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位
∴直线FG平移后的解析式为
此时原点在FG下方，对应的EH在整点(2，1)上方，不符合题意
C：当E为时，平移方式为向右平移个单位，
∴直线FG平移后的解析式为
此时点E在正方形内部，不符合题意，
D.当E为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，
∴直线FG平移后的解析式为
此时点E在正方形内部，不符合颗题意
故答案为：A
【分析】设直线FG的解析式为y= kx+b，根据待定系数法将点(-1，1)，(0，-1)代入解析式可得直线FG的解析式为y=-2x-1，求出点E坐标，再根据函数图象的平移性质逐项进行判断即可求出答案.
二、填空题
11．（2025·苏州）过A，B两点画一次函数y=-x+2的图像，已知点A的坐标为（0，2），则点B的坐标可以为 .（填一个符合要求的点的坐标即可）
【答案】（1，1）（答案不唯一）
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵过两点画一次函数的图像，已知点的坐标为（0，2），
∴当时，有，
∴点的坐标可以为（1，1），
故答案为：（1，1）（答案不唯一）.
【分析】任取时的一个值，代入一次函数解析式中，即可求出点坐标.
12．（2025·天津市）将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是 （写出一个即可）．
【答案】2
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将直线向上平移个单位长度可得：y=3x-1+m
∵平移后的直线经过第三、第二、第一象限
∴-1+m>0，解得m>1
故答案为：2（答案不唯一，满足即可）
【分析】根据函数图象的平移规律可得平移后的直线为y=3x-1+m，再根据一次函数图象与系数的关系建立不等式，解不等式即可求出答案.
13．（2025·福建）弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的.胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力 F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即F=kx，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为mg，其中g为常数.如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米.在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 千克.
【答案】0.8
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解： 将F=0.5g，x=6.5-6=0.5代入F=kx，
得0.5g=0.5k，
解得k=g，
∴F与x的函数关系式为F=gx，
将x=6.8-6=0.8，F=mg代入F=gx，
得mg=0.8g，
解得m=0.8，
故答案为：0.8.
【分析】
利用待定系数法求出F与x的函数关系式，将x=6.8-6=0.8，F=mg代入求出m的值即可.
14．（2025·南充） 已知直线y=m（x+1）（m≠0）与直线y=n（x-2）（n≠0）的交点在y轴上，则 的值是 .
【答案】
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由题意，把y=m(x+1)代入y=n(x-2）得，
m(x+1)=n(x-2）
解得：x=，
∵两条直线的交点在y轴上，
∴=0，
∴n=-2m，
∴==-2+=.
故答案为：.
【分析】由题意，把y=m(x+1)代入y=n(x-2）可得关于x的方程，根据两条直线的交点在y轴上可得x=0，由此可将n用含m的代数式表示出来，然后把n代入所求代数式计算即可求解.
15．（2025·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B．四边形，，，，都是正方形，顶点。，，，，都在x轴上，顶点，，，，都在直线上，连接，，，，分别交，，，，于点，，，，．设，，，，…的面积分别为，，，，，则 ．
【答案】
【知识点】正方形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；坐标系中的两点距离公式；探索规律-函数上点的规律；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：当x=0时，=3，
∴点B的坐标为（0，3）
∵点B1在直线y =-x +3上，
设点B1的坐标是(x1，-x1+3)，则点A1的坐标是(x1，0)，点C1的坐标是(0，-12x1+3)，
∵四边形OA1B1C1是正方形，
∴ OA1 = A1B1， OA1∥ C1B1，
∴x1=-x1+3，
解得： x1=2，
∴B1的坐标是(2，2)，
∴正方形OA1B1C1的边长为2，
∴0C1=0A1 = A1B1 =B1C1=2
∴BC1=BC -0C1=3-2=1，
∵OA1∥C1B1，
∴△BC1D1∽△BOA1，
∴，
∴
解得：C1D1=
∴BD1 =B1C1-C1D1=2-=
∴S△BB1D1=BD1×BC1=；
设点B2的坐标为(x2，+3)，
则点A2的坐标是(x2，0)，点C2的坐标是(2，)，
∴A1A2=x2-x1 =x2 -2，
∵四边形A1 A2B2C2是正方形，
∴A1 A2 = B2A2， A1 A2 ∥ C2B2 ∴x2-2=-，
解得： x2=
∴A1A2=x2-x1=-2=
∴B2的坐标是（)，
∴A1A2=A2B2= B2C2 = A1C2 =，
∴B1C2=2-=，
∵ A1A2∥ C2B2，
∴△B1 C2D2∽△B1 A1 A2 ，
，
解得：C2D2=，
∴B2D2 = B2C2 - C2D2 =
∴S△B1B2D2=×B1C2 =，
∵B1的坐标是(2，2)，B2的坐标是()，
∴B1B2=，
∵ B1的坐标是(2，2)，点B2的坐标是(0，3)，
∴BB1 =
∵C
又∵四边形OA1B1C1和A1 A2B2C2均为正方形，
∴B1C1∥ x轴，B2C2∥ x轴
∴B1C1∥B2C2，
∴∠BB1C1 = ∠B1B2C2，
∴△BB1D1∽△B1B2D2，且相似比为，
∴，
∴当S△BB1D1=时，
S△B2B2D2==
同理可证△B1 B2D2∽△B2B3D3，且相似比为，
则S△B2B3D3=，
......
∴ S2025 = S△B2024B2025 D2025 =（
故答案为：
【分析】首先求出直线与坐标轴的交点坐标，再根据正方形的性质找出各点坐标的规律，进而得到相关线段的长度关系，利用相似三角形的性质求出各个三角形的面积表达式，找出面积的规律从而求解。
三、解答题
16．（2025·上海市）某品牌储水机的容量是200升，当加水加满时，储水机会自动停止加水，已知加冷水量y（升）和时间x（分钟）的图象如图所示，加水过程中，水的温度t（摄氏度）和x（分钟）的关系：
（1）求y与x的函数关系式，并写出定义域；
（2）求储水机中的水加满时，储水机内水的温度．
【答案】（1）解：每分钟加水量为(160-80)÷2=40(升)，
则y=40x+80，
当40x+80=200时，解得x=3，
∴y与x的函数关系式及定义域为y=40x+80(0≤x≤3)．
（2）解：当时，，
∴储水机中的水加满时，储水机内水的温度为32摄氏度.
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出函数值为200时自变量的值，即可求出定义域；
(2)根据(1)所求可得加满水时，x的值，据此代值计算即可.
17．（2025·齐齐哈尔）2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合，为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，Al热情瞬间燃爆，校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个五动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区，机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
（1）A，C两区相距 米，a= .
（2）求线段EF所在直线的函数解析式；
（3）机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可）
【答案】（1）240；7.5
（2）解：由题意知乙机器人从C区到B区所用时间为（分）
设线段EF所在直线解析式为
将E(9，0)，F(15，90)代入得
解得
线段EF所在直线解析式为
（3）7分或11分或13分.
【知识点】解一元一次方程；待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题；分类讨论
【解析】【解答】
（1）解：由题意可得：A，C两区相距为150+90=240（米)，
由题意可知，a表示甲到达B区的时间，则a==7.5，
故答案为：240，7.5；
（3）机器人乙行进的时间为x分时，甲和乙都未到达B区，相距30米，
则150-20x+90-10x=30，
解得x=7，
即机器人乙行进的时间为7分时，机器人甲、乙相距30米；
机器人乙行进的时间为t分时，从B点返回，且甲仍在B区停留期间，相距30米，
则15t-135=30，
解得t=11，
即机器人乙行进的时间为11分时，机器人甲、乙相距30米；
机器人乙行进的时间为n分时，从B点返回途中，且甲离开B区向C区前进时，相距30米，
当12≤x≤15时，甲机器人距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系为
y=kx+b(k0)，把(12，0)，F(15，90)代入得到，
解得：
∴线段所在直线的函数解析式为：y=30x-360；
则(15n-135)-(30n-360)=30，
解得n=13，
即机器人乙行进的时间为13分时，机器人甲、乙相距30米；
综上可知，机器人乙行进的时间7分或11分或13分时，机器人甲、乙相距30米，
故答案为：7分或11分或13分.
【分析】
(1)观察图像A，C两区相距为150+90=240，利用时间等于路程除以速度即可解答；
（2）由题意得出，利用待定系数法求出线段EF所在直线解析式为，解答即可；
（3）分类讨论：机器人乙行进的时间为x分时，甲和乙都未到达B区，相距30米，列方程150-20x+90-10x=30，计算即可解答；机器人乙行进的时间为t分时，从B点返回，且甲仍在B区停留期间，相距30米，列方程15t-135=30，计算即可解答；当12≤x≤15时，利用待定系数法求解y=30x-360；建立方程(15n-135)-(30n-360)=30，计算即可解答.
18．（2025·绥化）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国制造”正引领世界湖流、某科技公司计划投入一笔资金用来购买A、B两种型号的芯片.已知购买1颗A型芯片和2颗B型芯片共需要750元，购买2颗A型芯片和3颗B型芯片共要1300元.
（1）求购买1颗A型芯片和1颗B型芯片各需要多少元.
（2）若该公司计划购买A、B两种型号的芯片共8000题，其中购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍.当购买A型芯片多少颗时、所需资金最少，最少资金是多少元.
（3）该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从M地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地N，两车到达N地后均停止行驶.如图，yp（km）、yz（km）分别是甲、乙两车离M地的距离与甲车行驶的时间x（h）之间的函数关系，请根据图象信息解答下列问题：
①甲车的速度是 km/h.
②当甲、乙两车相距30km时，直接写出x的值 .
【答案】（1）解：设购买1颗A型芯片和1颗B型芯片分别需要a元和b元，由题意得
解得
答：购买1颗A型芯片和1颗B型芯片分别需要350元和200元.
（2）解：设购买B型芯片m颗、则购买A型芯片(8000-m)颗，所需资金为w元
由意得：w=350(8000-m)+200m=-150m+2800000
∵k=-150<0
∴w随m的增大而减小
∵购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍，
∴8000-m≥3m解得m≤2000
∴m取正整数
∴当m=2000时，w取最小值，w最少=-150×2000+2800000=2500000(元)
此时8000-m=6000
答：当该公司购买型芯片6000颗，所需资金最少，最少资金是2500000元.
（3）80；1.5或4.5或6.5
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】
解：（3）①设y乙的解析式为y=kx+b .
将点(0，60)，(7，480)代入y=kx+b 中，
得解得
∴解析式为y= 60x +60，
当x=3时，y= 60x+ 60= 60x3+ 60= 240
∴甲车的速度为240 +3 = 80km/h；
②y甲的解析式为y= kx ，
将点(3，240)代入y=kx得240=3k，解得k=80
∴y甲的解析式为y = 80x
当函数y乙的图象在函数y甲的上方时：
可列方程60x+ 60- 80x = 30解得x=1.5
当函数y乙的图象在函数y甲的下方时：
可列方程80x- 60x- 60= 30 解得x=4.5
当甲车到达N地，乙离目的地30km时，
可列方程60x+ 60 = 480-30 解得x=6.5
综上所述，x的值为： 1.5或4.5或6.5.
故答案为：80；1.5或4.5或6.5
【分析】（1）设购买1颗A型芯片和1颗B型芯片分别需要a元和b元，根据题意列出方程，计算即可解答；
（2）设购买B型芯片m颗、则购买A型芯片(8000-m)颗，所需资金为w元，根据题意列出函数关系式w=-150m+2800000，结合由已知条件购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍，得到m的取值范围m≤2000，再利用一次函数的性质w随m的增大而减小，当m=2000时，w取最小值，计算即可解答；
（3）设y乙的解析式为y=kx+b 将点(0，60)，(7，480)代入y=kx+b 中，计算可得函数解析式为y= 60x +60，即可求得甲的路程，再利用路程公式计算即可解答；利用待定系数法求得y甲的解析式为y = 80x
再根据函数图象，分情况讨论，计算即可解答.
19．（2025·北京市） 在平面直角坐标系xOy中，函数y= kx+b(k≠0) 的图象经过点(1，3) 和(2，5).
（1）求k，b的值；
（2） 当x＜1时，对于x的每一个值，函数y= mx(m≠0)的值既小于函数y= kx+b的值，也小于函数y=x+k的值，直接写出m的取值范围.
【答案】（1）解：∵在平面直角坐标系xOy中，函数y= kx+b(k≠0)的图象经过点(1，3)和(2，5)，
解得
（2）2≤m≤3
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：（2）解：由(1) 可得函数y= kx+b(k≠0)的解析式为y=2x+1， 函数y=x+k的解析式为y=x+2，
当 mx＜2x+1时， 则(m-2)x＜1，
当 mx＜x+2时， 则(m-1)x＜2，
∵当x＜1时， 对于x的每一个值，函数y= mx(m≠0)的值既小于函数y= kx+b的值， 也小于函数y=x+k的值，
∴m-2≥0， 且m-1≥0，
∴m≥2，
当m=2， x＜1时， 2x＜2x+1和x＜2恒成立， 故m=2符合题意；
当m＞2时， 则 且
当 时， 则
解不等式 得m≤3， 解不等式m≤3，
∴2＜m≤3；
当 时， 则
解不等式 得m＞3， 解不等式 得m≤3，此时不符合题意；
综上所述， 2≤m≤3.
【分析】（1）根据待定系数法将点(1，3)和(2，5)代入函数解析式即可求出答案.
（2）由(1) 可得函数y= kx+b(k≠0)的解析式为y=2x+1， 函数y=x+k的解析式为y=x+2，当 mx＜2x+1时， 则(m-2)x＜1，当 mx＜x+2时， 则(m-1)x＜2，当x＜1时，根据题意建立不等式，解不等式可得m≥2，当m=2， x＜1时， 2x＜2x+1和x＜2恒成立， 故m=2符合题意，当m＞2时， 则 且 当 时， 则 解不等式可得2＜m≤3，当 时， 则 解不等式即可求出答案.
20．（2025·黑龙江） 2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相。第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生。已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元。
（1）购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？
（2）若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？
（3）设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
【答案】（1）解：设购买一个“蜀宝”需要x元，购买一个“锦仔”需要y元，由题意得：
解得：
答： 购买一个“蜀宝”需要88元，购买一个“锦仔”68元
（2）解：设购买“蜀宝” a个， 则购买“锦仔”(30-a) 个.由题意得：
1880+688(30-2)≥22000
解得： 6≤a≤8
∵a和(30-a)均为正整数
∴a=6，7，8
30-a=24，23，22
共有3种购买方案：
方案一：购买“蜀宝”6个，购买“锦仔”24个；
方案二：购买“蜀宝”7个，购买“锦仔”23个；
方案三：购买“蜀宝”8个，购买“锦仔”22个.
（3）解：由题意可得：
W=88a+68(30-a)=20a+2040∵k=20＞0
∴W随a的增大而增大∴当a=6时， 元
答：学校购买“蜀宝”6个，购买“锦仔”24个，投入资金最少，最少资金是2160元.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设购买一个“蜀宝”需要x元，购买一个“锦仔”需要y元，根据购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元，可得方程组，解方程组求得方程组的解，即可得出答案；
（2）设购买“蜀宝” a个， 则购买“锦仔”(30-a) 个，根据 投入资金不少于2160元又不多于2200元， 可得出不等式1880+688(30-2)≥22000，解不等式求得不等式的解集，进一步即可得出不等式的整数解，即可得出购买方案；
（3） 设学校投入资金W元，购买“蜀宝” a个， 则购买“锦仔”(30-a) 个，由（1）可知购买一个“蜀宝”需要88元，购买一个“锦仔”68元，可得出W=88a+68(30-a)=20a+2040，然后根据一次函数的增减性，结合（2）的方案，即可得出当a取最小值6时， 需要的资金最少 ，并可进一步求出最小值。
21．（2025·连云港）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等
（1）现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个？
（2）如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片？
【答案】（1）解：设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个.
根据题意，得解这个方程组，得
答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个.解答
（2）解：设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片.
则w=2m+(100-m)=100+m.
由k=1>0，知w随m的增大而增大，所以当m最小时，w有最小值
根据题意，得m≥(100-m)，解得m≥，其中最小整数解为34.
即当m=34时，w=100+34=134.
答：至少需要134张正方形硬纸片
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个，观察甲乙两种无盖长方体，可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值即可.
（2）设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸，根据题意可得到W关于m的函数解析式，同时求出m的取值范围，利用一次函数的性质，可求出结果.
22．（2025·陕西） 研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积与气体温度成一次函数关系．某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如下表：
气体温度 … 25 30 35 …
气体体积 … 596 606 616 …
（1）求与的函数关系式；
（2）为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到时停止加热．求停止加热时的气体温度．
【答案】（1）解：设与的函数关系式为，
则，解得，
故与的函数关系式为
（2）解：令，
则，解得：，
答：停止加热时的气体温度为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设与的函数关系式为，根据待定系数法将x=25，y=596，x=30，y=606代入解析式即可求出答案.
（2）将y=700代入解析式即可求出答案.
23．（2025·云南）请你根据下列素材，完成有关任务.
背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质.
素材一 购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等；
素材二 购买2个篮球和5个排球共需800元；
素材三 该校计划购买篮球和排球共60个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍.
请完成下列任务：
任务一 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元
任务二 给出最节省费用的购买方案.
【答案】解：任务一： 设每个篮球x元，每个排球y元
根据题意得
解得：
答：每个篮球150元，每个排球100元.
任务二： 设购买篮球m个，则购买排球(60-m)个，总费用为w元
根据题意得：
∴w随m的增大而增大，
又∵60-m≤2m，
解得：m≥20，
∴当m=20时，w取得最小值，此时60-m=60-20=40(个)
∴最节省的购买方案为篮球20个，排球40个，总费用为7000元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(任务一)设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元，根据“购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等，购买2个篮球和5个排球共需800元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(任务二)设购买m个篮球，该校购买篮球和排球共花费w元，则购买(60-m)个排球，利用总价=单价×数量，可找出w关于m的函数关系式，由购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题.
24．（2025·吉林）【知识链接】
实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关
实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A、B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计）
实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大．
总结公式：当小铝块位于液面上方时，F拉力＝G重力；当小铝块浸入液面后，F拉力＝G重力﹣F浮力．
【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数F拉力（N）与小铝块各自下降的高度x（cm）之间的关系如图②所示．
【解决问题】
（1）当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数．
（2）当6≤x≤10时，求弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式．
（3）当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为m（N），若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为m（N），则乙液体中小铝块浸入的深度为n（cm），直接写出m，n的值．
【答案】（1）解：当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为2.8N，弹簧测力计B的示数为2.5N．
（2）解：当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将坐标（6，4）和（10，2.8）分别代入F拉力＝kx+b，
得，
解得，
∴当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝﹣0.3x+5.8（6≤x≤10）．
（3）m＝0.6，n＝1.6．
解：（3）根据图象，圆柱体小铝块所受重力为4N，当x＝8时，F拉力＝﹣0.3×8+5.8＝3.4，
4﹣3.4＝0.6（N），
∴m＝0.6，
当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0），
将坐标（6，4）和（10，2.5）分别代入为F拉力＝k1x+b1，
得，
解得，
∴当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝﹣0.375x+6.25（6≤x≤10），
当﹣0.375x+6.25＝3.4时，
解得x＝7.6，
7.6﹣6＝1.6（cm），
∴n＝1.6．
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据图象所给数据可得结论；
（2）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）把x=8代入求出拉力，然后求出弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式，然后代入F拉力=3.4，求出铝块下降的高度，然后减去铝块的高度解答即可.
25．（2025·长春）某校综合实践活动中，数学活动小组要研究九年级男生臂展（两臂左右平伸时两手中指指尖之间的距离）与身高的关系．小组成员在本校九年级男生中随机抽取20名男生，测量他们的臂展与身高，并对得到的数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分的信息：
a.20名男生的臂展与身高数据如下表：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高 166 169 169 171 172 173 173 173 174 174
臂展 161 162 164 166 164 165 167 169 169 170
编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
身高 175 176 177 177 178 179 180 180 181 183
臂展 169 167 173 172 173 170 177 174 176 185
b.20名男生臂展与身高数据的平均数、中位数、众数如下表：
平均数 中位数 众数
身高 175 m 173
臂展 170 169
c.20名男生臂展的频数分布直方图如图①：（将臂展数据分成5组：，）
d.20名男生臂展与身高的散点图如图②，活动小组发现图中大部分点落在一条直线附近的狭长带形区域内．他们利用计算机和简单统计软件得到了描述臂展与身高之间关联关系的直线．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中、的值： ， ；
（2）该校九年级有男生240人，估计其中臂展大于或等于的男生人数；
（3）图②中直线近似的函数关系式为，根据直线反映的趋势，估计身高为男生的臂展长度．
【答案】（1）；
（2）解：该校九年级有男生240人，估计臂展大于或等于170cm的男生人数为：
（人）；
（3）解：∵，
当时，，
∴身高为男生的臂展长度约为.
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；一次函数的其他应用；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由表格信息可得：；
；
故答案为：，；
【分析】(1)根据中位数与众数的含义可得答案；
(2)由表格信息可得臂展大于或等于170cm的男生人数的占比为 再乘以总人数即可；
(3) 把 代入 即可得到答案.
26．（2025·兰州）在平面直角坐标系xOy中，对于图W上或内部有一点N（不与原点O重合），及平面内一点P，给出如下定义：若点P关于直线ON的对称点P'在图W上或内部，则称点P是图W的“映射点”．
（1）如图1，已知图W1：线段AB，A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1）．在P1（﹣1，0），P2（1，2）中， 是图W1的“映射点”；
（2）如图2，已知图W2：正方形ABCD，A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）．若直线l：y＝x+b上存在点P是图W2的“映射点”，求b的最大值；
（3）如图3，已知图W3：⊙T，圆心为T（0，t），半径为1．若x轴上存在点P是图W3的“映射点”，请直接写出t的取值范围．
【答案】（1）P1（﹣1，0）
（2）解：依题意，正方形的顶点到O的距离为，
∴当l：y＝x+b上存在点P是图W2的“映射点”，则点O到y＝x+b的距离为，
∴当y＝x+b经过点D时，b的值最大，
将D（﹣1，1）代入y＝x+b得，1＝﹣1+b，
解得b＝2，
∴b的最大值2；
（3）﹣2≤t≤2．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；角的运算；切线的性质；坐标系中的两点距离公式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】
解：（1）当A，N重合时，P关于ON(即OA)的对称点为(0，-1)，在线段AB上
∴P1(-1，0)是图W1的“映射点”：
而P2(1，2)关于ON的对称点不在AB上，则P2(1，2)不是图W的“映射点”；
故答案为： P1(-1，0).
（3）如图，ON，OP'分别为⊙T的切线，
当P为W3的“映射点”，
∴∠P'ON＝∠PON，
又∵∠P'ON＝∠TON＝90°﹣∠PON，
设∠PON＝α，则∠TON＝90°﹣α，
∴∠P'ON＝∠PON＝2∠TON＝180°﹣2α，
∴180°﹣2α＝α，
解得α＝60°，
∴∠PON＝60°，∠TON＝30°，
∵TN＝1，
∴OT＝2，
当t减小时，P关于W3的“映射点”，在W3即⊙T的内部，符合题意，
∴t≤2，
当t＜0时，根据对称性可得t≥﹣2，
综上所述，﹣2≤t≤2．
故答案为：﹣2≤t≤2．
【分析】(1)根据定义，观察 P1（﹣1，0），P2（1，2） ， 经过ON对称后，判断对称点是否在AB上，即可求解：
(2)根据正方形的顶点到O的距离为，则对称之前的点到原点的距离为，进而求得b的最大值，将D(-1，1)代入y=x+b得，1=-1+b，计算即可求解；
(3)根据新定义，找到临界值，ON，OP'分别为⊙T的切线情形，求得OT＝2，再根据当t减小时，P关于W3的“映射点”在W3即⊙T的内部，再根据对称性求得t的另一个范围，解答即可.
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