专题9 反比例函数-2025年精选中考数学真题分类汇编
一、选择题
1．（2025·广州）若，反比例函数的图象在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵
∴-k>0，即k<0
∴反比例函数的图象在第二、四象限
故答案为：C
【分析】根据绝对值的非负性可得k<0，再根据反比例函数的图象与系数的关系即可求出答案.
2．（2025·天津市）若点都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵在反比例函数中，k=-9<0
∴函数图象的两个分支分别在第二，四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大
∵在第二象限
∴
∵再第四象限，且1<3
∴
∴
故答案为：D
【分析】根据反比例函数的性质即可求出答案.
3．（2025·连云港）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为-1.当时，x的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵ 正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为-1
∴点B的横坐标为1，
∴ 当时，x的取值范围是或.
故答案为：C.
【分析】利用反比例函数的对称性及已知正比例函数图象经过原点，可得到点B 的横坐标，观察图象，可得到时，x的取值范围.
4．（2025·长春）在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（ ）
A．24 B．27 C．45 D．50
【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设功率P(单位：w)与做功的时间t(单位：s)的函数解析式为
把 代入解析式得：
解得：
∴功率P(单位：w)与做功的时间t(单位：s)的函数解析式为
∵反比例函数的图象在第一象限内，P随t的增大而减小，
∴当 时，
当 时，
故答案为：C.
【分析】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再求出当 和 时的函数值，根据反比例函数的性质即可得到答案.
5．（2025·贵州）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1．有以下结论：
①线段AB的长为8；②点的坐标为；③当时，一次函数的值小于反比例函数的值．
其中结论正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】①解：点横坐标为，代入得；点在上且横坐标为，则，所以，①正确；
②解：联立与（ ），得，，（ ），则，所以，②正确；
③解：由，结合函数图象，当时，的图象在上方，即一次函数值大于反比例函数值，③错误.
所以正确结论有个.
故答案为：C .
【分析】分别验证三个结论：①通过坐标计算长度；②联立方程求交点坐标；③根据函数图象位置判断时函数值大小.
6．（2025·绥化）如图，反比例函数经过A、B两点，过点A作轴于点B，过点C作轴于点D，连接OA、OC、AC.若，，则k的值是（ ）
A．-12 B．-9 C．-6 D．-3
【答案】D
【知识点】点的坐标；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的实际应用；几何图形的面积计算-割补法；反比例函数的两点两垂线型
【解析】【解答】解：如图，延长DC，BA 交于点E，
设CD=a(a>0)，
∵CD：OB=1：3，
∴OB=3a，
∵ AB⊥y轴，CD⊥x轴，
∴点A的纵坐标为3a，点C的纵坐标为a ，
∴
∴
∴
∵ 反比例函数经过A、C两点
∴
∵∠EDO=∠DOB=∠EBO= 90°，
∴四边形OBED是矩形，
∴BE =OD=，DE=OB = 3a，
∴AE=BE-AB= ，CE= DE -CD= 2a，
∴=
∴
∵
∴
∴
∴k=-3
故答案为：D.
【分析】如图，延长DC，BA 交于点E，设CD=a(a>0)， 则OB=3a，求出进而得到，即可证明四边形OBED是矩形，再求出AE=BE-AB= ，CE= DE -CD= 2a， 得到=，根据，建立方程，计算求解即可解答.
7．（2025·广西）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点A的坐标为，则第三级阶梯的高（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A在双曲线上
∴
∴双曲线
∵“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且满足
∴点E的横坐标为4-1-1=2，点点的横坐标为2-1=1
所有点E的纵坐标为，点G的纵坐标为
∴EF=6-3=3
故答案为： B
【分析】根据待定系数法将点A坐标代入双曲线可得双曲线，再根据题意可得点E的横坐标为4-1-1=2，点G的横坐标为2-1=1，再分别代入双曲线可得点E，G的纵坐标，再根据两点间距离即可求出答案.
8．（2025·河南）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（ ）
A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9
B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小
C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于
D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、观察图象知，当速度为0时，轮胎的摩擦系数为0.9，正确；
B、 当时，摩擦系数是车速的反比例函数，随的增大而减小，正确；
C、由于随的增大而减小，则当时，，错误；
D、观察图象知，当时，，当时，，即，正确；
故答案为：C.
【分析】观察图象知，当时，摩擦系数，而当时，摩擦系数可近视地看作是车速的反比例函数，由于图象在第一象限，即反比例系数为正，则随的增大而减小，当车速超过时，则摩擦系数，最后由反比例函数图象上点的坐标特征知当车速从增大到时， 摩擦系数从0.75减小到0.71，即减小了0.04.
9．（2025·宜宾）如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点．连结．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】
解：如图所示，过点A作AD⊥x轴交于点D，过点B作BE⊥x轴交于点E，
∵反比例函数与直线交于点，
∴
解得x=
∴OD=.
∵AD⊥x，BE⊥x，
∴AD//BE，
∴
∵AB=3AC，
∴3=，即DE=3，
∴OE=2+3 =4，
∴将x=4代入y=-=，
∴BE=，
∴OB=
故答案为：D.
【分析】过点A作AD⊥x轴交于点D，过点B作BE⊥x轴交于点E，首先联立求解x得到 OD=. 然后由AD// BE得到，求出DE= 3，再代入y=-中，求出BE=，然后利用勾股定理求解即可解答.
10．（2025·烟台）如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：设点C(x，y)
四边形OABC是菱形
都在反比例函数的图象上
化简得：
菱形OABC中OC=OA=3
故答案为：D.
【分析】先设出点C坐标为C(x，y)，再利用菱形的性质结合中点坐标公式可得，再由双曲线上点的坐标特征得，从而求出；由于菱形的各边都相等，再由两点距离公式可得，即.
11．（2025·山东）如图，在平面直角坐标系中，，两点在坐标轴上，四边形是面积为的正方形．若函数的图象经过点，则满足的的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：反比例函数图象的一个分支在第一象限，
当时，随的增大而减小
当时，
时，
故答案为：A.
【分析】由反比例函数的几何意义结合图象的大体位置知，则在每一个分支内，随的增大而减小，则当时，.
12．（2025·北京市）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是矩形，函数 的图象与边AC交于点M，与边BC交于点 N(M，N不重合).给出下面四个结论：
①△COM 与△CON 的面积一定相等；
②△MON 与△MCN的面积可能相等；
③△MON一定是锐角三角形；
④△MON可能是等边三角形.
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；角的运算；三角形的面积；矩形的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：设点M坐标为，点N坐标为，则A(a，0)，B，C
∴
∴
∴，①正确
，即a=b
当a=b时，M，N重合，与题意不符，②错误
∵四边形OACB为矩形，∠AOB=90°，∠AOM是OM与x轴夹角，∠BON是ON与y轴夹角，M，N在第一象限
∴∠AOM，∠BON均为锐角
∵∠MON=90°-∠AOM-∠BON
∴∠MON<90°，∠MON是锐角
过点O作OH⊥MN于点H
由是一个固定形式的正数
∵
∵
∴OH>0
在△OMH和△ONH中，∠OMH，∠ONH是直角三角形是的锐角
∴∠OMH<90°，∠ONH<90°，即∠OMN<90°，∠ONM<90°
∴△MON的三个角都是锐角
∴△MON一定是锐角三角形，③正确
假设△MON是等边三角形，则OM=ON=MN，且∠MON=60°
若OM=ON。则OM2=ON2
即
整理得：
∴
∵a≠b(M，N不重合)
∴，解得：ab=1
此时OM=ON，但结合条件∠MON=60°
由于ab=1时，∠AOM+∠BON=90°-60°=30°，但通过反比例函数和矩形的动态性，无法同时满足角度和边长的严格等边要求
∴△MON不可能是等边三角形，④错误
故答案为： B
【分析】设点M坐标为，点N坐标为，则A(a，0)，B，C，根据两点间距离可得，再跟据三角形可判断①，②；由四边形OACB为矩形，∠AOB=90°，∠AOM是OM与x轴夹角，∠BON是ON与y轴夹角，M，N在第一象限可得∠AOM，∠BON均为锐角，根据角之间的关系可得∠MON<90°，∠MON是锐角，过点O作OH⊥MN于点H，根据三角形面积可得OH>0，在△OMH和△ONH中，∠OMH，∠ONH是直角三角形是的锐角，再根据角之间的关系可判断③；假设△MON是等边三角形，则OM=ON=MN，且∠MON=60°，若OM=ON，则OM2=ON2，化简可得，解得：ab=1，此时OM=ON，但结合条件∠MON=60°，由于ab=1时，∠AOM+∠BON=90°-60°=30°，但通过反比例函数和矩形的动态性，无法同时满足角度和边长的严格等边要求
∴△MON不可能是等边三角形，可判断④.
二、填空题
13．（2025·青岛）如图，正八边形的顶点，，，在坐标轴上，顶点，，，在第一象限．点在反比例函数的图象上，若，则的值为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；等腰直角三角形；线段的和、差、倍、分的简单计算；多边形的内角和公式
【解析】【解答】
解：过点F作FM⊥y轴交y轴于点M，如图，
正八边形ABCDEFGH的内角和为(8-2)x 360° = 1080°，
∴每个内角为
∴∠OAH=∠OHA=45° ，
则AOH为等腰直角三角形，
又∵正八边形的边长为，
∴OA2 +OH2=AH2，即2OH2=2，
可得OH=1，
同理可得GMF为等腰直角三角形，
即MG=MF=1，
∴可得OM =OH+ HG+GM=1++1=2+.
∴点F(1，2+)，
又点F在反比例函数y=-(x>0)的图象上，
∴2+=，解得k=2+；
故答案为：2+.
【分析】先根据正八边形的内角和可求解每个内角度数，可得AOH为等腰直角三角形，根据正八边形的边长可求解OH的长度，同理可求MG与MF的长度，即可得到点F的坐标，再代入反比例函数解析式即可解答.
14．（2025·齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x-1的图象与反比例函数
（k≠0）的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为（0，3），连接AC，BC，若AC=BC，则实数k的值为 .
【答案】-6
【知识点】因式分解法解一元二次方程；点的坐标；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：当y=0时，0=-x-1， 解得x=-1，
∴点B的坐标为(-1，0)，
∵点C坐标为(0，3)，
∴BC=
设点A坐标为(m， -m-1)，
∴AC2=(m-0)2+(-m-1-3)2 =2m2 + 8m+16
∵AC2= BC2，
∴2m2 + 8m+16=10，
解得m=-3，m=-1 (不合题意，舍去)
∴m=-3，
∴点A坐标为(-3，2)，
∴2=
解得k=-6，
故答案为：-6.
【分析】先由一次函数的解析式求出点B的坐标为(-1，0)；再利用勾股定理求出BC，利用两点之间的距离公式求出AC2，再根据AC= BC列方程，解方程并进一步即可得到点A坐标为( -3.2)，利用待定系数法即可求出实数k的值，解答即可.
15．（2025·吉林）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数y的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的⊙A和⊙B．当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接AC，BD，则阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留π）
【答案】
【知识点】切线的性质；扇形面积的计算；反比例函数图象上点的坐标特征；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，
轴， 轴，
∵半径为1，
∴A点的纵坐标为1，
把 代入 求得
∴第一象限中阴影的面积
同理，第三象限中阴影的面积
故答案为：
【分析】根据题意可得 代入解析式求得点A的坐标，根据正切的定义求出求得 然后根据扇形的面积公式求得两个象限中扇形的面积解答即可.
16．（2025·新疆维吾尔自治区）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝k1x+b（k1≠0）与双曲线y（k2≠0）交于A（1，4），B（﹣4，n）两点，过点A作直线AC⊥AB交x轴于点C，连接BC，则△ABC的面积是 ．
【答案】20
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；勾股定理；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵ 直线y＝k1x+b（k1≠0）与双曲线y（k2≠0）交于A（1，4），B（﹣4，n）两点
∴1×4=-4n，解得：n=-1
∴B(-4，-1)
设C(c，0)
∴AB2=(1+4)2+(4+1)2=50，AC2=(c-1)2+42=(c-1)2+16，BC2=(c+4)2+12=(c+4)2+1
∵AC⊥AB
∴BC2=AB2+AC2，即(c+4)2+1=(c-1)2+16+50
解得：c=5
∴C(5，0)
∴，
∴
故答案为：20
【分析】将点A，B坐标代入反比例函数可得B(-4，-1)，设C(c，0)，根据两点间距离可得AB2=50，AC2=(c-1)2+16，BC2=(c+4)2+1，再根据勾股定理建立方程，解方程可得C(5，0)，即，，再根据三角形面积即可求出答案.
17．（2025·威海）如图，点A在反比例函数y的图象上，点B在反比例函数y的图象上，连接OA，OB，AB．若AO⊥BO，则tan∠BAO＝ ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：
如图，作 轴，垂足为G，作 轴，垂足为H，
∵点A在反比例函数 的图象上，点B在反比例函数 的图象上，
故答案为：
故答案为：.
【分析】如图，作 轴，垂足为G，作 轴，垂足为H可得利用相似三角形的性质及反比例函数k值几何意义即可得到结果.
18．（2025·陕西） 如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为 ．
【答案】9
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点
∴A，B两点关于原点O对称
∴，解得：
∴A(3，3)
将点A(3，3)代入，得
解得：k=9
故答案为：9
【分析】根据题意可得A，B两点关于原点O对称，根据关于原点对称的点的坐标特征克的m，n的值，求出点A坐标，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
19．（2025·山东）取直线上一点，过点作轴的垂线，交于点；过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；关于坐标轴对称的点的坐标特征；探索数与式的规律；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A1（1，-1），由题意知A2（1，1），A3（-1，1），A4（-1，-1），A5（1，-1）
即每四个操作一个循环，
A2025（1，-1），
故答案为：.
【分析】先由直线和双曲线上点的坐标特征可先分别求出A2（1，1），A3（-1，1），A4（-1，-1），A5（1，-1），可发现每4个操作一个循环，即可得出规律，再利用2025除以4的余数即可得出结果.
三、解答题
20．（2025·广州）如图，曲线过点．
（1）求t的值；
（2）直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l；
（3）在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率．
【答案】（1）解：∵曲线过点．
∴
（2）解：由（1）得，
故，
∵直线也经过点P，
∴把代入，得，
解得，
∴；
令，则，
∴l与y轴交点的坐标为；
直线l的函数图象，如图所示；
（3）解：依题意，在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）的格点共有个，分别是，
∵曲线，
则，
∴格点在曲线G上，即有两个格点在曲线G上，
即该格点在曲线G上的概率．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；概率公式；反比例函数图象上点的坐标特征；描点法画函数图象
【解析】【分析】（1）将点P坐标代入曲线解析式即可求出答案.
（2）根据待定系数法将点P坐标代入直线l解析式可得，根据y轴上点的坐标特征可得l与y轴交点的坐标为，再根据描点法作出图象即可.
（3）根据函数图象可得在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）的格点共有个，再将各点坐标代入直线解析式求出有两个格点在曲线G上，再根据概率公式即可求出答案.
21．（2025·兰州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数yx+b与反比例函数y（x＞0）的图象相交于点A（m，3），与x轴相交于点B（8，0），与y轴相交于点C．
（1）求一次函数yx+b与反比例函数y的表达式；
（2）点P为y轴负半轴上一点，连接AP．若△ACP的面积为6，求点P的坐标．
【答案】（1）解： ∵B（8，0）在一次函数yx+b图像上，
∴b＝0，解得b＝4，
∴一次函数解析式为y，
将点A（m，3）坐标代入解析式得：34，
解得m＝2，
∴A（2，3），
∴k＝2×3＝6，
∴反比例函数解析式为y；
（2）解：由一次函数解析式可知C（0，4），B（8，0），A（2，3），设点P（0，x），
∴PC＝4﹣x，
∴S△PAC6，
解得x＝﹣2，
∴P（0，﹣2）．
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】(1)把B（8，0）代入一次函数函数解析式可得b＝4，因而可求得一次函数的解析式，再把A（m，3）代入函数解析式中得到m＝2，即可利用待定系数法求得反比例函数解析式，由此即可解答；
（2）先根据一次函数的解析式分别求出A，B，C的坐标，设点P（0，x）表示出PC＝4﹣x，利用面积关系建立方程，计算即可解答.
22．（2025·白银）如图，一次函数的图象交x轴于点A，交反比例函数的图象交于点B（-1，a）.将一次函数的图象向下平移m（m>0）个单位长度，所得的图象交x轴于点C.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当的面积为3时，求m的值.
【答案】（1）解：将代入，得，
∴，
将点坐标代入，得，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：如图，过点作轴于，
∵一次函数的图象交轴于点，
∴，
∵，
∴，
又∵的面积为3，
∴，
∴，
∵将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交轴于点，
∴平移后的一次函数表达式为，
∴，
∴，
∴.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）将点坐标代入一次函数表达式中求出的值，从而得，进而利用待定系数法求出反比例函数的表达式；
（2）过点作轴于，先求出，由点坐标得，然后利用三角形面积公式得，根据一次函数的平移变换规律得平移后的一次函数表达式，从而得，进而即可求出的值.
23．（2025·河南）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中，其中含角的三角板OAB的直角边OA落在轴上，含角的三角板OAC的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）将三角板OAB绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标．
【答案】（1）解：∵反比例函数 的图象经过点C(2，2)
∴k=4
∴这个反比例函数的表达式为
（2）解：如图，过点C作轴、轴，垂足分别为M、N，设点A、D绕点O顺时针旋转90°到点A`、D`.
由旋转的性质知，
，即
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；反比例函数图象上点的坐标特征；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用待定系数法直接求解即可；
（2）如图所示，由于点，则过点C分别作轴的垂线段CM和CN，则CM=CN=2，由于是等腰直角三角形，则CN是斜边OA上的中线，即OA=4，则由旋转的性质知，OA`=OA=4，即点D`的横坐标为4，此时利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出D`的纵坐标为1，即A`D`=1，再由旋转的性质知AD=A`D`=1，由于点D在第二象限，则.
24．（2025·眉山）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接AD．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式：
（2）点P在x轴的负半轴上，且与相似，求点P的坐标．
【答案】（1）解：把A(1，4)代入得k=1×4=4，
∴反比例函数解析式为，
把B(4，m)代入得m=1，
∴点B的坐标为(4，1)，
把(1，4)和(4，1)代入y=ax+b得：
，解得，
∴一次函数的解析式为
（2）解：令y=0，则-x+5=0，解得x=5，
∴点C的坐标为(5，0)，即OC=5，
∵点A的坐标为(1，4)，且 点D与点A关于点O对称，
∴，
当△AOC∽△POD时，
则，即，
解得OP=，
∴点P的坐标为；
当△AOC∽△DOP时，
则，即，
解得OP=5，
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式即可；
（2）求出点C的坐标，即可得到OC=5，然后根据勾股定理求出OA=OD的长，再分为△AOC∽△POD或△AOC∽△DOP两种情况，利用对应边成比例解答即可.
25．（2025·内江） 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集；
（3）过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积．
【答案】（1）解：∵反比例函数 的图象过点B(-6，1)，
∴k1=-6×1=-6，
故反比例函数的表达式为；
把点A(a，6)代入反比例函数得，
解得a=-1，
∴点A的坐标为(-1，6)，
∵一次函数y=k2x+b的图象经过A(-1，6)、B(-6，1)两点，
∴
解得
故一次函数的表达式为y=x+7；
（2）解： 关于x的不等式的解集 -6≤x≤-1；
（3）解：∵点C横坐标为-4，代入y=x+7，
得：y=-4+7=3，
∴C(-4，3)，
把y=3代入，代入，得x=-2，
∴D(-2，3)，
如图，过点B，D分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，
∵B(-6，1)，D(-2，3)，
∴DE=3，BF=1，EF=-2-(-6)=4，
∵S△BOD+S△BFO=S梯形BFED+S△DEO，S△BFO=S△DEO=3
∴S△BOD=S梯形BFED=(DE+BF)EF=×(3+1)×4=8
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解（2）∵
∴
由图象可得，当时，-6≤x≤-1，
∴关于x的不等式的解集为-6≤x≤-1；
【分析】（1）把点B(-6，1)代入比例函数可算出k1的值，从而得到反比例函数的解析式；把点A(a，6)代入所求的反比例函数解析式算出a=-1，可得A的坐标为(-1，6)，然后利用待定系数法求出一次函数的解析式；
（2）关于x的不等式的解集，从图象角度看，就是求一次函数y=k2x+b的图象在反比例函数的图象上方部分及交点相应的自变量的取值范围，据此结合交点坐标求解即可；
（3）将x=-4代入一次函数y=x+7的解析式算出对应的函数值，可得点C(-4，3)，根据点的坐标与图形的性质，点D的纵坐标也为3，故将y=3代入反比例函数解析式算出对应的x的值，可得D(-2，3)；过点B，D分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，由反比例函数k的几何意义得S△BFO=S△DEO=3，利用割补法得S△BOD+S△BFO=S梯形BFED+S△DEO，则S△BOD=S梯形BFED，进而利用梯形面积计算公式列式计算可得答案.
26．（2025·贵州）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表：
点与点的距离 1 2 3
拉力的大小 300 200 150 120
（1）表格中的值是 ；
（2）小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；
（3）根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由．
【答案】（1）100
（2）解：与之间的函数图象，如图所示：
（3）解：当的长增大时，拉力减小，理由如下：
由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当的长增大时，拉力减小．
【知识点】列反比例函数关系式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】（1）解：根据表格中的数据发现：
，
因此点与点的距离与拉力F的乘积不变，
∴.
故答案为：100.
【分析】（1）利用杠杆平衡原理（动力×动力臂 = 阻力×阻力臂 ），确定与的反比例关系，代入求.
（2）按表格数据描点，用平滑曲线连接（因是反比例函数，图象为双曲线一支 ）.
（3）依据反比例函数的性质（第一象限内随增大而减小 ），判断拉力变化.
27．（2025·重庆市）如图，点为矩形的对角线AC的中点，，，，是上的点（，均不与，重合），且，连接，．用表示线段的长度，点与点的距离为．矩形的面积为，的面积为，的面积为，．
（1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围：
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．
【答案】（1），
（2）解：作图如下：
性质：当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而增大（不唯一）；
当时，随的增大而减小；
（3）（或或或或）
【知识点】分段函数；反比例函数的图象；反比例函数与一次函数的交点问题；矩形的性质；描点法画函数图象
【解析】【解答】（1）解：∵为矩形的对角线AC的中点，，，
∴，，
∴，
当时，，如图，
∴；
当时，，如图，
∴；
∴；
如图，过点作于点，
∵，
∴，
∴的面积为，
同理可得的面积为，
又∵矩形的面积为，
∴，
∴；
（3）解：结合函数图象，可得时的取值范围为（或<或或或）.
【分析】（1）利用勾股定理求出AC=5，再分类讨论，结合图形，利用三角形和矩形的面积公式等计算求解即可；
（2）根据函数解析式画图，再根据函数图象写出性质求解即可；
（3）根据函数图象，结合题意作答求解即可.
（1）解：∵为矩形的对角线AC的中点，，，
∴，，
∴，
当时，，如图，
∴；
当时，，如图，
∴；
∴；
如图，过点作于点，
∵，
∴，
∴的面积为，
同理可得的面积为，
又∵矩形的面积为，
∴，
∴；
（2）解：作图如下：
性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大（不唯一）；当时，随的增大而减小；
（3）解：结合函数图象，可得时的取值范围为（或<或或或）．
28．（2025·成都）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象的一个交点为，与x轴的交点为．
（1）求k的值；
（2）直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若，求直线的函数表达式；
（3）P为x轴上一点，直线交反比例函数的图象于点E（异于A），连接，若的面积为2，求点E的坐标．
【答案】（1）解：∵直线与x轴的交点为，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为，
把代入得：
，解得：，
∴点，
把点代入得：；
（2）解：如图，连接，
由（1）得：反比例函数的解析式为，
∵直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点，
∴点C的坐标为，
∴，
设点D的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴点D的坐标为，
设直线的函数表达式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的函数表达式为
（3）解：设点E的坐标为，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴点P的坐标为，
∴，
∴，
∵的面积为2，
∴，
解得：或，
∴点E的坐标为或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式即可；
（2）连接，设点D的坐标为，根据勾股定理求出m值，即可得到点D的坐标，然后利用待定系数法求出直线AD的解析式即可；
（3）设点E的坐标为，求出直线AE的解析式，即可得到点P的坐标，利用△BEP的面积求出t值即可解题.
29．（2025·广东）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点.
（1）如图1， 点P是线段MN的中外比点， MP＞PN， MN=2， 求PN的长.
（2）如图2，用无刻度的直尺和圆规求作一点C把线段AB分为中外比. (保留作图痕迹，不写作法)
（3）如图3，动点B在第一象限内，反比例函数 的图象分别与矩形OABC的边AB，BC相交于点D， E，与对角线OB 相交于点F .当△ODE是等腰直角三角形时，探究点D，E，F 是否分别为AB，BC，OB的中外比点，并证明.
【答案】（1）解：
设 PN = X，则 MP = 2-X
故 (舍)
故
（2）解：如图所示：
（3）解：①当∠OED = 90°时， OE = DE， 设 E(1，k)
易证△OCE≌△EDB CE = BD，OC = BE
可知 D(k+1，k-1)，B(k+ 1，k)
又 D在 上，可知
此时在 BC 上，
故 E 是 BC 的中外分点
在 AB 上，
故此时 D 是 AB 的中外分点
在 OB 上，
联立
作
故 F 是 OB的中外分点
②当∠ODE = 90°时， OD = DE， 设E(1，k)
易证
∵D在 上，故
此时在 BC 上，
则
∴E 是 BC 的中外分点
在 AB 上，
则
故 D是 AB的中外分点
此时在OB 上， 可得 联立
得 作 FH ⊥ OA
而
故 F 是 OB的中外分点.
【知识点】反比例函数的概念；尺规作图-垂线；反比例函数-动态几何问题；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）用中外比定义建立方程，通过设元、解方程并结合线段长度实际意义（为正 ）取舍，得到PN长。
（2）作线段AB的垂线并截取等长线段，连接AD并在AB上截取等长线段，确定中外比点C。
（3）通过设点坐标，利用反比例函数、等腰直角三角形性质推导线段比例，最终验证是否符合中外比定义，实现对D、E、F是否为中外比点的探究 。
1 / 1专题9 反比例函数-2025年精选中考数学真题分类汇编
一、选择题
1．（2025·广州）若，反比例函数的图象在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
2．（2025·天津市）若点都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·连云港）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为-1.当时，x的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
4．（2025·长春）在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（ ）
A．24 B．27 C．45 D．50
5．（2025·贵州）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1．有以下结论：
①线段AB的长为8；②点的坐标为；③当时，一次函数的值小于反比例函数的值．
其中结论正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2025·绥化）如图，反比例函数经过A、B两点，过点A作轴于点B，过点C作轴于点D，连接OA、OC、AC.若，，则k的值是（ ）
A．-12 B．-9 C．-6 D．-3
7．（2025·广西）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点A的坐标为，则第三级阶梯的高（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·河南）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（ ）
A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9
B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小
C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于
D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04
9．（2025·宜宾）如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点．连结．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·烟台）如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
11．（2025·山东）如图，在平面直角坐标系中，，两点在坐标轴上，四边形是面积为的正方形．若函数的图象经过点，则满足的的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．（2025·北京市）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是矩形，函数 的图象与边AC交于点M，与边BC交于点 N(M，N不重合).给出下面四个结论：
①△COM 与△CON 的面积一定相等；
②△MON 与△MCN的面积可能相等；
③△MON一定是锐角三角形；
④△MON可能是等边三角形.
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题
13．（2025·青岛）如图，正八边形的顶点，，，在坐标轴上，顶点，，，在第一象限．点在反比例函数的图象上，若，则的值为 ．
14．（2025·齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x-1的图象与反比例函数
（k≠0）的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为（0，3），连接AC，BC，若AC=BC，则实数k的值为 .
15．（2025·吉林）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数y的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的⊙A和⊙B．当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接AC，BD，则阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留π）
16．（2025·新疆维吾尔自治区）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝k1x+b（k1≠0）与双曲线y（k2≠0）交于A（1，4），B（﹣4，n）两点，过点A作直线AC⊥AB交x轴于点C，连接BC，则△ABC的面积是 ．
17．（2025·威海）如图，点A在反比例函数y的图象上，点B在反比例函数y的图象上，连接OA，OB，AB．若AO⊥BO，则tan∠BAO＝ ．
18．（2025·陕西） 如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为 ．
19．（2025·山东）取直线上一点，过点作轴的垂线，交于点；过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是 ．
三、解答题
20．（2025·广州）如图，曲线过点．
（1）求t的值；
（2）直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l；
（3）在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率．
21．（2025·兰州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数yx+b与反比例函数y（x＞0）的图象相交于点A（m，3），与x轴相交于点B（8，0），与y轴相交于点C．
（1）求一次函数yx+b与反比例函数y的表达式；
（2）点P为y轴负半轴上一点，连接AP．若△ACP的面积为6，求点P的坐标．
22．（2025·白银）如图，一次函数的图象交x轴于点A，交反比例函数的图象交于点B（-1，a）.将一次函数的图象向下平移m（m>0）个单位长度，所得的图象交x轴于点C.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当的面积为3时，求m的值.
23．（2025·河南）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中，其中含角的三角板OAB的直角边OA落在轴上，含角的三角板OAC的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）将三角板OAB绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标．
24．（2025·眉山）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接AD．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式：
（2）点P在x轴的负半轴上，且与相似，求点P的坐标．
25．（2025·内江） 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集；
（3）过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积．
26．（2025·贵州）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表：
点与点的距离 1 2 3
拉力的大小 300 200 150 120
（1）表格中的值是 ；
（2）小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；
（3）根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由．
27．（2025·重庆市）如图，点为矩形的对角线AC的中点，，，，是上的点（，均不与，重合），且，连接，．用表示线段的长度，点与点的距离为．矩形的面积为，的面积为，的面积为，．
（1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围：
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．
28．（2025·成都）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象的一个交点为，与x轴的交点为．
（1）求k的值；
（2）直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若，求直线的函数表达式；
（3）P为x轴上一点，直线交反比例函数的图象于点E（异于A），连接，若的面积为2，求点E的坐标．
29．（2025·广东）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点.
（1）如图1， 点P是线段MN的中外比点， MP＞PN， MN=2， 求PN的长.
（2）如图2，用无刻度的直尺和圆规求作一点C把线段AB分为中外比. (保留作图痕迹，不写作法)
（3）如图3，动点B在第一象限内，反比例函数 的图象分别与矩形OABC的边AB，BC相交于点D， E，与对角线OB 相交于点F .当△ODE是等腰直角三角形时，探究点D，E，F 是否分别为AB，BC，OB的中外比点，并证明.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵
∴-k>0，即k<0
∴反比例函数的图象在第二、四象限
故答案为：C
【分析】根据绝对值的非负性可得k<0，再根据反比例函数的图象与系数的关系即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵在反比例函数中，k=-9<0
∴函数图象的两个分支分别在第二，四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大
∵在第二象限
∴
∵再第四象限，且1<3
∴
∴
故答案为：D
【分析】根据反比例函数的性质即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵ 正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为-1
∴点B的横坐标为1，
∴ 当时，x的取值范围是或.
故答案为：C.
【分析】利用反比例函数的对称性及已知正比例函数图象经过原点，可得到点B 的横坐标，观察图象，可得到时，x的取值范围.
4．【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设功率P(单位：w)与做功的时间t(单位：s)的函数解析式为
把 代入解析式得：
解得：
∴功率P(单位：w)与做功的时间t(单位：s)的函数解析式为
∵反比例函数的图象在第一象限内，P随t的增大而减小，
∴当 时，
当 时，
故答案为：C.
【分析】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再求出当 和 时的函数值，根据反比例函数的性质即可得到答案.
5．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】①解：点横坐标为，代入得；点在上且横坐标为，则，所以，①正确；
②解：联立与（ ），得，，（ ），则，所以，②正确；
③解：由，结合函数图象，当时，的图象在上方，即一次函数值大于反比例函数值，③错误.
所以正确结论有个.
故答案为：C .
【分析】分别验证三个结论：①通过坐标计算长度；②联立方程求交点坐标；③根据函数图象位置判断时函数值大小.
6．【答案】D
【知识点】点的坐标；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的实际应用；几何图形的面积计算-割补法；反比例函数的两点两垂线型
【解析】【解答】解：如图，延长DC，BA 交于点E，
设CD=a(a>0)，
∵CD：OB=1：3，
∴OB=3a，
∵ AB⊥y轴，CD⊥x轴，
∴点A的纵坐标为3a，点C的纵坐标为a ，
∴
∴
∴
∵ 反比例函数经过A、C两点
∴
∵∠EDO=∠DOB=∠EBO= 90°，
∴四边形OBED是矩形，
∴BE =OD=，DE=OB = 3a，
∴AE=BE-AB= ，CE= DE -CD= 2a，
∴=
∴
∵
∴
∴
∴k=-3
故答案为：D.
【分析】如图，延长DC，BA 交于点E，设CD=a(a>0)， 则OB=3a，求出进而得到，即可证明四边形OBED是矩形，再求出AE=BE-AB= ，CE= DE -CD= 2a， 得到=，根据，建立方程，计算求解即可解答.
7．【答案】B
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A在双曲线上
∴
∴双曲线
∵“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且满足
∴点E的横坐标为4-1-1=2，点点的横坐标为2-1=1
所有点E的纵坐标为，点G的纵坐标为
∴EF=6-3=3
故答案为： B
【分析】根据待定系数法将点A坐标代入双曲线可得双曲线，再根据题意可得点E的横坐标为4-1-1=2，点G的横坐标为2-1=1，再分别代入双曲线可得点E，G的纵坐标，再根据两点间距离即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、观察图象知，当速度为0时，轮胎的摩擦系数为0.9，正确；
B、 当时，摩擦系数是车速的反比例函数，随的增大而减小，正确；
C、由于随的增大而减小，则当时，，错误；
D、观察图象知，当时，，当时，，即，正确；
故答案为：C.
【分析】观察图象知，当时，摩擦系数，而当时，摩擦系数可近视地看作是车速的反比例函数，由于图象在第一象限，即反比例系数为正，则随的增大而减小，当车速超过时，则摩擦系数，最后由反比例函数图象上点的坐标特征知当车速从增大到时， 摩擦系数从0.75减小到0.71，即减小了0.04.
9．【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】
解：如图所示，过点A作AD⊥x轴交于点D，过点B作BE⊥x轴交于点E，
∵反比例函数与直线交于点，
∴
解得x=
∴OD=.
∵AD⊥x，BE⊥x，
∴AD//BE，
∴
∵AB=3AC，
∴3=，即DE=3，
∴OE=2+3 =4，
∴将x=4代入y=-=，
∴BE=，
∴OB=
故答案为：D.
【分析】过点A作AD⊥x轴交于点D，过点B作BE⊥x轴交于点E，首先联立求解x得到 OD=. 然后由AD// BE得到，求出DE= 3，再代入y=-中，求出BE=，然后利用勾股定理求解即可解答.
10．【答案】D
【知识点】菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：设点C(x，y)
四边形OABC是菱形
都在反比例函数的图象上
化简得：
菱形OABC中OC=OA=3
故答案为：D.
【分析】先设出点C坐标为C(x，y)，再利用菱形的性质结合中点坐标公式可得，再由双曲线上点的坐标特征得，从而求出；由于菱形的各边都相等，再由两点距离公式可得，即.
11．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：反比例函数图象的一个分支在第一象限，
当时，随的增大而减小
当时，
时，
故答案为：A.
【分析】由反比例函数的几何意义结合图象的大体位置知，则在每一个分支内，随的增大而减小，则当时，.
12．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；角的运算；三角形的面积；矩形的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：设点M坐标为，点N坐标为，则A(a，0)，B，C
∴
∴
∴，①正确
，即a=b
当a=b时，M，N重合，与题意不符，②错误
∵四边形OACB为矩形，∠AOB=90°，∠AOM是OM与x轴夹角，∠BON是ON与y轴夹角，M，N在第一象限
∴∠AOM，∠BON均为锐角
∵∠MON=90°-∠AOM-∠BON
∴∠MON<90°，∠MON是锐角
过点O作OH⊥MN于点H
由是一个固定形式的正数
∵
∵
∴OH>0
在△OMH和△ONH中，∠OMH，∠ONH是直角三角形是的锐角
∴∠OMH<90°，∠ONH<90°，即∠OMN<90°，∠ONM<90°
∴△MON的三个角都是锐角
∴△MON一定是锐角三角形，③正确
假设△MON是等边三角形，则OM=ON=MN，且∠MON=60°
若OM=ON。则OM2=ON2
即
整理得：
∴
∵a≠b(M，N不重合)
∴，解得：ab=1
此时OM=ON，但结合条件∠MON=60°
由于ab=1时，∠AOM+∠BON=90°-60°=30°，但通过反比例函数和矩形的动态性，无法同时满足角度和边长的严格等边要求
∴△MON不可能是等边三角形，④错误
故答案为： B
【分析】设点M坐标为，点N坐标为，则A(a，0)，B，C，根据两点间距离可得，再跟据三角形可判断①，②；由四边形OACB为矩形，∠AOB=90°，∠AOM是OM与x轴夹角，∠BON是ON与y轴夹角，M，N在第一象限可得∠AOM，∠BON均为锐角，根据角之间的关系可得∠MON<90°，∠MON是锐角，过点O作OH⊥MN于点H，根据三角形面积可得OH>0，在△OMH和△ONH中，∠OMH，∠ONH是直角三角形是的锐角，再根据角之间的关系可判断③；假设△MON是等边三角形，则OM=ON=MN，且∠MON=60°，若OM=ON，则OM2=ON2，化简可得，解得：ab=1，此时OM=ON，但结合条件∠MON=60°，由于ab=1时，∠AOM+∠BON=90°-60°=30°，但通过反比例函数和矩形的动态性，无法同时满足角度和边长的严格等边要求
∴△MON不可能是等边三角形，可判断④.
13．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；等腰直角三角形；线段的和、差、倍、分的简单计算；多边形的内角和公式
【解析】【解答】
解：过点F作FM⊥y轴交y轴于点M，如图，
正八边形ABCDEFGH的内角和为(8-2)x 360° = 1080°，
∴每个内角为
∴∠OAH=∠OHA=45° ，
则AOH为等腰直角三角形，
又∵正八边形的边长为，
∴OA2 +OH2=AH2，即2OH2=2，
可得OH=1，
同理可得GMF为等腰直角三角形，
即MG=MF=1，
∴可得OM =OH+ HG+GM=1++1=2+.
∴点F(1，2+)，
又点F在反比例函数y=-(x>0)的图象上，
∴2+=，解得k=2+；
故答案为：2+.
【分析】先根据正八边形的内角和可求解每个内角度数，可得AOH为等腰直角三角形，根据正八边形的边长可求解OH的长度，同理可求MG与MF的长度，即可得到点F的坐标，再代入反比例函数解析式即可解答.
14．【答案】-6
【知识点】因式分解法解一元二次方程；点的坐标；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：当y=0时，0=-x-1， 解得x=-1，
∴点B的坐标为(-1，0)，
∵点C坐标为(0，3)，
∴BC=
设点A坐标为(m， -m-1)，
∴AC2=(m-0)2+(-m-1-3)2 =2m2 + 8m+16
∵AC2= BC2，
∴2m2 + 8m+16=10，
解得m=-3，m=-1 (不合题意，舍去)
∴m=-3，
∴点A坐标为(-3，2)，
∴2=
解得k=-6，
故答案为：-6.
【分析】先由一次函数的解析式求出点B的坐标为(-1，0)；再利用勾股定理求出BC，利用两点之间的距离公式求出AC2，再根据AC= BC列方程，解方程并进一步即可得到点A坐标为( -3.2)，利用待定系数法即可求出实数k的值，解答即可.
15．【答案】
【知识点】切线的性质；扇形面积的计算；反比例函数图象上点的坐标特征；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，
轴， 轴，
∵半径为1，
∴A点的纵坐标为1，
把 代入 求得
∴第一象限中阴影的面积
同理，第三象限中阴影的面积
故答案为：
【分析】根据题意可得 代入解析式求得点A的坐标，根据正切的定义求出求得 然后根据扇形的面积公式求得两个象限中扇形的面积解答即可.
16．【答案】20
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；勾股定理；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵ 直线y＝k1x+b（k1≠0）与双曲线y（k2≠0）交于A（1，4），B（﹣4，n）两点
∴1×4=-4n，解得：n=-1
∴B(-4，-1)
设C(c，0)
∴AB2=(1+4)2+(4+1)2=50，AC2=(c-1)2+42=(c-1)2+16，BC2=(c+4)2+12=(c+4)2+1
∵AC⊥AB
∴BC2=AB2+AC2，即(c+4)2+1=(c-1)2+16+50
解得：c=5
∴C(5，0)
∴，
∴
故答案为：20
【分析】将点A，B坐标代入反比例函数可得B(-4，-1)，设C(c，0)，根据两点间距离可得AB2=50，AC2=(c-1)2+16，BC2=(c+4)2+1，再根据勾股定理建立方程，解方程可得C(5，0)，即，，再根据三角形面积即可求出答案.
17．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：
如图，作 轴，垂足为G，作 轴，垂足为H，
∵点A在反比例函数 的图象上，点B在反比例函数 的图象上，
故答案为：
故答案为：.
【分析】如图，作 轴，垂足为G，作 轴，垂足为H可得利用相似三角形的性质及反比例函数k值几何意义即可得到结果.
18．【答案】9
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点
∴A，B两点关于原点O对称
∴，解得：
∴A(3，3)
将点A(3，3)代入，得
解得：k=9
故答案为：9
【分析】根据题意可得A，B两点关于原点O对称，根据关于原点对称的点的坐标特征克的m，n的值，求出点A坐标，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
19．【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；关于坐标轴对称的点的坐标特征；探索数与式的规律；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A1（1，-1），由题意知A2（1，1），A3（-1，1），A4（-1，-1），A5（1，-1）
即每四个操作一个循环，
A2025（1，-1），
故答案为：.
【分析】先由直线和双曲线上点的坐标特征可先分别求出A2（1，1），A3（-1，1），A4（-1，-1），A5（1，-1），可发现每4个操作一个循环，即可得出规律，再利用2025除以4的余数即可得出结果.
20．【答案】（1）解：∵曲线过点．
∴
（2）解：由（1）得，
故，
∵直线也经过点P，
∴把代入，得，
解得，
∴；
令，则，
∴l与y轴交点的坐标为；
直线l的函数图象，如图所示；
（3）解：依题意，在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）的格点共有个，分别是，
∵曲线，
则，
∴格点在曲线G上，即有两个格点在曲线G上，
即该格点在曲线G上的概率．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；概率公式；反比例函数图象上点的坐标特征；描点法画函数图象
【解析】【分析】（1）将点P坐标代入曲线解析式即可求出答案.
（2）根据待定系数法将点P坐标代入直线l解析式可得，根据y轴上点的坐标特征可得l与y轴交点的坐标为，再根据描点法作出图象即可.
（3）根据函数图象可得在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）的格点共有个，再将各点坐标代入直线解析式求出有两个格点在曲线G上，再根据概率公式即可求出答案.
21．【答案】（1）解： ∵B（8，0）在一次函数yx+b图像上，
∴b＝0，解得b＝4，
∴一次函数解析式为y，
将点A（m，3）坐标代入解析式得：34，
解得m＝2，
∴A（2，3），
∴k＝2×3＝6，
∴反比例函数解析式为y；
（2）解：由一次函数解析式可知C（0，4），B（8，0），A（2，3），设点P（0，x），
∴PC＝4﹣x，
∴S△PAC6，
解得x＝﹣2，
∴P（0，﹣2）．
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】(1)把B（8，0）代入一次函数函数解析式可得b＝4，因而可求得一次函数的解析式，再把A（m，3）代入函数解析式中得到m＝2，即可利用待定系数法求得反比例函数解析式，由此即可解答；
（2）先根据一次函数的解析式分别求出A，B，C的坐标，设点P（0，x）表示出PC＝4﹣x，利用面积关系建立方程，计算即可解答.
22．【答案】（1）解：将代入，得，
∴，
将点坐标代入，得，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：如图，过点作轴于，
∵一次函数的图象交轴于点，
∴，
∵，
∴，
又∵的面积为3，
∴，
∴，
∵将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交轴于点，
∴平移后的一次函数表达式为，
∴，
∴，
∴.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）将点坐标代入一次函数表达式中求出的值，从而得，进而利用待定系数法求出反比例函数的表达式；
（2）过点作轴于，先求出，由点坐标得，然后利用三角形面积公式得，根据一次函数的平移变换规律得平移后的一次函数表达式，从而得，进而即可求出的值.
23．【答案】（1）解：∵反比例函数 的图象经过点C(2，2)
∴k=4
∴这个反比例函数的表达式为
（2）解：如图，过点C作轴、轴，垂足分别为M、N，设点A、D绕点O顺时针旋转90°到点A`、D`.
由旋转的性质知，
，即
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；反比例函数图象上点的坐标特征；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用待定系数法直接求解即可；
（2）如图所示，由于点，则过点C分别作轴的垂线段CM和CN，则CM=CN=2，由于是等腰直角三角形，则CN是斜边OA上的中线，即OA=4，则由旋转的性质知，OA`=OA=4，即点D`的横坐标为4，此时利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出D`的纵坐标为1，即A`D`=1，再由旋转的性质知AD=A`D`=1，由于点D在第二象限，则.
24．【答案】（1）解：把A(1，4)代入得k=1×4=4，
∴反比例函数解析式为，
把B(4，m)代入得m=1，
∴点B的坐标为(4，1)，
把(1，4)和(4，1)代入y=ax+b得：
，解得，
∴一次函数的解析式为
（2）解：令y=0，则-x+5=0，解得x=5，
∴点C的坐标为(5，0)，即OC=5，
∵点A的坐标为(1，4)，且 点D与点A关于点O对称，
∴，
当△AOC∽△POD时，
则，即，
解得OP=，
∴点P的坐标为；
当△AOC∽△DOP时，
则，即，
解得OP=5，
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式即可；
（2）求出点C的坐标，即可得到OC=5，然后根据勾股定理求出OA=OD的长，再分为△AOC∽△POD或△AOC∽△DOP两种情况，利用对应边成比例解答即可.
25．【答案】（1）解：∵反比例函数 的图象过点B(-6，1)，
∴k1=-6×1=-6，
故反比例函数的表达式为；
把点A(a，6)代入反比例函数得，
解得a=-1，
∴点A的坐标为(-1，6)，
∵一次函数y=k2x+b的图象经过A(-1，6)、B(-6，1)两点，
∴
解得
故一次函数的表达式为y=x+7；
（2）解： 关于x的不等式的解集 -6≤x≤-1；
（3）解：∵点C横坐标为-4，代入y=x+7，
得：y=-4+7=3，
∴C(-4，3)，
把y=3代入，代入，得x=-2，
∴D(-2，3)，
如图，过点B，D分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，
∵B(-6，1)，D(-2，3)，
∴DE=3，BF=1，EF=-2-(-6)=4，
∵S△BOD+S△BFO=S梯形BFED+S△DEO，S△BFO=S△DEO=3
∴S△BOD=S梯形BFED=(DE+BF)EF=×(3+1)×4=8
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解（2）∵
∴
由图象可得，当时，-6≤x≤-1，
∴关于x的不等式的解集为-6≤x≤-1；
【分析】（1）把点B(-6，1)代入比例函数可算出k1的值，从而得到反比例函数的解析式；把点A(a，6)代入所求的反比例函数解析式算出a=-1，可得A的坐标为(-1，6)，然后利用待定系数法求出一次函数的解析式；
（2）关于x的不等式的解集，从图象角度看，就是求一次函数y=k2x+b的图象在反比例函数的图象上方部分及交点相应的自变量的取值范围，据此结合交点坐标求解即可；
（3）将x=-4代入一次函数y=x+7的解析式算出对应的函数值，可得点C(-4，3)，根据点的坐标与图形的性质，点D的纵坐标也为3，故将y=3代入反比例函数解析式算出对应的x的值，可得D(-2，3)；过点B，D分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，由反比例函数k的几何意义得S△BFO=S△DEO=3，利用割补法得S△BOD+S△BFO=S梯形BFED+S△DEO，则S△BOD=S梯形BFED，进而利用梯形面积计算公式列式计算可得答案.
26．【答案】（1）100
（2）解：与之间的函数图象，如图所示：
（3）解：当的长增大时，拉力减小，理由如下：
由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当的长增大时，拉力减小．
【知识点】列反比例函数关系式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】（1）解：根据表格中的数据发现：
，
因此点与点的距离与拉力F的乘积不变，
∴.
故答案为：100.
【分析】（1）利用杠杆平衡原理（动力×动力臂 = 阻力×阻力臂 ），确定与的反比例关系，代入求.
（2）按表格数据描点，用平滑曲线连接（因是反比例函数，图象为双曲线一支 ）.
（3）依据反比例函数的性质（第一象限内随增大而减小 ），判断拉力变化.
27．【答案】（1），
（2）解：作图如下：
性质：当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而增大（不唯一）；
当时，随的增大而减小；
（3）（或或或或）
【知识点】分段函数；反比例函数的图象；反比例函数与一次函数的交点问题；矩形的性质；描点法画函数图象
【解析】【解答】（1）解：∵为矩形的对角线AC的中点，，，
∴，，
∴，
当时，，如图，
∴；
当时，，如图，
∴；
∴；
如图，过点作于点，
∵，
∴，
∴的面积为，
同理可得的面积为，
又∵矩形的面积为，
∴，
∴；
（3）解：结合函数图象，可得时的取值范围为（或<或或或）.
【分析】（1）利用勾股定理求出AC=5，再分类讨论，结合图形，利用三角形和矩形的面积公式等计算求解即可；
（2）根据函数解析式画图，再根据函数图象写出性质求解即可；
（3）根据函数图象，结合题意作答求解即可.
（1）解：∵为矩形的对角线AC的中点，，，
∴，，
∴，
当时，，如图，
∴；
当时，，如图，
∴；
∴；
如图，过点作于点，
∵，
∴，
∴的面积为，
同理可得的面积为，
又∵矩形的面积为，
∴，
∴；
（2）解：作图如下：
性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大（不唯一）；当时，随的增大而减小；
（3）解：结合函数图象，可得时的取值范围为（或<或或或）．
28．【答案】（1）解：∵直线与x轴的交点为，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为，
把代入得：
，解得：，
∴点，
把点代入得：；
（2）解：如图，连接，
由（1）得：反比例函数的解析式为，
∵直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点，
∴点C的坐标为，
∴，
设点D的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴点D的坐标为，
设直线的函数表达式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的函数表达式为
（3）解：设点E的坐标为，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴点P的坐标为，
∴，
∴，
∵的面积为2，
∴，
解得：或，
∴点E的坐标为或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式即可；
（2）连接，设点D的坐标为，根据勾股定理求出m值，即可得到点D的坐标，然后利用待定系数法求出直线AD的解析式即可；
（3）设点E的坐标为，求出直线AE的解析式，即可得到点P的坐标，利用△BEP的面积求出t值即可解题.
29．【答案】（1）解：
设 PN = X，则 MP = 2-X
故 (舍)
故
（2）解：如图所示：
（3）解：①当∠OED = 90°时， OE = DE， 设 E(1，k)
易证△OCE≌△EDB CE = BD，OC = BE
可知 D(k+1，k-1)，B(k+ 1，k)
又 D在 上，可知
此时在 BC 上，
故 E 是 BC 的中外分点
在 AB 上，
故此时 D 是 AB 的中外分点
在 OB 上，
联立
作
故 F 是 OB的中外分点
②当∠ODE = 90°时， OD = DE， 设E(1，k)
易证
∵D在 上，故
此时在 BC 上，
则
∴E 是 BC 的中外分点
在 AB 上，
则
故 D是 AB的中外分点
此时在OB 上， 可得 联立
得 作 FH ⊥ OA
而
故 F 是 OB的中外分点.
【知识点】反比例函数的概念；尺规作图-垂线；反比例函数-动态几何问题；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）用中外比定义建立方程，通过设元、解方程并结合线段长度实际意义（为正 ）取舍，得到PN长。
（2）作线段AB的垂线并截取等长线段，连接AD并在AB上截取等长线段，确定中外比点C。
（3）通过设点坐标，利用反比例函数、等腰直角三角形性质推导线段比例，最终验证是否符合中外比定义，实现对D、E、F是否为中外比点的探究 。
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