专题10 二次函数的图象与性质-2025年精选中考数学真题分类汇编

专题10 二次函数的图象与性质-2025年精选中考数学真题分类汇编
一、选择题
1．（2025·威海）已知点（﹣2，y1），（3，y2），（7，y3）都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1
2．（2025·广州）在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（　　）
A．当且时，则
B．当时，则
C．当且时，则
D．当时，则
3．（2025·青岛）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（　　）
A．图象与轴的交点坐标是
B．当时，函数取得最大值
C．图象与轴两个交点之间的距离为
D．当时，的值随值的增大而增大
4．（2025·广安） 如图，二次函数 (a，b，c 为常数，) .的图象交 x 轴于 A，B 两点，点 A 的坐标是 (-1，0)，点 B 的坐标是 (n，0)，有下列结论：①；②；③ 关于 x 的方程的解是，；④.其中正确的有（　　）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
5．（2025·绥化）如图，二次函数y=ax2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、B（-1，0），与y轴交于点C（0，m），其中-4<-3.则下列结论：
①②方程没有实数根③④.
其中错误的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2025·齐齐哈尔）如图，二次函数的图像与x轴交于两点，，且.下列结论：
①；②；③；④若m和n是关于x的一元二次方程）的两根，且，则，；⑤关于x的不等式）的解集为.其中正确结论的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2025·浙江）如图 1，是直线上一点，为平面上一点，是上的一个动点，连结，设，关于的函数图象如图 2 所示，则下列选项中正确的是（　　）
A． B． C． D．过
8．（2025·烟台）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于（-2，0）和（-1，0）之间，顶点的坐标为.下列结论：①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，且是等边三角形，则.其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．①③④
9．（2025·德阳）已知抛物线(a，b，c是常数，a>0)过点(1，0)，(m，0)，且2＜m＜3，该抛物线与直线y=kx+c(k，c是常数，k≠0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点(点A在点B左侧).下列说法：①bc＜0；②3a+b>0；③点A'是点A关于直线.的对称点，则3＜AA'＜4；④当时，不等式的解集为0＜x＜4.其中正确的结论个数是 （　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2025·遂宁）如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴交点坐标是且．有下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若点在抛物线上，
且，当时，则的取值范围为．
其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
11．（2025·广东）已知二次函数 的图象经过点(c，0)，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是　 　.(写出一个即可)
12．（2025·广州）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为　 　．
13．（2025·武汉）已知二次函数y= ax2+(a-2)x-2(a为常数，且a≠0).下列五个结论：
①该函数图象经过点(-1，0)；
②若a=-1，则当x＞-1时，y随x的增大而减小；
③该函数图象与x轴有两个不同的公共点；
④若a＞2，则关于x的方程.ax2+(a-2)x-2=0有一个根大于0且小于1；
⑤若a＞2，则关于x的方程 | ax2+(a-2)x-2|=2的正数根只有一个.
其中正确的是　 　(填写序号).
三、解答题
14．（2025·云南）已知a是常数，函数记
（1）若，求y的值；
（2）若.，比较T与3的大小.
15．（2025·连云港）已知二次函数y=x2+2（a+1）x+3a2-2a+3，a为常数.
（1）若该二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点，求a的取值范围；
（2）若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值；
（3）求证：该二次函数的图象不经过原点.
16．（2025·北京市）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 经过点 O和点A(3，3a).
（1）求c的值，并用含a的式子表示b；
（2） 过点 P(t，0)作x轴的垂线，交抛物线于点 M，交直线y= ax于点N.
①若a=1，t =4，求MN的长；
②已知在点P从点O运动到点B(2a，0)的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围.
17．（2025·河南）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示．
… -2 0 1 …
… -2 -2 1 …
（1）求二次函数的表达式．
（2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
（3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值．
18．（2025·天津市）已知抛物线为常数，．
（I）当时，求该抛物线顶点的坐标；
（II）点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点．
①当时，若点在抛物线上，，求点的坐标；
②若点，以AC为边的的顶点在抛物线的对称轴上，当取得最小值为时，求顶点的坐标．
19．（2025·福建）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象过点A（1，t）， B（2，t）.
（1）求的值；
（2）已知二次函数 的最大值为
（i）求该二次函数的表达式；
（ii）若 为该二次函数图象上的不同两点，且
求证：
20．（2025·浙江）已知抛物线（为常数）经过点．
（1）求a的值；
（2）过点与轴平行的直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求的值．
（3）设，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线之
间．若直线 之间的距离为 16 ，求 的最大值．
21．（2025·山东）已知二次函数，其中，为两个不相等的实数．
（1）当、时，求此函数图象的对称轴；
（2）当时，若该函数在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大，求的取值范围；
（3）若点，，均在该函数的图象上，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线
∴抛物线开口向下，对称轴为直线
∵三点为(
∴与对称轴的距离分别为|
故答案为：C.
【分析】先根据抛物线解析式确定二次函数的抛物线的开口方向和对称轴，然后再根据点与对称轴越近、对应的函数值越小解答即可.
2．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵
∴抛物线的开口朝上，对称轴为
将x=1代入解析式可得，y=-a
∴顶点坐标为(1，-a)
∵两点，在抛物线
∴当且时，y1>0，故y2<0
此时，A选项正确
当时，抛物线在x<1时递减
故x2越大，y2越小，即，B选项错误
当且时，y2>0
此时x2应满足x2<0，或x2>0，C选项错误
当时，抛物线在x>1时递增
故x1越大，y1越大
即，D选项错误
故答案为：A
【分析】根据二次函数的性质逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】
解：A、由题意，∵二次函数为y=x2-2x-3，
∴当x=0时，y=-3.
∴其图象与y轴交于(0， -3).
又∵图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴.上方，
∴新函数图象与y轴的交点为(0， 3)，故A错误.
B、∵结合函数图象可以发现，函数没有最大值，
∴B选项错误.
C、令y=x2-2x-3=0，则x=3或x=-1，
∴函数图象与x轴交点为(-1， 0)，(3， 0)
∴图象与x轴两个交点之间的距离为： 3- (-1)=4，故C正确.
D、由题意，∵原函数为y=x2-2x-3= (x-1)2-4，
∴新函数为y=- (x-1)2+4 (-1≤x≤3)
∴函数的对称轴是直线x=1.
∴结合函数图象可得，当1 3时，y随x的增大而增大，故D错误.
故答案为：C.
【分析】观察图像：由二次函数为y=x2-2x-3， 可得其图象与y轴交于(0， -3)，对称轴是直线x=1，进而可得新函数图象与y轴的交点为(0， 3)，再结合函数的图象逐个判断即可解答.
4．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，对称轴在y轴的右侧，与y轴的交点在x轴的上方，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵当x=-2时y＜0，
∴4a-2b+c＜0即4a+c＜2b，故②错误；
∵抛物线与x轴的两个交点坐标为A（-1，0），B（n，0）
∴ 关于 x 的方程的解是，，故③正确；
∴抛物线的对称轴为直线，故④正确；
∴正确结论有3个.
故答案为：C .
【分析】抛物线的开口向下，对称轴在y轴的右侧，与y轴的交点在x轴的上方，可得到a、b、c的取值范围，可对①作出判断；当x=-2时y＜0，可对②作出判断；利用抛物线与x轴的两个交点坐标，可对③④作出判断；综上所述，可得到正确结论的个数.
5．【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：①、二次函数y=ax2 +bx+c与x轴交于点A(3，0)，B(-1，0)， 图象开口向上，
∴对称轴直线为，
∴b=-2a ，
当x=-1时，y=a-b+c=0，
∴a-(- 2a)+c=0，即3a+c=0，
∴c=-3a，
∴a-c=a-(-3a)= 4a>0，故①正确：
②、图象开口向上，对称轴直线为x=1，
∴当x=1时，函数有最小值，最小值x轴的下方，
∴抛物线y= ax2 +bx+c与直线y=5两个不同的交点，
∴方程ax2 + bx+c-5=0有两个不相等的实数根，故②错误：
③、∵二次函数y=ax2 +bx+c与y轴交于点C(0，m)，其中-4∴当x=0，y=c=m，
∴-4∵c=-3a，b= -2a，
∴c=，
∴
解得，④、当x=1时，函数有最小值，最小值为y=a+b+c<0， b=-2a，
∴b-a=-2a-a=-3a< 0，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，错误的有②，
故答案为：A.
【分析】根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，得b=-2a，当x=-1时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线y= 5的关系有两个不同的交点，即方程ax2 + bx+c-5=0有两个不相等的实数根，可判定②；根据题意得到c=-3a，b= -2a，代入计算可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；逐一判断即可解答.
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；数形结合
【解析】【解答】解：①、∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴x=->0
∴b<0，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，故①正确，
②、∵二次函数y= ax2 + bx + c(a≠0)的图象过(-1，0)，
∴a-b+c=0，
∴二次函数y=ax2 + bx +c(a≠0 )的图象与x轴交于两点(-1，0)，(x1，0)，且2∴对称轴
∴a<-b<2a，
∴a-b+c>a+a+c=2a+c，2a+b>0
∴2a+c<0，故②正确；
③、∵b=a+c
∴4a-b+2c=4a- b+2(b-a)= 2a+b>0，
∴4a-b+2c>0，故③错误；
④、如图，
关于x的一元二次方程a(x+ 1)(x-x1)+c=0(a≠0)的两个根，即兩数y=ax2 +bx+c(a≠0)与y=-c交点的横坐标.
∵m<-1<2∴ 若m和n是关于x的一元二次方程）的两根，且，则，； 故④正确；
⑤、∵二次函数的图像与x轴交于两点，
∴y=ax2 +bx+c=a(x+1)(x-x1)=ax2+a(1-x1)x-ax1，
∴b=a(1-x1)， c=-ax1，
∴b-a=-ax1，
∴ax2+bx+c>可化为ax2+(b-a)x>0，
即ax2- ax1x>0，
∵a>0，
∴x2-x1x>0，
解得： x<0或x>x1，
∴ 于x的不等式）的解集为，故⑤错误
故正确的有①②④，共3个，
故答案为：B.
【分析】根据抛物线开口，对称轴，以及与y轴的交点，确定a，b，c的符号，即可判断①，根据二次函数y= ax2 + bx + c(a≠0)的图象过(-1，0)，得出a- b+c=0，进而判断对称轴，得出a< -b<2a，进而判断②和③，根据函数图象判断④.将一般式写成交点式得出b=a(1-x1)，c=-ax1， 化简不等式为x2 -x1x>0求得解集，逐一判断即可解答.
7．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；垂线段最短及其应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-动态几何问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：如图所示，过点Q作，垂足为C，连接AQ、BQ.
设抛物线的解析式为：
当时，，此时
，即
把代入到函数解析式中得：，解得：
当时，，即点在抛物线上.
故选：D.
【分析】由于直线外一点到直线的最短距离是垂线段的长度，因此可过点Q作AB的垂线段QC，则PQ的最小值妈QC的长度，观察图象知QC=9，由于当AP=1时，PQ为15，则由勾股定理可求得此时PC=12，则AC=13，即，所以m=13；由于抛物线上关于对称轴对称的点到对称轴距离相等，则可计算得n=25；此时再利用二次函数图象上点的坐标特征把点E的坐标代入到解析式中可计算得a=1，再把顶点式转化为一般形式可得yc=250；最后再把点代入到函数解析式中检验即可.
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：如图所示，设对称轴交轴于点C，连接PA、PB，则PA=PB、C(1，0).
观察图形知： 二次函数的对称轴为
抛物线的开口向下、与轴交于正半轴
，即
，故结论 ① 正确；
顶点的坐标为
的最大值为
对于任意实数都有：
即：，故结论 ② 错误；
抛物线与轴的一个交点位于（-2，0）和（-1，0）之间，且在对称轴左侧，随的增大而增大
当时，
，故结论 ③ 正确；
若，则、抛物线解析式为：
令，则
解得：
为等边三角形，故结论 ④ 正确.
故答案为：D.
【分析】 ①由抛物线的开口向下知、由对称轴为直线知，由抛物线交轴正半轴知，即；
②由于抛物线开口向下且对称轴为，则二次函数有最大值，即对任意实数都存在，整理得；
③由于抛物线与轴交点位于（-2，0）和（-1，0）之间且在对称轴的左侧，则由二次函数的增减性知当时，即，整理得；
④设对称轴交轴于点C，若，则抛物线的解析式为，可利用抛物线上点的坐标特征分别求出A、B两点的坐标，则AC可求，又PC已知，可解求得，由二次函数的对称性可知PA=PB，则为等边三角形.
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线过点 (1，0)，(m，0)，
∴对称轴为直线x=
又∵ 2＜m＜3，a>0，
∴b=-a(m+1)<0，
把(1，0)代入解析式的a+b+c=0，解得c=-a-b=-a+a（m+1）=am>0，
∴bc<0，故①正确；
∴二次函数解析式为
3a+b=3a-a(m+1)=-a(m-2)<0，故②错误；
解方程组得或，
当时，则，
当，则，
由于，故③错误；
当时， x1=0，
∴ 不等式的解集为0＜x＜4.
即 式的解集为0＜x＜4，故④正确；
正确的为：①④，
故答案为：B.
【分析】根据题意的带对称轴为直线x=，得到b=-a(m+1)，把(1，0)代入解析式得到c=am，然后判断①②；解两解析式联立方程组求出x值，分情况讨论判断③；根据二次函数和一次函数的图象得到不等式的解集判断④解答即可.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则a<0，对称轴为直线x=1，则
∴b=-2a>0，
又∵抛物线与y轴交点坐标是(0，m)， 即c=m，
∵20，
∴abc<0， 故①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标是(4，0)，对称轴为直线x=1，
∴另一个交点坐标为(-2，0)，
∴当x=﹣3时， y=9a﹣3b+c<0，故②错误；
∵(-2，0)， (4，0)在抛物线 的图象上，
∴4a-2b+c=0，
又∵b=-2a，
∴4a+4a+c=0，
∴8a+c=0即c=-8a，
∵2∴2<-8a<3，
即
当 时，y取得最大值，最大值为
故③正确；
即
，
对称轴为直线 当 时，
Δ的值随a的增大而增大，
又∵
∴当 时，
∴当 时， 恒成立，即
有两个不相等实根，故④正确；
若点在抛物线 上， 且
即
解得： 且
故⑤错误；
故正确的有①③④，共3个.
故答案为：B.
【分析】根据函数图象结合二次函数的性质，先判断a，b，c的符号即可判断①；进而根据对称性得出另一个交点坐标为 则当 时，即可判断②；根据 ， ，结合抛物线的顶点坐标，即可判断③；求得a的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的解情况即可判断④；根据 结合函数图象分析，即可得出 进而判断⑤， 即可求解.
11．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将x=c，y=0带入y=-x2+bx+c中，可得
0=-c2+bc+c 即 0=c（-c+b+1）；
有两种情况：
当c=0时，函数过（0，0），即过原点，不符合题意；
当c≠0，-c+b+1=0时，即b=c-1；
任取一数使c≠0即可；
若c=1，则b=0；
所以该函数表达式为y=-x2+1.
故答案为：y=-x2+1.（答案不唯一）
【分析】：将二次函数图象过点(c，0)这一条件代入函数表达式，再结合不经过原点确定c的值，进而得到函数表达式。
12．【答案】或
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意可得：
对称轴为
当x=3m时，y=-3m2+5m+3
∴顶点坐标为(3m，-3m2+5m+3)
∵抛物线的顶点在直线上
∴-3m2+5m+3=3m+2
解得：m=或
故答案为：或
【分析】求出抛物线对称轴，再将x=3m代入抛物线可得顶点坐标，再将顶点坐标代入直线解析式，解方程即可求出答案.
13．【答案】①②④⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：将x=1代入解析式可得，y=a+2-a-2=0
∴该函数图象经过点(-1，0)，①正确
当a=-1时，该二次函数图象卡扣朝下
对称轴为直线
∴当时，y随x的增大而减小
∴当x＞-1时，y随x的增大而减小，②正确
∵
∴该函数图象与x轴有两个不同的交点或只有一个交点，③错误
由①可得关于x的方程 ax2+(a-2)x-2=0有一个根为-1
设另一个根为x2
∴
∴
∴当a>2时，有
∴若a＞2，则关于x的方程.ax2+(a-2)x-2=0有一个根大于0且小于1，④正确
当a>2时，对称轴为直线
则关于x的方程ax2+(a-2)x-2=-2有两个非正解
将y= ax2+(a-2)x-2在x轴下方的图象沿x轴翻折可得函数 y=| ax2+(a-2)x-2|的图象
令y=2，则直线y=2与y=| ax2+(a-2)x-2|共有4个不同交点
其中只有一个最右侧交点横坐标为正，其余为负
∴关于x的方程 | ax2+(a-2)x-2|=2的正数根只有一个，⑤正确
故答案为：①②④⑤
【分析】根据二次函数的图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
14．【答案】（1）解：将 代入函数得
（2）解：由题意得：
或
①当 时，即 时
将 代入T解得
时，
当 时
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；因式分解的应用-比较大小
【解析】【分析】(1)直接代入给定的a和x的值，按运算顺序计算即可；
(2)通过y=1的条件建立关于a的方程，解出a的可能值，再代入T的表达式进行计算，最后比较T与3的大小.
15．【答案】（1）解：由二次函数的图象与直线有两个交点，
∴ x2+2（a+1）x+3a2-2a+3=2a2
∴x2+2（a+1）x+a2-2a+3=0
∴b2-4ac＞0即4（a+1）2-4（a2-2a+3）＞0
解之：
（2）解：因为二次函数的图象与x轴有交点，
所以，
又因为，所以8(a-1)2=0，解得a=1
（3）证明：当时，，所以二次函数的图象不经过原点
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件可知该二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点，将y=2a2代入二次函数解析式，可得到x2+2（a+1）x+a2-2a+3=0，根据b2-4ac＞0，可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集.
（2）利用二次函数的图象与x轴有交点，可知b2-4ac≥0，可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集.
（3）根据题意求出当x=0时y的值，可证得结论.
16．【答案】（1）解：将点O(0，0)代入， 抛物线 可得c=0，
∴该抛物线解析式为
将点A(3，3a)代入， 抛物线.
可得3a=9a+3b， 解得b=-2a；
（2）解：①若a=1，则该抛物线及直线解析分别为
当t=4时， 可有点P(4，0)，
如下图，
∵PM⊥x轴，
将x=4代入 可得 即M(4，8)，
将x=4代入y=x， 可得y=4， 即N(4，4)，
∴MN=8-4=4；
②当点P从点O运动到点B(2a，0)的过程中，
∵PM⊥x轴， P(t，0)，
将x=t代入. 可得 即
将x=t代入y= ax， 可得y= at， 即N(t， at)，
令MN=0， 即 解得t=0或t=3，
若a＞0， 可有2a＞0， 即点B在y轴右侧， 如下图，
当0＜t≤3时， 可有 其图像开口向下，对称轴为 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的增大而增大，则 解得
当t＞3时， 可有. 其图像开口向上，对称轴为 不符合题意；若a＜0， 可有2a＜0， 即点B在y轴左侧， 如下图，
当t＜0时， 可有. 其图像开口向上，对称轴为 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的减小而增大，则 解得
∴a＜0.
综上所述，a的取值范围为 且a≠0.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将原点代入抛物线解析式可得c=0，即该抛物线解析式为 再将点A坐标代入解析式，化简即可求出答案.
（2）①若a=1，则该抛物线及直线解析分别为 当t=4时， 可有点P(4，0)，根据垂直于x轴的直线上的点的坐标特征可得，再分别代入抛物线与直线解析式可得M，N点坐标，再根据两点间距离即可求出答案.
②当点P从点O运动到点B(2a，0)的过程中，根据垂直于x轴的直线上的点的坐标特征可得，再分别代入抛物线与直线解析式可得N(t， at)，根据两点间距离可得，令MN=0， 解方程可得t=0或t=3，分情况讨论：若a＞0， 可有2a＞0， 即点B在y轴右侧，当0＜t≤3时， 可有 其图像开口向下，对称轴为 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的增大而增大，则 解得 当t＞3时， 可有. 其图像开口向上，对称轴为 不符合题意；若a＜0， 可有2a＜0， 即点B在y轴左侧，当t＜0时， 可有. 其图像开口向上，对称轴为 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的减小而增大，则 解得 即可求出答案.
17．【答案】（1）解：把x=-2， y=-2、x=1， y=1代入得
解方程组：得
∴这个二次函数的表达式为y=x2+2x-2
（2）解：故它的顶点坐标为(-1，-3)
它的图象如图
（3）解：或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；作图-二次函数图象；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】（3）
解：设平移后的二次函数解析式为：
抛物线的对称轴为直线
抛物线的二次项系数为1
函数有最小值且在对称轴的右侧，随的增大而增大；在对称轴的左侧，随的增大而减小
当时，
解得，与矛盾，故应舍去；
当时，或
解得；
当时，
解得，与矛盾，故应舍去；
综上所述，
【分析】
（1）利用待定系数法直接求解即可；
（2）把二次函数的一般形式通过配方转化为顶点式即可，当然也可以直接应用公式法，即对于二次函数，其顶点坐标为；
（3）先由平移变换写出平移后的抛物线的解析式，则抛物线的对称轴为直线，由于抛物线的二次项系数为正，则抛物线开口向上，函数有最小值，再分类讨论，即当对称轴在原点左侧时，此时函数的最大值为对应的函数值，最小值为时的对应值，由题意列方程并求解即可；当对称轴在直线的右侧时，此时函数的最大值为对应的函数值，最小值为时的对应值，由题意列方程并求解即可；当对称轴在轴与直线之间时，由于对称轴到轴的距离与到直线的距离大小不确定，因此最大值可能是对应的函数值也可能是对应的函数值，所以再分两种情况进行计算即可.
18．【答案】解：（I），
该抛物线的解析式为．
，
该抛物线顶点的坐标为．
（II）①点在抛物线上，
得．即．又，点，
．
根据题意，点在第四象限，过点作轴于点．
．得．
，有．
得．
∵，
∴．
．
由，得．
点的坐标为．
点在抛物线上，
．即．
解得（舍）．
点的坐标为．
②由，得．
在轴上点的左侧取点，使，连接GC．
，得．
，
．有，进而．
在Rt中，根据勾股定理，，
．有．
．
∵点，得．
．即．（*）
根据题意，点和点关于直线对称，点在直线上，得．
又中，．得．
．
当点在线段BC上时，取得最小值，即．
在Rt中，，
．
将（*）式代入，得．
解得（舍）．有．
点．
可得直线BC的解析式为．
设点的横坐标为，则．得．
点的坐标为．
线段CE可以看作是由线段AF经过平移得到的，
点的坐标为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形全等及其性质；平行四边形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）将函数解析式转换为顶点式即可求出顶点P的坐标.
（2）①将点A坐标代入抛物线解析式可得，由，点可得，过点作轴于点H，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，则点的坐标为，再将点D坐标代入抛物线解析式，解方程即可求出答案.
②由，得，在轴上点的左侧取点，使，连接GC，根据角之间的关系可得，根据等角对等边可得，进而，根据勾股定理可得GA，根据边之间的关系可得GO，根据两点间距离可得，建立方程可得，根据题意，点和点关于直线对称，点在直线上，得，根据平行四边形性质可得．得，再根据边之间的关系可得，当点在线段BC上时，取得最小值，即，根据勾股定理可得，联立返程，解方程可得，则点，求出直线BC的解析式为，设点的横坐标为，建立方程，解方程可得点的坐标为，再根据平移的性质即可求出答案.
19．【答案】（1）解：二次函数 的图象的对称轴为
因为点A（1，t），B（2，t）在该函数的图象上，所以 所以 所以
（2）解：（i）由（1）可得，b=-3a，
所以该函数的表达式为
函数图象的顶点坐标为
因为函数的最大值为
所以a＜0，且
解得a=-1，或a=4（舍去）.
所以该二次函数的表达式为
（ii）因为点 在函数 的图象上，所以
由（i）知，点 关于直线 对称，不妨设 则 即
所以
=0，
所以
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】 （1）根据二次函数的对称性求解即可；
（2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可；
②先根据二次函数的对称性求出x1+x2=3，然后对通分代入求解即可.
20．【答案】（1）解：把代入到函数解析式中得：
解得：
（2）解：
抛物线的对称轴为直线
设点B的坐标为，则C点坐标为
是中点
即，
解得：
（3）解：
当时，函数值有最小值
显然当函数值时，有最大值
即直线为，直线为
解得，
的最大值为
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法直接求解即可；
（2）先把二次函数的一般转化为顶点式可得对称轴为直线，由于A、B、C三点的纵坐标相同，则B、C两点关直线对称，此时设点B的横坐标为x，则C的横坐标为（6-x），由于点B是线段AC的中点，则AB=BC，即可得到关于x的一元一次方程，解方程求出x，则纵坐标t可求；
（3）由于抛物线的顶点坐标为，即当有最大值时，这两条平行线中的一条必然过顶点，则由直线间的距离为16可得另一条直线为，此时由点的坐标特征可得直线与抛物线的两个交点的横坐标分别为和，即此时、，则的最大值可求.
21．【答案】（1）解：当、时，二次函数可化为：，
此函数图象的对称轴为
（2）解：当时，二次函数可化为：，
抛物线对称轴为，
，
抛物线开口方向向上，
在时，随的增大而减小；
，
在时，随的增大而增大；
，
（3）解：若点，，均在该函数的图象上，
，
，
；
；
，
，整理得：
，为两个不相等的实数，
，
，解得：
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）把和的值代入到函数解析式中可得抛物线解析式，再利用即可；
（2）把代入到函数解析式中可得，则抛物线开口向上，对称轴为直线，由二次函数的性质知，在对称轴左侧，随的增大而减小 ；在对称轴右侧，随的增大而增大 ，所以；
（3）先利用二次函数图象上点的坐标特征分别表示出，再整理得，由于，显然当时，，即存在这样的值.
1 / 1专题10 二次函数的图象与性质-2025年精选中考数学真题分类汇编
一、选择题
1．（2025·威海）已知点（﹣2，y1），（3，y2），（7，y3）都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线
∴抛物线开口向下，对称轴为直线
∵三点为(
∴与对称轴的距离分别为|
故答案为：C.
【分析】先根据抛物线解析式确定二次函数的抛物线的开口方向和对称轴，然后再根据点与对称轴越近、对应的函数值越小解答即可.
2．（2025·广州）在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（　　）
A．当且时，则
B．当时，则
C．当且时，则
D．当时，则
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵
∴抛物线的开口朝上，对称轴为
将x=1代入解析式可得，y=-a
∴顶点坐标为(1，-a)
∵两点，在抛物线
∴当且时，y1>0，故y2<0
此时，A选项正确
当时，抛物线在x<1时递减
故x2越大，y2越小，即，B选项错误
当且时，y2>0
此时x2应满足x2<0，或x2>0，C选项错误
当时，抛物线在x>1时递增
故x1越大，y1越大
即，D选项错误
故答案为：A
【分析】根据二次函数的性质逐项进行判断即可求出答案.
3．（2025·青岛）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（　　）
A．图象与轴的交点坐标是
B．当时，函数取得最大值
C．图象与轴两个交点之间的距离为
D．当时，的值随值的增大而增大
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】
解：A、由题意，∵二次函数为y=x2-2x-3，
∴当x=0时，y=-3.
∴其图象与y轴交于(0， -3).
又∵图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴.上方，
∴新函数图象与y轴的交点为(0， 3)，故A错误.
B、∵结合函数图象可以发现，函数没有最大值，
∴B选项错误.
C、令y=x2-2x-3=0，则x=3或x=-1，
∴函数图象与x轴交点为(-1， 0)，(3， 0)
∴图象与x轴两个交点之间的距离为： 3- (-1)=4，故C正确.
D、由题意，∵原函数为y=x2-2x-3= (x-1)2-4，
∴新函数为y=- (x-1)2+4 (-1≤x≤3)
∴函数的对称轴是直线x=1.
∴结合函数图象可得，当1 3时，y随x的增大而增大，故D错误.
故答案为：C.
【分析】观察图像：由二次函数为y=x2-2x-3， 可得其图象与y轴交于(0， -3)，对称轴是直线x=1，进而可得新函数图象与y轴的交点为(0， 3)，再结合函数的图象逐个判断即可解答.
4．（2025·广安） 如图，二次函数 (a，b，c 为常数，) .的图象交 x 轴于 A，B 两点，点 A 的坐标是 (-1，0)，点 B 的坐标是 (n，0)，有下列结论：①；②；③ 关于 x 的方程的解是，；④.其中正确的有（　　）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，对称轴在y轴的右侧，与y轴的交点在x轴的上方，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵当x=-2时y＜0，
∴4a-2b+c＜0即4a+c＜2b，故②错误；
∵抛物线与x轴的两个交点坐标为A（-1，0），B（n，0）
∴ 关于 x 的方程的解是，，故③正确；
∴抛物线的对称轴为直线，故④正确；
∴正确结论有3个.
故答案为：C .
【分析】抛物线的开口向下，对称轴在y轴的右侧，与y轴的交点在x轴的上方，可得到a、b、c的取值范围，可对①作出判断；当x=-2时y＜0，可对②作出判断；利用抛物线与x轴的两个交点坐标，可对③④作出判断；综上所述，可得到正确结论的个数.
5．（2025·绥化）如图，二次函数y=ax2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、B（-1，0），与y轴交于点C（0，m），其中-4<-3.则下列结论：
①②方程没有实数根③④.
其中错误的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：①、二次函数y=ax2 +bx+c与x轴交于点A(3，0)，B(-1，0)， 图象开口向上，
∴对称轴直线为，
∴b=-2a ，
当x=-1时，y=a-b+c=0，
∴a-(- 2a)+c=0，即3a+c=0，
∴c=-3a，
∴a-c=a-(-3a)= 4a>0，故①正确：
②、图象开口向上，对称轴直线为x=1，
∴当x=1时，函数有最小值，最小值x轴的下方，
∴抛物线y= ax2 +bx+c与直线y=5两个不同的交点，
∴方程ax2 + bx+c-5=0有两个不相等的实数根，故②错误：
③、∵二次函数y=ax2 +bx+c与y轴交于点C(0，m)，其中-4∴当x=0，y=c=m，
∴-4∵c=-3a，b= -2a，
∴c=，
∴
解得，④、当x=1时，函数有最小值，最小值为y=a+b+c<0， b=-2a，
∴b-a=-2a-a=-3a< 0，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，错误的有②，
故答案为：A.
【分析】根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，得b=-2a，当x=-1时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线y= 5的关系有两个不同的交点，即方程ax2 + bx+c-5=0有两个不相等的实数根，可判定②；根据题意得到c=-3a，b= -2a，代入计算可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；逐一判断即可解答.
6．（2025·齐齐哈尔）如图，二次函数的图像与x轴交于两点，，且.下列结论：
①；②；③；④若m和n是关于x的一元二次方程）的两根，且，则，；⑤关于x的不等式）的解集为.其中正确结论的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；数形结合
【解析】【解答】解：①、∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴x=->0
∴b<0，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，故①正确，
②、∵二次函数y= ax2 + bx + c(a≠0)的图象过(-1，0)，
∴a-b+c=0，
∴二次函数y=ax2 + bx +c(a≠0 )的图象与x轴交于两点(-1，0)，(x1，0)，且2∴对称轴
∴a<-b<2a，
∴a-b+c>a+a+c=2a+c，2a+b>0
∴2a+c<0，故②正确；
③、∵b=a+c
∴4a-b+2c=4a- b+2(b-a)= 2a+b>0，
∴4a-b+2c>0，故③错误；
④、如图，
关于x的一元二次方程a(x+ 1)(x-x1)+c=0(a≠0)的两个根，即兩数y=ax2 +bx+c(a≠0)与y=-c交点的横坐标.
∵m<-1<2∴ 若m和n是关于x的一元二次方程）的两根，且，则，； 故④正确；
⑤、∵二次函数的图像与x轴交于两点，
∴y=ax2 +bx+c=a(x+1)(x-x1)=ax2+a(1-x1)x-ax1，
∴b=a(1-x1)， c=-ax1，
∴b-a=-ax1，
∴ax2+bx+c>可化为ax2+(b-a)x>0，
即ax2- ax1x>0，
∵a>0，
∴x2-x1x>0，
解得： x<0或x>x1，
∴ 于x的不等式）的解集为，故⑤错误
故正确的有①②④，共3个，
故答案为：B.
【分析】根据抛物线开口，对称轴，以及与y轴的交点，确定a，b，c的符号，即可判断①，根据二次函数y= ax2 + bx + c(a≠0)的图象过(-1，0)，得出a- b+c=0，进而判断对称轴，得出a< -b<2a，进而判断②和③，根据函数图象判断④.将一般式写成交点式得出b=a(1-x1)，c=-ax1， 化简不等式为x2 -x1x>0求得解集，逐一判断即可解答.
7．（2025·浙江）如图 1，是直线上一点，为平面上一点，是上的一个动点，连结，设，关于的函数图象如图 2 所示，则下列选项中正确的是（　　）
A． B． C． D．过
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；垂线段最短及其应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-动态几何问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：如图所示，过点Q作，垂足为C，连接AQ、BQ.
设抛物线的解析式为：
当时，，此时
，即
把代入到函数解析式中得：，解得：
当时，，即点在抛物线上.
故选：D.
【分析】由于直线外一点到直线的最短距离是垂线段的长度，因此可过点Q作AB的垂线段QC，则PQ的最小值妈QC的长度，观察图象知QC=9，由于当AP=1时，PQ为15，则由勾股定理可求得此时PC=12，则AC=13，即，所以m=13；由于抛物线上关于对称轴对称的点到对称轴距离相等，则可计算得n=25；此时再利用二次函数图象上点的坐标特征把点E的坐标代入到解析式中可计算得a=1，再把顶点式转化为一般形式可得yc=250；最后再把点代入到函数解析式中检验即可.
8．（2025·烟台）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于（-2，0）和（-1，0）之间，顶点的坐标为.下列结论：①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，且是等边三角形，则.其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．①③④
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：如图所示，设对称轴交轴于点C，连接PA、PB，则PA=PB、C(1，0).
观察图形知： 二次函数的对称轴为
抛物线的开口向下、与轴交于正半轴
，即
，故结论 ① 正确；
顶点的坐标为
的最大值为
对于任意实数都有：
即：，故结论 ② 错误；
抛物线与轴的一个交点位于（-2，0）和（-1，0）之间，且在对称轴左侧，随的增大而增大
当时，
，故结论 ③ 正确；
若，则、抛物线解析式为：
令，则
解得：
为等边三角形，故结论 ④ 正确.
故答案为：D.
【分析】 ①由抛物线的开口向下知、由对称轴为直线知，由抛物线交轴正半轴知，即；
②由于抛物线开口向下且对称轴为，则二次函数有最大值，即对任意实数都存在，整理得；
③由于抛物线与轴交点位于（-2，0）和（-1，0）之间且在对称轴的左侧，则由二次函数的增减性知当时，即，整理得；
④设对称轴交轴于点C，若，则抛物线的解析式为，可利用抛物线上点的坐标特征分别求出A、B两点的坐标，则AC可求，又PC已知，可解求得，由二次函数的对称性可知PA=PB，则为等边三角形.
9．（2025·德阳）已知抛物线(a，b，c是常数，a>0)过点(1，0)，(m，0)，且2＜m＜3，该抛物线与直线y=kx+c(k，c是常数，k≠0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点(点A在点B左侧).下列说法：①bc＜0；②3a+b>0；③点A'是点A关于直线.的对称点，则3＜AA'＜4；④当时，不等式的解集为0＜x＜4.其中正确的结论个数是 （　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线过点 (1，0)，(m，0)，
∴对称轴为直线x=
又∵ 2＜m＜3，a>0，
∴b=-a(m+1)<0，
把(1，0)代入解析式的a+b+c=0，解得c=-a-b=-a+a（m+1）=am>0，
∴bc<0，故①正确；
∴二次函数解析式为
3a+b=3a-a(m+1)=-a(m-2)<0，故②错误；
解方程组得或，
当时，则，
当，则，
由于，故③错误；
当时， x1=0，
∴ 不等式的解集为0＜x＜4.
即 式的解集为0＜x＜4，故④正确；
正确的为：①④，
故答案为：B.
【分析】根据题意的带对称轴为直线x=，得到b=-a(m+1)，把(1，0)代入解析式得到c=am，然后判断①②；解两解析式联立方程组求出x值，分情况讨论判断③；根据二次函数和一次函数的图象得到不等式的解集判断④解答即可.
10．（2025·遂宁）如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴交点坐标是且．有下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若点在抛物线上，
且，当时，则的取值范围为．
其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则a<0，对称轴为直线x=1，则
∴b=-2a>0，
又∵抛物线与y轴交点坐标是(0，m)， 即c=m，
∵20，
∴abc<0， 故①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标是(4，0)，对称轴为直线x=1，
∴另一个交点坐标为(-2，0)，
∴当x=﹣3时， y=9a﹣3b+c<0，故②错误；
∵(-2，0)， (4，0)在抛物线 的图象上，
∴4a-2b+c=0，
又∵b=-2a，
∴4a+4a+c=0，
∴8a+c=0即c=-8a，
∵2∴2<-8a<3，
即
当 时，y取得最大值，最大值为
故③正确；
即
，
对称轴为直线 当 时，
Δ的值随a的增大而增大，
又∵
∴当 时，
∴当 时， 恒成立，即
有两个不相等实根，故④正确；
若点在抛物线 上， 且
即
解得： 且
故⑤错误；
故正确的有①③④，共3个.
故答案为：B.
【分析】根据函数图象结合二次函数的性质，先判断a，b，c的符号即可判断①；进而根据对称性得出另一个交点坐标为 则当 时，即可判断②；根据 ， ，结合抛物线的顶点坐标，即可判断③；求得a的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的解情况即可判断④；根据 结合函数图象分析，即可得出 进而判断⑤， 即可求解.
二、填空题
11．（2025·广东）已知二次函数 的图象经过点(c，0)，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是　 　.(写出一个即可)
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将x=c，y=0带入y=-x2+bx+c中，可得
0=-c2+bc+c 即 0=c（-c+b+1）；
有两种情况：
当c=0时，函数过（0，0），即过原点，不符合题意；
当c≠0，-c+b+1=0时，即b=c-1；
任取一数使c≠0即可；
若c=1，则b=0；
所以该函数表达式为y=-x2+1.
故答案为：y=-x2+1.（答案不唯一）
【分析】：将二次函数图象过点(c，0)这一条件代入函数表达式，再结合不经过原点确定c的值，进而得到函数表达式。
12．（2025·广州）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为　 　．
【答案】或
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意可得：
对称轴为
当x=3m时，y=-3m2+5m+3
∴顶点坐标为(3m，-3m2+5m+3)
∵抛物线的顶点在直线上
∴-3m2+5m+3=3m+2
解得：m=或
故答案为：或
【分析】求出抛物线对称轴，再将x=3m代入抛物线可得顶点坐标，再将顶点坐标代入直线解析式，解方程即可求出答案.
13．（2025·武汉）已知二次函数y= ax2+(a-2)x-2(a为常数，且a≠0).下列五个结论：
①该函数图象经过点(-1，0)；
②若a=-1，则当x＞-1时，y随x的增大而减小；
③该函数图象与x轴有两个不同的公共点；
④若a＞2，则关于x的方程.ax2+(a-2)x-2=0有一个根大于0且小于1；
⑤若a＞2，则关于x的方程 | ax2+(a-2)x-2|=2的正数根只有一个.
其中正确的是　 　(填写序号).
【答案】①②④⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：将x=1代入解析式可得，y=a+2-a-2=0
∴该函数图象经过点(-1，0)，①正确
当a=-1时，该二次函数图象卡扣朝下
对称轴为直线
∴当时，y随x的增大而减小
∴当x＞-1时，y随x的增大而减小，②正确
∵
∴该函数图象与x轴有两个不同的交点或只有一个交点，③错误
由①可得关于x的方程 ax2+(a-2)x-2=0有一个根为-1
设另一个根为x2
∴
∴
∴当a>2时，有
∴若a＞2，则关于x的方程.ax2+(a-2)x-2=0有一个根大于0且小于1，④正确
当a>2时，对称轴为直线
则关于x的方程ax2+(a-2)x-2=-2有两个非正解
将y= ax2+(a-2)x-2在x轴下方的图象沿x轴翻折可得函数 y=| ax2+(a-2)x-2|的图象
令y=2，则直线y=2与y=| ax2+(a-2)x-2|共有4个不同交点
其中只有一个最右侧交点横坐标为正，其余为负
∴关于x的方程 | ax2+(a-2)x-2|=2的正数根只有一个，⑤正确
故答案为：①②④⑤
【分析】根据二次函数的图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
三、解答题
14．（2025·云南）已知a是常数，函数记
（1）若，求y的值；
（2）若.，比较T与3的大小.
【答案】（1）解：将 代入函数得
（2）解：由题意得：
或
①当 时，即 时
将 代入T解得
时，
当 时
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；因式分解的应用-比较大小
【解析】【分析】(1)直接代入给定的a和x的值，按运算顺序计算即可；
(2)通过y=1的条件建立关于a的方程，解出a的可能值，再代入T的表达式进行计算，最后比较T与3的大小.
15．（2025·连云港）已知二次函数y=x2+2（a+1）x+3a2-2a+3，a为常数.
（1）若该二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点，求a的取值范围；
（2）若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值；
（3）求证：该二次函数的图象不经过原点.
【答案】（1）解：由二次函数的图象与直线有两个交点，
∴ x2+2（a+1）x+3a2-2a+3=2a2
∴x2+2（a+1）x+a2-2a+3=0
∴b2-4ac＞0即4（a+1）2-4（a2-2a+3）＞0
解之：
（2）解：因为二次函数的图象与x轴有交点，
所以，
又因为，所以8(a-1)2=0，解得a=1
（3）证明：当时，，所以二次函数的图象不经过原点
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件可知该二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点，将y=2a2代入二次函数解析式，可得到x2+2（a+1）x+a2-2a+3=0，根据b2-4ac＞0，可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集.
（2）利用二次函数的图象与x轴有交点，可知b2-4ac≥0，可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集.
（3）根据题意求出当x=0时y的值，可证得结论.
16．（2025·北京市）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 经过点 O和点A(3，3a).
（1）求c的值，并用含a的式子表示b；
（2） 过点 P(t，0)作x轴的垂线，交抛物线于点 M，交直线y= ax于点N.
①若a=1，t =4，求MN的长；
②已知在点P从点O运动到点B(2a，0)的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围.
【答案】（1）解：将点O(0，0)代入， 抛物线 可得c=0，
∴该抛物线解析式为
将点A(3，3a)代入， 抛物线.
可得3a=9a+3b， 解得b=-2a；
（2）解：①若a=1，则该抛物线及直线解析分别为
当t=4时， 可有点P(4，0)，
如下图，
∵PM⊥x轴，
将x=4代入 可得 即M(4，8)，
将x=4代入y=x， 可得y=4， 即N(4，4)，
∴MN=8-4=4；
②当点P从点O运动到点B(2a，0)的过程中，
∵PM⊥x轴， P(t，0)，
将x=t代入. 可得 即
将x=t代入y= ax， 可得y= at， 即N(t， at)，
令MN=0， 即 解得t=0或t=3，
若a＞0， 可有2a＞0， 即点B在y轴右侧， 如下图，
当0＜t≤3时， 可有 其图像开口向下，对称轴为 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的增大而增大，则 解得
当t＞3时， 可有. 其图像开口向上，对称轴为 不符合题意；若a＜0， 可有2a＜0， 即点B在y轴左侧， 如下图，
当t＜0时， 可有. 其图像开口向上，对称轴为 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的减小而增大，则 解得
∴a＜0.
综上所述，a的取值范围为 且a≠0.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将原点代入抛物线解析式可得c=0，即该抛物线解析式为 再将点A坐标代入解析式，化简即可求出答案.
（2）①若a=1，则该抛物线及直线解析分别为 当t=4时， 可有点P(4，0)，根据垂直于x轴的直线上的点的坐标特征可得，再分别代入抛物线与直线解析式可得M，N点坐标，再根据两点间距离即可求出答案.
②当点P从点O运动到点B(2a，0)的过程中，根据垂直于x轴的直线上的点的坐标特征可得，再分别代入抛物线与直线解析式可得N(t， at)，根据两点间距离可得，令MN=0， 解方程可得t=0或t=3，分情况讨论：若a＞0， 可有2a＞0， 即点B在y轴右侧，当0＜t≤3时， 可有 其图像开口向下，对称轴为 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的增大而增大，则 解得 当t＞3时， 可有. 其图像开口向上，对称轴为 不符合题意；若a＜0， 可有2a＜0， 即点B在y轴左侧，当t＜0时， 可有. 其图像开口向上，对称轴为 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的减小而增大，则 解得 即可求出答案.
17．（2025·河南）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示．
… -2 0 1 …
… -2 -2 1 …
（1）求二次函数的表达式．
（2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
（3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值．
【答案】（1）解：把x=-2， y=-2、x=1， y=1代入得
解方程组：得
∴这个二次函数的表达式为y=x2+2x-2
（2）解：故它的顶点坐标为(-1，-3)
它的图象如图
（3）解：或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；作图-二次函数图象；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】（3）
解：设平移后的二次函数解析式为：
抛物线的对称轴为直线
抛物线的二次项系数为1
函数有最小值且在对称轴的右侧，随的增大而增大；在对称轴的左侧，随的增大而减小
当时，
解得，与矛盾，故应舍去；
当时，或
解得；
当时，
解得，与矛盾，故应舍去；
综上所述，
【分析】
（1）利用待定系数法直接求解即可；
（2）把二次函数的一般形式通过配方转化为顶点式即可，当然也可以直接应用公式法，即对于二次函数，其顶点坐标为；
（3）先由平移变换写出平移后的抛物线的解析式，则抛物线的对称轴为直线，由于抛物线的二次项系数为正，则抛物线开口向上，函数有最小值，再分类讨论，即当对称轴在原点左侧时，此时函数的最大值为对应的函数值，最小值为时的对应值，由题意列方程并求解即可；当对称轴在直线的右侧时，此时函数的最大值为对应的函数值，最小值为时的对应值，由题意列方程并求解即可；当对称轴在轴与直线之间时，由于对称轴到轴的距离与到直线的距离大小不确定，因此最大值可能是对应的函数值也可能是对应的函数值，所以再分两种情况进行计算即可.
18．（2025·天津市）已知抛物线为常数，．
（I）当时，求该抛物线顶点的坐标；
（II）点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点．
①当时，若点在抛物线上，，求点的坐标；
②若点，以AC为边的的顶点在抛物线的对称轴上，当取得最小值为时，求顶点的坐标．
【答案】解：（I），
该抛物线的解析式为．
，
该抛物线顶点的坐标为．
（II）①点在抛物线上，
得．即．又，点，
．
根据题意，点在第四象限，过点作轴于点．
．得．
，有．
得．
∵，
∴．
．
由，得．
点的坐标为．
点在抛物线上，
．即．
解得（舍）．
点的坐标为．
②由，得．
在轴上点的左侧取点，使，连接GC．
，得．
，
．有，进而．
在Rt中，根据勾股定理，，
．有．
．
∵点，得．
．即．（*）
根据题意，点和点关于直线对称，点在直线上，得．
又中，．得．
．
当点在线段BC上时，取得最小值，即．
在Rt中，，
．
将（*）式代入，得．
解得（舍）．有．
点．
可得直线BC的解析式为．
设点的横坐标为，则．得．
点的坐标为．
线段CE可以看作是由线段AF经过平移得到的，
点的坐标为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形全等及其性质；平行四边形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）将函数解析式转换为顶点式即可求出顶点P的坐标.
（2）①将点A坐标代入抛物线解析式可得，由，点可得，过点作轴于点H，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，则点的坐标为，再将点D坐标代入抛物线解析式，解方程即可求出答案.
②由，得，在轴上点的左侧取点，使，连接GC，根据角之间的关系可得，根据等角对等边可得，进而，根据勾股定理可得GA，根据边之间的关系可得GO，根据两点间距离可得，建立方程可得，根据题意，点和点关于直线对称，点在直线上，得，根据平行四边形性质可得．得，再根据边之间的关系可得，当点在线段BC上时，取得最小值，即，根据勾股定理可得，联立返程，解方程可得，则点，求出直线BC的解析式为，设点的横坐标为，建立方程，解方程可得点的坐标为，再根据平移的性质即可求出答案.
19．（2025·福建）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象过点A（1，t）， B（2，t）.
（1）求的值；
（2）已知二次函数 的最大值为
（i）求该二次函数的表达式；
（ii）若 为该二次函数图象上的不同两点，且
求证：
【答案】（1）解：二次函数 的图象的对称轴为
因为点A（1，t），B（2，t）在该函数的图象上，所以 所以 所以
（2）解：（i）由（1）可得，b=-3a，
所以该函数的表达式为
函数图象的顶点坐标为
因为函数的最大值为
所以a＜0，且
解得a=-1，或a=4（舍去）.
所以该二次函数的表达式为
（ii）因为点 在函数 的图象上，所以
由（i）知，点 关于直线 对称，不妨设 则 即
所以
=0，
所以
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】 （1）根据二次函数的对称性求解即可；
（2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可；
②先根据二次函数的对称性求出x1+x2=3，然后对通分代入求解即可.
20．（2025·浙江）已知抛物线（为常数）经过点．
（1）求a的值；
（2）过点与轴平行的直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求的值．
（3）设，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线之
间．若直线 之间的距离为 16 ，求 的最大值．
【答案】（1）解：把代入到函数解析式中得：
解得：
（2）解：
抛物线的对称轴为直线
设点B的坐标为，则C点坐标为
是中点
即，
解得：
（3）解：
当时，函数值有最小值
显然当函数值时，有最大值
即直线为，直线为
解得，
的最大值为
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法直接求解即可；
（2）先把二次函数的一般转化为顶点式可得对称轴为直线，由于A、B、C三点的纵坐标相同，则B、C两点关直线对称，此时设点B的横坐标为x，则C的横坐标为（6-x），由于点B是线段AC的中点，则AB=BC，即可得到关于x的一元一次方程，解方程求出x，则纵坐标t可求；
（3）由于抛物线的顶点坐标为，即当有最大值时，这两条平行线中的一条必然过顶点，则由直线间的距离为16可得另一条直线为，此时由点的坐标特征可得直线与抛物线的两个交点的横坐标分别为和，即此时、，则的最大值可求.
21．（2025·山东）已知二次函数，其中，为两个不相等的实数．
（1）当、时，求此函数图象的对称轴；
（2）当时，若该函数在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大，求的取值范围；
（3）若点，，均在该函数的图象上，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由
【答案】（1）解：当、时，二次函数可化为：，
此函数图象的对称轴为
（2）解：当时，二次函数可化为：，
抛物线对称轴为，
，
抛物线开口方向向上，
在时，随的增大而减小；
，
在时，随的增大而增大；
，
（3）解：若点，，均在该函数的图象上，
，
，
；
；
，
，整理得：
，为两个不相等的实数，
，
，解得：
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）把和的值代入到函数解析式中可得抛物线解析式，再利用即可；
（2）把代入到函数解析式中可得，则抛物线开口向上，对称轴为直线，由二次函数的性质知，在对称轴左侧，随的增大而减小 ；在对称轴右侧，随的增大而增大 ，所以；
（3）先利用二次函数图象上点的坐标特征分别表示出，再整理得，由于，显然当时，，即存在这样的值.
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